李志剛 范玉雙 趙明 馬兆海

摘要：本文從教學角度初步探討了如何教學能使學生更好地學習數學分析及提高解題能力的一些想法作法。以極限概念，定積分概念，一致收斂概念的講述為例指導學生如何學習認識分析數學的本質及如何進行某種程度研究工作。文章認為將數學思想與數學知識、數學學習與數學研究在某種程度上統(tǒng)一起來是必要的。

關鍵詞：數學分析;極限;確界;定積分;一致收斂

一、引言

數學分析是數學系學生的一門專業(yè)基礎課，是后續(xù)分析課程的基礎，大部分后續(xù)分析課程的思想方法在數學分析課中都有所體現，數學分析部分內容也是某些后續(xù)分析課程中一些抽象概念的具體實例。同時學習數學分析也可以很好地訓練學生的觀察分析能力，邏輯思維能力，以及一般的解決數學問題的能力。如何教學能使學生更好地學習數學分析及提高解題能力，如何教學能使學生認識分析數學的本質及提高研究能力，這是本文要探討的問題。

二、如何講述概念

數學分析作為近代數學的主干，內容極其繁雜，但其主要內容卻是與極限概念相關的。極限概念大約從2，3000年前開始發(fā)端，大約500年前開始進入爆發(fā)期，在數學方面產生了豐碩成果，但其嚴格定義及完整的數學基礎卻是在二，三百年前才完全建立起來的，這就是實數理論及極限的定義。其中語言具有普遍意義，在后續(xù)課程中直接大量運用，是學生首先要掌握的，是最重要的教學內容。

在進行極限概念教學時，主要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學方法，以體現從具體問題中抽象出一般概念的數學方法。下面以數列極限教學為例進行說明。函數極限教學方法與數列極限教學方法類似。

由于學生在中學已經簡單地學過極限概念，因此主要教學內容是從具體例子中提煉出抽象的數列極限定義。

有上述具體例子后，就可以抽象出數列極限的一般定義了：已知數列及常數，若在的變化過程中，的值無限接近常數，即在的變化過程中，的值無限變小、無限接近0，即，在的變化過程中，可以變得<，即若>0，總，使得>時，總有<成立，則稱時，的極限為。接下來就是用極限的抽象定義證明具體的極限了，包括直接解不等式和適當放大法等方法，題目不宜過多過難，主要目的是使學生了解適應極限的抽象概念。常見典型題目比如主要用于理解極限定義，=主要用于說明適當放大法，主要用于說明適當放大法的放大程度，主要用于說明適當放大法中不等式的形成等等。

實數理論是極限存在的理論基礎，由于學時所限，本課程不嚴格講述實數理論，只是簡單地把實數定義為無限十進小數，并在此基礎上證明實數集合的確界原理。確界概念與原理在數學分析后續(xù)章節(jié)及后續(xù)課程中有廣泛應用，是一年級上學期教學另一大重點。在教學中也要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學方法，應該重點講述實數集合的上下界，上下確界及其等價概念。首先，以集合為例，說明非空實數集合的上下界概念，然后從中抽象出上下界的一般概念。其次再以集合為例，說明非空實數集合上下確界概念即最準確上下界的概念，然后從中抽象出上下確界的一般定義及其等價定義并通過證明集合的上下確界分別為3，1，使學生了解如何證明集合的上下確界從而加深對集合上下界及上下確界的理解。再次以集合為例說明在有理數域內有上下界的集合可以在有理數域內沒有上下確界，因此需要將有理數域拓廣為實數域。而在實數域內可以證明確界原理即有上下界的非空實數集合在實數域內必有上下確界，由此出發(fā)可以證明單調有界數列必有極限及滿足柯西收斂準則的數列必有極限。另外確界性質在極限理論及積分理論，級數理論中也有廣泛應用，應該作為教學重點內容。在講述確界性質時，也應以簡單證明為主，盡量避免繁瑣細節(jié)，使學生盡快了解內容主線，掌握主導思想。下面以題目“設為非空有界實數集合，證明”為例來說明。主要是要證明集合的上確界為。分兩步：第一證明，總有;第二證明使得，使學生充分理解上（下）確界概念。再以題目“設為實數集合上有界函數，證明不等式”為例子來說明如何證明確界不等式。重點在于將看成兩個數，只要證明即可。為什么要這樣證明呢？主要是要讓學生在開始就觀察到不等式，均有，，由此可以推出，這樣按照下確界定義，不等式就成立了。

在教學中除了要遵循先具體直觀，再抽象概括的教學方法外，還應該充分重視問題產生的背景以及前人為了解決此問題究竟作了哪些探索，產生了什么想法，獲得了什么成果，以提高學生的學習興趣及研究欲望，更好地掌握相關概念和知識主線。下面以定積分為例作說明。定積分概念是數學分析中最復雜的概念之一，直接講述學生難以理解，因此在講述此概念時應該從概念產生的背景比如求平面圖形面積開始。求平面圖形面積及立體體積是一個古老的問題，古希臘時期人們就開始探索，由于時代的局限，沒能產生一般理論。文藝復興時期許多研究者用了巧妙的方法得到了許多具體圖形的面積，但也沒產生一般理論。比如用表示軸、拋物線及直線所圍曲邊三角形面積，為了求將閉區(qū)間等分成個長度相等的小閉區(qū)間，用個寬為，高為的矩形的面積之和作為的不足近似值，用個寬為，高為的矩形的面積之和作為的過剩近似值，則有，簡化后得到，即，但由于沒有極限理論，人們只能用反證法證明。而且這種方法也有很多疑問，比如為什么要等分區(qū)間，不等分時還能說明嗎？為什么取或為小矩形的高，取介于與之間的正數作矩形的高時還能說明嗎？等等。并且常常是不同的圖形要用差異很大的方法計算。有沒有一般的方法呢？人們繼續(xù)探索，到17世紀中葉牛頓萊布尼茲時代時，人們才認識到求積與求導的互逆關系，問題的解決才得到了一些進展。比如用表示軸、拋物線及直線所圍曲邊三角形面積，則可以很直觀看出，但還沒有產生面積的一般概念和求面積的一般方法及定積分的嚴格定義。直到19世紀20年代，法國數學家柯西引入了極限概念，才從根本上澄清了諸如“無窮多個無窮小量之和”之類的混亂概念，采用“分割，求近似，取極限”的統(tǒng)一方法求曲邊梯形的面積，從而產生了定積分的初步概念，但僅僅對連續(xù)函數或柯西認為的連續(xù)曲線才有意義。19世紀30年代，一般的函數概念才完全形成，從而為德國數學家黎曼定義一般的定積分概念創(chuàng)造了條件。隨后法國數學家達布對定積分內容進行了深入仔細研究，形成了達布和等等概念，為研究面積和定積分的存在性打下了基礎。法國數學家勒貝格進一步改進了面積和定積分概念，形成了勒貝格測度和勒貝格積分概念，大大擴展了定積分內容，使之具有更高的適用性和完備性，為近現代分析數學發(fā)展奠定了基礎。從定積分的發(fā)展歷史可以看出，一個重要數學概念的形成，往往要經過數代數學家的努力。

下面就可以對學生具體講述黎曼積分及達布和的主要想法了。

先講一個具體例子：求曲邊梯形面積，然后從中抽象出定積分概念。設函數在區(qū)間上連續(xù)非負，求由曲線、軸、直線及直線所圍曲邊梯形面積。具體方法如下：第一步分割：在中任意插入分點，滿足，將分成個小區(qū)間（），記為第個小區(qū)間長度，用直線將曲邊梯形分成個窄曲邊梯形，相應的也被分成部分，，其中表示第個窄曲邊梯形面積。第二步求近似：，用以為在此處鍵入公式。寬、為高的矩形面積作為的近似值，即，每個窄曲邊梯形均如此求近似值，相加，則有。第三步取極限：從直觀上看，每個的長度越小，近似程度越好，因此若對無限細分，則可以認為近似值會無限接近曲邊梯形面積的真正值，即認為=，其中。這種形式的極限還常常在其他一些數學和物理問題中出現，這樣把它抽象出來就形成了定積分的一般定義，只需要將函數在區(qū)間上連續(xù)非負改為在區(qū)間上有定義即可。由此得到如下定積分定義：設函數在閉區(qū)間上有定義，為常數，若，，使得對的任何分劃，任意的插點組，只要，就有成立，則稱為函數在區(qū)間上的定積分。從這個定義可以看出，已經去掉了對函數連續(xù)性的要求只要求函數有定義，去掉了對區(qū)間等分的要求而可以任意分割區(qū)間，去掉了只取區(qū)間端點的要求而可以在小區(qū)間上任意取值，這樣作的好處在于可以使研究的問題、研究的對象、研究的方法更加一般化，不在局限于面積問題而變成一個一般的極限問題，從而更易于形成可以處理廣泛問題的一般理論，充分體現了從具體問題中提取抽象概念以形成進一步處理一般問題的理論的方法。定積分定義是一個復雜的概念，為了幫助學生理解其意義，還應該向學生講述如下內容：首先是與的關系，可以說明，但是不能說明;其次是定積分極限定義與函數極限定義的區(qū)別聯系，說明當分劃的模確定后，積分和是不確定的;再次，說明定積分是一個數，此數只與被積函數及積分區(qū)間有關，與表示積分變量的字母無關;再次，說明當定積分存在時，可以選取對區(qū)間的特殊分法及插點的特殊取法來具體計算定積分的值等等。

定積分定義具有高度的抽象性、廣泛的適用性，充分體現了語言極端嚴密高度概括的特點，與函數極限定義相比更加復雜。函數極限定義中除了以外只有一個任意，而定積分定義中除了以外還具有兩個任意，一個是任意給定一個分劃，另一個是任意給定插點組，這兩個任意使得定積分概念比函數極限概念復雜得多，是第二學期重要教學內容，可以提高學生掌握語言的能力和抽象思維能力，使學生能夠進入更加復雜的分析知識中。首先在教學中為了幫助學生掌握運用定積分概念，可以通過與函數極限類比的方法。比如證明定積分的唯一性，此時可以用固定分劃、固定插點組的方法。再比如證明可積函數必定有界，此時就可以用固定分劃、固定插點組中除一個插點以外其他插點的方法。定積分的否定概念也是需要學生了解掌握的。比如意味著使得，都存在分劃及插點組，使得且成立;而不存在意味，存在分劃及插點組，使得且成立。這個說法比較復雜，如果與函數或數列極限不存在的說法類比，可以把它敘述成：存在區(qū)間的兩列分劃及相應插點組，使分劃的模趨于0，但相應的積分和趨向于不同的實數或存在區(qū)間的一列分劃及相應插點組，使分劃的模趨于0，但相應的積分和無極限。然后以在上不可積為例說明上述方法，使學生充分理解定積分否定概念。

三、如何提高解題及研究能力

定積分的存在性是第二學期教學的一個難點。在教學中主要介紹達布和的內容和一些簡單的證明，以使學生掌握內容主線，避免陷入繁瑣細節(jié)之中。達布的主要想法是采用類似于函數極限迫斂性的方法將定積分定義中兩個任意轉化成一個任意就是對分劃的任意從而有效簡化了極限過程。具體說明如下：設函數在區(qū)間上有界（此為定積分存在必要條件），任意給定的分劃，記

以上就是我們對數學分析課程教學改革的一些初步探索。

參考文獻：

[1]華東師范大學數學系.數學分析.第四版.北京：高等教育出版社，2010.

[2]張筑生編著.數學分析新講.北京：北京大學出版社，1990.

注：本文受中國地質大學（北京）2020年度本科教育質量提升計劃建設項目資助