黎聰笑， 顏 駿， 趙 峰

（四川師范大學 物理與電子工程學院，四川 成都610066）

在宇宙學標準模型中，宇宙的演化過程大致可分為4 個時代［1-4］.

（I）強子時代：溫度介于T=1031～1012K.在這一時代中宇宙的物質是高度相對論性的基本粒子以及反粒子構成的等離子體.這些粒子包括夸克、膠子、電子、μ子、τ 子、中微子、光子、W和Z 玻色子、引力子及其反粒子.強子時代中粒子的總自旋狀態(tài)數g*≈106.75，起止時間為t=10-43～10-4s.

（II）輕子時代：溫度介于T=1012～4 ×109K.在這一時代只有較少量的粒子存留下來.殘留的粒子包括光子、引力子、質子、中子、電子、μ 子、τ 子、中微子及其反粒子、引力子及其反粒子.輕子時代中粒子的總自旋狀態(tài)數g*≈21.25，起止時間為t=10-4～10 s.

（III）輻射時代：溫度介于T=4 ×109～104K.在這一時代，電子將產生湮滅效應，殘余電子的密度與質子和中子的密度均遠小于光子和中微子的密度.輻射時代中粒子的總自旋狀態(tài)數g*≈7.25，起止時間為t=10 ～1012s.

（IV）物質時代：溫度T＜104K.這一時代開始時，輻射密度將低于物質密度，電子與質子結合形成中性氫原子和氦原子，物質與輻射之間的耦合作用將變得很弱，物質時代的起止時間為t=1012s ～137 a.

上述宇宙演化過程中的起止時間都是由Einstein宇宙學場方程和量子統(tǒng)計物理原理結合而估算出的.目前天文學觀察表明宇宙中最普遍的化學元素是氫元素，豐度為75%，而4He 豐度約25%，其他的輕元素或金屬所占有的豐度很小.由于大量的4He不可能在星體內部出現(xiàn)，所以對氦豐度比較合理的物理解釋是4He 產生于宇宙早期的熱運動之中.這時氦產生的數量與中子的利用率有關，而弱相互作用保持了中子和質子之間的化學平衡.當溫度降至幾MeV 以下時，這些弱相互作用將會失效.因此，質子與中子的比率將被“凍結”，所以原初的核合成完成于大爆炸后的幾分鐘，對應輻射時代的早期階段，這時自由質子和中子將結合成氦元素和其他元素.目前，氦豐度的理論計算和觀測數據較為一致，這是對宇宙學標準模型的一個有力支持，美國宇宙學家Peebles 由于微波背景輻射理論和氦豐度計算的早期工作獲得2019 年度諾貝爾物理學獎.

在額外維空間隨時間演化的宇宙模型中［5］，3維空間中的基本耦合常數也可能隨時間發(fā)生變化.這些耦合常數包括精細耦合常數α、弱作用耦合常數GW、強作用耦合常數αs、引力耦合常數G.它們與額外維空間的標度因子（或半徑）R及額外維內部空間的維數d有關.Kolb等［6］首先研究了3 種基本耦合常數α、GW、G 隨時間變化時對大爆炸核合成的影響，當氦豐度的觀測值取為Yp=0.24 ±0.01時，那么D=10 的超弦模型［7］給出的內部空間尺度變化約為0.5%，D=6 和D=11 時的Kaluza -Klein模型［8-12］給出的內部空間尺度變化約為1%.隨后Barrow［13］進一步考慮了強作用耦合常數αs隨時間變化時的原初核合成過程，當氦豐度的觀測值取為Yp=0.24 ±0.01 時，計算結果表明10維超弦模型給出的內部空間尺度變化小于0.2%，而6 維和11 維的Kaluza-Klein模型給出的內部空間尺度變化小于0.7%和1.1%.因此，Barrow［13］進一步改進了Kolb 等［6］的計算結果.文獻［14 -30］分別研究了量子修正和有限溫度修正下反應率對原初核合成的影響，還討論了氦豐度對引力耦合常數和額外維模型中物理參量的約束.

本文考慮3 種耦合常數α、GW、G 隨時間發(fā)生變化的情況，在Mukhanov 給出的核合成反應率公式［13-14］的基礎上重新計算了額外維數d對氦豐度的影響.首先，當額外維半徑變化值取ε =10-2和ε=10-3時，分別計算了d=2 到d=11 時的氦豐度數值，結果發(fā)現(xiàn)ε =10-2時，額外維數的變化對氦豐度的變化有較明顯的影響；而當ε =10-3時，額外維數的變化對氦豐度變化的影響很小.其次，本文考慮了額外維半徑R隨時間振蕩變化的情況，分別計算了δ=10-2和δ=10-3時額外維數d和約化振蕩周期同時增加時的氦豐度變化值，結果表明δ=10-2時，氦豐度的變化比較明顯，而δ=10-3時，氦豐度的變化值很小.本文還將討論和分析額外維效應和振蕩效應存在時的氦豐度變化規(guī)律.

1 早期宇宙中的氦豐度計算結果

宇宙學標準模型中的Friedman方程為

其中，H是Hubble參量，ρ為物質密度，由于極端相對論氣體在宇宙早期的物質分布中占主導地位，此時物態(tài)參量為γ=1/3，所以有

在電子和中微子作用下，宇宙早期的中子-質子有3 種相互轉化的反應式

隨著宇宙的膨脹，宇宙的溫度開始下降，當宇宙的膨脹速率等于反應率時H=T，那么此時的溫度被稱為凍結溫度Tf，也稱為退耦溫度.在非相對論極限下的中子-質子數密度之比為

其中Q是中子和質子的質量差.另外，4 費米子相互作用a+b→c+d的微分截面可用下式［3］給出

其中矩陣元為

|M|2=費米耦合常數取為GF≈1.166 37 ×10-11MeV-2，gA≈1.273 9為軸矢量耦合常數，（Pa·Pb）和（Pc·Pd）為4 -動量的標積，ma，b，c，d為反應粒子的質量.首先考慮溫度在幾個MeV 下的反應n +νe?p +e-，其中核子是非相對論的，這時有如下近似：

其中，mp、mn和me分別表示質子、中子和電子的質量，ve是電子的速度，εν是入射中微子的能量，εe≈εν+Q是出射電子的能量，將（6）-（7）式代入（5）式得到的微分截面為

其中忽略了中微子的mν的質量，對（8）式積分后可得到的反應率為

當溫度kT＞2mec2時，電子的能態(tài)被電子-正電子對所占據，根據Pauli不相容原理，這時微分截面減少為

這時在時間間隔Δt內給定體積內的中子數Nn的減少量為

其中（nεν=1/1 +eεν/kT）表示中微子所占據的數目，vν和Tν分別表示中微子的速度與溫度，并且

為相體積元，而中子豐度定義為

這里假設早期宇宙中的重子數守恒，于是nν-過程中的中子豐度的變化率為

其中Γnν表示衰減率.又由方程（10）和（11）可得

其中，Γ（Tν）表示衰減率Γnν中的積分函數，是當溫度低于kT≈2mec2時，由于Pauli不相容原理，其中（1 +e-εe/kT）項的貢獻可以設為1，又因為mec2/εe?1，對剩下的部份引入積分變量x=εν/kTν有

所以反應率最終表達式為

其中，βν=1/kTν，常數ζ（5）=1.037 44，并且有數值關系（45ζ（5）/2）/（7π4/30）= 1.027，又稱為Mukhanov反應率［13-14］.如果僅考慮如下兩體反應

那么反應率約為2Γσν.當H=2Γσν時熱平衡處于臨界狀態(tài)，由此可導出退耦溫度滿足的方程為

（20）式可以進一步化簡為

其中，中子和質子質量差Q=1.293 MeV，軸矢量耦合常數gA≈1.273 9，費米耦合常數GF≈1.166 37 ×10-11MeV-2，引力耦合常數G = 6.703 × 10-39GeV-2，ζ（5）=1.037 44.當宇宙處于退耦溫度時，其中僅存在正負電子、光子和3 種正反中微子，并且mp/mn可近似取為1.這時粒子的總自旋態(tài)數為

將上述質量差、耦合常數和總自旋態(tài)數代入（21）式中有

數值計算后得到的退耦溫度Tf≈0.704 085 MeV.接下來可計算氘合成的開始時刻tD，由質子和中子形成氘和光子的反應為

同理，可根據Friedman方程（2）來計算氘合成的開始時刻，這時

此時的早期宇宙仍以輻射為主，物態(tài)參量為γ =1/3，于是有

此時光子的溫度可視為宇宙的溫度，隨著宇宙溫度的下降，中微子等離子體與宇宙流通光子之間不再保持充分的熱接觸，這些中微子的溫度與宇宙溫度不再一致.所以，粒子的有效總自旋狀態(tài)數將變?yōu)槿缦赂话愕男问?/p>

這時中微子和光子溫度關系為

正負電子湮滅后的g*為

此時正負電子對g*無貢獻，中微子有3 種，即Nν=3，所以g*變?yōu)?/p>

由核物理中給出的氘合成溫度為TD=0.086 MeV，將其代入（26）式可得到氘合成的時間為

由于中子可進一步發(fā)生放射性衰變，并且遵守如下衰變關系

其中N0為t=0 時的粒子數，N為經過時間t后還留存的粒子數，λ 為衰變常數，這時中子平均壽命為

將（33）式代入（32）式中有

因此考慮了中子自發(fā)衰變效應后的中子-質子比變?yōu)?/p>

其中取中子平均壽命取為TD=885.7 s，代入退耦溫度，氘合成的時刻及中子平均壽命后，那么通過計算得到的中子-質子比值為

又因為4He核是由2 個中子和2 個質子構成，而宇宙中的所有中子和部分質子將構成氦核，設mHe為單個4He的質量，nHe為其數密度，核子質量mN≈mn≈mp，那么氦豐度YP定義為

4He核中有4 個核子，即mHe≈4mN，4He 核中有2個中子，假定宇宙中所有的中子最終都合成進入了4He核，即nHe=nn/2，那么（37）式變?yōu)?/p>

又由（38）式可計算出此時的氦豐度YP約為

這與當前氦豐度的觀測值取YP=0.24 ±0.01.

2 額外維空間存在時的氦豐度修正值

首先觀察未考慮額外維空間存在時的平衡方程（20）式，其中3 種耦合常數α、GW、G 將影響退耦溫度的數值.當存在額外維空間時，或稱為K-K效應產生影響時，那么這3 種耦合常數隨額外維空間的標度因子（或半徑）R及維數d的變化關系分別為

其中，α=e2為精細結構常數，Δm∝α 表示中子和質子的質量差正比于精細結構常數.b0表示當前的額外維半徑，b（t）表示氦合成時的額外維半徑，GF0表示氦合成時的弱耦合常數，GF（t）表示當前的弱耦合常數，α0表示氦合成時的精細結構常數，α（t）表示當前的精細結構常數，G0表示氦合成時的引力耦合常數，G（t）表示當前的引力耦合常數，額外維半徑變化值可設為b（t）/b0=1 +ε ＞1.所以，有如下關系：

當額外維半徑變化值分別取ε =10-2和ε =10-3時，通過數值計算可得氦豐度修正值，如表1所示.

表1 當ε=10-2，退耦溫度、中子數-質子數之比及氦豐度與額外維的關系Tab. 1 The relationship between decoupled temperature，the ratio of neutron number to proton number and helium abundance with the extra dimensions when ε=10 -2

3 額外維空間振蕩變化時的氦豐度修正值

K-K效應存在時的一般形式下的退耦溫度方程為

其中，（1 +ε）=b（t）/b0＞1，b（t）為氦合成時的額外維緊致球半徑，b0為當前的額外維空間半徑.如果標度因子隨時間發(fā)生周期性的振蕩變化，那么可做如下假設

其中，ω=2π/T*為振蕩頻率，T*表示振蕩周期，當t=t0時，可給出如下初值條件b（t0）=b0（1 +δsin ωt），即當前的額外維為周期性振蕩的起點，那么有sin 2π·t0/T*=0，其中t0表示當前的宇宙年齡，所以有如下關系

其中，N為額外維半徑的振蕩次數，當前的宇宙年齡為t0=4.352 ×1018s，所以振蕩周期為T*=t0/N=4.352 ×1018/Ns.進一步，設N=1018/n，將N帶入T*中即可得關系式T*=4.352ns，這里n的物理意義可以理解為額外維半徑的約化振蕩周期，其變化值如表2 所示.

表2 額外維半徑約化振蕩周期n和振蕩周期T*的變化值Tab. 2 The variation values of reduction oscillation period and oscillation period for extra dimension radius

這時，sin 2πtD/T*= sin 2πN·tD/t0，又因為N=1018/n，并且tD=178.604 s，所以有

由此得到具有振蕩效應時的修正退耦溫度方程為

其中，δ =10-2，10-3，Tf的單位是MeV，通過數值計算得到額外維數d與約化周期n改變時氦豐度YP的變化關系，如表3 和4 所示.

表3 δ=10-2時額外維數d與約化振蕩周期n和氦豐度YP 關系Tab. 3 The relationship between extra dimensions and reduction oscillation periods with helium abundance when δ=10 -2

表4 δ=10-3時額外維數d與約化振蕩周期n和氦豐度YP 關系Tab. 4 The relationship between extra dimensions and reduction oscillation periods with helium abundance when δ=10 -3

4 結論與討論

本文首先由4 費米子相互作用的散射微分截面導出了Mukhanov 反應率的表達式，然后根據Einstein- Friedman 方程計算出了退耦溫度Tf≈0.704 MeV，以及氘合成的時間tD≈178.55 s，最后在此基礎上計算出了宇宙氦豐度的數值約為YP=0.231.

當額外維空間存在時，那么精細耦合常數α、弱作用耦合常數GW、引力耦合常數G 的變化將隨時間和內部空間尺度R（t）發(fā)生變化，并且G 變化與額外維空間的維數有關，其中，弱作用耦合常數GW和引力耦合常數G 的變化將通過宇宙學平衡方程影響退耦溫度Tf的數值，引力耦合常數G 的變化將影響氘合成的時間tD；另外，精細耦合常數α的變化將影響質子和中子的質量差.因此，3 種耦合常數隨時間和內部空間標度因子的變化將通過質子-中子的粒子數之比［np/nn］的變化體現(xiàn)出來，這些耦合常數隨時間變化的綜合效應將影響氦豐度的計算數值.

其次，本文還采用了Mukhanov 反應率公式，并根據額外維空間存在時的平衡方程，進一步推導出了退耦溫度的Tf的修正表達式.當額外維標度因子的變化值取為ε =10-2，并且額外維空間維數由d=2 至d=11 變化時，那么可以通過數值計算得到關于氦豐度的一系列修正值.結果發(fā)現(xiàn)隨著d的增加，氦豐度的數值也變大并介于YP=0.217 ～0.226之間.當ε =10-3時，數值計算得出的氦豐度約為YP=0.230，隨著d的增加，YP幾乎不發(fā)生改變.這些研究結果說明了額外維尺度的數量級變化較大時，氦豐度隨空間維數的增加而變化較為明顯.

另外，本文還計算了當額外維空間隨時標度因子間振蕩變化時的氦豐度值.當額外維尺度變化的數量級值取為δ =10-2，約化振蕩周期介于100≤n≤103之間，維數由d=2 至d=11 變化時，氦豐度值呈平緩增加的趨勢；當約化振蕩周期n=104時，那么隨著維數d的增加，氦豐度值幾乎不發(fā)生改變.當δ =10-3，并且約化振蕩周期介于10 ≤n≤103之間時，計算結果表明隨著維數由d=2 增至d=11，氦豐度值YP≈0.230 并且不發(fā)生改變；當約化周期介于n=104時，那么隨著維數d的增加，YP≈0.231 也不發(fā)生改變，但是對應的氦豐度值略大.因此，額外維尺度數量級變化較大時，無論隨著空間維數d的增加，還是約化振蕩周期的增大，氦豐度數值的變化都較為顯著，本文的研究為從宇宙學的角度證實額外維空間是否存在提供了一定的理論依據和觀測對比.