王燕鋒，李祖欣，杜樹新

(湖州師范學(xué)院 工學(xué)院，浙江 湖州 313000)

在國內(nèi)現(xiàn)有的教育體制中，碩士研究生學(xué)位分為專業(yè)型和學(xué)術(shù)型.學(xué)術(shù)型研究生主要以理論研究為主；專業(yè)型研究生主要以綜合應(yīng)用知識(shí)的能力為目標(biāo)，旨在培養(yǎng)適應(yīng)實(shí)際工程崗位的應(yīng)用型高層次人才[1-2].現(xiàn)代控制理論是自動(dòng)化類專業(yè)型碩士研究生重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是學(xué)習(xí)最優(yōu)控制理論、魯棒控制理論、非線性系統(tǒng)理論等其他專業(yè)課程的基礎(chǔ)，在專業(yè)教學(xué)中具有十分重要的地位[3-4].現(xiàn)代控制理論是用以高等數(shù)學(xué)、常微分方程及矩陣分析為基礎(chǔ)的狀態(tài)空間分析方法，對(duì)系統(tǒng)的行為進(jìn)行分析，涉及系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的建立、系統(tǒng)分析和控制器設(shè)計(jì)等理論，其特點(diǎn)是概念抽象、理論性強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)功底要求較高，這使得很多學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中感到課程內(nèi)容晦澀難懂，不易理解和掌握.如何對(duì)現(xiàn)代控制理論課程教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行改革，使專業(yè)型碩士研究生能夠?qū)⒗碚撆c實(shí)踐很好地結(jié)合起來，為后續(xù)專業(yè)課程學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)，是一項(xiàng)急迫的課題.Matlab是由Mathworks公司開發(fā)的計(jì)算軟件，主要用于數(shù)據(jù)分析、算法開發(fā)和數(shù)值計(jì)算等.本文結(jié)合Matlab相關(guān)內(nèi)容，對(duì)現(xiàn)代控制理論課程內(nèi)容改革及課程拓展進(jìn)行討論.

1 教學(xué)內(nèi)容改革

設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容時(shí)，教師應(yīng)充分考慮學(xué)生的專業(yè)背景，將晦澀難懂的課程內(nèi)容通過實(shí)際應(yīng)用案例展現(xiàn)給學(xué)生，這樣不僅能體現(xiàn)課程的實(shí)用性和重要性，還能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.同時(shí)可將Matlab軟件引入課程教學(xué)，加強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識(shí)，使課程知識(shí)與工程案例更加有機(jī)地結(jié)合起來.針對(duì)現(xiàn)代控制理論課程建立起與之相適應(yīng)的多維立體化教學(xué)體系，這對(duì)提高教學(xué)效果有著積極的實(shí)際意義.

1.1 系統(tǒng)建模

建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)，也是現(xiàn)代控制理論課程的重要組成部分.現(xiàn)代控制理論用狀態(tài)變量來刻畫控制系統(tǒng)的內(nèi)部特征，用微分方程組來描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性.狀態(tài)空間模型能夠描述系統(tǒng)輸入、輸出與內(nèi)部狀態(tài)之間的關(guān)系，揭示系統(tǒng)內(nèi)部狀態(tài)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn).線性時(shí)不變系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型具有如下形式：

(1)

其中：x(t)∈Rn為系統(tǒng)的狀態(tài)向量；u(t)∈Rp為系統(tǒng)的控制輸入向量；y(t)∈Rq為系統(tǒng)的輸出向量；A、B、C、D為適當(dāng)維數(shù)的定常矩陣.

為引入和幫助學(xué)生建立狀態(tài)空間方法的概念，本文選取RLC電路、阻尼系統(tǒng)等典型控制系統(tǒng)進(jìn)行系統(tǒng)建模的介紹.

對(duì)如圖1所示的RLC電路，由基爾霍夫電壓定律和基爾霍夫電流定律可得：

(2)

(3)

由此導(dǎo)入和詳細(xì)介紹系統(tǒng)狀態(tài)、狀態(tài)方程、輸出方程和狀態(tài)空間的概念.講授完基本的理論和概念后，再介紹Matlab相關(guān)的內(nèi)容，如狀態(tài)空間表達(dá)式函數(shù)G=(A,B,C,D)；傳遞函數(shù)命令G=tf(num,den)；模型轉(zhuǎn)換命令G=tf(num,den)，G1=ss(G)；線性定常系統(tǒng)狀態(tài)求解命令vsolve1(A,B,ut)；連續(xù)系統(tǒng)離散化命令sysd=c2d(sys,Ts)等.將理論問題轉(zhuǎn)換為Matlab的求解問題，逐步培養(yǎng)學(xué)生用Matlab求解問題的能力.

1.2 控制系統(tǒng)的能控性與能觀性

對(duì)系統(tǒng)(1)和指定初始時(shí)刻t0，如果存在一個(gè)時(shí)刻t1>t0，以及一個(gè)無約束容許控制輸入u(t)，使得系統(tǒng)狀態(tài)由x(t0)轉(zhuǎn)移到0，那么稱該非零狀態(tài)x(t0)為能控的，若所有狀態(tài)均為能控的，那么系統(tǒng)(1)為可控的.如果在有限時(shí)間區(qū)間[t0,t1]內(nèi)，通過觀測(cè)y(t)能夠唯一確定系統(tǒng)的初始狀態(tài)x(t0)，那么稱系統(tǒng)狀態(tài)在t0為能觀的，若對(duì)任意的初始狀態(tài)為能觀的，那么系統(tǒng)(1)為可觀的.在教學(xué)過程中，對(duì)能控性的講授主要從概念入手，很難給學(xué)生一個(gè)直觀的、形象的展示.事實(shí)上讓學(xué)生更加容易理解和接受的定義為：在有限時(shí)間內(nèi)，控制輸入能否讓系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橐蟮臓顟B(tài)，就為系統(tǒng)的能控性問題；在有限時(shí)間內(nèi)能否通過系統(tǒng)輸出的測(cè)量來估計(jì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)，就為系統(tǒng)的能觀性問題.

利用Matlab的ctrb(A,B)和obsv(A,C)函數(shù)，可以得到系統(tǒng)的能控性和能觀性矩陣，進(jìn)而判斷系統(tǒng)的能控性和能觀性.

1.3 穩(wěn)定性判據(jù)

穩(wěn)定性的定義及穩(wěn)定性判據(jù)是現(xiàn)代控制理論的一個(gè)重點(diǎn)，也是難點(diǎn).穩(wěn)定性判據(jù)主要分為李雅普諾夫第一方法和李雅普諾夫第二方法.李雅普諾夫第一方法為：對(duì)于線性定常系統(tǒng)，平衡狀態(tài)xe=0漸近穩(wěn)定的充要條件是系統(tǒng)矩陣A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部.李雅普諾夫第二方法又稱作直接法，它的基本思路不是通過求解系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，而是借助李雅普諾夫函數(shù)，以及根據(jù)系統(tǒng)狀態(tài)方程所計(jì)算得到的李雅普諾夫函數(shù)導(dǎo)數(shù)或差分來直接判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性.李雅普諾夫第二方法不但是系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的重要方法，而且是控制系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)的主流方法.在講授這部分內(nèi)容時(shí)，教師可以將基于線性矩陣不等式(linear matrix inequality, LMI)系統(tǒng)鎮(zhèn)定方法與Matlab LMI工具箱的使用方法結(jié)合起來介紹.通過實(shí)例將李雅普諾夫第二方法、LMI技術(shù)和系統(tǒng)鎮(zhèn)定等知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行綜合.

考慮如下離散控制系統(tǒng)：

x(k+1)=Ax(k)+Bu(k),

(4)

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使得閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定.

設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的方法有多種，如教材里介紹的極點(diǎn)配置方法.為更好地培養(yǎng)學(xué)生的科研能力，教師可以結(jié)合LMI技術(shù)講授控制器設(shè)計(jì)的方法.將狀態(tài)反饋控制律u(k)=Kx(k)代入系統(tǒng)(4)，可得閉環(huán)系統(tǒng)為：

x(k+1)=(A+BK)x(k).

(5)

構(gòu)造如下的李雅普諾夫函數(shù)：

V(k)=xT(k)Px(k),

(6)

其中，P為正定矩陣.

由式(5)和式(6)得：

ΔV(k)=xT(k)[(A+BK)TP(A+BK)-P]x(k).

(7)

由李雅普諾夫穩(wěn)定性理論可知，若

(A+BK)TP(A+BK)-P<0

(8)

成立，那么閉環(huán)系統(tǒng)(5)是漸近穩(wěn)定的.

由Schur補(bǔ)引理可得，式(8)等價(jià)于：

(9)

進(jìn)一步式(9)等價(jià)于

(10)

令P-1=S及KP-1=Y可得：

(11)

那么控制器增益矩陣K=YS-1.顯然式(11)是嚴(yán)格的LMI，可以使用Matlab LMI 工具箱進(jìn)行求解.

1.4 狀態(tài)觀測(cè)器設(shè)計(jì)

實(shí)際工程中能測(cè)量的信號(hào)是系統(tǒng)的輸出，而不一定是系統(tǒng)的狀態(tài)，且系統(tǒng)的狀態(tài)不一定是物理量，因此不是所有的狀態(tài)變量都可以測(cè)量得到的.當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)不能全部得到時(shí)，就無法利用狀態(tài)進(jìn)行反饋控制.狀態(tài)觀測(cè)器解決了系統(tǒng)狀態(tài)不可測(cè)的問題.狀態(tài)觀測(cè)器的基本原理是利用容易測(cè)量的系統(tǒng)控制輸入和輸出,從而對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行估計(jì).

狀態(tài)觀測(cè)的狀態(tài)方程具有如下形式：

(12)

為對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行有效估計(jì)，要求

(13)

定義狀態(tài)估計(jì)誤差:

由式(12)和式(1)可得：

(14)

矩陣A-LC的極點(diǎn)決定狀態(tài)估計(jì)誤差e(t)的衰減速度.為使?fàn)顟B(tài)估計(jì)誤差衰減到零，需要選擇合適的矩陣L，使矩陣A-LC的特征值全部在左復(fù)平面.

應(yīng)用Matlab命令可以直接得到觀測(cè)器的增益矩陣：

L=[place(A′,C′,V)]′，

其中，V為A-LC極點(diǎn)所組成的向量.

考慮如圖2的角度位置跟蹤系統(tǒng)，圖中φr為天線的角度位置；φ為移動(dòng)物體的角度位置.該系統(tǒng)的作用是通過對(duì)電機(jī)施加電壓u，使天線隨著目標(biāo)物體的移動(dòng)而旋轉(zhuǎn)，并滿足φ?φr.

角度位置跟蹤系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程為:

(15)

使用(Matlab place)命令，可得狀態(tài)觀測(cè)器矩陣為：

2 知識(shí)拓展

教學(xué)中教師可將相關(guān)科研成果[5-8]反饋于教學(xué)，這不僅對(duì)學(xué)生深入理解和掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)具有積極的作用，還對(duì)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行科研，提高學(xué)生的科研水平具有實(shí)際意義.如將具有傳感器至控制器時(shí)延,以及控制器至執(zhí)行器時(shí)延的網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的建模、控制器設(shè)計(jì)等內(nèi)容講授給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生利用已學(xué)知識(shí)進(jìn)行科研的能力.

具有雙側(cè)時(shí)延的NCS結(jié)構(gòu)如圖4所示，其中τ(k)表示S-C時(shí)延；d(k)表示C-A時(shí)延.

τ(k)及d(k)為有限狀態(tài)的Markov鏈，分別從M={0，1，…，τ}及N={0，1，…，d}取值，其轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為Λ=[λij]及Π=[πrs]，即：

λij=Prob{τ(k+1)=j|τ(k)=i},πrs=Prob{d(k+1)=s|d(k)=r}.

(16)

考慮如下時(shí)不變線性被控對(duì)象：

x(k+1)=Apx(k)+Bpu(k),

(17)

其中：x(k)∈Rn為系統(tǒng)狀態(tài)向量；u(k)∈Rm為控制輸入向量；Ap∈Rn×n及Bp∈Rn×m為定常矩陣.

(18)

(19)

采用如下狀態(tài)反饋控制律：

u(k)=Kx[k-τ(k)-d(k)]，x(k)=η(k)，k∈{-τ-d，…，0}，

(20)

由式(17)和式(20)可得閉環(huán)系統(tǒng)表達(dá)式：

x(k+1)=Apx(k)+BpKx[k-τ(k)-d(k)]，x(k)=η(k)，k∈{-τ-d，…，0}.

(21)

定義增廣向量:

閉環(huán)系統(tǒng)(21)可以寫為：

(22)

其中:

定理1 如果存在正定矩陣Pi，r>0，F(xiàn)i，r>0,及矩陣K使得如下不等式:

(23)

(24)

(25)

(26)

Fj,sPj,s=I，j∈M,s∈N,

(27)

其中:

對(duì)于所有的i,j∈M,r,s∈N成立，那么使閉環(huán)系統(tǒng)(21)隨機(jī)穩(wěn)定的鎮(zhèn)定控制器(20)存在.

假設(shè)S-C時(shí)延τ(k)及C-A時(shí)延d(k)分別從M={0,1}及N={0,1}中取值，其轉(zhuǎn)移概率矩陣分別為：

根據(jù)定理1，得到控制器增益矩陣為：

K=[-1.112 6 -0.738 0].

假設(shè)系統(tǒng)初始狀態(tài)為：

x(-2)=x(-1)=[0 0]T,x(0)=[-1 1]T,

閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)曲線如圖6所示.

3 結(jié) 論

由于教學(xué)案例的引入，學(xué)生建立了理論知識(shí)與實(shí)際工程問題之間的聯(lián)系，改變了對(duì)現(xiàn)代控制理論課程完全是用來解決數(shù)學(xué)問題的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，從而能夠從實(shí)際工程系統(tǒng)的角度來把握課程內(nèi)容.從學(xué)生的反饋來看，通過課程改革提高了大部分學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，教學(xué)效果顯著提高，如部分研究生已參與發(fā)表了多篇高水平科研論文，也有些研究生成功申請(qǐng)到了省教育廳科研項(xiàng)目(研究生培養(yǎng)專項(xiàng)).通過對(duì)該課程的學(xué)習(xí)，學(xué)生增強(qiáng)了科研能力及工程應(yīng)用能力，為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)及從事相關(guān)工程工作崗位奠定了良好的基礎(chǔ).在未來教學(xué)中我們會(huì)更加注重將抽象理論轉(zhuǎn)化為學(xué)生易理解、易接受的教學(xué)手段的研究，結(jié)合現(xiàn)代化仿真模擬技術(shù)將更多的典型案例引入到教學(xué)中.