李心宇，張子奕，王 鑫，劉全慧

(湖南大學(xué)物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所，湖南 長沙 410082)

(1)

其中h為普朗克常數(shù).注意(1)不是熱波長.按照統(tǒng)計(jì)物理的慣例，盡管熱波長的定義也是沿用了德布羅意波長的定義，但是局限于同樣溫度下的經(jīng)典理想氣體[1-5]：

(2)

廣義熱波長(1)的物理意義如下.注意式(1)中出現(xiàn)的是粒子的平均動(dòng)量，根據(jù)量子力學(xué)，粒子將具有波動(dòng)性.當(dāng)兩個(gè)粒子間的波長和平均距離差不多大小的時(shí)候，兩個(gè)粒子之間發(fā)生量子相干.因此廣義熱波長(1)也就是系統(tǒng)中任意兩個(gè)粒子量子相干性的一個(gè)量度，不妨稱為相干熱波長(coherent thermalwavelength (CTWL)).

本文將計(jì)算低溫下，自由玻色氣體、自由費(fèi)米氣體和光子氣體CTWL，并用來討論這些系統(tǒng)的空間尺度問題.所謂空間體積問題，指的是低溫下量子統(tǒng)計(jì)理論的自洽性所要求的最小空間體積，在玻色-愛因斯坦凝聚(BEC)中討論較多[7].

對于立方體L3中的單個(gè)粒子，能級為(周期性邊界條件[8])

ni=0,±1,±2,...

(3)

基態(tài)、第一、二激發(fā)態(tài)的能量分別記為

(4)

這里還必須引入另外一個(gè)重要的參量即粒子之間的平均距離l ：

(5)

其中N為系統(tǒng)中粒子的個(gè)數(shù).

本文給出的判據(jù)(簡稱CTWL判據(jù))為，對于一個(gè)立方體中的系統(tǒng)，設(shè)邊長為L的三維容器內(nèi)，下列條件必須滿足

L>λcoh

(6)

否則，粒子的波動(dòng)性將超出系統(tǒng)之外，不再滿足熱力學(xué)系統(tǒng)的自洽性.注意，盡管這個(gè)判據(jù)針對的線度，但是可以立即轉(zhuǎn)化為體積.線度判據(jù)(6)是本質(zhì)判據(jù).

本文將研究利用CTWL判據(jù)(6)分別研究自由玻色氣體，費(fèi)米氣體和光子氣體中的空間體積問題.

1 自由玻色氣體的CTWL及其空間體積問題

1.1 表觀判據(jù)和Yamamoto判據(jù)

由于臨界溫度以上，自由玻色氣體的行為接近經(jīng)典理想氣體，不是我們感興趣的研究對象.如果系統(tǒng)要發(fā)生BEC，則粒子將主要集中在基態(tài)上，那么溫度必須足夠低，以至于熱運(yùn)動(dòng)能量小于基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)之間的能量差.因此，表觀判據(jù)是[7]

(7)

即

(8)

這個(gè)結(jié)果表面溫度越高，宏觀系統(tǒng)的線度越小，也就是宏觀系統(tǒng)可以小到微觀的程度.這明顯是錯(cuò)誤的.問題何在?Yamamoto認(rèn)為(簡稱Yamamoto判據(jù))[7]，因?yàn)檎_的判據(jù)應(yīng)該是溫度不但要低于臨界溫度，還必須同時(shí)要求

ε1

(9)

其中TC為臨界溫度：

(10)

式(10)的物理意義很清晰：只有玻色子之間的平均距離和每個(gè)玻色子的平均熱波長相若時(shí)，才能發(fā)生BEC.Yamamoto判據(jù)(9)給出的結(jié)果是

(11)

α≡TC/T

(12)

Yamamoto認(rèn)為式(8)錯(cuò)誤的原因是[7]，式(3)其實(shí)是連續(xù)的，不能分割出ε0,ε1,....問題是，在討論BEC的時(shí)候的標(biāo)準(zhǔn)做法是，在計(jì)算自由玻色子按能級的分布的時(shí)候，必須把ε0和能級的其余部分分離出來才能給出正確的結(jié)果.因此，即使Yamamoto判據(jù)(9)是對的，他給出的理由也有些勉強(qiáng).換言之，同時(shí)要求式(9)成立是一種手動(dòng)的結(jié)果，不是物理理論的自然結(jié)果.

1.2 CTWL判據(jù)

當(dāng)溫度低于臨界溫度時(shí)，自由玻色氣體的化學(xué)勢近似為零，這樣，粒子的平均動(dòng)量為

(13)

(14)

因此CTWL(1)為

(15)

這個(gè)長度會(huì)隨溫度的下降而急劇上升.因此，CTWL判據(jù)(6)給出的結(jié)果是

(16)

(17)

這說明溫度越低，需要的系統(tǒng)體積越大，才能觀測到有意義的BEC.

1.3 Yamamoto判據(jù)和CTWL判據(jù)的比較

下面進(jìn)行一點(diǎn)定量的比較.

1)T=TC時(shí).Yamamoto判據(jù)(11)給出的結(jié)果是

(18)

即

N>0.816

(19)

CTWL判據(jù)(17)給出的結(jié)果是

(20)

即

N>(7.38×10-2)3≈4.02×10-4

(21)

這兩個(gè)結(jié)果沒有本質(zhì)差別，都認(rèn)為臨界溫度時(shí)，粒子系統(tǒng)會(huì)出現(xiàn)凝聚.

2)T=TC/10時(shí).Yamamoto(11)給出的結(jié)果是

(22)

即

N>25.8

(23)

CTWL判據(jù)(17)給出的結(jié)果是

L>102×7.38×10-2l

(24)

即

N>(7.38)3≈4.02×102

(25)

這里出現(xiàn)了定量上較大的差別.給定體積，CTWL要求的粒子數(shù)必須大于402，而Yamamoto認(rèn)為粒子的個(gè)數(shù)大于26就可以了，比我們的結(jié)果小了16倍.換言之，二者都認(rèn)為，低溫下熱力學(xué)極限要求的粒子數(shù)會(huì)越來越多，但是我們要求的粒子數(shù)更多.

盡管Yamamoto判據(jù)和我們定量上不一樣，但是他抓住了物理本質(zhì).我們認(rèn)為，CTWL判據(jù)更加物理因而更加合理.而表觀判據(jù)是錯(cuò)誤的.

2 自由費(fèi)米氣體的CTWL及其空間體積問題

考慮到室溫下金屬中的自由電子形成強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體，CTWL(1)可以定義如下

(26)

其中pF為費(fèi)米動(dòng)量，

(27)

式(26)表明粒子之間的CTWL約為晶格常數(shù)的兩倍.這是必須的，否則兩個(gè)晶格之間的粒子的波包無法發(fā)生重疊，就不會(huì)發(fā)生強(qiáng)簡并.同時(shí)，注意到式(27)可以改寫為

lpF=(3π2)1/3?≈3.09 ?≈3.09 ?≈0.49h

(28)

即和量子力學(xué)的不確定性關(guān)系相符.

利用CTWL判據(jù)(6)，立即得

N>2.033=8.38

(29)

認(rèn)為這個(gè)條件自然滿足.也就是，金屬導(dǎo)體樣品無論多么小，其中的自由電子總可以形成強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體.

注意熱波長(2)隨溫度的下降而上升.如果溫度很低，則熱波長(2)完全可能超出樣品本身.這說明溫度較低的時(shí)候，熱波長(2)對于強(qiáng)簡并的費(fèi)米氣體是不適用的.這也是需要引入CTWL判據(jù)的一個(gè)原因.

如果不使用費(fèi)米動(dòng)量而使用較為精確的平均動(dòng)量，結(jié)果沒有定性的改變.在費(fèi)米統(tǒng)計(jì)中，簡單計(jì)算可得粒子的平均動(dòng)量為

(30)

3 光子氣體的CTWL及其空間體積問題

在體積V的空窖中，在頻率ω到ω+dω中的范圍內(nèi)，光子的量子態(tài)數(shù)是[1-5]

(31)

平均光子數(shù)為

(32)

總平均光子數(shù)為

(33)

平均動(dòng)量為

(34)

CTWL(1)為

(35)

這個(gè)結(jié)果和維恩位移定律?ωm/kT=2.822相符.與CTWL相應(yīng)的頻率ωcoh正比于溫度

(36)

CTWL判據(jù)(6)給出

(37)

這說明溫度越低，需要的系統(tǒng)體積越大，才能觀測到平衡輻射.注意到可觀測的宇宙的直徑大約為8.81026m，式(37)給出的最低的溫度大約為10-29K.因此，整個(gè)宇宙為我們提供了非常廣闊的溫度范圍.

必須說明，對光子氣體來說熱波長(2)將是一個(gè)完全不相關(guān)的概念.

4 討論與總結(jié)

對于一個(gè)低溫下真實(shí)的粒子系統(tǒng)來說，存在粒子的平均動(dòng)量，也就存在一個(gè)真實(shí)的CTWL.這個(gè)長度和熱波長的定義類似，但是很不同.有些系統(tǒng)例如光子氣體不能定義熱波長，但是CTWL依然有效.

利用這個(gè)CTWL，可以對熱力學(xué)系統(tǒng)的線度進(jìn)行估算.得到的線度和溫度之間具有不同的冪次關(guān)系.對于有質(zhì)量的玻色子，L～T-2；對于光子氣體，L～T-1；對于室溫附近金屬中的電子，L～T0即和溫度無關(guān).

本文僅僅對于簡單系統(tǒng)的CTWL進(jìn)行了研究，如果是極端相對論性的玻色或者費(fèi)米氣體，有限溫度下的費(fèi)米氣體，或者冷原子氣體，甚至超導(dǎo)體等等，CTWL依然適用.這些將是今后深入研究的問題.