◇ 北京 韓靜波

向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一,它是溝通代數(shù)、幾何和三角函數(shù)的一種工具,有著極其豐富的實(shí)際背景.在高中階段,向量問題靈活多變,解決向量問題既要求透徹理解概念,又需要掌握解決相關(guān)問題的通性通法,還要有數(shù)學(xué)思想的引領(lǐng).本文通過對(duì)高考試題的分析,總結(jié)在平面向量教與學(xué)中應(yīng)該重視的問題.

1 注重概念的理解和知識(shí)的系統(tǒng)性

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的核心,是學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)能力的基礎(chǔ).對(duì)于高中學(xué)生而言,向量是一種新的數(shù)學(xué)研究對(duì)象,很多概念都可從數(shù)和形兩種角度理解,并且有多種不同表現(xiàn)形式,另外概念間相互聯(lián)系形成網(wǎng)絡(luò),因此在平面向量的教與學(xué)中應(yīng)該注重概念的理解和知識(shí)的系統(tǒng)性.

例1(2017年北京卷理6)設(shè)m,n為非零向量,則“存在負(fù)數(shù)λ,使得m＝λn”是“m·n＜0”的( ).

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

分析解答此題的關(guān)鍵是理解“存在負(fù)數(shù)λ,使得m＝λn”和“m·n＜0”的本質(zhì)分別是什么.考查了向量共線(向量平行)、向量的數(shù)乘、向量的夾角、向量的數(shù)量積等概念,也就是考查是否理解相關(guān)概念的本質(zhì)以及是否形成了知識(shí)體系,考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想以及邏輯推理能力.

解存在負(fù)數(shù)λ,使得m＝λn?m與n方向相反.因?yàn)閙,n為非零向量,所以|m|≠0且|n|≠0.

得出m與n方向相反或夾角為鈍角.所以“存在負(fù)數(shù)λ,使得m＝λn”是“m·n≤0”.故選 A.

點(diǎn)評(píng)

解決此題需要準(zhǔn)確理解向量共線(向量平行)、向量的數(shù)乘、向量的夾角、向量的數(shù)量積等概念,并掌握相關(guān)概念間的關(guān)系,例如,對(duì)于非零向量a,b,a∥b?存在唯一非零實(shí)數(shù)λ,a＝λb?a,b的夾角為0或π,其中a,b同向?存在唯一正實(shí)數(shù)λ,a＝λb?a,b的夾角為0,a,b反向?存在唯一負(fù)實(shí)數(shù)λ,a＝λb?a,b的夾角為π.由此可以看出,平面向量的教與學(xué)應(yīng)該注重概念的理解和知識(shí)的系統(tǒng)性.

2 注重通性通法和方法的全面性

平面向量問題的問題情境新穎多變,但從基本概念出發(fā),會(huì)發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)不變,解決問題的思想方法也是不變的,因此要全面透徹地理解解決相關(guān)問題的通性通法.通性通法是高考考查的重點(diǎn),要學(xué)會(huì)用通性通法解決平面向量問題.

例2(2020年北京卷3)已知正方形ABCD的邊長為2,點(diǎn)P滿足.

分析解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的線性運(yùn)算由分析出P的位置,再根據(jù)向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.旨在考查學(xué)生是否全面地掌握了解決向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積運(yùn)算的通性通法,考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想以及邏輯推理能力.

解先求.

解法1從“形”的角度

如圖1所示,根據(jù)向量加法的平行四邊形法則,以線段AB,AC為鄰邊作平行四邊形ABP′C,則因?yàn)槠叫兴倪呅蜛BP′C對(duì)角線AP′與BC互相平分,所以點(diǎn)P為BC的中點(diǎn).

也可以從另一個(gè)角度證明點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn).如圖2所示,設(shè)點(diǎn)B′,C′分別為線段AB,AC的中點(diǎn),所以則線段AP是以線段AB′,AC′為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線,所以點(diǎn)P為邊BC的中點(diǎn).

圖1

圖2

解法2從“坐標(biāo)”的角度

建立平面直角坐標(biāo)系,如圖3所示,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),所以(2,1).

圖3

解法1從“形”的角度.

圖4

解法2從“坐標(biāo)”的角度.

解法3從“代數(shù)”角度.

或

點(diǎn)評(píng)

一般而言,解決平面向量問題可以從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度考慮,此題所求的是平面向量的數(shù)量積,解決此類問題可以用數(shù)量積的幾何意義(關(guān)鍵在于投影),也可用坐標(biāo)法(關(guān)鍵在建系),還可以用定義法(關(guān)鍵在轉(zhuǎn)化).由高考題可以看出,平面向量的教與學(xué)應(yīng)該注重通性通法,而且方法不能只掌握一種,要全面.

3 注重?cái)?shù)形結(jié)合思想

對(duì)于向量問題,要善于從“數(shù)”和“形”兩個(gè)角度考慮問題,尤其要有“形”的意識(shí),要善于利用直觀想象將抽象的符號(hào)直觀化為圖形,但當(dāng)從幾何角度不易求解時(shí),也要能利用代數(shù)方法求解.

例3(2020年上海卷12)已知a1,a2,b1,b2,…,bk(k∈N?)是平面內(nèi)兩兩互不平等的向量,滿足|a1－a2|＝1,且|ai－bj|∈{1,2}(其中i＝1,2,j＝1,2,…,k),則k的最大值為________.

分析解答此題的關(guān)鍵是從“形”的角度理解|a1－a2|＝1,|ai－bj|∈{1,2},并將其翻譯為圖形語言.考查了相等向量、向量的減法和向量的模,考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想以及直觀想象能力.

解任意取一點(diǎn)O(不妨設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)),分別作bk(k∈N?).

不妨設(shè)A1(1,0),A2(2,0).由|ai－bj|∈{1,2},得,即Bj到A1和A2的距離都為1或2(j＝1,2,…,k).

所以Bj是分別以A1和A2為圓心,半徑分別為1,1的圓交點(diǎn),或分別以A1和A2為圓心,半徑分別為1,2的圓交點(diǎn),或分別以A1和A2為圓心,半徑分別為2,1的圓交點(diǎn),或分別以A1和A2為圓心,半徑分別為2,2的圓交點(diǎn) (j＝1,2,…,k).

以A1和A2為圓心,半徑分別為1,1的圓交點(diǎn)有2個(gè)(如圖5);以A1和A2為圓心,半徑分別為1,2的圓交點(diǎn)有1個(gè)(如圖6);以A1和A2為圓心,半徑分別為2,1的圓交點(diǎn)有1個(gè)(如圖7);分別以A1和A2為圓心,半徑分別為2,2的圓交點(diǎn)有2個(gè)(如圖8).所以k的最大值為6.

圖5

圖6

圖7

圖8

例4(2020年天津卷15)如圖9所示,在四邊形ABCD中,∠B＝60°,AB＝3,BC＝6,且,則實(shí)數(shù)λ的值為________;若M,N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn),且的最小值為________.

圖9

分析此題考查的是向量的數(shù)量積,與例3一樣可以從向量數(shù)量積的幾何意義、坐標(biāo)以及定義三個(gè)方面考慮,但此題從幾何角度不易解決此題,考查了相等向量、向量的減法和向量的模,考查了數(shù)形結(jié)合思想以及邏輯推理能力.

解由已知得,所以.

圖10

如圖10所示,以B原點(diǎn),以BC所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系,則.不妨設(shè)M在N的左側(cè)時(shí),M(x,0),則

此二次函數(shù)開口向上,對(duì)稱軸為x＝2∈[0,5].所以當(dāng)x＝2時(shí),取得最小值.

點(diǎn)評(píng)

上面兩道高考題,例3從“形”的角度,容易發(fā)現(xiàn)問題本質(zhì),而例4考查的是平面向量數(shù)量積運(yùn)算.解決此類問題可以從三個(gè)方面考慮,但例4不易從利用數(shù)量積幾何意義解決,因此考慮利用坐標(biāo).由高考題可以看出,平面向量的教與學(xué)應(yīng)該注重?cái)?shù)形結(jié)合思想,對(duì)于一些情境新穎、較復(fù)雜的問題,尤其要善于從“形”的角度思考問題本質(zhì),但從“形”的角度不易解決問題時(shí),也要能利用代數(shù)方法求解.

4 注重轉(zhuǎn)化與化歸的思想

在解決平面向量問題時(shí),經(jīng)常利用向量的線性運(yùn)算將“不好”的向量轉(zhuǎn)化為“好”的向量,有時(shí),也會(huì)在問題中選擇兩個(gè)不共線的“好”向量作為基底,將問題中所有的向量都用這組基底表示,就能化未知為已知,化復(fù)雜為簡單.從本質(zhì)上,向量的坐標(biāo)形式就是由此推導(dǎo)出的.

圖11

例5(2020年江蘇卷13)在△ABC中,AB＝4,AC＝3,∠BAC＝90°,D 在邊BC上,延長AD到P,使得AP＝9,若(m為常數(shù)),則CD的長度是________.

分析解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)向量的線性運(yùn)算處理直接根據(jù)該式子構(gòu)造平行四邊形或三角形比較困難,所以可以考慮坐標(biāo)法,也可考慮將所有向量用基底表示.考查的是向量的線性運(yùn)算,考查了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想以及邏輯推理能力.

解法1如圖12所示,以A原點(diǎn),分別以AB,AC所在直線為x軸,y軸建立平面直角坐標(biāo)系,則A(0,0),B(4,0),C(0,3).

圖12

點(diǎn)評(píng)

解法1利用數(shù)形結(jié)合思想,從“數(shù)”的角度將問題坐標(biāo)化.解法2是利用轉(zhuǎn)化與化歸思想,選擇“好”向量作為基底,將所有向量用這組基底表示,將問題轉(zhuǎn)化為簡單的問題.由高考題可以看出,平面向量的教與學(xué)應(yīng)該注重轉(zhuǎn)化與化歸思想,對(duì)于一些情境新穎、較復(fù)雜的問題,可以考慮將“不好”的向量轉(zhuǎn)化為“好”的向量.

高考數(shù)學(xué)試卷是數(shù)學(xué)教與學(xué)的一個(gè)指揮棒,它通過一道道題目引導(dǎo)如何進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)和學(xué)習(xí).通過對(duì)高考試卷中平面向量問題的分析,總結(jié)出平面向量的教與學(xué)要注重概念的理解和知識(shí)的系統(tǒng)性,注重通性通法和方法的全面性,注重?cái)?shù)形結(jié)合思想,注重轉(zhuǎn)化與化歸的思想.