趙小彤， 李 智， 宋恩彬，2

(1.四川大學數學學院， 成都 610064； 2.四川大學空天科學與工程學院， 成都 610064; 3.電子信息控制重點實驗室， 成都 610063)

1 引言

主成分分析算法(PCA)是數據挖掘和特征提取的有效工具，在生物信息學[1-2]、基因組學、定量金融學和信號處理等領域有廣泛應用. PCA的目標是得到高維數據的低維表示，同時盡可能保留高維數據的信息[3].然而，很多實際場景通常涉及到多個數據集，其中人們感興趣的是提取出某個數據集相對其他數據集特有的信息[1-17]. 例如，考慮兩個基因表達觀測數據集，它們來自于對多個種族人群的觀測. 第一個數據集包含癌癥患者的基因表達，是我們感興趣的數據集，稱之為目標數據. 第二個數據集則是由健康人群的基因表達組成，稱為背景數據. 如果將PCA單獨應用于目標數據，或目標數據與背景數據的結合，可能都僅能獲得兩個數據集公共的背景信息(人口模型、性別等)，而不能描述癌癥患者的判別信息.為處理上述問題，Abid等[4]首次提出了對比主成分分析算法(cPCA)，并將其用于提取兩個數據集之間的判別信息. 具體而言，cPCA尋找使得目標數據方差極大且背景數據方差極小的方向.cPCA在選取超參數時需要進行多次特征分解和譜聚類算法[6]，計算復雜度高. 基于文獻[4]，文獻[5]給出了判別主成分分析算法(dPCA)，dPCA不需要額外的超參數，計算復雜度會低一些. 但dPCA不能處理背景方差矩陣奇異的情形，且進行后續(xù)分類算法時分類效果不佳，對高維數據的低維特征提取合理性有待改進. 近期，很多學者將這兩種算法應用于各種實際場景[7-8]，但這兩種算法在實際應用中都具有一定的局限性.

本文提出了一種處理多數據集的新方法，稱為跡比率主成分分析算法(trPCA). trPCA通過求解一個跡比率問題提取出目標數據相對背景數據特有的低維表示. trPCA能夠處理背景方差陣奇異的情形，并且計算成本低于cPCA. 進一步，針對多個背景數據集情形，本文將trPCA推廣給出了多背景數據集跡比率主成分分析算法(MtrPCA)，該方法可以提取出某個數據集相對其他所有背景數據集特有的低維表示.

2 預備知識

(1)

文獻[4]提出的cPCA方法旨在尋找子空間使得目標數據集方差盡量大且背景數據集方差盡量小. 具體而言，我們解如下問題：

s.t.UTU=Ik

(2)

當α=0時，cPCA只選擇極大化目標方差的方向，從而退化為只對xi做PCA. 當α=∞時，cPCA將目標數據投影到背景數據方差陣的零空間. 因此，α的選取至關重要.在文獻[4]中，cPCA先根據多個α的預選值分別進行特征分解，然后再進行譜聚類，最終輸出幾個α值以及相應的子空間. 但是，對于高維數據，該算法會產生很高的計算復雜度，并且選擇不適當的α會導致結果有很大偏差.

基于文獻[4]，文獻[5]提出了dPCA方法，即求解下述比率跡(Ratio Trace)問題：

(3)

3 算法描述

3.1 跡比率主成分分析

基于上述分析，我們提出一種新方法.考慮如下的跡比率(Trace Ratio)問題，我們稱之為跡比率主成分分析算法(trPCA)：

(4)

算法3.1跡比率主成分分析

3.計算經驗協(xié)方差矩陣Cxx和Cyy；

4.用二分法[10]求解問題(4)；

值得注意的是，雖然很多監(jiān)督、半監(jiān)督維數壓縮算法最終都會轉為求解跡比率問題，如線性判別分析(LDA)[13]、邊界Fisher分析(MFA)[14]、局部線性嵌入(LLE)等， 但這些算法所解決的問題都與本文不同.

通過下面的定理，我們可以得出trPCA和cPCA之間的關系，證明詳見文獻[8].

定理3.2對d階實對稱矩陣Cxx0和Cyy?0，U∈Rd×k，

當且僅當

由定理3.2可知，當α等于某個值時，trPCA和cPCA具有一定的等價性.

前文已經提到，dPCA的解經過任何一個非奇異矩陣變換之后還是最優(yōu)解，而trPCA的解經過正交變換之后還是最優(yōu)解. 因此，如果基于歐氏距離處理聚類或分類問題，trPCA的不同解得到的聚類或分類結果是不變的，但dPCA的不同解可能會使得投影后的距離發(fā)生改變，從而導致聚類或分類的結果不穩(wěn)定.

注1當k=1，即提取的主成分維數為一維時，trPCA和dPCA方法是等價的，同為下述優(yōu)化問題：

注2當沒有背景數據時，Cyy=Id成立，trPCA退化為PCA.

3.2 背景方差奇異情形

為處理Cyy奇異情形，我們將問題(4)等價地轉化為下述問題：

(5)

其中Ct=Cxx+Cyy. 問題(5)的目標函數值必然屬于區(qū)間[0,1]，且最大值1對應于問題(4)的最大值∞. 我們對Cxx的零空間{x|Cxxx=0}不感興趣，這是因為xTCxxx=0，其零空間中不包含關于目標數據集的任何有用信息，把它們從問題(5)的約束空間中移除并不會犧牲特征提取準確度. 實際上，由于屬于Cxx零空間且不屬于Cyy零空間的部分不可能是問題(5)的最優(yōu)解，所以我們只需移除Ct的零空間.

進一步，在很多實際場景中，涉及到越來越多的高維數據，樣本協(xié)方差矩陣的條件數很大，甚至接近于奇異情形. 為了更好的特征提取效果，接近Ct零空間的部分也要移除.對Ct進行特征分解可得

Ct=QΛQT

(6)

其中Λ=[λ1,λ2,…,λd],λl≥0,l=1,2,…,d.我們假設特征值已按由大到小順序排列，Q為正交矩陣. 選取1≤d′≤d-1使得

(7)

其中閾值ε為一個很小的標量. 取矩陣Q的前d′列組成矩陣W. 解空間可以被限制在由W的列空間張成的子空間里，即U=WV,V∈Rd′×k. 從而(5)式定義的問題可以轉化為如下問題，稱為修正的trPCA方法：

(8)

修正的trPCA算法的具體執(zhí)行步驟如下.

算法3.3修正的跡比率主成分分析

3.計算經驗協(xié)方差矩陣Cxx和Cyy；

4.利用(6)式進行特征分解；

5.利用(7)去除方差陣接近零空間的部分；

6.利用二分法[10]求解問題(8)；

注4當Cyy奇異時，由問題(8)可得到和定理3.1類似的結論.

3.3 多背景數據集情形

為相應的樣本協(xié)方差矩陣. 我們的目標是挖掘出能明顯表示目標數據，同時又不屬于任何背景數據的潛在子空間向量.

基于dPCA算法，文獻[5]提出了多背景數據判別主成分分析(MdPCA)，該方法求解以下問題：

基于前面對單一背景數據的分析，我們應該尋找使得目標方差極大，且所有的背景方差極小的方向. 形式上，我們求解以下極大化問題，稱為多背景數據跡比率主成分分析(MtrPCA)算法：

(9)

注5對于參數ωs的選取有兩種方法：

(i) 用譜聚類[6]的方法選出少數幾個可以產生最具代表性子空間的ωs；

(ii) 將問題(9)中的ωs與U聯(lián)合進行優(yōu)化.

為了驗證本文所提算法在進行判別分析時的性能，本節(jié)提供了4個數值算例，與已有算法進行對比.

我們對數據集{{xi}，{yj}}應用了trPCA、dPCA與cPCA算法，其中應用trPCA算法時(7)式中的ε取成0.001， cPCA算法的參數α選為1，10和100. 單獨對{xi}進行PCA算法處理. 為了便于展示，所有提取的主成分維數都為2，并且前兩個主成分即為圖1的橫、縱坐標. 如圖1所示，圓圈表示接受藥物治療的老鼠，叉號表示沒有接受治療的老鼠，trPCA可以較好地區(qū)分兩個不同的子類，而PCA和dPCA算法不能很好的區(qū)分兩個子類. cPCA算法對α的不同選值較為敏感，特征提取效果不穩(wěn)定.

圖1 尋找老鼠蛋白質表達數據中的子類

表1 基于老鼠蛋白質表達數據特征提取的聚類誤差

為了進一步衡量不同算法的表現，我們先用這些算法提取出目標數據的k維主成分，再對提取后的低維表示通過K-均值聚類分成兩類，最后比較這幾種算法的聚類誤差. 聚類誤差定義為錯誤聚類的數據個數與目標數據的總個數的比值. 如表1所示，trPCA算法的聚類誤差要小于dPCA和PCA算法，cPCA算法的聚類誤差只有當選取合適的α時才會低一些，但α的選取會產生很高的計算復雜度. 因而在后面的實驗中我們主要和dPCA算法進行比較.

例4.2當背景方差矩陣Cyy奇異時，dPCA算法無法處理，而trPCA算法可以通過解修正的trPCA算法來避免Cyy奇異所帶來的困擾. 在第二個實驗中，為了檢驗trPCA算法處理奇異情形的表現，我們考慮由兩個目標子集構成的目標數據{xi}. 目標子類1包含120個280維向量，前200維N(0,1)，后80維來自于N(0,10). 目標子類2也包含120個280維向量，其中前200維由N(6,1)生成，后80維由N(0,10)生成. 背景數據集{yj}包含240個280維向量，前200維來自于N(0,3)，后80維來自于N(0,10)，詳見表2. 此時Cyy顯然是不可逆的.

表2 背景方差奇異情形下的數據生成分布假設匯總

圖2 背景方差奇異時的特征提取

求解問題(8)，提取前兩個主成分trPC1和trPC2可以得到如圖2的結果，其中的圓圈表示子類1的數據，叉號表示子類2的數據.由圖可見，trPCA算法可以很好的處理背景方差奇異的情形，并且能有效提取出目標子類相對背景數據的判別信息. dPCA算法則無法處理此類問題.

我們對數據集{{xi}，{yj}}應用了trPCA算法和dPCA算法，并單獨對{xi}應用PCA算法. 提取的主成分維數為2. 如圖3所示，點表示數字1，叉號表示數字2，trPCA的判別效果要優(yōu)于其它兩種算法.

圖3 單背景疊加手寫數字1和2的特征提取

表3 基于單背景疊加手寫數字特征提取的聚類誤差

接下來，在提取出目標數據的k維表示后，我們進行K-均值聚類，表3給出這幾種算法的聚類誤差.可見trPCA算法的聚類效果遠好于其它兩種算法.

為了展示trPCA算法在處理高維數據時的高效性，下表給出了這幾種算法在MATLAB中處理上述問題時k從1取到10的運行總時間.可見trPCA算法的運行時間小于其它算法，體現了trPCA算法相對于其它幾種算法的高效性.

表4 幾種算法的運行時間比較

圖4 多背景疊加手寫數字1和2的特征提取

接下來進行K-均值聚類，當提取的特征維數不同時，相應的聚類誤差如下表所示. 可以看到MtrPCA算法的聚類誤差遠小于MdPCA算法和PCA算法.

表5 基于多背景疊加手寫數字數據特征提取的聚類誤差

5 結 論

在各種實際場景中，我們更希望能找出某個數據集相對于其它數據集所具有的獨特判別信息. 本文提出了一種新方法，稱為trPCA算法，對多個數據集進行判別分析.該算法可推廣至多背景數據模型MtrPCA算法. 與dPCA算法相比，trPCA算法可以處理背景方差矩陣奇異的情形，特征提取效果以及后續(xù)處理分類或聚類問題也都優(yōu)于dPCA算法. 作為cPCA算法的改進，trPCA算法不需要額外的超參數且有高效的算法進行求解，計算復雜度低. 最后，多個數值模擬表明本文所提算法相較于已有算法具有更好的性能.