郭麗君

【摘要】離散數(shù)學(xué)這門(mén)數(shù)學(xué)課程具有抽象性和邏輯性，對(duì)相關(guān)專業(yè)的后續(xù)課程學(xué)習(xí)有舉足輕重的作用.在傳統(tǒng)教學(xué)模式下，學(xué)生接受知識(shí)的情況和課堂教學(xué)效果不理想，因此教學(xué)模式的改革勢(shì)在必行.多維教學(xué)模式不僅可以應(yīng)用于離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)，還可以應(yīng)用于其他學(xué)科的基礎(chǔ)課程教學(xué)甚至某些專業(yè)的專業(yè)課程教學(xué).

【關(guān)鍵詞】離散數(shù)學(xué);教學(xué)模式;學(xué)科基礎(chǔ)

【基金項(xiàng)目】蘭州交通大學(xué)博文學(xué)院2018年教育教學(xué)改革與科技創(chuàng)新項(xiàng)目（項(xiàng)目編號(hào)：2018BWJX002）

引 言

離散數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)的一大門(mén)類，以離散量為研究對(duì)象（如自然數(shù)、整數(shù)、字母表、代碼表、符號(hào)串、真假值等），包括集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論、數(shù)理邏輯等模塊.離散數(shù)學(xué)課程是某些專業(yè)的重要先修課程，是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)工程、物聯(lián)網(wǎng)工程、通信工程、電子信息工程等計(jì)算機(jī)類和電子信息類專業(yè)的重要基礎(chǔ)課程，且是計(jì)算機(jī)類專業(yè)的核心課程.有人說(shuō)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)程度決定了計(jì)算機(jī)技術(shù)的深度，離散數(shù)學(xué)的重要性可見(jiàn)一斑.

一、傳統(tǒng)的教學(xué)模式

對(duì)于數(shù)學(xué)課程而言，傳統(tǒng)的教學(xué)模式以板書(shū)教學(xué)為主，講授內(nèi)容一般包含引例、定義、性質(zhì)、定理公式、例題等，從內(nèi)容上來(lái)看很完整，但整堂課以授課教師講解為主，學(xué)生的參與度很低或幾乎沒(méi)有，因此往往會(huì)出現(xiàn)教師在黑板前講得天花亂墜，分析得頭頭是道，而學(xué)生學(xué)到的和能接受的非常有限的現(xiàn)象.這種灌輸式的教學(xué)模式影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性.傳統(tǒng)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)方式也比較單一，一般為課程教學(xué)、案例教學(xué)等，沒(méi)有融入互聯(lián)網(wǎng)等現(xiàn)代教育技術(shù)，這很大程度上影響了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及學(xué)習(xí)能動(dòng)性.從離散數(shù)學(xué)的課程性質(zhì)上來(lái)說(shuō)，課程較抽象，教學(xué)理論性強(qiáng)，實(shí)踐環(huán)節(jié)較弱，不利于學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng).學(xué)生缺少具體分析離散數(shù)學(xué)的例子，缺少課程實(shí)踐環(huán)節(jié)，缺少參加研究性與創(chuàng)新性學(xué)習(xí)的機(jī)會(huì)，因此傳統(tǒng)教學(xué)方式不能激發(fā)學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)離散數(shù)學(xué)課程的興趣，教學(xué)效果也不理想.這表明研究和探索多維離散數(shù)學(xué)課程教學(xué)模式迫在眉睫.

二、多維教學(xué)模式

1.板書(shū)教學(xué)模式和多媒體教學(xué)模式相結(jié)合

由課堂效果和學(xué)生的課堂反應(yīng)及實(shí)踐應(yīng)用可以發(fā)現(xiàn)，僅使用板書(shū)教學(xué)的教學(xué)模式已經(jīng)無(wú)法獲得理想的教學(xué)效果和達(dá)到教學(xué)要求了，現(xiàn)代化教學(xué)模式成了很多教師首選的教學(xué)方式.但是，是徹底使用多媒體教學(xué)，是以板書(shū)為主、多媒體教學(xué)為輔，還是以多媒體教學(xué)為主、板書(shū)教學(xué)為輔，這需要教師通過(guò)課堂教學(xué)實(shí)踐，根據(jù)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力隨時(shí)調(diào)整，最終找到適合的教學(xué)模式.

在離散數(shù)學(xué)課程中，集合論中的大部分內(nèi)容都是學(xué)生在初中數(shù)學(xué)或者其他數(shù)學(xué)課程中接觸過(guò)的，他們對(duì)基本定義比較明確，對(duì)運(yùn)算公式和運(yùn)算性質(zhì)也比較熟悉.因此，關(guān)于集合論的內(nèi)容教師可以利用課件，通過(guò)多媒體演示的方式加深學(xué)生對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí).學(xué)生容易接受這種教學(xué)方式，課堂節(jié)奏也較緊湊.代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容比較抽象，從運(yùn)算的全新理解、性質(zhì)的驗(yàn)證到群、環(huán)、格和布爾代數(shù)的分類講解，教師都需要給學(xué)生充足的時(shí)間去接受和理解，因此代數(shù)系統(tǒng)的相關(guān)章節(jié)內(nèi)容適合用板書(shū)教學(xué)，教師的書(shū)寫(xiě)能讓學(xué)生有充足的理解時(shí)間.圖論和數(shù)理邏輯的內(nèi)容需要穿插大量的圖表，還需用鄰接矩陣計(jì)算相關(guān)的結(jié)果，有一定的計(jì)算量，因此教師可以充分利用多媒體教學(xué)豐富課堂內(nèi)容，又可以適當(dāng)在黑板上列出計(jì)算公式和典型例題.

2.在例題的選用上下足功夫，引起學(xué)生的共鳴，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣

離散數(shù)學(xué)課程比較抽象，如果教師在課堂上按部就班地講授，局限在教材的條條框框里，那么不僅無(wú)法達(dá)到預(yù)期的教學(xué)效果，長(zhǎng)此以往還會(huì)引起學(xué)生的反感和厭學(xué)情緒.因此教師在上課例題的選取和講解上必須貼合實(shí)際，引起學(xué)生的興趣和共鳴，再以例題為出發(fā)點(diǎn)闡述相應(yīng)定義和性質(zhì)，獲得事半功倍的效果.

比如在教師給學(xué)生講到集合的定義時(shí)，學(xué)生的第一反應(yīng)就是常見(jiàn)的自然數(shù)、整數(shù)、實(shí)數(shù)等數(shù)集，但實(shí)際上數(shù)集只是最特殊、最簡(jiǎn)單的集合，離散數(shù)學(xué)中的集合無(wú)論從元素的性質(zhì)上還是表示形式上都有了很大的拓展，此時(shí)可以用身邊的事物作為集合的例題.比如我們要清查教室里的桌椅，那么所有的桌椅便組成了一個(gè)集合，記為A={a1，a2，…，an，b1，b2，…，bm}.如果我們?cè)谇宀闀r(shí)要求一張桌子必須配兩把椅子，那么我們的集合應(yīng)為A={（a1，b11，b12），（a2，b21，b22），…，（a30，b301，b302）}，很顯然元素ai，i=1，2，…，30表示教室中有30張桌子，元素bij，i=1，2，…，30，j=1，2表示每張桌子都配了兩把椅子，集合中元素的形式不再是一些單一的個(gè)體，而是每張桌子和對(duì)應(yīng)的兩把椅子的關(guān)系.通過(guò)例題，教師可以讓學(xué)生理解集合中的元素可以是單一的，也可以是若干個(gè)元素的序列.因此，桌椅及生活的一切事物都可以成為集合中的元素，這由研究的目的決定.

3.在課堂上融入人文思想

在數(shù)學(xué)課堂上談人文似乎是風(fēng)馬牛不相及的事情，但很多數(shù)學(xué)家不僅是數(shù)學(xué)家，還是著名的思想家、哲學(xué)家，因此從數(shù)學(xué)的角度給學(xué)生講授人生道理是非常有說(shuō)服力的，同時(shí)可啟發(fā)學(xué)生從另一個(gè)角度去認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)，從而喜歡上數(shù)學(xué).

比如很多群名詞的分類定義：半群→單元半群→群→可換群.對(duì)于包含一個(gè)二元運(yùn)算符號(hào)的代數(shù)系統(tǒng)，如果滿足結(jié)合律就可以稱為半群，又有了單位元素稱為單元半群，在此基礎(chǔ)上若存在逆元素則改稱為群，若此時(shí)滿足交換律則稱為可換群.對(duì)于這些名詞，用死記硬背的方法記憶并不長(zhǎng)久，而且學(xué)生會(huì)感覺(jué)枯燥無(wú)趣，教師可以用“升級(jí)打怪”來(lái)類比群定義的進(jìn)階，也可以用學(xué)生的經(jīng)歷類比：成為小學(xué)生，通過(guò)學(xué)習(xí)具備更高的技能，步入大學(xué).再如講到單位元素和零元素時(shí)，教師可以讓學(xué)生思考：“在日常生活中我們是選擇做單位元素？還是做零元素？”一開(kāi)始學(xué)生會(huì)一臉茫然，教師可以解釋：“我認(rèn)為在日常相處時(shí)我們要做安靜的單位元素，不要去改變別人，而在一些原則問(wèn)題上，我們一定要做倔強(qiáng)的零元素，不能讓別人改變.”學(xué)生聽(tīng)后若有所思.當(dāng)學(xué)生會(huì)心一笑時(shí)，相信他們已經(jīng)理解了單位元素和零元素的含義.

4.適當(dāng)整合教學(xué)內(nèi)容，合理分配課程學(xué)時(shí)

離散數(shù)學(xué)的內(nèi)容與領(lǐng)域非常廣泛，最基本的內(nèi)容為集合論、代數(shù)系統(tǒng)、圖論和數(shù)理邏輯四部分，按各部分的具體內(nèi)容又分為集合論基礎(chǔ)、關(guān)系、函數(shù)、有限集與無(wú)限集、代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)、群論、環(huán)論、圖論原理、樹(shù)與歐拉圖、命題邏輯、謂詞邏輯等十一章.按照人才培養(yǎng)方案要求及教學(xué)大綱規(guī)定，計(jì)算機(jī)類專業(yè)該課程開(kāi)設(shè)48學(xué)時(shí).在有限的學(xué)時(shí)里，教師既要完成既定的教學(xué)任務(wù)，又要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，取得良好的教學(xué)效果，有效整合教學(xué)內(nèi)容，合理分配學(xué)時(shí).

為了不讓學(xué)生對(duì)離散數(shù)學(xué)產(chǎn)生內(nèi)容繁雜、晦澀難懂的印象，教師可以在該課程第一節(jié)課的說(shuō)課環(huán)節(jié)告訴學(xué)生離散數(shù)學(xué)有四部分內(nèi)容，各部分內(nèi)容既相互聯(lián)系又相對(duì)獨(dú)立.教師在每部分內(nèi)容教授結(jié)束后進(jìn)行一次復(fù)習(xí)指導(dǎo)和典型習(xí)題分析，使學(xué)生在心理上覺(jué)得該課程內(nèi)容簡(jiǎn)潔、易學(xué)習(xí).教師通過(guò)復(fù)習(xí)指導(dǎo)強(qiáng)化各章節(jié)之間的聯(lián)系，使學(xué)生建立起完整的知識(shí)體系，為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

但是所謂的內(nèi)容簡(jiǎn)潔并不是指刪減甚至去掉某些內(nèi)容，而是指少而精.教師在講課的過(guò)程中適當(dāng)簡(jiǎn)化部分定理的證明，或者對(duì)某些重要定理只解釋清楚原因，不做詳細(xì)推導(dǎo)，但一定要用相應(yīng)例題說(shuō)明定理的作用.總而言之，教師要做到重點(diǎn)突出，學(xué)以致用.授課教師在課前課后做足功課，反復(fù)推敲上課的每個(gè)細(xì)節(jié)和步驟，對(duì)課程內(nèi)容做適當(dāng)整合，分配好各部分學(xué)時(shí).

5.在課堂上引入離散建模應(yīng)用實(shí)例

離散數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)建模中的應(yīng)用十分重要，數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決客觀世界中實(shí)際問(wèn)題的行之有效的手段.教師在課堂上引入離散建?？梢允箤W(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)有直觀的理解和認(rèn)識(shí)，在鞏固學(xué)生所學(xué)內(nèi)容的同時(shí)讓學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)，提高數(shù)學(xué)思維和實(shí)踐應(yīng)用能力.離散數(shù)學(xué)課程比傳統(tǒng)數(shù)學(xué)課程的抽象性更強(qiáng)，教師一味地在課堂上講定義、講定理、講推理，難免會(huì)將離散數(shù)學(xué)課堂變成死板僵硬的理論課堂.事實(shí)上，該課程的實(shí)用性非常強(qiáng)，因此教師適當(dāng)加入離散建模應(yīng)用實(shí)例有利于將該課程“變活”.

但在教學(xué)中加入離散建模例題時(shí)，教師既要顯得不生硬，又要引起學(xué)生的興趣，以利于學(xué)生理解.比如，代數(shù)系統(tǒng)的內(nèi)容與學(xué)生以前學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)差別較大，運(yùn)算較抽象.作為一個(gè)研究特定關(guān)系的數(shù)學(xué)分支，其有很重要的地位，在教學(xué)中適當(dāng)引入相關(guān)的離散建模實(shí)例是再好不過(guò)的了.講開(kāi)關(guān)代數(shù)時(shí)，教師可先引導(dǎo)學(xué)生驗(yàn)證該代數(shù)系統(tǒng)中的運(yùn)算能否滿足布爾代數(shù)的要求和性質(zhì)，再引導(dǎo)學(xué)生思考該布爾代數(shù)為什么稱為開(kāi)關(guān)代數(shù).在學(xué)生能將代數(shù)運(yùn)算與或門(mén)、與門(mén)、非門(mén)對(duì)應(yīng)起來(lái)后，教師進(jìn)一步引入數(shù)字邏輯電路中的離散建模實(shí)例.通過(guò)與實(shí)際關(guān)聯(lián)和引入離散建模，學(xué)生不僅理解了枯燥難懂的定義，也對(duì)相關(guān)內(nèi)容有了深刻印象和濃厚興趣，這就達(dá)到良好的教學(xué)效果.

6.打造精品課程，實(shí)現(xiàn)線上線下同步學(xué)習(xí)

隨著信息技術(shù)的發(fā)展，課堂形式也豐富多樣起來(lái)，除傳統(tǒng)的教室授課外，利用互聯(lián)網(wǎng)實(shí)現(xiàn)課后繼續(xù)學(xué)習(xí)已成為新興教學(xué)模式中必不可少的一種.對(duì)于離散數(shù)學(xué)這類較抽象但對(duì)后續(xù)專業(yè)課學(xué)習(xí)極為重要的學(xué)科基礎(chǔ)課來(lái)說(shuō)，教師應(yīng)充分利用好網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)，將該課程建設(shè)成精品課程，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，并且可在網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上建設(shè)習(xí)題庫(kù)，上傳重難點(diǎn)小視頻、精品課件、教案等方式，實(shí)現(xiàn)線上線下同步學(xué)習(xí).

總 結(jié)

綜上所述，作為一門(mén)學(xué)科基礎(chǔ)課程，離散數(shù)學(xué)十分重要，離散數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)與教師的教學(xué)水平有重要關(guān)系，而良好的教學(xué)模式是決定教學(xué)水平的關(guān)鍵因素，教師可根據(jù)自己多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)逐漸調(diào)整和轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，同時(shí)不斷在課堂中進(jìn)行實(shí)踐研究，形成較好的教學(xué)模式.

【參考文獻(xiàn)】

[1]徐潔磐.離散數(shù)學(xué)導(dǎo)論（第3版）[M].北京：高等教育出版社，2004.

[2]魚(yú)先鋒，李超.離散數(shù)學(xué)集合論模塊的實(shí)踐教學(xué)研究[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào)，2016（2）：70-73.

[3]楊洪，張宏禮，朱桂英.離散數(shù)學(xué)課程案例式教學(xué)方法初探[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2015（5）：30.

[4]黃秦安.“離散數(shù)學(xué)”的范式革命及其意義[J].科學(xué)學(xué)研究，2019（2）：228-234.