鮮永菊， 扶坤榮， 徐昌彪,2

(1.重慶郵電大學(xué) 通信與信息工程學(xué)院，重慶 400065； 2.重慶郵電大學(xué) 光電工程學(xué)院，重慶 400065)

混沌是非線性系統(tǒng)所特有的一種現(xiàn)象，表現(xiàn)出豐富的動力學(xué)行為，在信息、生物、經(jīng)濟等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用前景，近年來已成為人們研究的熱點[1-5]。

混沌系統(tǒng)中的多穩(wěn)態(tài)是指系統(tǒng)在給定參數(shù)下存在兩個或多個吸引子共存，反映了系統(tǒng)的狀態(tài)多樣性[6-8]?；煦缦到y(tǒng)中的多翼即為吸引子具有兩個或多個翅膀，體現(xiàn)了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)多樣性[9-11]。顯然，存在多翼吸引子的多穩(wěn)態(tài)混沌系統(tǒng)表現(xiàn)出更加復(fù)雜的動力學(xué)行為，具有更為重要的理論研究意義和工程應(yīng)用價值[12-15]。譬如，把這種系統(tǒng)應(yīng)用于信息加密時，密鑰的選取可以基于多穩(wěn)態(tài)下的不同吸引子，也可以基于不同參數(shù)取值下的不同吸引子或者多翼吸引子中的不同翅膀，從而使系統(tǒng)獲得更好的保密性能[16]。

目前，只有少量文獻(xiàn)報道了具有多翼吸引子的四維多穩(wěn)態(tài)混沌系統(tǒng)。Lai等[17]通過引入Signum函數(shù)，構(gòu)造了一個具有至少7種吸引子共存類型(不同運動狀態(tài)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的吸引子共存視為不同類型)的四維混沌系統(tǒng)。隨著參數(shù)的變化，四翼混沌吸引子可分解為兩個共存的雙翼混沌吸引子。Zhang等[18]提出了一個具有至少10種吸引子共存類型的四維混沌系統(tǒng)。隨著參數(shù)的變化，此系統(tǒng)可以產(chǎn)生從單翼到四翼的混沌吸引子。

本文構(gòu)造了一個只有1個平衡點的四維超混沌系統(tǒng)，此系統(tǒng)具有至少12種吸引子共存類型。在多組參數(shù)值下，系統(tǒng)均存在不同類型的吸引子共存，譬如：兩個周期吸引共存，周期與擬周期吸引子共存，雙翼混沌與超混沌吸引子共存，兩個雙翼混沌吸引子共存，雙翼與四翼混沌吸引子共存，兩個雙翼超混沌吸引子共存，兩個雙翼擬周期吸引子共存，兩個雙翼超混沌、四翼混沌、四翼超混沌等四個吸引子共存。特別地，在給定參數(shù)值下，四翼超混沌吸引子可分解為兩個共存的雙翼超混沌吸引子。

1 系統(tǒng)模型與基本特性分析

1.1 系統(tǒng)模型

系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型如式(1)所示。其中，x，y，z，w為系統(tǒng)狀態(tài)變量，a，b，c，d為系統(tǒng)參數(shù)。取a=6，b=4，c=8，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，系統(tǒng)存在一個典型的四翼蝶形超混沌吸引子，如圖1所示。此時系統(tǒng)的四個Lyapunov指數(shù)(LE)為1.657，0.117，0，-37.324。顯然，系統(tǒng)有兩個正的Lyapunov指數(shù)，表明其為一個超混沌系統(tǒng)。Lyapunov維數(shù)DL=3+(LE1+LE2+LE3)/|LE4|=3.048，即為分?jǐn)?shù)維，從而驗證了系統(tǒng)是分形的。

(a) x-y

(b) x-z

(c) x-w

(d) y-z

(1)

1.2 平衡點及其穩(wěn)定性

令非線性方程(1)的左邊等于0，即

(2)

求解方程可得唯一平衡點，即S0=(0,0,0,0)。在平衡點處線性化系統(tǒng)，得其Jacobi矩陣為

(3)

令det(λI-J)=0，得到多項式

f(λ)=λ4+(a-c)λ3+(-ac+d)λ2+adλ

(4)

1.3 時域波形圖和Poincaré截面

取a=6，b=4，c=8，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，采用四階龍格-庫塔算法對式(1)進行求解，可得x的時序圖，如圖2所示。顯然，系統(tǒng)作非周期運動。z=0上的Poincaré截面如圖3所示?？梢钥闯?，Poincaré截面上形成了具有分形結(jié)構(gòu)的密集點，表明了圖1所示的四翼超混沌吸引子的存在。

圖2 狀態(tài)變量x的時序圖

圖3 z=0上系統(tǒng)的Poincaré截面

1.4 Lyapunov指數(shù)

取b=4，c=8，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，Lyapunov指數(shù)和x隨a變化的分岔圖分別如圖4(a)和圖5(a)所示?？芍琣由0增加到10時，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程為：周期→擬周期→混沌→超混沌→混沌。

取a=6，c=8，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，Lyapunov指數(shù)和x隨b變化的分岔圖分別如圖4(b)和圖5(b)所示?？芍琤由0增加到20時，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程為：混沌→超混沌→混沌→擬周期→周期。

取a=6，b=4，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，Lyapunov指數(shù)和y隨c變化的分岔圖分別如圖4(c)和圖5(c)所示?？芍?，c由0增加到30時，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程為：周期→擬周期→混沌→超混沌→混沌。

(a) 參數(shù)a變化

(b) 參數(shù)b變化

(c) 參數(shù)c變化

(d) 參數(shù)d變化

(a) 參數(shù)a變化

(b) 參數(shù)b變化

(c) 參數(shù)c變化

(d) 參數(shù)d變化

取a=6，b=4，c=8，初始值為[1,2,3,4]時，Lyapunov指數(shù)和x隨d變化的分岔圖分別如圖4(d)和圖5(d)所示。可知，d由0增加到30時，系統(tǒng)運動狀態(tài)變化過程為：混沌→超混沌→混沌。

2 多穩(wěn)態(tài)特性和多翼拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

2.1 多穩(wěn)態(tài)特性

情形1：參數(shù)a變化

取a∈[0,5]，b=4，c=8，d=2，初始值為[1,±2,3,4]時，x隨a變化的分岔圖如圖6(a)所示?？芍?，隨著a的變化，系統(tǒng)存在多種類型的吸引子共存：當(dāng)a=2時，兩個周期吸引子共存；當(dāng)a=2.9時，擬周期和周期吸引子共存；當(dāng)a=3.2時，兩個混沌吸引子共存。Lyapunov指數(shù)如表1所示，x-y平面相圖如圖7(a)～圖7(c)所示，表明當(dāng)a∈[0,5]時系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性由x來體現(xiàn)。

(a) a∈[0,5]

(b) a∈[8.8,10]

(a) a=2

(b) a=2.9

(c) a=3.2

(e) a=8.9

取a∈[8.8,10]，b=4，c=8，d=2，初始值為[1,2,±3,4]時，z隨a變化的分岔圖如圖6(b)所示?？芍?，隨著a的變化，系統(tǒng)存在多種類型的吸引子共存：當(dāng)a=10時，兩個雙翼混沌吸引子共存；當(dāng)a=8.9時，雙翼混沌和四翼混沌吸引子共存。Lyapunov指數(shù)如表1所示，共存吸引子如圖7(d)～圖7(e)所示，表明當(dāng)a∈[8.8,10]時系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性由z來體現(xiàn)。

情形2：參數(shù)b變化

取b∈[9,18]，a=6，c=8，d=2，初始值為[±1,2,3,4]時，x隨b變化的分岔圖如圖8(a)所示。可知，隨著b的變化，系統(tǒng)存在多種類型的吸引子共存：當(dāng)b=9.9時，兩個超混沌吸引子共存；當(dāng)b=14時，兩個擬周期吸引子共存；當(dāng)b=18時，兩個周期吸引子共存。Lyapunov指數(shù)如表1所示，x-y平面相圖如圖8(b)～圖8(d)所示，表明當(dāng)b∈[9,18]時系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性由x來體現(xiàn)。

(a) 分岔圖

(b) b=9.9的共存吸引子

(c) b=14的共存吸引子

(d) b=18的共存吸引子

情形3：參數(shù)c變化

取c∈[0,4]，a=6，b=4，d=2，初始值為[1,±2,3,4]時，y隨c變化的分岔圖如圖9(a)所示。可知，隨著c的變化，系統(tǒng)存在多種類型的吸引子共存：當(dāng)c=0.4時，兩個周期吸引子共存；當(dāng)c=1.25時，兩個擬周期吸引子共存；當(dāng)c=2時，兩個混沌吸引子共存。Lyapunov指數(shù)如表1所示，y-z平面相圖如圖9(b)～圖9(d)所示，表明當(dāng)c∈[0,4]時系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性由y來體現(xiàn)。

情形4：參數(shù)a=6，b=4，d=2，c=21

取a=6，b=4，c=21，d=2，初始值為[±1,2,3,4]、[1,-2,3,4]和[-1,2,-3,4]，有2個孤立的雙翼超混沌吸引子、1個四翼蝶形超混沌吸引子和1個四翼蝶形混沌吸引子共存。Lyapunov指數(shù)如表1所示，相圖和時序圖分別如圖10(a)～圖10(c)所示，表明了共存吸引子的存在，且系統(tǒng)的多穩(wěn)態(tài)特性由x來體現(xiàn)。

(a) 分岔圖

(b) c=0.4的共存吸引子

(c) c=1.25的共存吸引子

(d) c=2的共存吸引子

(a) [1,2,3,4]和[-1,2,-3,4]

(b) [-1,2,3,4]

(c) [1,-2,3,4]

2.2 多翼拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

情形1：相同參數(shù)取值，不同初始值下的多翼變化

如圖10(a)～圖10(c)所示，在同一組參數(shù)取值下，取不同的初始值時，系統(tǒng)的四翼蝶形超混沌吸引子可以分解為兩個孤立的雙翼超混沌吸引子，也可以演變?yōu)橐粋€四翼蝶形混沌吸引子。

表1 不同參數(shù)和初始值下的共存吸引子

情形2：相同初始值，不同參數(shù)取值下的多翼變化

初始值取[1,2,3,4]，固定a=6，c=8，d=2，b的取值由10.1→8→6→1.45時，系統(tǒng)行為的演變過程為：雙翼混沌吸引子→雙翼超混沌吸引子→四翼蝶形超混沌吸引子→四翼蝶形混沌吸引子。相圖如圖11(a)～圖11(d)所示，Lyapunov指數(shù)如表2所示?？芍?，在初始值相同時，取不同的參數(shù)值，系統(tǒng)出現(xiàn)處于不同運動狀態(tài)的雙翼吸引子和四翼蝶形吸引子。

(a) b=10.1 (b) b=8 (c) b=6 (d) b=1.45

表2 不同參數(shù)下的吸引子拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

3 系統(tǒng)的電路仿真

3.1 模擬電路仿真

利用Multisim電路仿真軟件，采用線性電阻、電容、LM2924N運算放大器、AD633模擬乘法器，實現(xiàn)混沌系統(tǒng)的電路設(shè)計與模擬。根據(jù)系統(tǒng)的動力學(xué)方程，設(shè)計電路原理圖如圖12所示，其中乘法器的輸出增益為0.1。改變不同電容和電阻的值，以實現(xiàn)耗散超混沌系統(tǒng)電路的模擬。根據(jù)電路原理圖以及電路理論，得自激振蕩電路方程如式(5)所示。其中R1～R15為線性電阻，C1～C4為電容。取電容C1=C2=C3=C4=1 μF，電阻R7=R8=R11=R12=R14=R15=1 kΩ。

(5)

當(dāng)a=6，b=4，c=8，d=2時，對比式(1)和式(5)，可以得到電阻值如式(6)。根據(jù)初始值[1,2,3,4]，可得Vx=1，Vy=2，Vz=3，Vw=4。仿真結(jié)果如圖13所示，表明模擬電路仿真結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果一致。

(6)

圖12 電路原理圖

(a) x-y

(b) x-z

(c) x-w

(d) y-z

3.2 數(shù)字電路仿真

由于模擬器件的性能容易受到環(huán)境溫度、濕度以及器件老化的影響，故模擬電路實現(xiàn)混沌系統(tǒng)會嚴(yán)重影響系統(tǒng)的動力學(xué)特性，限制了模擬混沌電路在工程中的應(yīng)用。采用FPGA數(shù)字電路技術(shù)實現(xiàn)混沌系統(tǒng)可以很好地避免這些問題，保證了混沌吸引子的穩(wěn)定可靠。由于系統(tǒng)是一個連續(xù)時間系統(tǒng)，F(xiàn)PGA無法直接處理，本文采用Euler算法將系統(tǒng)(1)離散化，得到的差分方程為

(7)

式中:a=6，b=4，c=8，d=2;迭代步長Δt=0.001。

Xilinx RTL原理圖如圖14所示，F(xiàn)PGA硬件及其實驗效果如圖15所示。當(dāng)初始值為[1,2,3,4]時，由示波器隨機捕獲的系統(tǒng)相位圖如圖16所示?？芍瑪?shù)字電路仿真結(jié)果與模擬電路仿真以及數(shù)值仿真結(jié)果一致。

圖14 Xilinx RTL原理圖

圖15 FPGA硬件及其實驗效果

(a) x-y

(b) x-z

(c) x-w

(d) y-z

4 系統(tǒng)復(fù)雜度分析及超混沌序列的隨機性測試

4.1 系統(tǒng)復(fù)雜度分析

復(fù)雜度測度是描述混沌系統(tǒng)復(fù)雜行為的一種重要方法?；煦缦到y(tǒng)的復(fù)雜度是指采用相關(guān)算法衡量混沌序列接近隨機序列的程度。復(fù)雜度值越大，序列越接近隨機序列[19]。

混沌序列的復(fù)雜度分為行為復(fù)雜度和結(jié)構(gòu)復(fù)雜度，前者測量短時間窗口內(nèi)序列產(chǎn)生新模式的概率大小，后者通過變換域內(nèi)的頻率特性和能量譜特性來分析序列的復(fù)雜程度。與行為復(fù)雜性相比，結(jié)構(gòu)復(fù)雜性具有全局統(tǒng)計意義，因為其針對的是序列的全部而不是局部。目前評價結(jié)構(gòu)復(fù)雜度的算法主要有譜熵(SE)算法和C0算法。

以a和b為變量，初始值為[1,2,3,4]時系統(tǒng)隨參數(shù)變化的譜熵(SE)復(fù)雜度和C0復(fù)雜度分別如圖17和圖18所示。

(a) 參數(shù)a

(b) 參數(shù)b

(1) 參數(shù)a變化，b=4，c=8，d=2時，系統(tǒng)運動狀態(tài)從周期變到擬周期，SE和C0較?。粡臄M周期向混沌、超混沌狀態(tài)轉(zhuǎn)變時，SE和C0逐漸增加到最高值；維持超混沌狀態(tài)時，SE和C0在最高值附近波動；最終系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，SE和C0減小至較高值。

(a) 參數(shù)a

(b) 參數(shù)b

(2) 參數(shù)b變化，a=6，c=8，d=2時，系統(tǒng)運動狀態(tài)從混沌變到超混沌狀態(tài)時，SE和C0由較高值上升到最高值；從超混沌變到混沌狀態(tài)時，SE和C0逐漸減小至較高值；從混沌逐漸變到擬周期、周期狀態(tài)時，SE和C0進一步減小，最終維持在一個較低值。

4.2 超混沌序列的隨機性測試

取a=6，b=4，c=8，d=2，初始值為[1,2,3,4]時，采用四階龍格-庫塔法求解系統(tǒng)得到超混沌序列。利用美國國家標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)研究所(NIST)的SP800-22 Revla的15種測試方法[20]檢驗此超混沌序列的隨機特性(P-value≥0.01表示測試的比特序列是隨機的，否則認(rèn)為序列是非隨機的)，測試結(jié)果如表3所示?？芍?，超混沌序列通過了15項隨機測試。

表3 基于SP800-22 Revla的15項測試結(jié)果

5 結(jié) 論

本文構(gòu)建了一個新型的四維超混沌系統(tǒng)，數(shù)值分析了系統(tǒng)的基本動力學(xué)特性，仿真了系統(tǒng)的模擬電路和數(shù)字電路，探討了系統(tǒng)的動態(tài)復(fù)雜度，測試了系統(tǒng)超混沌序列的隨機性，得出如結(jié)論：

(1) 系統(tǒng)只有一個平衡點，且為不穩(wěn)定平衡點。

(2) 系統(tǒng)表現(xiàn)出豐富的多穩(wěn)態(tài)特性，即在多組參數(shù)值下，系統(tǒng)均存在不同類型的吸引子共存，譬如：兩個周期吸引共存，周期與擬周期吸引子共存，雙翼混沌與超混沌吸引子共存，兩個雙翼混沌吸引子共存，雙翼與四翼混沌吸引子共存，兩個雙翼超混沌吸引子共存，兩個雙翼擬周期吸引子共存，兩個雙翼超混沌、四翼混沌、四翼超混沌等四個吸引子共存。

(3) 在給定參數(shù)值下，四翼超混沌吸引子可分解為兩個共存的雙翼超混沌吸引子。

(4) 數(shù)字電路和模擬電路的仿真結(jié)果均與數(shù)值分析結(jié)果一致，表明了系統(tǒng)的可實現(xiàn)性。

(5) 在混沌和超混沌狀態(tài)下系統(tǒng)復(fù)雜度高，且超混沌序列通過了SP800-22 Revla的15項隨機測試。