張曉倩,劉會利

(河北師范大學 數(shù)學科學學院,河北 石家莊 050024)

隨著金融證券市場的不斷發(fā)展,再裝期權成為很多企業(yè)喜愛的一種新型期權.再裝期權允許其持有者鎖定在再裝日的利潤,消除在到期日可能只能獲得較低收入的風險.Johnson[1]首次給出了布朗運動環(huán)境下再裝期權的定價.羅春玲和王曉勤[2]運用鞅方法給出了股票價格服從分數(shù)布朗運動下再裝期權定價.薛紅和吳江增[3]研究了雙分數(shù)布朗運動下再裝期權保險精算定價模型.Cong-cong XU和Zuo-liang XU[4]使用保險精算的方法估算了跳擴散過程和Hull-White利率下非交易風險資產 的再裝期權價值.最新的有關再裝期權的研究是王佳寧和薛紅[5]他們根據(jù)次分數(shù)相關的隨機分析理論給出了次分數(shù)布朗運動下再裝期權保險精算定價.文獻[6-8]提出了混合分數(shù)布朗運動驅動的市場是完備的且不存在套利機會.混合分數(shù)布朗運動的自相似性以及長程依賴性使它比標準的布朗運動更適合描述金融資產的價格變化行為.所以考慮在混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下再裝期權的定價是十分有必要的.因此國內外的一些學者在混合分數(shù)布朗運動模型下得到了一些新的研究成果.周海艷和江秉華[9]在標的資產價格服從混合分數(shù)布朗運動模型假設下,利用擬鞅定價的方法得到了幾種奇異期權的定價公式.D.Ahmadian和L.V.Ballestra[10]在假設標的股票價格服從混合分數(shù)布朗運動模型的前提下,研究了幾何平均亞式期權定價問題.

事實上,在上面的這些文獻中,對利率的假設是不夠的,在實際生活中,國家經濟發(fā)展情況以及股票市場的波動都會引起利率的波動.所以利率風險對期權價格也存在一定影響.張藍心[11]利用風險中性定價原理給出了分數(shù)布朗運動環(huán)境中隨機利率下的再裝期權定價.受上述文獻的啟發(fā),本文主要在混合分數(shù)布朗運動環(huán)境下,運用鞅方法研究利率隨機的情況下再裝期權的定價公式.

1 預備知識

表示乘積空間.

σBH(t)+εW1(t)

稱為混合分數(shù)布朗運動,其中σ,ε為不同時等于0的常數(shù).

3 隨機利率混合分數(shù)布朗運動模型下再裝期權的定價公式

dS(t)=r(t)S(t)dt+σsS(t)dBH(t)+εsS(t)dW1(t),

(1)

其中σs,εs都是常數(shù),分別表示分數(shù)布朗運動和布朗運動的波動率；r(t)為無風險利率,式(1)的解為

設r(t)服從Vasicek[16]利率模型,即

dr(t)=αr(θ-r(t))dt+εrdW2(t),

(2)

由文獻[17]中的方程(5)可得

其中

再裝期權是在歐式看漲期權的基礎上衍生出來的一種新型期權.在本文中,我們僅考慮再裝一次的情況.它允許期權的持有者在到期日T之前的特定的再裝日T1(0K,則執(zhí)行期權的同時獲得一個數(shù)量為K/S(T1),到期日T不變,執(zhí)行價格為S(T1)的新的歐式看漲期權.若在再裝日期權處于虛值狀態(tài),則不提前執(zhí)行期權.

故再裝期權在再裝日T1所獲得的現(xiàn)金流為

VT1=max(S(T1)-K,0),

(3)

在到期日T所獲得的現(xiàn)金流為

(4)

當T1=T時,再裝期權即為普通的歐式看漲期權.

本文中我們用C(S(t),t),t≤T1表示標的資產為S(t),執(zhí)行價格為K,再裝日為T1,到期日為T的再裝期權在t時刻的價格(t≤T1≤T).由風險中性定價原理可知,C(S(0),0)為再裝期權到到期日T所獲得的所有現(xiàn)金在0時刻的貼現(xiàn)值.根據(jù)方程(3)和(4),可得

(5)

定義遠期測度QT關于Q的Radon-Nikodm導數(shù)為

(6)

則由引理1可得

其中QT(A)表示事件A在QT下的概率.

類似定義遠期測度QT1,使得

為了化簡式(5),我們還需引入兩個新測度.一個是以股票價格S(t)作為計價單位的測度QS.定義它關于Q的Radon-Nikodym導數(shù)為

(7)

則由引理1可得

(8)

則由引理1可得

定理1假設利率是隨機的,再裝期權在0時刻的價格由下式確定

(9)

接下來,我們將利用Girsanov定理和分數(shù)Girsanov定理,分別計算式(9)中各項的值,從而進一步得到下面再裝期權的定價公式.

定理2設股票價格S(t)滿足式(1),隨機利率r(t)滿足(2),則再裝期權在0時刻的價格為

C(S(0),0)=S(0)(N(d1)+N(-d1,d6,-ρ2))-KP(0,T1)(N(d2)-N(d2,d3,ρ1))-KP(0,T)(N(d4,d5,ρ1)+N(-d4,d7,-ρ2)),

其中N(·)表示一維正態(tài)分布隨機變量的累積分布函數(shù),N(·,·,ρ)表示二維正態(tài)分布隨機變量的累積分布函數(shù),ρ是相關系數(shù),

QS(A1)=N(d1),

(10)

(11)

QT=(A1∩A2)=N(d4,d5,ρ1),

(12)

(13)

類似可得出

QT1(A1)=N(d2).

(14)

利用引理2和引理3構造分段函數(shù),取

(15)

綜上,將式(10)-(15)代入定理1中式(9),即可得定理2的結論.

4 數(shù)值實驗

為觀察各參數(shù)對再裝期權價格的影響,我們分別給出了不同參數(shù)下期權價格C(S(0),0)關于標的資產價格S(0)的圖像.上面五幅圖均假設：

r(0)=0.05,αr=0.2,θr=0.05,T1=0.5,T=1.

圖(a)是當σs=0.1,K=110,εs=0.3,εr=0.3時,Hurst參數(shù)H對期權價格的影響.從圖(a)中可以看出,當Hurst參數(shù)為0.7和0.8時,期權價格很接近,但是二者均比H=0.6時的期權價格高.所以,在金融市場進行期權交易中選取合適的Hurst參數(shù)能有效地降低購買期權時的交易成本.

圖(b)是當σs=0.1,εs=0.3,εr=0.3,H=0.6時,執(zhí)行價格K對期權價格的影響.從圖(b)中可以看出K對期權價格的影響是較為明顯的,進而會影響股東和經理人雙方的利益,當股票價格在一定范圍內時,執(zhí)行價格K越大,期權價格反而越低.因此,為實現(xiàn)股東利益的最大化,非常有必要根據(jù)此分析選擇合適的執(zhí)行價格.

圖(c)是當K=110,H=0.6,σs=0.3,εr=0.3時,波動率σs對期權價格的影響.其中較為顯著的一個特點是當σs=0.1時期權價格的變化程度較其它兩者更大.從圖(c)中可以看出,選取合適的σs會降低股票價格波動帶來的風險,具有實際意義.

圖(d)是當K=110,H=0.6,σs=0.1,εr=0.3時,波動率εs對期權價格的影響.在εs=0.3的情況下,在一定范圍內期權價格較其它兩個參數(shù)對應的期權價格較低;將εs=0.1和εs=0.05兩種情況做對比,在一定范圍內εs=0.05對應的期權價格比εs=0.1對應的期權價格高,但由于εs=0.1的曲線增長率更大,使得當標的資產價格越大時,εs=0.1對應的期權價格高于εs=0.05對應的期權價格.

圖(e)是當K=110,H=0.60,σs=0.1,εs=0.3時,波動率εr對期權價格的影響.εr=0.1對應的期權價格比其它兩個參數(shù)的高,在一定程度內其期權價格的變化程度也是最大的.

4 總 結

考慮到利率隨機更加符合金融市場的實際情況,本文假定利率服從Vasicek利率模型,并假設標的資產滿足混合分數(shù)布朗運動過程驅動下的隨機微分方程,其中波動率以及Hurst參數(shù)H均為常數(shù).我們主要運用測度變換的方法,研究了在隨機利率混合分數(shù)布朗運動環(huán)境中再裝期權的定價問題,并對所推導的結果進行了數(shù)值模擬.