鄭 義， 岳建海， 焦 靜， 郭鑫源

(北京交通大學 機械與電子控制工程學院車輛工程系，北京 100044)

滾動軸承是旋轉機械設備中重要部件之一。設備運行時, 磨損、疲勞、腐蝕、過載等原因都可能造成滾動軸承的局部損傷故障[1]。過多的損傷誘因以及惡劣的工作條件導致軸承故障多發(fā)，從而降低生產效益。有效的軸承早期故障診斷方法對于提高機械可靠性，降低財產損失有著極大的幫助。

機械故障診斷的關鍵是提取有效的故障特征信息。然而早期故障產生的微弱沖擊特征信息容易被復雜的背景噪聲淹沒，單一的時域及頻域分析難以提取到故障特征，不適合分析具有非平穩(wěn)性特點的振動信號[2]。Huang等[3]提出的經驗模態(tài)分解(Empirical Mode Decomposition, EMD)方法作為一種有效的時頻分析方法，避免了以往方法基函數(shù)的選取問題。它通過信號在時間尺度上的動態(tài)特性，自適應地將其分解為有限固有模態(tài)函數(shù)(Intrinsic Mode Functions, IMFs)的和，在應用中取得較好的效果[4-5]。但這種遞歸模式分解的方法會導致分解時誤差的不斷傳遞，出現(xiàn)模態(tài)混疊現(xiàn)象。此外還存在著端點效應、虛假分量、缺乏數(shù)學理論基礎等問題，影響特征提取效果。

Dragomiretskiy等[6]提出變分模態(tài)分解(Variational Mode Decomposition, VMD)方法，這種信號分解方法完全不同于EMD方法，它將模態(tài)分量看作具有一定中心頻率的有限帶寬，分解具有較好的稀疏性。相對于EMD方法來說，VMD方法具有數(shù)學理論基礎完備，模態(tài)混疊現(xiàn)象及端點效應較小等優(yōu)點，在近年來得到廣泛應用。文獻[7]將變分模態(tài)分解算法成功應用到轉子故障診斷中；文獻[8]將變分模態(tài)分解結合奇異值分解方法應用到軸承故障診斷中，利用奇異值分解的降噪能力對變分模態(tài)分解后的重構信號進一步降噪處理，增強故障信息。但VMD方法也存在著一個較為關鍵且必須解決的問題，那就是它的分解效果受多個參數(shù)的影響較為嚴重，其中較為關鍵的參數(shù)有模態(tài)數(shù)k和二次懲罰項α。模態(tài)數(shù)k選取的過大過小會造成過分解、欠分解現(xiàn)象；二次懲罰項α主要對模態(tài)分量的帶寬造成影響[9-10]。

為實現(xiàn)VMD方法參數(shù)的自適應選取，提出利用基于種群啟發(fā)的蝗蟲優(yōu)化算法(grasshopper optimization algorithm, GOA)[11]對VMD方法進行優(yōu)化?？紤]到旋轉機械故障沖擊的周期性特征，將對周期沖擊較為敏感的相關峭度[12]指標引入優(yōu)化算法中作為適應度函數(shù)。原始故障信號經優(yōu)化變分模態(tài)分解后得到k個模態(tài)分量，篩選相關峭度最大的模態(tài)分量進行包絡解調分析，提取故障特征。仿真信號和實測信號的驗證表明，該方法能準確提取出強噪聲背景下的軸承故障特征信息。

1 基本原理介紹

1.1 VMD算法

變分模態(tài)分解方法將“模態(tài)”定義為：圍繞著固定中心頻率的、有限帶寬的調幅調頻函數(shù)?；谶@種“模態(tài)”定義，變分模態(tài)分解方法將分解過程轉化為變分問題的構造和求解過程。

1.1.1 變分問題構造

首先假設每個模態(tài)分量是具有一定中心頻率wk的有限帶寬，變分問題就可以表示為尋求k個模態(tài)函數(shù)uk(t)，使得每個模態(tài)的估計帶寬之和最小，約束條件為各模態(tài)分量之和為輸入信號x(t)。

構造過程中，首先通過Hilbert變換得到信號的單邊頻譜；隨后對解析信號與預估中心頻率進行混合，將每個模態(tài)分量的頻譜調制到相應的預估基頻帶；計算平移后信號梯度的L2范數(shù)平方來估計帶寬。整個變分問題的構造過程最終得到的表達式如下

(1)

1.1.2 變分問題的求解

為求解上述變分問題，引入二次懲罰因子α和拉格朗日算子λ(t)，將約束性變分問題變?yōu)榉羌s束性變分問題。其中α可以在高斯噪聲存在的情況下保證信號的重構精度，拉格朗日算子使得約束條件保持嚴格性，擴展的拉格朗日表達式如下

L({uk},{wk},λ)∶=

(2)

隨后利用交替乘子法(ADMM)迭代求解變分問題，模態(tài)分量uk、中心頻率wk、和λk的迭代求解公式為

(3)

(4)

(5)

1.2 蝗蟲優(yōu)化算法

VMD算法相較于EMD及其他分解算法，模態(tài)分量具有較好的稀疏性，混疊現(xiàn)象較小。但VMD算法的分解結果好壞受多個參數(shù)影響，其中模態(tài)數(shù)k及二次懲罰項α影響較大，是學者們關注的焦點。

本文選取用于優(yōu)化VMD參數(shù)的算法是蝗蟲優(yōu)化算法，屬于種群優(yōu)化算法的一種，由Seyedali等提出。GOA優(yōu)化算法通過建立用于模擬蝗蟲覓食種群行為的數(shù)學模型來達到參數(shù)尋優(yōu)的目的。

模擬蝗蟲種群行為的數(shù)學模型為

Xi=Si+Gi+Ai

(6)

式中:Xi代表第i個蝗蟲的位置;Si、Gi和Ai分別代表第i個蝗蟲所受的種群影響、重力作用、及風場平流影響。各自的計算公式如下

(7)

s(r)=fe-r/l-e-r

(8)

式中:|xi-xj|代表第i個蝗蟲和第j個蝗蟲之間的距離，(xi-xj)/dij為單位向量;N代表蝗蟲數(shù)量，及參數(shù)尋優(yōu)中搜索代理的個數(shù);s(r)用于模擬蝗蟲群體中個體之間的影響力(吸引及排斥)。式(8)中，f及l(fā)的大小一般分別選取1.5和0.5。

(9)

(10)

(11)

(12)

由式(11)可以看出，蝗蟲出現(xiàn)的下一個位置與當前位置、目標位置以及其他蝗蟲位置相關，式中的第一部分代表其他蝗蟲所處位置對當前位置的作用力，第二部分表示當前位置趨向目標位置的作用力。參數(shù)c模擬蝗蟲接近食物來源并最終進食時的減速,其變化機制可以保證GOA算法不過快地收斂到目標，避免陷入局部優(yōu)化，并在優(yōu)化的最后一步實現(xiàn)快速收斂。

優(yōu)化算法的另一核心是適應度函數(shù)的構造。本文選取對周期故障沖擊較為敏感的相關峭度系數(shù)作為適應度函數(shù)，相關峭度函數(shù)表達式如下

(13)

式中，當移位數(shù)M和沖擊周期T分別為1、0時，相關峭度表達式等價于峭度表達式。因此，相關峭度與峭度的最大差別在于，峭度系數(shù)對單個沖擊信號更為敏感，而相關峭度系數(shù)在考慮到沖擊周期信息后，對周期性沖擊更為敏感。因此，相關峭度在利用故障特征高峭度指標特點的同時，兼顧了旋轉機械故障的周期性特征，更適用于故障特征提取。

2 方法步驟

本文滾動軸承故障特征提取流程圖如圖1所示。方面步驟如下。

步驟1：參數(shù)初始化。在GOA優(yōu)化算法中，設定模態(tài)數(shù)k的搜索空間為[2,10]，二次懲罰項α的搜索空間為[2 000,10 000]，參數(shù)搜索代理個數(shù)為15，迭代次數(shù)為10。相關峭度中，移位數(shù)M的選取一般不大于8。

步驟2：經GOA優(yōu)化算法最終確定優(yōu)化參數(shù)[K,α],將優(yōu)化后得到的參數(shù)代入VMD算法中，對目標振動信號進行分解，得到K個模態(tài)分量。

步驟3：計算各模態(tài)分量的相關峭度值，選取具有最大相關峭度的模態(tài)分量作為包含故障信息最多的分量，用于之后的故障特征提取。

圖1 軸承故障特征提取流程圖

步驟4：對步驟3中選取的最佳模態(tài)分量進行包絡解調分析，與軸承實際故障特征頻率進行比對，進行故障特征提取。

3 單一故障仿真信號驗證

為驗證本文算法的有效性，使用單一周期沖擊序列，并向其中加入強烈白噪聲來模擬滾動軸承的單點故障[13]，仿真信號如下

(14)

h(t)=exp(-Ct)sin(2πfnt)

(15)

在故障模型中，采樣頻率fs=12 000 Hz，采樣時間t=0.5 s，故障頻率fc=50 Hz，共振頻率fn=2 000 Hz，求和部分為周期脈沖成分，A為均值為1.1，方差為0.5的隨機數(shù)，模擬信號中加入τi來代表滾動體經過故障處因載荷角等因素變化引起的周期波動，正弦指數(shù)衰減函數(shù)h(t)用于模擬系統(tǒng)的脈沖響應，衰減系數(shù)C=200，仿真信號中加入信噪比為-10 dB的高斯白噪聲n(t)。仿真信號時域圖及包絡譜如圖2、圖3所示。由圖2中可以看出，原本周期沖擊信號特征在噪聲加入后被掩蓋，不能觀察到周期特征。包絡譜中也不能發(fā)現(xiàn)故障特征倍頻譜線。利用本文提出的特征提取方案，首先進行優(yōu)化變分模態(tài)分解，適應度值優(yōu)化過程如圖4所示。

經GOA優(yōu)化算法最終確定的k和α的值為[8,7 411]，代入VMD中分解結果如圖5所示。經VMD處理后得到8個模態(tài)分量，此時問題的關鍵在于模態(tài)分量的選擇問題。按照以往EMD及EEMD等分解方法對模態(tài)分量的選擇標準，一般以峭度(Kurtosis, kt)或相關系數(shù)(correlation coefficient, co)作為指示模態(tài)分量中含有故障信息的指標。本文提出以含有周期性參數(shù)的相關峭度作為篩選模態(tài)分量的指標。分別計算各分量的相關峭度指標。為進行對比，同時計算峭度指標及相關系數(shù)指標，并進行歸一化，各指標如圖6所示。

(a) 時域沖擊信號

(b) 加噪聲后時域信號

圖3 仿真信號包絡譜

圖4 適應度值迭代過程

圖6中可以看出，相關峭度和相關系數(shù)指標指向第四模態(tài)分量，峭度指標指向第七模態(tài)分量，分別提取第四和第七模態(tài)分量，進行包絡解調，包絡譜如圖7所示。圖7(a)中，第四模態(tài)分量時域圖中出現(xiàn)明顯的周期沖擊特征，經包絡解調后，包絡譜中出現(xiàn)明顯的前三倍頻特征譜線。第七模態(tài)分量時域圖中并不能明顯觀察到周期沖擊特征，包絡譜中也不能發(fā)現(xiàn)故障特征譜線。結果證明相關峭度指標正確指示出含有較多故障特征信息的模態(tài)分量。

圖6 三種指標對比

(a) 第四模態(tài)分量時域圖

(b) 第四模態(tài)分量包絡譜

(c) 第七模態(tài)分量時域圖

(d) 第七模態(tài)分量包絡譜

進一步對仿真信號進行EMD分解做對比驗證，分解結果如圖8所示。EMD分解得到11個模態(tài)分量和1個殘余分量，利用峭度準則選取峭度較大的第2、3、5模態(tài)分量進行重構，重構信號及包絡譜如圖9所示。從重構信號時域圖中不能發(fā)現(xiàn)明顯的周期沖擊特征，包絡譜中也沒有出現(xiàn)與故障相關的頻率譜線，提取效果遠不如圖7(a)中的方法。

(a) EMD分解重構信號時域圖

(b) EMD分解重構信號包絡譜

4 單一故障實測信號驗證

4.1 外圈故障信號

為進一步驗證提出的故障特征提取方法在應用到實際軸承故障信號時的表現(xiàn)情況，采用美國凱斯西儲大學電氣工程實驗室的滾動軸承數(shù)據(jù)[14-15]。在該實驗中，軸承故障是電火花加工技術布置的單點故障，故障損傷直徑有0.177 8 mm、0.355 6 mm、和0.533 4 mm三種類型，軸承型號為SKF公司的6203-2RS和6205-2RS深溝球軸承。文中選擇其中轉速為1 797 r/min，采樣頻率為12 kHz，試驗臺驅動端軸承的外圈故障數(shù)據(jù)來驗證該文所提方法的有效性。外圈故障特征頻率頻率根據(jù)軸承參數(shù)計算fo=107.4 Hz，轉頻fr=29.95 Hz。選取故障尺寸最小的0.177 8 mm，外圈故障信號時域圖及包絡譜如圖10所示。由圖10(a)可以看出，時域圖中不能發(fā)現(xiàn)明顯的周期沖擊特征，包絡譜圖10(b)中也未能發(fā)現(xiàn)與外圈故障特征頻率吻合的倍頻譜線。利用本文提出的故障特征提取方案，首先進行GOA參數(shù)優(yōu)化，適應度函數(shù)優(yōu)化過程如圖11所示。

(a) 外故障信號時域圖

(b) 外圈故障信號包絡譜

圖11 適應度值迭代過程

GOA優(yōu)化算法最終確定的參數(shù)集合為[6,7 273]，代入VMD中進行模態(tài)分解，分解結果及篩選指標如圖12、13所示。由VMD分解結果及提取的三種篩選指標中可以看出，相關峭度、相關系數(shù)、峭度指標分別指向第2、3、6模態(tài)分量，提取三個模態(tài)分量并進行包絡解調，結果如圖14所示。由各指標對應的分量包絡譜中可以看出，相關峭度指標指向的分量明顯含有較多的故障信息，而具有較大峭度指標及相關系數(shù)指標的模態(tài)分量包絡譜中并沒有發(fā)現(xiàn)明顯的故障特征譜線，對比說明了相關峭度指標在正確篩選含有故障成分的模態(tài)分量的優(yōu)勢，同時也證明了故障特征提取方法的有效性。

圖13 三種指標對比

(a) 相關峭度指標對應的分量包絡譜

(b) 相關系數(shù)對應的分量包絡譜

(c) 峭度系數(shù)對應的分量包絡譜

對比進行EMD處理外圈故障實測信號，經EMD處理后得到12個模態(tài)分量，根據(jù)峭度指標篩選出第2、3、5、7模態(tài)分量進行重構，重構信號的包絡譜如圖15所示。從包絡譜中我們可以看出，EMD處理后重構信號包絡譜中的僅能看出數(shù)條與轉頻相關的倍頻譜線，并不能發(fā)現(xiàn)故障特征，故障提取效果較差。

圖15 重構信號包絡譜

4.2 內圈故障信號

同樣采用凱斯西儲大學數(shù)據(jù)庫中的軸承內圈故障實測數(shù)據(jù)，選取轉速為1 797 r/min,故障尺寸為 0.533 4 mm，計算得內圈故障頻率fi=162.2 Hz，故障信號原始時域波形如圖16(a)所示。為適應于強噪聲背景特征提取的特點，在信號中加入-10 dB的白噪聲，內圈故障時域圖如圖16(b)所示。時域圖中，內圈故障沖擊特征被強烈的噪聲淹沒，看不出周期特征，包絡譜中也完全不能發(fā)現(xiàn)任何內圈故障特征譜線。如圖17所示為內圈故障包絡譜。

(a) 內圈故障信號

(b) 強噪聲加入后信號

圖17 內圈故障包絡譜

根據(jù)GOA優(yōu)化算法搜索得到的適應度值的優(yōu)化過程如圖18所示，并且最終得到的參數(shù)為[7,6 619]，代入變分模態(tài)分解算法進行分解得到7個模態(tài)分量，各模態(tài)分量的時域圖如圖19所示。計算各模態(tài)分量的三種篩選指標如圖20所示。從圖中看出，三種篩選指標中，峭度指標指向第2模態(tài)分量，相關系數(shù)和相關峭度指標指向第5模態(tài)分量。分別提取各模態(tài)分量包絡譜進行對比，包絡譜如圖21所示。

圖18 適應度值迭代過程

圖20 三種篩選指標對比

由包絡譜中可以看出，峭度指標指向的模態(tài)分量包絡譜中并未發(fā)現(xiàn)任何故障信息。與之對比，相關峭度和相關系數(shù)指標指向的模態(tài)分量中明顯發(fā)現(xiàn)內圈故障特征，包絡譜中除發(fā)現(xiàn)轉頻及前兩倍內圈故障特征頻率外，也能明顯觀察到內圈故障頻率譜線兩側的轉頻調制譜線。對比進行EMD方法提取故障特征信息，分解得到11個模態(tài)分量，提取峭度較大的第6、7、8模態(tài)分量進行重構，重構信號的包絡譜如圖22所示。由重構包絡譜可以看出，并未發(fā)現(xiàn)與故障相關的特征譜線，故障特征提取效果不如本文方法。

(a) 峭度指標對應分量包絡譜

(b) 相關峭度、相關系數(shù)指標對應的包絡譜

圖22 重構信號包絡譜

5 復合故障仿真信號驗證

經上述單一故障仿真信號及實測信號的驗證，優(yōu)化變分模態(tài)分解算法合理且在故障特征提取中有著較為明顯的效果。另外，工程實際生產中也同樣存在著復合故障現(xiàn)象且為目前學者研究的熱點問題。為拓寬論文方法的應用范圍，同時進一步加深驗證方案的有效性，采用軸承內圈和外圈的復合故障仿真信號對論文方案進行驗證。

在復合故障仿真信號中，外圈故障信號采用與第3節(jié)相同的模型，內圈故障信號的數(shù)學模型如下

(16)

h1(t)=exp(-C1t)cos(2πfnit)

(17)

A1=Asin(2πfrt)

(18)

在內圈故障仿真信號模型中，采樣頻率fs=12 000 Hz，采樣時間t=0.5 s，故障頻率fci=115 Hz，共振頻率fni=3 500 Hz，衰減系數(shù)C1=1 100，轉頻fr=50 Hz；外圈故障仿真信號模型中，故障頻率fco=65 Hz，共振頻率fno=2 500 Hz，衰減系數(shù)C=900。最后在復合故障信號中加入信噪比為-10 dB的白噪聲，內外圈故障仿真信號以及加入強烈噪聲的復合故障信號時域圖如圖23所示。由圖23(c)看出，在加入噪聲后，內外圈周期沖擊特征被完全淹沒。從圖24的復合故障信號包絡譜中看出，內外圈故障特征頻率除受到強烈噪聲干擾，除能勉強觀察到個別特征譜線外，內外圈故障特征頻率及多倍頻成分互相混雜在一起，難以對滾動軸承復合故障進行清晰且有效的診斷。

(a) 外圈故障仿真信號

(b) 內圈故障仿真信號

(c) 加入-10 dB噪聲的復合故障信號

圖24 復合故障信號包絡譜

利用文章提出的優(yōu)化變分模態(tài)分解方法進行內外圈復合故障特征提取。對于復合故障信號中的內圈故障，經GOA優(yōu)化算法確定的VMD參數(shù)為[5,3 462]，代入VMD算法中分解得到5個模態(tài)分量，計算相關峭度指標后指向第四模態(tài)分量，提取第四模態(tài)分量進行包絡解調分析，結果如圖25所示。由圖25(a)中已經可以看出明顯的周期沖擊成分，圖25(b)包絡譜中更是發(fā)現(xiàn)了一階轉頻，前三階內圈故障特征頻率，并且可以明顯看出受轉頻調制的邊頻帶，內圈故障提取效果明顯。

(a) 第四模態(tài)分量時域圖

(b) 第四模態(tài)分量包絡譜

對于復合故障中的外圈故障，經GOA算法確定的VMD參數(shù)為[8,6 792]，代入VMD算法中進行分解得到8個模態(tài)分量，計算各模態(tài)分量相關峭度指標后指向第五模態(tài)分量，提取第五模態(tài)分量進行包絡解調分析，結果如圖26所示。

(a) 第五模態(tài)分量時域圖

(b) 第五模態(tài)分量包絡譜

由圖26可知，時域圖中出現(xiàn)明顯的周期沖擊特征，包絡譜中出現(xiàn)前四階的外圈故障特征頻率，算法對外圈故障的提取效果同樣明顯。

6 結 論

(1) 滾動軸承故障的早期階段，故障沖擊信號微弱，容易淹沒在較強的背景噪聲中。相關峭度指標優(yōu)化變分模態(tài)分解的方法解決了變分模態(tài)分解在參數(shù)選取上存在的問題，能夠較好地將隱藏在強噪聲中的故障信息分離出來。

(2) 提取故障特征的關鍵之一在于能找到對故障特征敏感有效的指標。在篩選含有較豐富故障特征的模態(tài)分量中，由于相關峭度指標對周期沖擊特征更有針對性，因此更適合作為模態(tài)分量篩選指標。

(3) 利用單一故障仿真信號、單一故障內外圈實測信號以及內外圈復合故障仿真信號對論文方案進行驗證。分析結果表明，基于相關峭度優(yōu)化變分模態(tài)分解的滾動軸承故障特征提取方法在強噪聲背景下特征提取中具有較為明顯的優(yōu)勢。