管小冬

教完“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”后，我都會給學(xué)生們再上節(jié)“特殊”的復(fù)習(xí)課。課上，既沒有單元學(xué)習(xí)的回顧與梳理，也沒有日常復(fù)習(xí)課的對比練習(xí)、查錯(cuò)、析錯(cuò)，而是讓學(xué)生們“忘記”已學(xué)的除法計(jì)算法則，從頭學(xué)起，重歷除法豎式算法的形成過程，在其間達(dá)成對除法的深度理解，感悟這看似尋常的除法豎式中所蘊(yùn)含的治學(xué)方法與精神。

【案例】復(fù)習(xí)課《我真的懂除法嗎？》教學(xué)片斷

播放視頻：記者街頭采訪一位外國朋友，請他計(jì)算8×7。外國朋友知道8×7 就是把7 個(gè)8 相加，于是便從8、16、24、32 一直往后加，可惜加到7 個(gè)8 時(shí)出現(xiàn)了錯(cuò)誤，得到答案55。

（觀看過程中，很多學(xué)生都忍不住笑了起來。隨后，教師組織學(xué)生交流自己的感受。略）

師：如果請這位外國朋友去算我們剛學(xué)過的“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”，比如“823÷21”，想想，他會怎么算？

生：估計(jì)會用823 不斷去減21，看要減多少次，最后還余多少。

生：也可能不斷加21，看多少個(gè)21 最接近823。

師：看來大家都認(rèn)為這位外國朋友知道“823÷21”就是要算823 里有多少個(gè)21。不過，如果這么算的話，你們覺得他……

生：（笑著說）他會崩潰的。這也太麻煩了！

師：是啊，根據(jù)除法的意義可以得到上面這兩種基本方法。但如果每次都這么算，顯然太煩了！怎樣可以簡便？大家有什么適用于他的好建議嗎？

生：我覺得他可以先減210。因?yàn)殡m然他乘法計(jì)算能力不強(qiáng)，但21×10=210 還是好算的。

師：那我們就用210 來試試。

師生交流后，教師板書：823-210-210-210=193。

師：接下去怎么辦？

生：再用193 去減21，看能減多少次。

師：減多少次，大家知道嗎？

生：193÷21=9……4，要減9次，還余4。

（板書：193-21-21……-21=4）

師：最后答案是多少？

生：39 余4。上面減了30 個(gè)21，下面還有9 個(gè)，一共就是39個(gè)，還余4。

師：哎呀，真不簡單！在大家的幫助下，這回確實(shí)簡便了不少。如果他想把除法計(jì)算的本領(lǐng)再提高些，有什么好建議嗎？

生：那他就得去學(xué)除法豎式。

生：學(xué)除法豎式前，還得先背乘法口訣表。因?yàn)槌ㄘQ式計(jì)算離不開乘法。

師：（出示823÷21 的除法豎式，如下圖）這是我們熟悉的除法豎式，與剛才的計(jì)算過程相比，有聯(lián)系嗎？

生：除法豎式是把剛才相同的步驟合在了一起。比如，第一步其實(shí)就是減去了30 個(gè)21，第二步再減去9 個(gè)21。

師：大家看出來了嗎？除法豎式就是把原來分步減的過程又進(jìn)行了優(yōu)化。這樣我們計(jì)算除法時(shí)就方便多了。不過，這么便捷易用的除法豎式，究竟是怎么來的呢？想知道嗎？

教師逐步呈現(xiàn)歷史上不同階段的除法豎式。（如下圖）

學(xué)生閱讀后交流自己的理解與感受。感悟除法豎式計(jì)算就是一個(gè)在反復(fù)嘗試、調(diào)整中，不斷逼近、尋找結(jié)果的過程。今天所用的除法豎式算法，是一代代數(shù)學(xué)人不斷思考、優(yōu)化后的智慧結(jié)晶。

【思考】重歷，為了尋找遺失的美好！

可能會有教師要問，學(xué)完“兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)”后，學(xué)生已經(jīng)基本掌握了除法豎式的算理與算法，為何還要專門花一節(jié)課的時(shí)間來讓學(xué)生重歷算法形成過程呢？以下是我一段時(shí)間以來在除法教學(xué)過程中的一些自我追問與反思，這節(jié)復(fù)習(xí)課正是在此基礎(chǔ)上生成的。

一、對“除法教學(xué)”的追問

除法是四則運(yùn)算中公認(rèn)最難的一種運(yùn)算。一方面，除法豎式的書寫形式與學(xué)生經(jīng)驗(yàn)系統(tǒng)中加、減、乘的豎式計(jì)算形式不同，因而學(xué)生在學(xué)習(xí)除法豎式時(shí)，前序知識帶來的負(fù)遷移使其需要花費(fèi)更多時(shí)間與精力去理解、掌握；另一方面，除法計(jì)算其實(shí)是一個(gè)逐次乘、減的過程。特別是當(dāng)除數(shù)是兩位數(shù)及以上時(shí)，要順利且較為熟練地完成計(jì)算，對學(xué)生在口算、估算、判斷、決策、短時(shí)記憶等方面均有不低的要求。

為了讓學(xué)生理解除法豎式的算理，掌握算法，各版本教材多按照“表內(nèi)除法——有余數(shù)除法——除數(shù)是一位數(shù)——除數(shù)是兩位數(shù)”的脈絡(luò)進(jìn)行編排，于螺旋上升中逐步培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算技能，發(fā)展運(yùn)算能力。在上述各章節(jié)內(nèi)容的具體編排時(shí)，編寫組專家也是精心設(shè)計(jì)、煞費(fèi)苦心。以蘇教版《兩、三位數(shù)除以兩位數(shù)》單元為例，依次就有“除數(shù)是整十?dāng)?shù)商是一位數(shù)的除法口算和筆算”“除數(shù)是整數(shù)十?dāng)?shù)商是兩位數(shù)的筆算”“把除數(shù)看作與它接近的整十?dāng)?shù)試商”“四舍調(diào)商”“五入調(diào)商”等內(nèi)容。然而，即使是在這樣精細(xì)、周密的安排下，學(xué)生在除法計(jì)算中仍然會出現(xiàn)各種形式的錯(cuò)誤。經(jīng)過教師精心設(shè)計(jì)的練習(xí)與鞏固，情況雖然開始逐漸好轉(zhuǎn)，但當(dāng)五年級繼續(xù)學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)，之前我們熟悉的那些整數(shù)除法中的典型錯(cuò)誤又卷土重來。

由此，我們是否應(yīng)該做出類似這樣的追問：“在整數(shù)除法的教學(xué)中，我們?nèi)笔Я耸裁?？”“學(xué)生真的懂除法嗎？”

在《現(xiàn)代漢語詞典》中，“懂”義為“知道、了解”。那么，對于除法，學(xué)生應(yīng)該“知道、了解”什么？僅僅知道除法計(jì)算法則及相應(yīng)的算理，行嗎？

顯然，當(dāng)下我們所使用的除法豎式，是在既往研究的基礎(chǔ)上對尋求除法結(jié)果所經(jīng)歷步驟的簡約數(shù)學(xué)表達(dá)。但如果僅僅將這樣的演算視為一種程序性運(yùn)算，那么時(shí)間久了，操練過度了，學(xué)生們是否如機(jī)械一般，只知運(yùn)作，不懂思考？如此，作為促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的數(shù)學(xué)教學(xué)，作用又何在？

更進(jìn)一步，身處“百度一下就能知道”的時(shí)代，身處“計(jì)算器”隨處可見的當(dāng)下社會，學(xué)生為什么還要花費(fèi)很長時(shí)間去學(xué)習(xí)、掌握這樣的計(jì)算方法呢？

教學(xué)中，我們在重視、突出規(guī)范書寫格式的同時(shí)，是否弱化了學(xué)生對“嘗試、調(diào)整、優(yōu)化”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究中極為重要的解決問題的方法與精神的感悟？相較于那些能完美進(jìn)行除法豎式計(jì)算的學(xué)生，我們是否更應(yīng)夸贊那些能及時(shí)調(diào)整、修正直至尋找到正確結(jié)果的學(xué)生？

二、對“除法豎式”的深思

基于以上追問，我以為，我們必須再次審視、剖析作為基本運(yùn)算的除法，尤其是于現(xiàn)在的我們看來，極具數(shù)學(xué)簡約美與形式美的除法豎式，除其外顯的程序性算法外，其間還蘊(yùn)含著怎樣的數(shù)學(xué)思想、方法與精神。

“已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)非零因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算，叫做除法?！憋@然，除法的定義源自于乘法，即除法是乘法的逆運(yùn)算。《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）》對第二學(xué)段“數(shù)的運(yùn)算”部分的教學(xué)也提出了這樣的要求——“在具體運(yùn)算和解決簡單實(shí)際問題的過程中，體會加與減、乘與除的互逆關(guān)系。”

回顧除法豎式的發(fā)展歷程，（見前圖）不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下我們所學(xué)習(xí)的除法豎式，正是先輩們對“如何高效、簡潔地‘求另一個(gè)因數(shù)’”這一問題反復(fù)思考、不斷優(yōu)化后的智慧結(jié)晶。除法，特別是除法豎式，是一個(gè)不斷嘗試（估算、對比、調(diào)整）并逼近結(jié)果的過程。

是的，除法的豎式計(jì)算仍然只是一個(gè)尋找結(jié)果的過程。既然是過程，我們就不應(yīng)也不能對其間的書寫、首次正確率提出過高的要求。而這，往往又會被熟悉教材、熟稔教學(xué)過程的我們所忽視。其實(shí)，凡事總可能會出錯(cuò)，沒有錯(cuò)又哪來的對？或者說，沒有經(jīng)歷過“錯(cuò)”的對，往往會來得不夠深刻。

我想，如果我們允許學(xué)生在除法豎式計(jì)算的過程中“錯(cuò)”，鼓勵他們在“錯(cuò)”上繼續(xù)調(diào)整、完善，在這樣的過程中，他們是否更易理解除法豎式為何要寫成這樣，更能感悟于嘗試、對比、調(diào)整的往復(fù)中不斷逼近真相的治學(xué)方法，體會豎式中所蘊(yùn)含的孜孜不倦、精益求精的治學(xué)精神。亦如老子所說，“天下難事，必作于易。天下大事，必作于細(xì)。”

于是，就有了上面這樣一節(jié)“特殊”的復(fù)習(xí)課。其實(shí)，不僅僅在學(xué)完除法后我會上這樣的復(fù)習(xí)課，在平面圖形面積計(jì)算、運(yùn)算律、數(shù)的認(rèn)識……學(xué)習(xí)之后，我都會上一節(jié)“特殊”的復(fù)習(xí)課。因?yàn)?，很多時(shí)候，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)都是站在前人的肩膀上，理解、掌握那些歷經(jīng)幾百甚至是幾千年探索總結(jié)出的數(shù)學(xué)成果。教材的編排、教師的教學(xué)總是竭力將這些數(shù)學(xué)成果掰開、揉碎，力圖用最恰當(dāng)?shù)姆绞?、最短的時(shí)間、最高的效率讓學(xué)生掌握。然而方法易得，思想難悟，如果經(jīng)歷不充分、思考不深入、理解不透徹，學(xué)生是很難深刻感悟這些數(shù)學(xué)成果的優(yōu)越性以及其間蘊(yùn)含的思想、方法、意志、品質(zhì)與精神的。

那么，不妨帶著學(xué)生在此駐足，回首吧！正所謂“眾里尋他千百度，驀然回首，那人卻在，燈火闌珊處！”