柳耀亮

位值制思想是一種非常重要的思想，它在數(shù)的認(rèn)識(shí)教學(xué)中有著舉足輕重的作用。在實(shí)際教學(xué)中，往往因教師未讀懂“無(wú)聲”教材背后所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，導(dǎo)致教師對(duì)位值制概念理解模糊，從而影響學(xué)生對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)、數(shù)感的培養(yǎng)與計(jì)算算理的理解。為此，筆者就如何有效滲透“位值制”這一思想進(jìn)行了研究，試圖通過(guò)借“單位”之別對(duì)比數(shù)數(shù)、用“學(xué)具”之妙直觀認(rèn)數(shù)和順“湊十”之線夯實(shí)計(jì)算這三個(gè)教學(xué)維度有效滲透“位值制”思想，達(dá)成化“無(wú)聲”教材為“有魂”教學(xué)的目的。

一、借“單位”之別對(duì)比數(shù)數(shù)，讓教學(xué)有“魂”

數(shù)源于數(shù)，其實(shí)數(shù)數(shù)是數(shù)不同的“計(jì)數(shù)單位”，也是位值制思想的一種數(shù)學(xué)實(shí)踐。通過(guò)讓學(xué)生用不同的方法數(shù)，溝通“數(shù)數(shù)”和“計(jì)數(shù)單位”之間的聯(lián)系，感受數(shù)數(shù)就是數(shù)出幾個(gè)計(jì)數(shù)單位，從而初步滲透位值制思想。

【案例】100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)。

教材從“百羊圖”引入，通過(guò)讓學(xué)生數(shù)數(shù)量是100 的不同物體（曲別針、小棒、方木塊），使學(xué)生學(xué)會(huì)手、口一致地?cái)?shù)數(shù)，初步了解100 以內(nèi)數(shù)的順序，整體感知100的大小。而對(duì)于計(jì)數(shù)單位的形成與十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的體會(huì)，教材只是靜態(tài)呈現(xiàn)，無(wú)聲告知，更多的需要教師去用心研讀，智慧處理。

在教學(xué)“數(shù)100 根小棒”的環(huán)節(jié)，有位教師同時(shí)讓學(xué)生采用兩種不同方式數(shù)數(shù)，同桌兩人左邊同學(xué)“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)到100，右邊同學(xué)從10 開始“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)到100。

師：剛才同桌兩人用不同的數(shù)法都數(shù)出了100 根小棒。我請(qǐng)“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)的同學(xué)說(shuō)說(shuō)你有什么感覺(jué)？

生：“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)，我數(shù)了100 下，感覺(jué)很麻煩！

師：“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)的同學(xué)，你們是不是也有這樣的感受呢？

生：有。

師：“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)的同學(xué)，你們又是怎樣數(shù)到100 的呢？

生1：我先數(shù)出10 根，再數(shù)10 根就是20……繼續(xù)下去數(shù)了10 次就是100。

生2：我也是先數(shù)10 根，然后10 根一堆分開來(lái)放著，再10、20、30……最后也跟他一樣數(shù)出100 根。

師：雖然這兩位同學(xué)小棒的放法有點(diǎn)不同，其實(shí)都是先“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)出10，再“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)到100。

師：如果再讓你們數(shù)一次，你們更喜歡怎樣數(shù)到100 呢？

（多數(shù)學(xué)生喜歡“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)到100）

師：我發(fā)現(xiàn)多數(shù)同學(xué)喜歡“10個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)到100，那是為什么呢？

生：1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)太麻煩，還容易數(shù)錯(cuò)。

師：（追問(wèn)）那10 個(gè)10 個(gè)地?cái)?shù)，也是要先1 個(gè)1 個(gè)地?cái)?shù)出10呀！

生：后來(lái)是10、20、30……以這樣10 個(gè)10 個(gè)為單位，感覺(jué)就不一樣了。

師：這位同學(xué)說(shuō)到了“單位”，還真有那么回事！“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)是以——（生：1 個(gè)為單位），而“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)是以——（生：10 個(gè)為單位）。看來(lái)大家已經(jīng)接受了“十”這個(gè)重要的計(jì)數(shù)單位。真棒！

師：那你能說(shuō)說(shuō)一百里面有幾個(gè)十？幾個(gè)十是一百嗎？

生：一百里面有10 個(gè)十，10個(gè)十是一百。

師：那以“1 個(gè)”為單位，“ 1個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)，數(shù)到100，你又想到了什么？

生：我想到了100 個(gè)一是一百，一百里面有100 個(gè)一。

……

上述教學(xué)，教師基于教材又高于教材。通過(guò)讓學(xué)生用兩種不同“計(jì)數(shù)單位”對(duì)比數(shù)數(shù)，除了達(dá)成了解數(shù)序、培養(yǎng)數(shù)感目標(biāo)之外，旨在有效滲透十進(jìn)位值制這一重要思想。由于“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)是最基本的數(shù)數(shù)方法，是計(jì)數(shù)的實(shí)質(zhì)，相應(yīng)的計(jì)數(shù)單位“一”是學(xué)生最初接觸的，也是整數(shù)最基本的計(jì)數(shù)單位。而相應(yīng)的“10 個(gè)一就是十”的形成和“滿十進(jìn)一”的位值制思想，也是最初的感受。因此，數(shù)數(shù)過(guò)后，教師根據(jù)這一特點(diǎn)，采用了兩種不同方式的提問(wèn)：“1 個(gè)1 個(gè)”地?cái)?shù)讓學(xué)生直接談感受，而“10 個(gè)10 個(gè)”地?cái)?shù)則是讓學(xué)生談數(shù)法。在此基礎(chǔ)上，教師抓住時(shí)機(jī)進(jìn)行兩個(gè)基本計(jì)數(shù)單位的鮮明對(duì)比與位值制思想的滲透，最終不僅讓學(xué)生感受到同一終點(diǎn)的兩種不同“計(jì)數(shù)單位”的數(shù)數(shù)方法，而且也讓學(xué)生深刻地感受到“滿十進(jìn)一”這一十進(jìn)位值制思想對(duì)兩種數(shù)法的統(tǒng)一滲透，同時(shí)也有效體現(xiàn)了化“無(wú)聲”教材為“有魂”教學(xué)的目的。

二、用“學(xué)具”之妙直觀認(rèn)數(shù)，讓教學(xué)有“魂”

“計(jì)數(shù)單位”的概念比較抽象，位值制思想更是“深藏不露”，對(duì)于以直觀形象思維為主的學(xué)生來(lái)說(shuō)確實(shí)難以理解，而學(xué)具正好具備了真實(shí)、具體、直觀、形象的特點(diǎn)。因此，在認(rèn)數(shù)過(guò)程中，科學(xué)、合理地使用直觀學(xué)具對(duì)計(jì)數(shù)單位的學(xué)習(xí)和位值制思想的滲透起著至關(guān)重要的作用。

例如，在“100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，教師可以借助小棒、小方塊等素材，通過(guò)小棒的數(shù)量概念——根、捆來(lái)表示個(gè)、十、百，這里因?yàn)槊扛“舳际悄举|(zhì)的或塑料的，這樣就很好地發(fā)揮了學(xué)具“直觀化、齊性”這一特點(diǎn)的價(jià)值。在教學(xué)“萬(wàn)以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”時(shí)，我們可以先呈現(xiàn)一堆小棒、一些小方塊這樣的直觀學(xué)具，當(dāng)我們直接用眼睛一下子看不出具體有多少時(shí)，自然產(chǎn)生將這些學(xué)具進(jìn)行“結(jié)構(gòu)化”的需求。于是就出現(xiàn)了“10 根一捆、10 個(gè)一列、10 列一面、10 面一體”這樣“結(jié)構(gòu)化”的“新學(xué)具”。這樣“結(jié)構(gòu)化”的過(guò)程，無(wú)疑給學(xué)生造成了強(qiáng)烈的視覺(jué)沖擊，迫使學(xué)生一眼看出小棒或其他素材的數(shù)量，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)了十進(jìn)位值制，有效滲透了位值制思想。

我們還可以利用計(jì)數(shù)器，“珠子”相同，但是珠子所在的位置不同，所代表的數(shù)也不同。比如，教師在教學(xué)“100 以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識(shí)”中，出現(xiàn)45 和54，同樣都畫了9個(gè)珠子，為什么一個(gè)是45，一個(gè)是54 呢？同樣都是4 和5 這兩個(gè)數(shù)字，為什么數(shù)的大小不同呢？那是因?yàn)橹樽拥膫€(gè)數(shù)雖然相同，但是珠子所在的位置不同，每個(gè)珠子所表示的意義也不同，直觀形象地讓學(xué)生感受到不同的“位置”體現(xiàn)了不同的“計(jì)數(shù)單位”。

透過(guò)上述認(rèn)數(shù)教學(xué)，我們能感受到不同的直觀學(xué)具確實(shí)發(fā)揮著不同的價(jià)值。小棒、第納斯方塊作為齊性、結(jié)構(gòu)性的學(xué)具，它可以把看不清數(shù)量的學(xué)具，十個(gè)一捆，百個(gè)一圈或十個(gè)一列，百個(gè)一面，千個(gè)一體進(jìn)行結(jié)構(gòu)化，從而讓學(xué)生能“看”清楚，便于學(xué)生感受“十進(jìn)制”，體會(huì)不同計(jì)數(shù)單位的形成。而計(jì)數(shù)器作為邏輯結(jié)構(gòu)化的學(xué)具，它能很好地體現(xiàn)“位值制”，具體地表現(xiàn)出計(jì)數(shù)單位，不同數(shù)位上的珠子表示不同的計(jì)數(shù)單位，正是這樣的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，使得計(jì)數(shù)器不僅能容易表示出較大的數(shù)，幫助學(xué)生清楚地?cái)?shù)出較大的數(shù)，同時(shí)也可以有效幫助學(xué)生建立起“位次”感，即前一位的大小是后一位大小的十倍，即所謂的“十進(jìn)位值制”。

從散亂的學(xué)具到齊性、直觀、結(jié)構(gòu)化的學(xué)具再到齊性、邏輯結(jié)構(gòu)化的學(xué)具，我們有選擇地使用這些學(xué)具，不僅有利于學(xué)生逐步掌握數(shù)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)，而且有利于學(xué)生進(jìn)一步建構(gòu)位值概念，深入認(rèn)識(shí)數(shù)的概念，切實(shí)將“無(wú)聲”教材化為“有魂”教學(xué)落到了實(shí)處。

三、順“湊十”之線夯實(shí)計(jì)算，讓教學(xué)有“魂”

“計(jì)算”與“認(rèn)數(shù)”的核心都是“數(shù)位”“計(jì)數(shù)單位”和“進(jìn)率”。每一節(jié)認(rèn)數(shù)課與同步的計(jì)算課都有著內(nèi)在的、必然的聯(lián)系。可以這樣理解, 認(rèn)數(shù)是對(duì)“數(shù)位”“計(jì)數(shù)單位”和“進(jìn)率”這些概念的揭示，計(jì)算則是對(duì)這些概念的深入理解和應(yīng)用。

計(jì)算課與認(rèn)數(shù)課是密不可分的，學(xué)生只有在對(duì)數(shù)理解透徹的基礎(chǔ)上, 才能從實(shí)質(zhì)上理解算理和法則，做到萬(wàn)變不離其宗，而這個(gè)“宗”就是位值制思想。因此，筆者在“20 以內(nèi)的進(jìn)位加法”中強(qiáng)化不同位置表示不同值的道理，粗淺地形成一條位置值的教學(xué)鏈。其中“9+幾”這一課時(shí)內(nèi)容，正是這條教學(xué)鏈中的一個(gè)主要環(huán)節(jié)，起著承上啟下的關(guān)鍵作用。所謂“承上”，是指在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)了兩位數(shù)的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“和是兩位數(shù)”的進(jìn)位加法，“進(jìn)位”一詞與位值制的關(guān)系不言而喻，“進(jìn)位”的“位”字就是數(shù)的位置的意思；所謂“啟下”，是指在深入理解了“9+幾”進(jìn)位加法的算理之后，“8+幾、7+幾、6+幾”也就迎刃而解了。

【教學(xué)片斷一】導(dǎo)入“有魂”，感悟位值制。

口算：10+1，10+2，10+3……10+9。

師：為什么你們算得那么快呢？有什么規(guī)律嗎？

（板書：10+□=1□）

師：這兩個(gè)□里的數(shù)有什么特點(diǎn)？為什么一樣？式子左邊的“10”到了等號(hào)右邊是怎樣變成“1”的呢？

師：（小結(jié)）根據(jù)這個(gè)規(guī)律，我們能夠很快地算出“10+幾”的得數(shù)。這個(gè)規(guī)律可是個(gè)寶貝呢。能把它用到我們今天學(xué)的“9+幾”的算式里嗎？

盡管各個(gè)版本的教材基本上都是呈現(xiàn)具體的問(wèn)題情境來(lái)學(xué)習(xí)“9+幾”，但為了凸顯“有魂”教學(xué)，筆者的導(dǎo)入新課沒(méi)有從問(wèn)題情境出發(fā)，反而開門見山，直奔主題。一是因?yàn)閯倓倢W(xué)習(xí)了“10+幾”和“十幾減幾”的口算，學(xué)生對(duì)這類口算已經(jīng)能夠不假思索，脫口而出，準(zhǔn)確而快速的計(jì)算不僅能激發(fā)學(xué)生上課的積極性和主動(dòng)性，更為“9+幾”轉(zhuǎn)化為“10+幾”做好了鋪墊；二是因?yàn)?0 本身就是這節(jié)課要“共享”的重要資源，提前讓這個(gè)資源出來(lái)“亮相”，便于學(xué)生找出聯(lián)系，溝通算法；三是通過(guò)追問(wèn)“10”是怎樣變成“1”的這個(gè)問(wèn)題，引起學(xué)生對(duì)數(shù)位的感知，促使他們?nèi)ハ氲忍?hào)右邊的“1”表示的是1 個(gè)十，它“站”在了十位上，雖然寫的是“1”這個(gè)數(shù)字，但它的值依然是10。這就是最樸素的位值制思想。最后通過(guò)小結(jié)引導(dǎo)學(xué)生化新為舊，化難為易，輕松步入新課之旅。

【教學(xué)片斷二】算法“有魂”，突出位值制（以9+5 這個(gè)算式為例）。

師：有的同學(xué)已經(jīng)能算“9+5=14”了，有的同學(xué)還能說(shuō)出計(jì)算過(guò)程，但是也有同學(xué)還不知道這個(gè)14 是怎么得出來(lái)的?，F(xiàn)在我們一起用小棒擺一擺吧。

師：請(qǐng)出你的小棒，先擺幾根？為什么？（畫9 根小棒）再擺幾根？（畫5 根小棒） 也可以先擺——（5 根），再擺——（9 根）。

師：和同桌說(shuō)一說(shuō)，9+5=（ ），5+9=（ ），你是怎么想出來(lái)的？

交流反饋：

數(shù)數(shù)法：從9 開始往后數(shù)5個(gè)，從5 開始往后數(shù)9 個(gè)。

（一起數(shù)一數(shù)）

湊十法：把9 湊成十再加4；把5 湊成十再加4。

（一起移一移）

規(guī)律法：因?yàn)?0+4=14，所以9+5=14，一個(gè)數(shù)少1，另一個(gè)數(shù)多1，得數(shù)不變；因?yàn)?0+5=15，所以9+5=14，一個(gè)數(shù)少1，另一個(gè)數(shù)不變，得數(shù)也少1。

估算法：把9 看成10，10+5=15，多看的1 要減去，15-1=14；把5 看成10，10+9=19，多看的5要減去，19-5=14（學(xué)生一般想不到這種方法）。

師：想一想，從9 開始數(shù)，數(shù)到10 不數(shù)了，你發(fā)現(xiàn)了什么？（把9+5 轉(zhuǎn)化成10+4）這個(gè)10 是怎么得到的呢？（9+1）剛才數(shù)數(shù)的過(guò)程其實(shí)就是把9+5 轉(zhuǎn)化成了9+1+4，也就是把9 湊成10 的湊十法。

師：從5 開始數(shù)，數(shù)到10 也不數(shù)了，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（把9+5 轉(zhuǎn)化成10+4）剛才數(shù)數(shù)的過(guò)程其實(shí)就是把5+9 轉(zhuǎn)化成了5+5+4，也就是把5 湊成10 的湊十法。

師：不論是數(shù)數(shù)法還是湊十法，規(guī)律法還是估算法，這幾種方法都和哪一個(gè)數(shù)有關(guān)系？（10）為什么要用到10 這個(gè)數(shù)呢？

師：（小結(jié)）因?yàn)?0+幾=十幾，所以我們可以利用10 這個(gè)數(shù)使計(jì)算簡(jiǎn)便。

“9+幾”或“幾+9”的計(jì)算方法可以不同，但異中求同應(yīng)該是教師追求的目標(biāo)。當(dāng)學(xué)生將自己想到的方法進(jìn)行交流后，教師的引導(dǎo)就顯得格外重要。為了探究不同的計(jì)算方法，鼓勵(lì)學(xué)生有理有據(jù)地說(shuō)明想法，組織學(xué)生邊擺小棒邊說(shuō)方法，先同桌說(shuō)再全班說(shuō)。最后教師溝通幾種算法之間的聯(lián)系，突出“10”在這幾種算法中的重要地位，引導(dǎo)學(xué)生思考為什么幾種方法都離不開“10”，體會(huì)“滿十進(jìn)一”的道理，對(duì)湊十法的優(yōu)勢(shì)形成深度的認(rèn)可，對(duì)20 以內(nèi)進(jìn)位加法中的“進(jìn)位”形成深刻理解，也是對(duì)位值制由來(lái)的一種動(dòng)態(tài)展示過(guò)程。

縱觀上述“9+幾”兩個(gè)教學(xué)片斷，位值制的數(shù)學(xué)思想貫穿課堂教學(xué)始終，潛移默化潤(rùn)物無(wú)聲。如果以此為“種子課”，那么20 以內(nèi)的退位減法、百以內(nèi)的進(jìn)位加法及退位減法等計(jì)算教學(xué)內(nèi)容都可以用位值制的思想來(lái)統(tǒng)領(lǐng)，實(shí)施“有魂”教學(xué)，使位值制思想更深入人心。