劉曉 劉磊 王雨桐 胡純福 黃守道

摘 ? 要：為提高直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)功率因數(shù)，通過(guò)推導(dǎo)直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)氣隙磁通密度、功率因數(shù)的解析公式，研究各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)電機(jī)功率因數(shù)的影響. 確定了永磁體分布、齒靴寬度、調(diào)磁塊形狀和尺寸等參數(shù)為主要優(yōu)化變量. 在利用Ansys Maxwell軟件對(duì)直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)進(jìn)行參數(shù)化有限元仿真的基礎(chǔ)上，建立了關(guān)于電機(jī)平均推力和功率因數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型. 采用Box-Behnken方法對(duì)電機(jī)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，優(yōu)化后的直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)功率因數(shù)從0.497上升到0.720，提高了約44.9%.

關(guān)鍵詞：多目標(biāo)優(yōu)化;功率因數(shù);平均推力;直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)

中圖分類號(hào)：TM359.4 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

Power Factor Optimization Design of Magnetic-geared Flat Linear Machine

LIU Xiao1，LIU Lei2，WANG Yutong1，3?，HU Chunfu1，HUANG Shoudao1

（1. College of Electrical and Information Engineering，Hunan University，Changsha 410082，China;

2. State Grid Tonglu Electric Power Company，Tonglu 311500，China;

3. State Grid Shaoxing Electric Power Company，Shaoxing 312000，China）

Abstract：In order to improve the power factor of Magnetic-Geared Flat Linear Machine （MGFLM）， this paper derives the analytical formulas of its air gap flux density and power factor， and investigates the influence of the variables on the basic physical quantities of the motor. The main variables affecting the power factor are determined as the permanent magnet distribution， the width of the tooth shoe and the shape and dimensions of the magnetizer block. Secondly， based on the parameterized finite element simulation of the MGFLM in Ansys Maxwell， a polynomial response surface model for the average thrust and power factor of the motor is established. Finally， Box-Behnken method was applied to optimize the motor. The power factor of the optimized MGFLM is increased by 44.9% from 0.497 to 0.720.

Key words：multi-objective optimization;electric power factor;average thrust;Magnetic-Geared Flat Linear Machine（MGFLM）

永磁直線電機(jī)由于結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、定位精度高、響應(yīng)速度快、功率密度大等特點(diǎn)而被廣泛應(yīng)用. 在高速物流、無(wú)繩電梯等需要對(duì)直線電機(jī)長(zhǎng)行程鋪設(shè)的應(yīng)用中，作為低成本的直驅(qū)方式，文獻(xiàn)[1]提出了一種新的平板直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 文獻(xiàn)[2]中分析，在3 000 mm行程下，直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的永磁體損耗比永磁直線電機(jī)減少了90%，同時(shí)，直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的材料成本僅為動(dòng)圈式永磁直線電機(jī)的24%和動(dòng)磁式永磁直線電機(jī)的12.5%. 通過(guò)參數(shù)分析，直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)平均推力可提高44.5%，推力波動(dòng)率從 16.1%降低到8.3%[3]. 但直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)氣隙磁通密度較低，致使其功率因數(shù)較低[4]. 因此，低功率因數(shù)仍然是一個(gè)亟待解決的問(wèn)題.

目前，提高電機(jī)功率因數(shù)的方法主要有兩種. 一是改變永磁體結(jié)構(gòu)和分布. 一些文獻(xiàn)對(duì)永磁同步電機(jī)永磁體的形狀進(jìn)行優(yōu)化，如V型永磁體[5];文獻(xiàn)[6]和[7]分別對(duì)單磁極和Halbach永磁體進(jìn)行分析，得出磁體排布方式對(duì)電機(jī)推力特性有顯著影響. 應(yīng)用Halbach陣列的電機(jī)結(jié)構(gòu)[8]由于切向磁場(chǎng)與法向磁場(chǎng)的相互疊加和抵消，使得永磁體一側(cè)的磁場(chǎng)大幅度增加，而另一側(cè)的磁場(chǎng)大幅度削弱，在永磁體用量不變的情況下，可以用來(lái)減小電機(jī)的體積和質(zhì)量. ?游標(biāo)電機(jī)[9]通過(guò)采用Halbach陣列來(lái)提高電機(jī)的氣隙磁通密度，進(jìn)而提高了功率因數(shù). 二是改變電機(jī)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu). 有一些學(xué)者對(duì)電機(jī)調(diào)磁塊形狀分析得到，不同形狀相同面積的調(diào)磁塊、圓形調(diào)磁塊有效氣隙長(zhǎng)度大，轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)小，調(diào)制效果最好[10].同時(shí)調(diào)磁塊兩邊曲線會(huì)增加磁通，傳動(dòng)力矩大，渦流損耗小[11]. 文獻(xiàn)[12]將電機(jī)兩側(cè)的槽按最優(yōu)距離交錯(cuò)排列，另一些文章通過(guò)雙轉(zhuǎn)子[13]、雙定子[14]結(jié)構(gòu)錯(cuò)開(kāi)一定角度的方法降低磁場(chǎng)中的諧波含量，來(lái)提高電機(jī)的功率因數(shù)和轉(zhuǎn)矩密度. 盡管大多數(shù)電動(dòng)機(jī)都應(yīng)用雙邊結(jié)構(gòu)來(lái)提高功率因數(shù)，但它不適用于本文研究的適用于長(zhǎng)行程的直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī).

此外，有學(xué)者采用多種方式組合[15]、非支配排序遺傳算法[16]、強(qiáng)度帕累托進(jìn)化算法[17]、基于帕累托包絡(luò)的選擇算法[18]、粒子群算法[19]等方法實(shí)現(xiàn)電機(jī)目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，以獲得最佳優(yōu)化方案.

本文首先對(duì)電機(jī)的解析特性展開(kāi)分析，選取影響功率因數(shù)的結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行單參數(shù)分析，確定較優(yōu)的單參數(shù)區(qū)間;而后對(duì)電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)，得到最優(yōu)功率因數(shù)方案.

1 ? 直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)及解析特性

1.1 ? 直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的結(jié)構(gòu)

法向充磁直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)（Normally Magnetized Magnetic-Geared Flat Linear Machine，NM-MGFLM）的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示，由電樞定子、永磁定子和在兩定子之間的長(zhǎng)調(diào)制動(dòng)子組成，形成的兩個(gè)空氣間隙將這三個(gè)部件彼此分開(kāi).

電樞定子由定子繞組和定子鐵心構(gòu)成，永磁定子由永磁體和鐵軛構(gòu)成，本文研究的電機(jī)繞組分布如圖1所示，繞組極對(duì)數(shù)為2. 為了減小兩定子的邊端效應(yīng)，永磁定子長(zhǎng)度不超過(guò)電樞定子長(zhǎng)度且兩端永磁體寬度減小為原來(lái)的一半. 而調(diào)制動(dòng)子由調(diào)磁塊和非調(diào)磁塊構(gòu)成，調(diào)磁塊由硅鋼沖片疊壓而成，以減少調(diào)磁塊中的渦流損耗;非調(diào)磁塊可采用環(huán)氧樹(shù)脂等非導(dǎo)磁材料，以提高動(dòng)子的整體性.

1.2 ? 直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)解析特性分析

對(duì)直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)基本物理量解析分析前，需要做一些假設(shè)：

1）假設(shè)電機(jī)鐵心磁導(dǎo)率為無(wú)窮大，也就是忽略電機(jī)鐵心的磁飽和;2）假設(shè)永磁體在各個(gè)方向上的磁導(dǎo)率與空氣磁導(dǎo)率相同;3）忽略邊端漏磁;4）忽略齒槽效應(yīng).

1.2.1 ? 氣隙磁通密度分析

設(shè)沒(méi)有調(diào)制動(dòng)子時(shí)，單位面積氣隙磁導(dǎo)為λ，經(jīng)過(guò)調(diào)制動(dòng)子調(diào)制后，電機(jī)氣隙磁通密度分布函數(shù)可表示為：

Bm（θ）=B′

m（θ）λ′（θ，t）/λ=

[Bpm（θ） + Ba（θ）]λ′（θ，t）/λ ? ?（1）

式（1）中各個(gè)量的具體表達(dá)如式（2）所示.

Bpm（θ）=[][j=1，3，5…]

sin

αpcos[jpm（θ-θ0pm）]

Ba（θ）=[][v=1，5，7，11…]

cos[vpa（θ-θ0a）]

λ′（θ，t）=ξλ0

+λi cos[ins（θ-vs t-θ0s）]

（2）

式中：αp為極弧系數(shù);θ0pm為第一個(gè)永磁體初始相位角;kpm為永磁體排布系數(shù);kdpv為v次諧波繞組因數(shù);θ0a為第一個(gè)槽內(nèi)相電流初始相位角;ξ為均勻氣隙相對(duì)磁導(dǎo);λ0為單位面積氣隙磁導(dǎo)的常數(shù)分量，λ0 = ks λ1 + （1 - ks）λ2;λi為單位面積氣隙磁導(dǎo)的i次諧波幅值，λi = 2（λ1 - λ2）sin（iksπ）/（iπ）;ks為跨距系數(shù)，ks ?= wmb /τs，wmb 為調(diào)磁塊寬度;θ0s為第一個(gè)調(diào)磁塊初始相位角.

由公式（1）（2）可以看出，氣隙磁通密度的幅值及正弦度與永磁體分布、調(diào)磁塊尺寸、定子齒寬等參數(shù)有關(guān).

1.2.2 ? 功率因數(shù)分析

直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的功率因數(shù)可用圖2所示的相量圖計(jì)算. 定子繞組的電壓方程為：

[U] =[U] d+[U] q=R1[I] m+[E] 0+ jXd [I] d+ jXq [I] q ? （3）

式中：U為相電壓;R1為電樞電阻.

在Id = 0的控制策略下，公式（3）滿足：

[U] =R1[I] m+jX1 [I] m+[E] 0+ jXq [I] m=R[I] m+[U] 0+ jXq [I] m ? （4）

式中：U0為有限元分析得到的空載電壓值. 對(duì)公式進(jìn)行簡(jiǎn)化后，功率因數(shù)可表示為

cos φ = ? ? ? ? （5）

由公式（5）可知，減小相電感Lq可以提高功率因數(shù). Lq的值與電樞合成反應(yīng)磁動(dòng)勢(shì)F（θ）和繞組函數(shù)Na（θ）有關(guān)，如公式（6）所示.

Lq =

F（θ）Na（θ）dθ

F（θ）=

siniαp

cos

pm iθ（6）

式中：μr為空氣的磁導(dǎo)率μ0的相對(duì)磁導(dǎo)率;rg為氣隙半徑;F（θ）為三相合成電樞反應(yīng)磁動(dòng)勢(shì)（MMF）;Br為永磁體剩磁;i為氣隙磁通密度諧波階次;Na（θ）為繞組函數(shù).

根據(jù)式（2）和式（5）對(duì)功率因數(shù)、氣隙磁通密度的解析式分析得到，氣隙磁通密度的幅值、諧波含量和繞組系數(shù)（繞組排布情況）直接影響功率因數(shù)分布.

2 ? 參數(shù)分析

從公式（2）和公式（5）可以看出，功率因數(shù)與永磁體排布、極靴寬度和調(diào)磁塊尺寸等參數(shù)有直接關(guān)系，故在Maxwell中建立有限元仿真模型，以圖3所示的法向充磁直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)基本結(jié)構(gòu)為初始研究對(duì)象，具體參數(shù)如表1所示.

2.1 ? 永磁體分布分析

永磁體結(jié)構(gòu)會(huì)直接影響磁載荷及其產(chǎn)生的磁通量. Halbach永磁陣列會(huì)影響磁通密度，改變電機(jī)的磁路和氣隙磁通密度分布，使氣隙磁通密度更加接近正弦[6]. 本文以提高直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)功率因數(shù)為目的，故永磁體采用Halbach永磁陣列. 永磁體用量過(guò)多時(shí)，會(huì)造成永磁體浪費(fèi)，同時(shí)也會(huì)導(dǎo)致電機(jī)鐵心飽和;當(dāng)永磁體用量過(guò)少時(shí)，電機(jī)無(wú)法滿足正常工況下的性能要求. 本文旨在不增加永磁體用量的情況下，提高電機(jī)功率因數(shù)，因此永磁體高度及其他參數(shù)不變，僅改變Halbach永磁陣列不同充磁方向的占比.

設(shè)永磁體極距（Halbach永磁結(jié)構(gòu)的每?jī)蓧K永磁體寬度）為τm，令法向充磁永磁體寬度為wpm1，兩者比值rpm = wpm1 /τm. 對(duì)不同取值的rpm分析，電機(jī)的磁力線分布如圖4所示. 對(duì)比可以看出，rpm越大，即法向充磁永磁體過(guò)大時(shí)，水平充磁永磁體無(wú)法發(fā)揮作用，單邊效應(yīng)減弱，同時(shí)增加了永磁體間的漏磁，氣隙磁通密度正弦度減小，平均推力和功率因數(shù)都會(huì)減小;而rpm較小時(shí)，水平充磁永磁體過(guò)大，增加了永磁體與其上方調(diào)磁塊之間的漏磁，同樣會(huì)使平均推力和功率因數(shù)減小.

不同rpm下的功率因數(shù)和推力特性曲線如圖5所示，由圖5可以看出，平均推力與功率因數(shù)有相同的變化趨勢(shì)，都是先增加后減小，rpm在0.6以內(nèi)變化，平均推力隨其增大而快速增加，達(dá)到一定程度后，繼續(xù)增大rpm的值，曲線趨于平緩，而推力波動(dòng)呈降低狀態(tài)，在80 ～90 N附近波動(dòng). 在rpm=0.8時(shí)平均推力達(dá)到最大值506 N，推力波動(dòng)為79 N，功率因數(shù)為0.598;而在rpm = 0.6時(shí)功率因數(shù)達(dá)到最大0.649，此時(shí)的平均推力為479 N，推力波動(dòng)為84 N. 經(jīng)過(guò)分析得出rpm取值0.6時(shí)，平均推力提高11.5%，推力波動(dòng)減小2 N，功率因數(shù)幾乎沒(méi)變.

2.2 ? 調(diào)磁塊形狀和尺寸分析

調(diào)磁塊在直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)中起到磁場(chǎng)調(diào)制的作用，通過(guò)合理設(shè)計(jì)調(diào)磁塊形狀和尺寸，可以有效提高直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的平均推力和功率因數(shù).

2.2.1 ? 調(diào)磁塊形狀

首先選取等高度的矩形、橢圓形和梯形調(diào)磁塊，結(jié)構(gòu)如圖6所示，其中梯形調(diào)磁塊的上下邊長(zhǎng)大小不固定，按分析參數(shù)時(shí)的圖形為準(zhǔn).

對(duì)圖6（a）所示的矩形調(diào)磁塊的直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的推力特性和功率因數(shù)影響進(jìn)行仿真分析，得到結(jié)果如圖7所示. 在矩形寬度線性增加時(shí)，平均推力呈增大趨勢(shì)，功率因數(shù)呈先增大后減小趨勢(shì). 最大推力為557 N時(shí)，wmb為9 mm，但此時(shí)功率因數(shù)劇減;在矩形調(diào)磁塊寬wmb趨于6.32 mm時(shí)（調(diào)磁塊與非調(diào)磁塊等寬），功率因數(shù)最大為0.652，平均推力為430 N. 以功率因數(shù)為優(yōu)先考慮，則認(rèn)為矩形調(diào)磁塊寬6.32 mm時(shí)較優(yōu).

對(duì)圖6（b）所示的橢圓形調(diào)磁塊的實(shí)長(zhǎng)軸長(zhǎng)度進(jìn)行分析，本文定義橢圓的實(shí)長(zhǎng)軸一半為we1，經(jīng)過(guò)仿真得到的功率因數(shù)與推力特性如圖8所示. 由圖8可知，功率因數(shù)先增大后減小，但增加的幅度沒(méi)有矩形調(diào)磁塊的大;平均推力呈緩慢遞增，推力波動(dòng)較矩形調(diào)磁塊的小，其平均推力也較小，在橢圓半實(shí)長(zhǎng)軸4 mm附近時(shí)功率因數(shù)達(dá)到最大0.602，平均推力為363 N，與矩形調(diào)磁塊相比，功率因數(shù)和平均推力都相對(duì)較小.

對(duì)圖6（c）所示的梯形結(jié)構(gòu)的調(diào)磁塊進(jìn)行有限元仿真分析，結(jié)果如圖9所示. 由圖9（a）可知，四角的功率因數(shù)較低，中心部分即wmb1和wmb2在4～8 mm的功率因數(shù)較高，最高可達(dá)到0.658，此時(shí)平均推力為436 N. 由圖9（b）可知，四角平均推力較低，左上部分即wmb1在4～6 mm和wmb2在6 ～ 8 mm時(shí)平均推力較高，最大可以達(dá)到454 N. 在圖9（c）的推力波動(dòng)圖中，推力波動(dòng)在wmb2為6～8 mm時(shí)最小，可達(dá)到18.75 N. 可見(jiàn)wmb1在4～6 mm和wmb2在6～8 mm時(shí)推力特性和功率因數(shù)都較好.

對(duì)比3種結(jié)構(gòu)的調(diào)磁塊，推力特性和功率因數(shù)都較優(yōu)的結(jié)構(gòu)是梯形調(diào)磁塊，其次是矩形調(diào)磁塊，最后是橢圓形調(diào)磁塊. 綜合3種結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)增加調(diào)磁塊尺寸有助于提高平均推力和功率因數(shù)，但也會(huì)增加調(diào)磁塊材料的用量. 選用適當(dāng)形狀的調(diào)磁塊，對(duì)電機(jī)性能有很大幫助. 因此，需要綜合考慮材料成本、功率因數(shù)和推力特性等因素，合理選擇調(diào)磁塊形狀.

2.2.2 ? 曲邊梯形調(diào)磁塊側(cè)邊磁力線軌跡

對(duì)比圖10的磁力線分布圖發(fā)現(xiàn)，上下兩側(cè)水平的調(diào)磁塊使氣隙磁力線數(shù)量增加，兩側(cè)邊的弧度、傾斜度對(duì)磁力線也有一定影響，本文主要分析調(diào)磁塊兩側(cè)邊磁力線軌跡.

以Halbach永磁陣列電機(jī)（HA-MGFLM）中矩形調(diào)磁塊為基礎(chǔ)，兩側(cè)邊以圓弧軌跡來(lái)分析，應(yīng)用三點(diǎn)（A，B，C）確定圓弧，設(shè)置調(diào)磁塊結(jié)構(gòu)如圖11所示. 以左側(cè)圓弧為例，wmb3為矩形調(diào)磁塊中心點(diǎn)到圓弧中心點(diǎn)B的距離，當(dāng)中心點(diǎn)從B向B1移動(dòng)過(guò)程中，wmb3從大到小變化. wmb4與之類似.

由圖12（a）可知，較大功率因數(shù)主要集中在右下角區(qū)域，在左側(cè)曲邊半徑wmb3較大且右側(cè)曲邊半徑wmb4較小處，最大功率因數(shù)可達(dá)到0.634，此時(shí)平推力為483 N;較大平均推力集中在圖12（b）的右上角位置，平均推力隨著左側(cè)曲邊半徑wmb3增大而增大，最大可以達(dá)到522 N，此時(shí)功率因數(shù)為0.591;在兩者最大值之間的參數(shù)也都明顯高于原始模型的平均推力和功率因數(shù). 推力波動(dòng)隨左側(cè)曲邊半徑wmb3 增大而減小，除了圖12（c）左側(cè)軸附近有兩處較高推力波動(dòng)（90 N左右）外，其余位置推力波動(dòng)都不大（30 ～ 40 N）. 綜合考慮功率因數(shù)、推力與制作工藝等問(wèn)題，為提高電機(jī)特性，需要合理設(shè)計(jì)調(diào)磁塊尺寸.

2.3 ? 齒靴寬度分析

根據(jù)公式（2），不同的電樞齒靴寬度對(duì)氣隙磁通密度有著重要的影響，進(jìn)而影響輸出推力與功率因數(shù)的大小. 在本文中法向充磁直線調(diào)制電機(jī)采用開(kāi)口槽，齒靴寬度wt為8 mm. 直觀上來(lái)講，開(kāi)口槽繞組嵌線簡(jiǎn)單但齒槽效應(yīng)大，而閉口槽可以有效減小齒槽效應(yīng)，但同時(shí)帶來(lái)繞組嵌線困難和鐵心結(jié)構(gòu)復(fù)雜等問(wèn)題.

齒靴寬度在一定范圍內(nèi)增加，齒靴內(nèi)磁路的飽和程度也會(huì)降低，磁動(dòng)勢(shì)也會(huì)減小，從而使功率因數(shù)減小，并且可以減小齒靴與其下方調(diào)磁塊之間的漏磁，使氣隙磁通密度幅值有小幅度的增加，平均推力也會(huì)小幅度增加，但較大的齒靴寬度又會(huì)增加齒靴之間的漏磁.

對(duì)不同槽開(kāi)口寬度的電機(jī)仿真計(jì)算，得到功率因數(shù)與推力特性如圖13所示，其變化趨勢(shì)符合磁力線分布規(guī)律，隨著齒靴寬wt在8～14 mm之間增加，功率因數(shù)呈曲線減小，平均推力有小幅度的增大. 綜合考慮后，電樞鐵心不能采用槽的開(kāi)口寬度過(guò)大（wt > 10 mm）的半開(kāi)口槽型結(jié)構(gòu).

3 ? 優(yōu)化設(shè)計(jì)

建立平均推力和功率因數(shù)的多項(xiàng)式響應(yīng)面模型，即包含各結(jié)構(gòu)參數(shù)的數(shù)學(xué)關(guān)系式為：

F=-705.727 - 48.171rpm + 19.307wt + 12.465wmb1 +

8.080wmb2 + 168.941wmb3 - 31.923wmb4 +

11.367θ0 + 1.200rpm wt - 7.877rpm wmb1 -

30.008rpm wmb2 + 121.441rpm wmb3 - 40.423rpm wmb4 +

11.392rpm θ0 - 0.081wt wmb1 - 0.138wt wmb2 +

0.082wt wmb3 + 0.129wt wmb4 + 0.014wt θ0 +

4.393×10-3wmb1 wmb2 - 2.093wmb1 wmb3 +

1.770wmb1wmb4 + 0.127wmb1θ - 1.306wmb2wmb3 -

1.039wmb2wmb4 + 0.313wmb2θ0 + 3.170wmb3wmb4 -

1.363wmb3θ0 + 0.441wmb4θ0 - 1 007.841r2

pm -

0.591w2

t - 0.502w2

mb1- 2.084w2

mb2 -

6.697w2

mb3 - 4.916w2

mb4 - 0.062θ2

0

P=-0.232 - 0.501rpm + 0.011wt + 8.831×10-3wmb1 +

8.373×10-3wmb2 + 0.114wmb3 - 8.373×10-3wmb4 +

9.316×10-3θ0+2.165×10-3rpm wt-5.021×10-3rpm wmb1-

8.850×10-3rpm wmb2 + 0.067rpm wmb3 - 0.021rpm wmb4 +

5.352×10-3rpm θ0-2.130×10-4wt wmb1+7.971×10-5wt wmb2 +

5.893×10-4wt wmb3 - 8.395×10-5wt wmb4 - 1.346wt θ0 +

1.427×10-3wmb1 wmb2 - 2.482×10-3wmb1 wmb3 -

2.110×10-3wmb1wmb4 + 5.808×10-5wmb1θ0 -

9.751×10-3wmb2wmb3 - 2.470×10-3wmb2wmb4 +

8.999×10-5wmb2θ0 + 4.132×10-4wmb3wmb4 -

6.831×10-4wmb3θ0 + 1.818×10-4wmb4θ0 - 0.612r2

pm -

5.980w2

t - 5.154×10-4w2

mb1+ 8.421w2

mb2 +

3.895×10-3w2

mb3 + 2.303×10-3w2

mb4 - 2.603×10-5θ2

0

（7）

式中：F為平均推力;P為功率因數(shù).

對(duì)兩函數(shù)的優(yōu)化模型函數(shù)與62次數(shù)學(xué)驗(yàn)證的有限元仿真結(jié)果比較，如圖14所示. 橫坐標(biāo)為試驗(yàn)次數(shù)，縱坐標(biāo)為目標(biāo)函數(shù)值，可見(jiàn)平均推力和功率因數(shù)數(shù)學(xué)模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元仿真結(jié)果基本吻合，并且隨著試驗(yàn)次數(shù)的增多，目標(biāo)值與函數(shù)預(yù)測(cè)值之間的誤差沒(méi)有很大變化，也證明了這兩個(gè)多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的準(zhǔn)確性.

兩目標(biāo)函數(shù)的準(zhǔn)確度驗(yàn)證完成后，將最大的功率因數(shù)作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)，優(yōu)化后的電機(jī)平均推力不小于法向充磁直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)推力的90%作為約束條件，具體公式如下：

f = max（cos φ）

Favg ≥90%·F0 ? ? ?（8）

式中：cos φ為功率因數(shù);Favg為平均推力;F0為法向充磁直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的平均推力.

對(duì)相同參數(shù)影響下兩目標(biāo)函數(shù)的分析，得到不同優(yōu)化參數(shù)下，平均推力與功率因數(shù)的關(guān)系. 應(yīng)用Box-Behnken優(yōu)化方法得到如圖15（a）所示的優(yōu)化結(jié)果，選取平均推力為400～420 N，功率因數(shù)為0.69～0.73的部分平均推力與功率因數(shù)關(guān)系圖，圈出部分是在一定平均推力值下的較大功率因數(shù)區(qū)域.圖15（b）為帕累托前沿圖. 與法向充磁直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的平均推力428.5 N、功率因數(shù)0.497相比，功率因數(shù)最大可以提高約46.9%.

由圖15（b）可以看出，功率因數(shù)最大可以達(dá)到0.73左右，相應(yīng)參數(shù)下的平均推力為390 N左右;當(dāng)平均推力為400 N左右時(shí)，功率因數(shù)可以達(dá)到0.72以上，相比原始電機(jī)功率因數(shù)已經(jīng)提高很多，所以考慮最優(yōu)方案集中在平均推力為400 N以上.

本文選擇綜合平衡法對(duì)直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的平均推力和功率因數(shù)兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行綜合分析，得到如表2所示的3個(gè)備選優(yōu)化方案. 其中，方案1的平均推力最大，但功率因數(shù)是3個(gè)優(yōu)化方案中最小的. 方案3的功率因數(shù)最大，但平均推力最小. 平衡兩目標(biāo)值后選擇表2中的方案2為最終優(yōu)化方案，此時(shí)電機(jī)結(jié)構(gòu)如圖16所示，槽口由原電機(jī)的開(kāi)口槽變?yōu)榘腴_(kāi)口槽;永磁體寬度稍有改變，但總體永磁體用量沒(méi)有改變;調(diào)磁塊由矩形變?yōu)榍吿菪危{(diào)磁塊的面積也有所增加.

表3為上述方案得到的優(yōu)化結(jié)果與仿真結(jié)果比較. 由表3可知，功率因數(shù)的誤差僅為0.14%，平均推力誤差為3.6 N，占比0.09%，說(shuō)明方案的準(zhǔn)確性. 此方案較原始電機(jī)，雖然平均推力降低了4.2%，但功率因數(shù)從0.497上升到0.720，提高了約44.9%. 同時(shí)通過(guò)傅里葉分解分析了原始方案和優(yōu)化方案的氣隙磁通密度分布，如圖17所示，優(yōu)化方案的氣隙磁通密度基波含量增加了16.9%，根據(jù)1.2.2節(jié)的解析分析可知，氣隙磁通密度基波的增加有利于功率因數(shù)的提高.

4 ? 結(jié) ? 論

本文以適用于長(zhǎng)行程的直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)為研究對(duì)象，由于調(diào)制環(huán)的存在，導(dǎo)致氣隙磁通密度幅值和正弦度降低，故電機(jī)功率因數(shù)較低. 以提高氣隙磁通密度幅值和正弦度為研究目標(biāo)，應(yīng)用Box-Behnken方法對(duì)永磁體分布、齒靴寬度和調(diào)磁塊形狀、尺寸等參數(shù)進(jìn)行了優(yōu)化，優(yōu)化后的直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)功率因數(shù)可以達(dá)到0.720，相比原電機(jī)的0.497提高了約44.9%;平均推力為410.4 N，降低了4.2%. 本文所提出的方法能在平均推力大小滿足應(yīng)用要求的情況下，大幅提高直線磁場(chǎng)調(diào)制電機(jī)的功率因數(shù)，該方法也可應(yīng)用于其他類型的電機(jī)優(yōu)化設(shè)計(jì)中.

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收稿日期：2021-06-24

基金項(xiàng)目：2020年湖南省杰出青年科學(xué)基金資助項(xiàng)目（2020JJ2005），Natural Science Foundation of Hunan Province （2020JJ2005）

作者簡(jiǎn)介：劉曉（1981—），男，黑龍江哈爾濱人，湖南大學(xué)教授，博士

通信聯(lián)系人，E-mail：15776588064@163.com