◇ 北京 陶 軍(特級(jí)教師)

立體幾何中的最值問(wèn)題是高中數(shù)學(xué)的難點(diǎn),這類問(wèn)題包括求長(zhǎng)度、角度、面積和體積等最值,而有關(guān)線段長(zhǎng)度的最值問(wèn)題是最基本的問(wèn)題,求解這類問(wèn)題的通法是幾何法和向量法,本文進(jìn)行例析.

例1如圖1所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為BC,CC1的中點(diǎn),點(diǎn)P是側(cè)面BCC1B1上一點(diǎn),A1P∥平面AEF,則線段A1P長(zhǎng)度的最小值是________.

圖1

分析1因?yàn)辄c(diǎn)A1是定點(diǎn),欲求線段A1P長(zhǎng)度的最小值,所以需確定動(dòng)點(diǎn)P的位置.因?yàn)橹本€A1P繞點(diǎn)A1轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)總和平面AEF保持平行,所以動(dòng)直線A1P形成的平面與側(cè)面BCC1B1相交,點(diǎn)P就在它們的交線l上.因?yàn)榻痪€l平行于平面AEF,側(cè)面BCC1B1與平面AEF的交線是EF,所以l∥EF.怎樣找到交線l的位置呢?只需先找到點(diǎn)P,它是側(cè)面BCC1B1上的一個(gè)點(diǎn).考慮到E為BC的中點(diǎn),取B1C1的中點(diǎn)P1,可知A1P1∥AE,則A1P1∥平面AEF,而過(guò)點(diǎn)P1且與EF平行的直線是唯一的,就是交線l,顯然l過(guò)線段B1B的中點(diǎn)P2,點(diǎn)P的軌跡是線段P1P2,所以求線段A1P長(zhǎng)度的最小值轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)A1到P1P2的距離.

解法1(幾何法)如圖2所示,取B1C1的中點(diǎn)P1,因?yàn)镻1E∥A1A,且P1E＝A1A,所以四邊形P1EAA1是平行四邊形,所以A1P1∥AE.取線段B1B的中點(diǎn)P2,則P1P2∥FE,又因?yàn)锳E與EF相交于點(diǎn)E,所以平面A1P1P2∥平面AEF,由于點(diǎn)P在平面A1P1P2上,又在側(cè)面BCC1B1上,故點(diǎn)P的軌跡是線段P1P2.在等腰△A1P1P2中,A1P1＝.取P1P2的中點(diǎn)M,則A1M⊥P1P2,于是,所以線段A1P長(zhǎng)度的最小值是.

圖2

分析2因?yàn)辄c(diǎn)A1是定點(diǎn),線段A1P的長(zhǎng)度由動(dòng)點(diǎn)P的位置決定,確定點(diǎn)P的位置可以引入坐標(biāo),為此考慮建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo),列出長(zhǎng)度的表達(dá)式,借助函數(shù)的思想求A1P的最小值.

解法2(向量法)如圖3所示,以點(diǎn)D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則A1(2,0,2),因?yàn)辄c(diǎn)P是側(cè)面BCC1B1上一點(diǎn),可設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,2,z)(0≤x≤2,0≤z≤2),故

圖3

設(shè)平面AEF的法向量n＝(x0,y0,z0),因?yàn)?/p>

所以

令y0＝1,則x0＝z0＝2,n＝(2,1,2).因?yàn)锳1P∥平面AEF,所以n與垂直,故

化簡(jiǎn)得x＋z＝3,因?yàn)?≤z≤2,所以0≤3－x≤2,且0≤x≤2,解得1≤x≤2.把z＝3－x代入的表達(dá)式,整理得故當(dāng)取得最小值.

例2如圖4所示,在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為BC的中點(diǎn),點(diǎn)P在線段D1E上,點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為________.

圖4

分析1求點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值,就是找點(diǎn)P到直線CC1的垂線段PQ長(zhǎng)度的最小值.求線段PQ的長(zhǎng)度涉及空間上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)長(zhǎng)度的距離問(wèn)題,不易處理.注意到CC1⊥平面ABCD,PQ⊥CC1,則PQ∥平面ABCD.因此,我們可以把PQ正投影在平面ABCD上,點(diǎn)P在平面ABCD上的正投影H落在線段DE上,點(diǎn)Q在平面ABCD上的正投影是點(diǎn)C,于是PQ＝HC,求PQ的最小值轉(zhuǎn)化為在平面ABCD上求定點(diǎn)C與線段DE上的動(dòng)點(diǎn)H之間距離的最小值,就是求定點(diǎn)C到DE的距離.

解法1(幾何法)如圖5所示,過(guò)點(diǎn)P作PQ⊥CC1,Q為垂足,因?yàn)镃C1⊥平面ABCD,所以PQ∥平面ABCD,過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DE,H為垂足,則PH⊥平面ABCD,所以PH∥QC,且PQ∥HC,QC⊥HC,故四邊形PQCH是矩形,PQ＝HC,在Rt△CDE中,當(dāng)CH⊥DE時(shí),CH長(zhǎng)度最小,因?yàn)?所以,故點(diǎn)P到直線CC1的距離的最小值為.

圖5

分析2設(shè)點(diǎn)P到直線CC1的距離為PQ,因?yàn)镻,Q分別在線段D1E和CC1上,故可以引入兩個(gè)變量控制點(diǎn)P,Q的位置.

解法2(向量法)如圖6所示,以D為原點(diǎn),DA,DC,DD1分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則D1(0,0,2),E(1,2,0),C1(0,2,2),C(0,2,0),由于點(diǎn)P在線段D1E上,可設(shè)由此得點(diǎn)P的坐標(biāo)為 (1－λ,2－2λ,2λ).

圖6

過(guò)點(diǎn)P作PQ垂直于CC1,Q為垂足,設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo),即

綜上所述,利用幾何法求線段長(zhǎng)度的最值,要點(diǎn)是先用立體幾何知識(shí)確定動(dòng)點(diǎn)的軌跡,再用平面幾何知識(shí)求最值;利用向量法求線段長(zhǎng)度的最值,要點(diǎn)是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),建立線段長(zhǎng)度的表達(dá)式,借助向量知識(shí)把題目中的幾何條件合理轉(zhuǎn)化為代數(shù)條件,找到動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,把線段長(zhǎng)度的表達(dá)式轉(zhuǎn)化為一元函數(shù),用函數(shù)的思想求最值.