□楊潤歌 郜舒竹

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》（以下簡稱《課標(biāo)》）中指出，在數(shù)學(xué)課程中，應(yīng)當(dāng)注重發(fā)展學(xué)生的推理能力。推理是人們?nèi)粘Ｉ詈蛯W(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的思維方式，它一般包括合情推理和演繹推理。在解決問題的過程中，兩種推理的功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論?！墩n標(biāo)》中主要強調(diào)了演繹推理、歸納推理和類比推理，需要進(jìn)一步思考的問題有：這幾種推理形式之間的關(guān)系是什么？是否還有其他的推理形式？推理能力指怎樣的數(shù)學(xué)能力？

一、推理

人的思維方式包括概念、判斷和推理，其中推理（Reasoning）是指從一個命題判斷到另一個命題判斷的思維過程。[1]對于這種思維形式可以從形式邏輯推理和辯證邏輯推理進(jìn)行深入認(rèn)識。

（一）形式邏輯推理

形式邏輯包括演繹邏輯和歸納邏輯的內(nèi)容，它指撇開具體的、個別的思維內(nèi)容，從形式結(jié)構(gòu)方面來研究命題。演繹邏輯是以演繹推理為基本內(nèi)容的邏輯體系，其中演繹推理指由一般性知識為前提推出個別性知識結(jié)論的推理。而歸納邏輯是以歸納推理為基本內(nèi)容的邏輯體系，其中歸納推理是從個別性知識為前提推出一般性知識結(jié)論的推理。

演繹推理與歸納推理均是由前提推出結(jié)論的過程，只不過演繹推理是由一般到特殊的過程，前者涵蓋的知識內(nèi)容要大于后者，按這一思維方式進(jìn)行推理得出的結(jié)論必定是正確的，因此演繹推理亦可稱為必然推理。相反，歸納推理是由特殊到一般的過程，其中的完全歸納推理為必然推理，不完全歸納推理則為合情推理。

類比推理是根據(jù)兩個或兩類對象某些屬性的相同，推出它們的其他屬性也可能相同的推理。類比推理是一種合情推理，其可靠程度取決于“前提中確認(rèn)的共同屬性的多少以及共同屬性和類推出來的屬性的關(guān)系是否密切”。[2]因此，按必然推理與合情推理的分類標(biāo)準(zhǔn)對《課標(biāo)》中的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行整理，如圖1所示。

圖1 部分推理形式關(guān)系圖

《課標(biāo)》中談及“教師在教學(xué)過程中，應(yīng)該設(shè)計適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動，引導(dǎo)學(xué)生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力”。但圖1的推理關(guān)系表明，歸納推理并非全部屬于合情推理的范圍，而僅指歸納推理中的不完全歸納推理。

在形式邏輯的學(xué)科視野中，推理前提的真實性是由各門具體科學(xué)給定的，是各門具體科學(xué)研究的對象，形式邏輯本身是無從證實其前提內(nèi)容真實性的。[3]也就是說形式邏輯推理是從具體推理中抽象出推理形式進(jìn)行研究，只要滿足其同一律、矛盾律和排中律即可，無須考慮內(nèi)容。這就使得《課標(biāo)》中關(guān)于“通過實例使學(xué)生逐步意識到，結(jié)論的正確性需要演繹推理的確認(rèn)”的說法，更值得細(xì)細(xì)推敲，即進(jìn)行演繹推理的前提不一定都是正確的。

（二）辯證邏輯推理

辯證邏輯不是關(guān)于思維的外在形式的學(xué)說，它研究概念的矛盾和轉(zhuǎn)化，是現(xiàn)實的矛盾運動在思維運動中的反映。[4]概念間的組合會形成命題或判斷，而推理又是從一個判斷到另一個判斷的過程，因此概念、判斷和推理三者之間環(huán)環(huán)相扣。辯證邏輯將概念中的矛盾繼續(xù)延伸到推理中。矛盾的普遍性決定了當(dāng)以辯證的眼光看待問題時，任何事物都是對立統(tǒng)一的存在，也就是矛盾具有客觀性，這種矛盾是無法消除或避免的。

在形式邏輯中也存在矛盾律，是指某一命題或判斷不能既為真又為假。只要遵守這條規(guī)律，注重命題或判斷的描述，矛盾是可以避免的，這一點與辯證邏輯有所不同?！墩n標(biāo)》關(guān)于“證明命題時，應(yīng)要求證明過程及其表述符合邏輯，清晰而有條理”這一表述中的“符合邏輯”是符合形式邏輯。一是指推理形式符合規(guī)律，主要是指矛盾律。若按形式邏輯理解矛盾律自然可以避免，但若以辯證思維來考慮問題，矛盾一定存在就不合乎邏輯了。二是忽略了推理內(nèi)容。比如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)四年級下冊出現(xiàn)的“雞兔同籠”問題，其中一種解題想法是“使雞抬起一只腳”以及“兔抬起兩只腳”，進(jìn)而推理出雞兔各為多少。[5]這一過程中出現(xiàn)的“是雞”“非雞”與“是兔”“非兔”的內(nèi)容情境是存在矛盾的，顯然也不符合形式邏輯。

形式邏輯推理與辯證邏輯推理各有其特性，二者相輔相成，可以從形式與內(nèi)容兩個角度以辯證思維看待推理形式?！墩n標(biāo)》中將合情推理與演繹推理作為兩種相輔相成的推理形式，強調(diào)“‘證明’的教學(xué)應(yīng)關(guān)注學(xué)生對證明必要性的感受，對證明基本方法的掌握和證明過程的體驗”。此處似乎將推理能力的發(fā)展寄托于證明題，并在附錄中出示了相關(guān)例題（參見《課標(biāo)》例62）。事實上，推理不僅存在于證明題中，在應(yīng)用題的求解、知識點的學(xué)習(xí)等內(nèi)容中均有體現(xiàn)，且推理形式不拘泥于《課標(biāo)》中所談及的。

二、多樣性

推理的教學(xué)往往不會孤立存在于某一板塊內(nèi)容與某幾種形式之間，因此除《課標(biāo)》中談及的演繹推理、歸納推理和類比推理外，推理的形式是多種多樣的。

（一）比例推理

比例推理（Proportional Reasoning）是關(guān)于數(shù)量關(guān)系的思考，要求同時對幾個數(shù)量或值做出比較。[6]在小學(xué)數(shù)學(xué)教科書中比例推理常以缺失值的形式呈現(xiàn)。如“小明騎行4千米用時20分鐘，小剛同速騎行12千米需要多長時間？”對于該問題，可以從以下三個角度思考。其一“一份是多少”的策略，根據(jù)小明的騎行信息可知二人的騎行速度為1分鐘行駛千米，或行駛1千米用時5分鐘，此時再運用速度、時間與路程的數(shù)量關(guān)系即可求得小剛的用時。其二“倍數(shù)有多少”的策略，小剛比小明多走了3倍，所用時間亦為3倍關(guān)系。其三“交叉相乘”策略，利用二者同速的條件列方程求解。[7]前兩種策略是建立在學(xué)生生活經(jīng)驗之上的一種直觀方法，而第三種策略是學(xué)生慣用的一種算法，只要遇到相似形式的方程就會做出的一種操作，因此，需要進(jìn)一步思考這種算法背后的算理是什么。

除了缺失值形式的比例外，也存在不依賴于任何特定數(shù)值而進(jìn)行的比例推理。比如“兩片魚塘，A魚塘的面積大于B魚塘面積，但是A魚塘中的魚苗數(shù)量少于B魚塘中的魚苗數(shù)量，問哪片魚塘的魚苗密度更大？”此時不需要具體數(shù)值即可推理得出B魚塘中的魚苗密度更大。

比例推理的應(yīng)用也較為廣泛，例如地圖上的比例尺、比較哪種商品更劃算以及溶液濃度等等。因此，要用聯(lián)系的眼光來看待推理，它既存在于數(shù)學(xué)中，也存在于日常活動中。

（二）協(xié)變推理

協(xié)變推理（Covariational Reasoning）是協(xié)調(diào)兩個變量，同時關(guān)注它們彼此之間變化方式的認(rèn)知活動。[8]在中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的函數(shù)，協(xié)變推理表現(xiàn)得更為突出，以一次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為例進(jìn)行說明。一次函數(shù)的一般式如y=kx+b（k、b是常數(shù)，其中k≠0），當(dāng)自變量x變化時，因變量y也會隨之變化。而k表示該函數(shù)的斜率即方向，因其為常數(shù)所以不隨x的變化而變化，常數(shù)b的變化只改變函數(shù)圖象上下移動的位置。指數(shù)函數(shù)的一般式如y=ax（a為常數(shù)，且a>0，a≠1），其圖象如圖2所示。因變量y會隨自變量x的變化而變化。在a從0趨近于無窮大（以為例）的過程中（不包括a≠1），函數(shù)的曲線從分別接近于y軸與x軸正半軸的單調(diào)遞減函數(shù)的位置，趨向分別接近于y軸與x軸負(fù)半軸的單調(diào)遞增函數(shù)的位置。

圖2 指數(shù)函數(shù)圖象

從這兩種函數(shù)中可以看出，當(dāng)常數(shù)值不變時，一個變量的變化會引起另一個變量的變化；當(dāng)兩個變量不變而常數(shù)值發(fā)生變化時，函數(shù)圖象的位置會改變。也就是說，當(dāng)任一量變化時，總會有另一個量協(xié)同變化。

再如整個宇宙中的能量均遵循能量守恒定律，進(jìn)行自由落體的鐵球在墜落過程中存在重力勢能與動能的轉(zhuǎn)換，也可看作是兩個量的協(xié)變過程?？梢?，協(xié)變推理強調(diào)的是部分與部分、部分與整體間的聯(lián)系。所謂部分間的聯(lián)系是指兩個變量間的變化方式，如因變量隨自變量變化，抑或是能量之間相互轉(zhuǎn)換。部分與整體的聯(lián)系是指通過部分間的聯(lián)系而使整體一直處于一種穩(wěn)定平衡的狀態(tài)，如無論因變量和自變量怎樣變化，始終滿足某一函數(shù)的表達(dá)式，抑或是總能量的守恒。因此，在進(jìn)行推理的過程中，可將部分與整體聯(lián)系起來進(jìn)行思考。

（三）變換推理

變換推理（Transformational Reasoning）是通過改變原有問題情境形成新的狀態(tài)或狀態(tài)連續(xù)體。[9]變換推理是指從情境入手對某一問題的思考打破常規(guī)。比如“從家到超市，爸爸要走12分鐘，小明要走15分鐘，爸爸的速度比小明快百分之幾？”有的學(xué)生可能認(rèn)為“比誰除誰”即（15-12）÷15=0.2=20%，未意識到題目中給出的是時間關(guān)系，而非速度關(guān)系，所以此種做法是錯誤的。可以通過線段圖的方式進(jìn)行求解，將題目中的時間關(guān)系轉(zhuǎn)化為路程關(guān)系，如圖3所示。其中A部分與B部分分別表示爸爸和小明在12分鐘內(nèi)走的距離，C部分表示在12分鐘內(nèi)爸爸比小明多走的距離。根據(jù)速度乘時間等于路程的關(guān)系式，速度與路程成正比，因此題目中問二人的速度關(guān)系可轉(zhuǎn)化為路程關(guān)系，此時根據(jù)線段圖可以得出（15-12）÷12=0.25=25%，即爸爸的速度比小明快25%。

圖3 路程線段圖

此問題也可采用變換推理改變問題情境，假設(shè)父子二人均步行60分鐘，此時爸爸按之前的速度可以走5趟，小明走4趟，（5-4）÷4=0.25=25%。其解題的本質(zhì)與線段圖解法一致，均借助父子二人的路程關(guān)系求解。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，線段圖解法采用數(shù)形結(jié)合的思想，能夠明晰題目中的數(shù)量關(guān)系，而變換推理從情境入手簡化問題降低計算難度，二者對同一問題的解決殊途同歸。

推理存在于數(shù)學(xué)與生活之中，而在數(shù)學(xué)中不僅僅局限于《課標(biāo)》中談及的證明題，它貫穿于數(shù)學(xué)課程的各個內(nèi)容中，這體現(xiàn)了推理的普遍性。推理作為一種思維方式的存在，其形式是多種多樣的，不可能被窮盡，要時刻以聯(lián)系與變化、部分與整體的觀點進(jìn)行思考，這體現(xiàn)了推理的聯(lián)系性。對于推理的正確認(rèn)識將有助于思考如何將其作為一種數(shù)學(xué)能力滲透到數(shù)學(xué)課程與教學(xué)中。

三、推理的能力

推理能力是借助推理的數(shù)學(xué)思維方式以解決問題的能力。推理的過程一定要讓學(xué)生親身經(jīng)歷，讓學(xué)生不但要知其然，還要知其所以然。也就是說，學(xué)生知道某種形式的算法往往是不夠的，還要明白其背后的算理。

正如前文中提到的“交叉相乘”算法，其計算法則背后隱藏著推理。教師可將題目中小剛需要的時間設(shè)為x分鐘，其分?jǐn)?shù)方程表達(dá)式為而后可改寫為20÷4=x÷12。再根據(jù)等式的性質(zhì)，等號兩邊同時乘或除以同一個不為0的數(shù)，等式仍然成立，因此變形為20÷4×12=x，此時再將其改寫回分?jǐn)?shù)形式這樣就能明白計算口訣的意義了。

再如中學(xué)數(shù)學(xué)課程中的指數(shù)運算“3-2×3-3=3-5”，學(xué)生記住了“底數(shù)相同，指數(shù)相加”的計算規(guī)則，而規(guī)則中同樣隱藏了推理。即2個與3個相乘，得到的5個就是=3-5。

這是一種“如何（How）”與“為什么（Why）”之間的差距，中間缺失的橋梁正是推理，而導(dǎo)致橋梁缺失的原因是學(xué)生為了追求“又對又快”的結(jié)果，逐漸忽視算理。另外，在學(xué)習(xí)某一知識時，除了追根溯源探求其所以然外，還應(yīng)注意一種內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以有多種推理形式。

在比的學(xué)習(xí)內(nèi)容中可以涉及類比推理、比例推理和協(xié)變推理。首先是類比推理，比的內(nèi)容并非初次接觸，是由除法到分?jǐn)?shù)再到比。除法中的被除數(shù)是分?jǐn)?shù)中的分子，是比中的前項；除法中的除數(shù)是分?jǐn)?shù)中的分母，是比中的后項；除法中的商是比中的比值。因此運用類比推理，得出比也具有與除法和分?jǐn)?shù)相同的性質(zhì)，即比的前項和后項同時乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。其次是比例推理，利用比可以配置不同濃度的溶液，以及同一濃度不同容積的溶液。最后是協(xié)變推理，要想得到同一濃度不同容積的溶液，濃縮液與水的體積也就是比的前項和后項要協(xié)同變化，來保證濃度即比值不變。由此可看出比例推理與協(xié)變推理有共通之處，且在配制溶液問題中，二者均利用了比的性質(zhì)。這也說明推理不僅與數(shù)學(xué)和日常生活有聯(lián)系，而且不同推理形式之間也是有聯(lián)系的。

因此，數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)的推理能力，應(yīng)當(dāng)是用聯(lián)系與發(fā)展的眼光看待問題的綜合能力。

綜上，推理作為一種思維形式，要將推理的形式結(jié)構(gòu)與內(nèi)容結(jié)合起來辯證地加以認(rèn)識。在知識學(xué)習(xí)以及問題解決過程中存在多樣的推理形式，它們之間相互聯(lián)系，并不是彼此割裂的對立面。