莫云飛，周群益，侯兆陽(yáng)，周麗麗

(1. 長(zhǎng)沙學(xué)院 電子信息與電氣工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410022；2. 廣東技術(shù)師范大學(xué) 天河學(xué)院，廣東 廣州 510540；3. 長(zhǎng)安大學(xué) 理學(xué)院應(yīng)用物理系，陜西 西安 710064；4. 贛南醫(yī)學(xué)院 信息工程學(xué)院，江西 贛州 341000)

有文獻(xiàn)討論了亥姆霍茲線(xiàn)圈均勻磁場(chǎng)區(qū)，做了一項(xiàng)有意義的工作[1]．可是，文獻(xiàn)作者使用計(jì)算器，效率低，范圍小，精度較差．文獻(xiàn)作者通過(guò)粗略計(jì)算后認(rèn)為：均勻區(qū)域呈橢圓形狀．本文作者通過(guò)精細(xì)作圖發(fā)現(xiàn)并不是這個(gè)結(jié)果．當(dāng)雙環(huán)電流之間的距離發(fā)生改變時(shí)，磁場(chǎng)的均勻區(qū)域也發(fā)生了改變．

1 共軸雙環(huán)電流的磁場(chǎng)

如圖1所示，取x軸為縱軸，取z軸為橫軸，兩環(huán)共z軸．設(shè)兩個(gè)圓環(huán)的半徑為a，通有同方向的電流I，兩環(huán)之間的距離為2L．

圖1 共軸雙環(huán)電流的場(chǎng)強(qiáng)

根據(jù)通電圓環(huán)產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的公式[2,3]，右環(huán)O1在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量分別為

(1)

(2)

(3)

左環(huán)O2產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量分別是:

(4)

(5)

兩個(gè)線(xiàn)圈疊加的磁感應(yīng)強(qiáng)度的兩個(gè)分量分別為:

Bx(x,z)=B1x(x,z) +B2x(x,z)

Bz(x,z)=B1z(x,z) +B2z(x,z)

(6)

合場(chǎng)強(qiáng)為

(7)

當(dāng)x=0時(shí)，可得

Bx(0,z)=0

(8)

這是軸線(xiàn)上的磁感應(yīng)強(qiáng)度，只有軸向分量．當(dāng)z=0時(shí)，可得原點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度:

(9)

磁感應(yīng)強(qiáng)度曲面在原點(diǎn)處是一個(gè)鞍點(diǎn)，大小用BS表示．顯然，兩環(huán)距離越大，BS越?。?/p>

(10)

其中，B0=μ0I/2a是一個(gè)環(huán)電流在環(huán)心產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度．

取半徑a為長(zhǎng)度單位，取B0=μ0I/2a為磁感應(yīng)強(qiáng)度單位，可以將公式無(wú)量綱化，以便于畫(huà)出合場(chǎng)強(qiáng)的曲面和均勻范圍[4]．

2 磁場(chǎng)的均勻范圍

設(shè)|B-BS| ≤ 0.01BS為雙環(huán)電流的均勻范圍，即0.99BS≤B≤ 1.01BS．

1) 當(dāng)L=a/2時(shí)，BS=BC，亥姆霍茲線(xiàn)圈場(chǎng)強(qiáng)的曲面和均勻范圍如圖2所示．B=1.01BC的四條等高線(xiàn)分別包圍了4個(gè)峰，四條曲線(xiàn)并不連接；B=BC的等高線(xiàn)恰好包圍了4個(gè)峰，四條曲線(xiàn)都經(jīng)過(guò)鞍點(diǎn)而連接起來(lái)；B=0.99BC的等高線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，同時(shí)包圍了4個(gè)峰，曲線(xiàn)如同“X”形狀．同時(shí)包圍4個(gè)峰的曲線(xiàn)和分別包圍4個(gè)峰的曲線(xiàn)之間的區(qū)域就是亥姆霍茲線(xiàn)圈磁場(chǎng)的均勻范圍，其俯視圖如圖3所示，均勻范圍呈“八爪”形狀．

圖2 亥姆霍茲線(xiàn)圈的合場(chǎng)強(qiáng)(L=0.5a)

圖3 亥姆霍茲線(xiàn)圈磁場(chǎng)的均勻范圍(L=0.5a)

2) 當(dāng)L=0.4a時(shí)，兩環(huán)距離比較近，雙環(huán)電流的場(chǎng)強(qiáng)曲面和均勻范圍如圖4所示．B=1.01BS的兩條等高線(xiàn)分別包圍了上面的兩個(gè)峰和下面的兩個(gè)峰，兩條曲線(xiàn)并不連接；B=0.99BS的等高線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，同時(shí)包圍了4個(gè)峰；B=BS的等高線(xiàn)經(jīng)過(guò)鞍點(diǎn)，恰好包圍了上下兩對(duì)峰．B=0.99BS的等高線(xiàn)與B=1.01BS的等高線(xiàn)所包圍的范圍是雙環(huán)電流磁場(chǎng)的均勻范圍，其俯視圖如圖5所示，均勻范圍呈“四爪細(xì)腰”形狀，鞍點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)增加了，但是均強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域變小了．

圖4 雙環(huán)電流的合場(chǎng)強(qiáng)(L=0.4a)

圖5 雙環(huán)電流磁場(chǎng)的均勻范圍(L=0.4a)

3) 當(dāng)L=0.6a時(shí)，兩環(huán)距離比較遠(yuǎn)，雙環(huán)電流的場(chǎng)強(qiáng)曲面和均勻范圍如圖6所示．B=1.01BS的兩條等高線(xiàn)分別包圍了左邊的兩個(gè)峰和右邊的兩個(gè)峰，兩條曲線(xiàn)并不連接；B=0.99BS的等高線(xiàn)是一條曲線(xiàn)，同時(shí)包圍了4個(gè)峰；B=BS的等高線(xiàn)經(jīng)過(guò)鞍點(diǎn)，恰好包圍了左右兩對(duì)峰．B=0.99BS的等高線(xiàn)與B=1.01BS的等高線(xiàn)所包圍的區(qū)域是雙環(huán)電流磁場(chǎng)的均勻范圍，其俯視圖如圖7所示，均勻范圍呈“四爪凹凸”形狀，鞍點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)減小了，均強(qiáng)磁場(chǎng)的區(qū)域也變小了．

圖6 雙環(huán)電流的合場(chǎng)強(qiáng)(L=0.6a)

圖7 雙環(huán)電流磁場(chǎng)的均勻范圍(L=0.6a)

3 結(jié)束語(yǔ)

通過(guò)計(jì)算和精細(xì)作圖，發(fā)現(xiàn)亥姆霍茲線(xiàn)圈磁場(chǎng)的均勻區(qū)域是“八爪”形狀而不是橢圓形狀，改變了已有的結(jié)論．不論雙環(huán)之間的距離是增加還是減小，磁場(chǎng)的均勻區(qū)域的形狀都會(huì)發(fā)生改變，大小都會(huì)變?。@種研究電磁場(chǎng)均勻區(qū)域的方法具有通用性．對(duì)于帶有等量異號(hào)的雙環(huán)電荷，用這種方法研究其電場(chǎng)，也可以發(fā)現(xiàn)類(lèi)似的現(xiàn)象．