張俊， 李天勻， 朱翔， 陳旭

(1.中國(guó)直升機(jī)設(shè)計(jì)研究所，江西 景德鎮(zhèn) 333000； 2.華中科技大學(xué) 船舶與海洋工程學(xué)院，湖北 武漢 430074； 3.船舶與海洋水動(dòng)力湖北省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖北 武漢 430074； 4.高新船舶與深海開(kāi)發(fā)裝備協(xié)同創(chuàng)新中心，上海 200240)

板殼結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于各種工程領(lǐng)域，該種結(jié)構(gòu)通常非常薄，其剛度、強(qiáng)度可能無(wú)法滿足要求。由于增加板殼厚度會(huì)顯著地增加結(jié)構(gòu)的重量，此種方法并不可取。為了提高板的剛度和強(qiáng)度，加筋結(jié)構(gòu)以其重量輕、剛度大等優(yōu)勢(shì)被廣泛應(yīng)用于工程結(jié)構(gòu)中，于是其振動(dòng)特性也非常值得關(guān)注。目前國(guó)內(nèi)外對(duì)加筋板的振動(dòng)問(wèn)題的研究成果已經(jīng)較為豐富，但是還并不完備，對(duì)于帶有開(kāi)口的加筋板結(jié)構(gòu)及曲線型加筋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性的分析相對(duì)還很少。

已有大量應(yīng)用數(shù)值方法對(duì)加筋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)性能的分析成果，如應(yīng)用有限元法[1]、微分求積法[2]、光滑有限元法[3]、無(wú)網(wǎng)格伽遼金法[4]等。趙芝梅等[5]應(yīng)用ANSYS軟件，對(duì)基于改進(jìn)的子結(jié)構(gòu)線導(dǎo)納方法建立的多點(diǎn)激勵(lì)下加筋板殼耦合結(jié)構(gòu)的振動(dòng)模型進(jìn)行驗(yàn)證。Asokendu等[6]采用有限元法對(duì)加筋殼體的自振特性進(jìn)行分析，提出了一種新的殼單元，具有應(yīng)用范圍更廣，更加靈活的特點(diǎn)。在分析較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)問(wèn)題時(shí)，數(shù)值方法具有較強(qiáng)的優(yōu)勢(shì)，但是解析方法作為一種能夠探求結(jié)構(gòu)內(nèi)部機(jī)理的方法，對(duì)其進(jìn)行研究具有重要的意義。

解析或半解析方法的應(yīng)用甚至更早。王宏偉等[7]應(yīng)用了拉普拉斯變換技術(shù)對(duì)L型加筋板的自由振動(dòng)進(jìn)行研究，同時(shí)考慮了加強(qiáng)筋和板的材料阻尼影響。李凱等[8]基于能量泛函變分的方法，研究了附加多個(gè)集中質(zhì)量縱橫加筋板的自由振動(dòng)特性，引入拉格朗日乘子把板、梁組合振動(dòng)分析問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理一類無(wú)約束泛函變分問(wèn)題。杜菲等[9]基于瑞利李茲法對(duì)四邊固支的加筋板進(jìn)行研究，通過(guò)與實(shí)驗(yàn)及ANSYS結(jié)果進(jìn)行對(duì)比說(shuō)明計(jì)算的準(zhǔn)確性。應(yīng)用解析方法對(duì)加筋結(jié)構(gòu)進(jìn)行分析具有良好的適用性[10-11]，但是以上研究多是對(duì)簡(jiǎn)單矩形板的直線型加筋的分析，對(duì)帶有復(fù)雜開(kāi)口加筋矩形板，開(kāi)口曲線加強(qiáng)筋的分析還較少。

本文應(yīng)用瑞利李茲法對(duì)帶有復(fù)雜開(kāi)口的矩形加筋板結(jié)構(gòu)的自振特性進(jìn)行分析，引入彈簧模型模擬各種復(fù)雜的邊界條件，并對(duì)結(jié)構(gòu)的模態(tài)振型進(jìn)行分析，為實(shí)際的工程問(wèn)題中加筋結(jié)構(gòu)的振動(dòng)性能的分析提供參考。

1 理論分析

本文的研究對(duì)象為帶有開(kāi)口加強(qiáng)筋的加筋矩形板，示意圖如圖1，板面為一矩形板，長(zhǎng)為a，寬為b，中心為一開(kāi)口，板面帶有橫向和縱向的加筋，開(kāi)口處存在加強(qiáng)筋，四周為沿矩形板邊界線性分布的位移約束線彈簧和轉(zhuǎn)角約束線彈簧，用以模擬復(fù)雜的外邊界條件。

圖1 加筋板物理模型Fig.1 Physical model of stiffened thin plate

邊界處存在2種線性分布的彈簧，模擬邊界條件時(shí)改變兩類彈簧剛度的取值。表1給出了幾種邊界條件的彈簧取值。

表1 經(jīng)典邊界條件對(duì)應(yīng)彈簧取值

應(yīng)用瑞利李茲法時(shí)，位移試函數(shù)對(duì)精度影響較大。改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)可以克服邊界處不連續(xù)現(xiàn)象，且不滿足特定的邊界條件，邊界條件只與彈簧的剛度系數(shù)有關(guān)，適用于模擬各種復(fù)雜的邊界條件。本文方法選用改進(jìn)的傅里葉級(jí)數(shù)作為試函數(shù)[12-13]，具體形式為：

(1)

式中：m=1，2，3，…,M；n=1，2，3，…,N。

求解整體的應(yīng)變能、動(dòng)能、彈性勢(shì)能時(shí)，將整個(gè)結(jié)構(gòu)視為開(kāi)口矩形板和加筋的組合，分別求解相關(guān)的能量，最后再進(jìn)行求和。

在計(jì)算開(kāi)口矩形板時(shí)，應(yīng)用瑞利李茲法，首先假設(shè)一個(gè)位移試函數(shù)[14]：

(2)

式中：Amn為傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)；簡(jiǎn)諧時(shí)間因子eiωt表示垂向位移與時(shí)間相關(guān)的項(xiàng)；M、N為截?cái)囗?xiàng)數(shù)；fm(x)、gn(y)為x、y方向的容許梁函數(shù)，其具體表達(dá)式見(jiàn)式(1)。

無(wú)開(kāi)口的矩形板的彎曲應(yīng)變能表示為:

(3)

無(wú)開(kāi)口的矩形板的動(dòng)能為：

(4)

式中ρ為材料的密度。

開(kāi)口部分結(jié)構(gòu)的彎曲應(yīng)變能為：

(5)

式中s為開(kāi)口部分形狀。

開(kāi)口部分動(dòng)能可以表示為：

(6)

儲(chǔ)存在邊界約束彈簧中的彈性勢(shì)能為：

(7)

式中：kx0、ky0、kxb、kyb分別為x=0、y=0、x=a、y=b處的位移約束彈簧的剛度值。Kx0、Ky0、Kxb、Kyb分別為x=0、y=0、x=a、y=b處的轉(zhuǎn)角約束彈簧的剛度值。

計(jì)算筋條的彎曲應(yīng)變能及動(dòng)能時(shí)，選用與矩形板相同的位移試函數(shù)，通過(guò)使筋條的橫向位移與筋條所在位置板的橫向位移相等來(lái)保證筋條與板的位移連續(xù)性，將加筋視為歐拉梁模型。則橫向、縱向加筋筋條的彎曲應(yīng)變能、動(dòng)能分別為：

(8)

式中：E為梁的彈性模量；I為梁的慣性矩；l為梁長(zhǎng)；mbh和mbv分別為橫向加筋和縱向加筋的質(zhì)量密度。

由于加筋的存在，使結(jié)構(gòu)整體的中性軸與光板中面位置相比下移，在計(jì)算梁的慣性矩時(shí)，應(yīng)當(dāng)對(duì)其進(jìn)行修正，修正后的偏心距為[15]:

(9)

式中：S1、S2分別為板、梁橫截面面積；e為梁的中性軸到板中面的距離；e*為梁的中性軸到組合截面中性軸的距離。

在對(duì)曲線加筋進(jìn)行計(jì)算時(shí)，有時(shí)形狀較為不規(guī)則，無(wú)法直接積分求得彎曲應(yīng)變能及動(dòng)能，引入數(shù)值方法對(duì)積分進(jìn)行計(jì)算，在計(jì)算積分時(shí)將梁沿長(zhǎng)度進(jìn)行離散，得到小單元的中心點(diǎn)坐標(biāo)，再利用中點(diǎn)坐標(biāo)得到微段的應(yīng)變能和動(dòng)能，再將所有微段的應(yīng)變能和動(dòng)能求和，得到整體梁的應(yīng)變能和動(dòng)能。

離散后的梁的彎曲應(yīng)變能為[16]：

(10)

離散后的梁的動(dòng)能為：

(11)

式中：n為邊界的法線方向；l為邊界的總長(zhǎng)度。如圖2[16]。

圖2 曲線加筋處偏導(dǎo)數(shù)計(jì)算示意Fig.2 Diagram of partial derivative calculation

式(11)中偏導(dǎo)數(shù)為：

(12)

離散筋條如圖3[16]。

圖3 加筋離散示意Fig.3 Diagram of discrete stiffeners

每個(gè)微段的長(zhǎng)度為[16]：

(13)

于是系統(tǒng)的能量泛函可以表示為：

Π=Vp-Vpo+Vbh+Vbv+Vs-

T+To-Tbh-Tbv

(14)

將式(3)～(8)代入式(14)，并求極值：

(15)

式中Amn是用來(lái)描述薄板彎曲振動(dòng)的未知系數(shù)。于是可以表示為：

(K-ω2M)A=0

(16)

式中：K為彈性勢(shì)能與整體結(jié)構(gòu)應(yīng)變能之和；M為質(zhì)量矩陣；A為未知系數(shù)向量；ω為圓頻率。

2 收斂性分析

2.1 收斂性

截?cái)囗?xiàng)數(shù)M、N對(duì)能否取得較為準(zhǔn)確的結(jié)果影響較大，選取矩形加筋板進(jìn)行收斂性分析，邊界條件為四邊自由，參數(shù)如下：矩形板長(zhǎng)a=10 m，寬b=10 m，厚度h=0.05 m。材料為鋼材：楊氏模量E=2.1×1011Pa，泊松比μ=0.3，密度ρ=7 850 kg/m3。加筋的截面為矩形截面，寬B=0.1 m，高H=0.1 m，加筋位置為橫向加筋y=5處，縱向加筋x=4、6處。

選取自由邊界對(duì)截?cái)囗?xiàng)數(shù)進(jìn)行收斂性分析，與有限元模型進(jìn)行對(duì)比。表2給出加筋板在不同截?cái)囗?xiàng)數(shù)M=N=q時(shí)對(duì)應(yīng)的前6階固有頻率。有限元網(wǎng)格數(shù)為36 860結(jié)果收斂。由表2可知，當(dāng)M=N=12時(shí)，矩形加筋板的固有頻率結(jié)果已經(jīng)收斂，后續(xù)算例中取M=N=12。

表2 截?cái)囗?xiàng)數(shù)收斂性分析Table 2 Convergence analysis of truncated number

2.2 實(shí)例分析

以上述縱橫加筋板為例，計(jì)算固有頻率，與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，計(jì)算兩者相對(duì)誤差。

本文將邊界條件進(jìn)行簡(jiǎn)寫，其中C表示固支；S表示簡(jiǎn)支；F表示自由；E表示彈性邊界。

表3中彈性邊界，y=0邊彈簧剛度系數(shù)為k=105N/m2，K=0 N/rad。

表3 矩形縱橫加筋板固有頻率Table 3 Natural frequencies of stiffened rectangular plates

選取帶有組合形狀開(kāi)口的矩形加筋板，對(duì)其自振特性進(jìn)行分析，計(jì)算固有頻率，得到振型圖，與有限元結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，說(shuō)明分析的準(zhǔn)確性，示意圖如圖1。

模型的主要參數(shù)為長(zhǎng)A=10 m，寬B=10 m，板厚H=0.05 m，中心開(kāi)口半圓半徑為r=1，連接直邊為l=2 m，筋條截面為矩形，寬b1=0.1 m，高h(yuǎn)1=0.1 m，加筋位置為橫向加筋y=5處，縱向加筋x=4，x=6處，開(kāi)口處加強(qiáng)筋寬b2=0.1 m，高h(yuǎn)2=0.1 m。有限元建模如圖4所示，計(jì)算時(shí)對(duì)網(wǎng)格劃分進(jìn)行收斂性分析，當(dāng)網(wǎng)格劃分為4 425時(shí)結(jié)果已收斂。

圖4 加筋板有限元模型Fig.4 Finite element model of stiffened plate

根據(jù)上面的分析，應(yīng)用Matlab編程，選取不同邊界條件對(duì)上述模型進(jìn)行計(jì)算，并與有限元模型結(jié)果對(duì)比，結(jié)果如表4所示。給出四邊固支前六階模態(tài)振型圖的對(duì)比圖如圖5，說(shuō)明方法的準(zhǔn)確性。

表4 不同邊界加筋板的固有頻率結(jié)果對(duì)比 Table 4 Natural frequencies of stiffened plates Hz

表4據(jù)表明，本文方法計(jì)算結(jié)果與有限元仿真分析計(jì)算結(jié)果誤差很小，圖5中2種方法計(jì)算所得模態(tài)振型圖吻合良好。說(shuō)明本方法在計(jì)算帶有開(kāi)口的加筋板自由振動(dòng)的準(zhǔn)確性。

圖5 模態(tài)振型圖對(duì)比Fig.5 Comparison of modal shapes

3 結(jié)論

1)傳統(tǒng)瑞利里茲法結(jié)合整體能量減去開(kāi)口部分能量、彈簧模型模擬邊界條件等方法能夠非常靈活地對(duì)開(kāi)口加筋等振動(dòng)問(wèn)題進(jìn)行計(jì)算。

2)結(jié)合離散的方法能夠非常靈活地實(shí)現(xiàn)對(duì)曲線型加筋的振動(dòng)問(wèn)題的計(jì)算，可以模擬圍壁加強(qiáng)等情況。