陳秀華

（大田縣教師進(jìn)修學(xué)校，福建大田366100）

建立數(shù)學(xué)模型是指學(xué)生能夠從現(xiàn)實(shí)生活情境中抽象出數(shù)學(xué)的問(wèn)題（發(fā)現(xiàn)、提出數(shù)學(xué)問(wèn)題）；經(jīng)歷猜測(cè)、驗(yàn)證，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系、圖形關(guān)系或變化規(guī)律，從而求出結(jié)果（分析、解決數(shù)學(xué)問(wèn)題）；再將結(jié)果遷移運(yùn)用到新的實(shí)際問(wèn)題中解決相類(lèi)似的問(wèn)題的過(guò)程。學(xué)生在建立數(shù)學(xué)模型，求解運(yùn)用數(shù)學(xué)模型的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題的能力以及分析和解決問(wèn)題的能力得到良好的培養(yǎng)；能更透徹地理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更準(zhǔn)確地把握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)，從中體會(huì)到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思維方式，感悟數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維能力的提升。［1］建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模能力培育的過(guò)程。那么，怎樣在小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中培育數(shù)學(xué)建模能力呢？

一、鋪墊模型：將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題

一切數(shù)學(xué)的概念、原理、規(guī)律、定律都能夠在生活中找到原型。生活原型是建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的源頭活水。在教學(xué)過(guò)程中，適當(dāng)?shù)匾牒线m的生活事例，可以讓學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)問(wèn)題起源于真實(shí)世界，而不是來(lái)源于課本；可以有效地消除學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)抽象性極強(qiáng)的數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的恐懼。［2］因此，教師應(yīng)根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)精心地選用現(xiàn)實(shí)情境，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，找準(zhǔn)學(xué)生的認(rèn)知最近發(fā)展區(qū)，將數(shù)學(xué)問(wèn)題巧妙地蘊(yùn)藏在創(chuàng)設(shè)的現(xiàn)實(shí)情境中，引導(dǎo)學(xué)生在現(xiàn)實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，將生活問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題，引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考。

如“植樹(shù)問(wèn)題”一課，教師首先出示一組圖片（如圖1），請(qǐng)學(xué)生看圖，并說(shuō)一說(shuō)“有幾枚釘子幾幅畫(huà)”。

圖1

學(xué)生發(fā)現(xiàn)了顯而易見(jiàn)的規(guī)律：有3枚釘子3幅畫(huà)。引發(fā)學(xué)生進(jìn)一步思考：幾枚釘子10幅畫(huà)？30枚釘子幾幅畫(huà)？釘子和畫(huà)之間有什么關(guān)系？總結(jié)出釘子的枚數(shù)和畫(huà)的張數(shù)一樣多的規(guī)律。

接著，教師出示第二組圖片（如圖2），請(qǐng)學(xué)生看圖，并說(shuō)一說(shuō)發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？想提什么數(shù)學(xué)問(wèn)題？

圖2

學(xué)生通過(guò)仔細(xì)觀察，發(fā)現(xiàn)了規(guī)律：2枚釘子1幅畫(huà)，3枚釘子2幅畫(huà)，4枚釘子3幅畫(huà)。提出問(wèn)題：幾枚釘子8幅畫(huà)？15枚釘子幾幅圖？100枚釘子幾幅圖？引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步思考：釘子和畫(huà)之間有什么關(guān)系？最后總結(jié)出釘子的枚數(shù)總是比畫(huà)的張數(shù)多1的規(guī)律。

創(chuàng)設(shè)這樣的現(xiàn)實(shí)情境，符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，因此能夠激活學(xué)生“植樹(shù)問(wèn)題”的生活經(jīng)驗(yàn)，并從中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題，激發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。生活中，用釘子固定畫(huà)時(shí)，有時(shí)釘子和畫(huà)的數(shù)量相同，有時(shí)釘子和畫(huà)的數(shù)量不同。從而提出問(wèn)題：釘子的數(shù)量和畫(huà)的數(shù)量之間有什么關(guān)系呢？激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步探究的意愿，同時(shí)讓學(xué)生體會(huì)到要探究、發(fā)現(xiàn)規(guī)律，需要仔細(xì)觀察、認(rèn)真思考、深入分析，才能解決問(wèn)題。

二、建構(gòu)模型：經(jīng)歷數(shù)學(xué)建模的全過(guò)程

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在第一、二學(xué)段的“學(xué)段目標(biāo)”中對(duì)“建立數(shù)學(xué)模型”的教學(xué)目標(biāo)定位于“在教學(xué)中初步、適當(dāng)?shù)貪B透模型思想”。因此，在教學(xué)中應(yīng)根據(jù)小學(xué)階段數(shù)學(xué)知識(shí)的特點(diǎn)和學(xué)生的認(rèn)知水平，選擇合適的建模點(diǎn)，借助典型的例子，引導(dǎo)學(xué)生充分經(jīng)歷從“境”到“模”的抽象過(guò)程，大力培養(yǎng)學(xué)生“提出猜想——驗(yàn)證猜想”的科學(xué)精神，［3］在運(yùn)用模型解決相關(guān)問(wèn)題的過(guò)程中，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，感受數(shù)學(xué)模型的魅力，提升數(shù)學(xué)建模的能力。

數(shù)學(xué)建模過(guò)程大致要經(jīng)歷以下幾個(gè)步驟：創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題——提出猜想，驗(yàn)證猜想——應(yīng)用模型，解決問(wèn)題。如“乘法分配律”的教學(xué)。首先教師出示三個(gè)問(wèn)題（如圖3）。讓學(xué)生認(rèn)真讀題，審清題意，獨(dú)立解決問(wèn)題。然后提出新的問(wèn)題：每個(gè)問(wèn)題能用幾種方法解決？不同方法之間有什么關(guān)系？

圖3

在學(xué)生獨(dú)立解決問(wèn)題、自主比較異同的基礎(chǔ)上，小組討論、全班交流。解決第一個(gè)問(wèn)題有兩種方法：方法一，（78＋56）×50=134×50=6700（元）；方法二，78×50＋56×50=3900＋2800=6700（元）。解決第二個(gè)問(wèn)題的兩種方法是：方法一，（12＋18）×20=30×20=600（平方米）；方法二，12×20＋18×20=240＋360=600（平方米）。第三個(gè)問(wèn)題的兩種解決方法是：方法一，（4＋3）×6=7×6=42（個(gè)）；方法二，4×6＋3×6=24＋18=42（個(gè)）。學(xué)生通過(guò)結(jié)合具體情境交流討論、分析比較，總結(jié)出三個(gè)問(wèn)題解決的思路一樣，都有兩種解決問(wèn)題的方法，分別是先算和再算積或者是先算積再算和。進(jìn)一步分析理解三個(gè)問(wèn)題都可以用這樣的兩種方法計(jì)算的原因是其中包含有相同的因數(shù)。用兩種方法解決了同一個(gè)問(wèn)題，因此得到了三組等式：（78＋56）×50=78×50＋56×50，（12＋18）×20=12×20＋18×20，（4＋3）×6=4×6＋3×6。讓學(xué)生觀察這三組等式，理解等式的含義，提出猜想：兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把這兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再相加。

學(xué)生舉例驗(yàn)證猜想。先寫(xiě)出等式，再說(shuō)明等式成立的理由。交流學(xué)生的驗(yàn)證方法，出現(xiàn)五種典型方法。有的學(xué)生從等式意義角度說(shuō)明等式成立的理由，比如：（14＋16）×25=14×25＋16×25，左邊表示30個(gè)25，右邊表示14個(gè)25加上16個(gè)25也是30個(gè)25，所以兩邊相等，等式成立。有的學(xué)生用等式編一個(gè)數(shù)學(xué)小故事說(shuō)明等式成立的理由，比如：水果店運(yùn)來(lái)14箱蘋(píng)果和16箱梨，每箱重25千克。這些水果一共重多少千克？（○+△）×□=○×□+△×□這是用簡(jiǎn)單的圖形符號(hào)表示。有的用畫(huà)圖的方法表示。有的用字母式表示：（a+b）×c=a×c+b×c。教師有層次地呈現(xiàn)這些典型方法，讓學(xué)生在交流中尋找與自己相似的方法，在積極地討論中，不斷自我否定、自我補(bǔ)充完善，從而抽象出乘法分配律的數(shù)學(xué)模型。最后，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用乘法分配律模型解決一些生活中的實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。整個(gè)過(guò)程，學(xué)生經(jīng)歷了建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程，培養(yǎng)了數(shù)學(xué)建模能力。

三、遷移模型：應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題

數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)包括建立模型和求解模型。建立模型是指從現(xiàn)實(shí)情境或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)形式符號(hào)建立數(shù)學(xué)模型，這個(gè)過(guò)程是現(xiàn)實(shí)情境數(shù)學(xué)化的過(guò)程。求解模型是應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的過(guò)程，學(xué)生在應(yīng)用所建立的模型解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，能感受到數(shù)學(xué)模型的價(jià)值，激發(fā)建立數(shù)學(xué)模型的興趣，樹(shù)立建立數(shù)學(xué)模型的信心，發(fā)展數(shù)學(xué)建模能力。

四年級(jí)學(xué)生在學(xué)習(xí)完“線段、射線、直線”之后，研究了數(shù)線段的數(shù)學(xué)問(wèn)題。如：在數(shù)圖4中有幾條線段時(shí)，先數(shù)基本線段有3條，再數(shù)由相鄰兩條線段組成的比較長(zhǎng)的線段有2條，最后數(shù)由三條基本線段組成的最長(zhǎng)的線段有1條，1+2+3=6（條），所以一共有6條線段。再要求學(xué)生數(shù)一數(shù)圖5中有幾個(gè)角，圖6中有幾個(gè)三角形。發(fā)現(xiàn)數(shù)角和數(shù)三角形的方法和數(shù)線段一樣。認(rèn)識(shí)到數(shù)角、數(shù)三角形和數(shù)線段是具有相同結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，都是屬于數(shù)線段模型。然后設(shè)計(jì)應(yīng)用練習(xí)：5個(gè)參加講故事比賽的同學(xué)站成一排，每個(gè)人要握一次手，一共需要握幾次？研究這個(gè)問(wèn)題時(shí)要畫(huà)圖，把5個(gè)同學(xué)看成線段上的5個(gè)端點(diǎn)，一共需要握1+2+3+4=10（次）。有6支足球隊(duì)，要進(jìn)行單循環(huán)比賽，一共要賽幾場(chǎng)？要把6支足球隊(duì)看成線段上的6個(gè)端點(diǎn)，一共需要賽1+2+3+4+5=15（場(chǎng)）。

圖4

圖5

圖5

比如：學(xué)習(xí)完“植樹(shù)問(wèn)題”可以設(shè)計(jì)這樣的變式練習(xí)：（1）在全長(zhǎng)900米的馬路兩邊裝路燈，每隔30米裝一盞，一共要裝多少盞？這道題的變式屬于條件性擴(kuò)展。沒(méi)有明確指出實(shí)際裝路燈的情況（兩端都裝，兩端都不裝，還是只裝一端），因此學(xué)生需要進(jìn)行分類(lèi)思考，根據(jù)自己所假設(shè)的裝燈情況進(jìn)行解答，還要注意“路的兩邊”這個(gè)擴(kuò)展性條件不能忽視。（2）爺爺上樓，從一層到二層用了2分鐘，照這樣計(jì)算，爺爺從一層回到五層樓的家要用幾分鐘？這道題的變式屬于可逆性變換。解答這道題首先應(yīng)找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，即爺爺從一層回到五層樓所用時(shí)間相當(dāng)于路長(zhǎng)（這是需要求的問(wèn)題），走一層樓所用的時(shí)間是間隔，要走幾層樓梯是段數(shù)。這道題用來(lái)讓學(xué)生深入辨別“植樹(shù)問(wèn)題”，其中的對(duì)應(yīng)關(guān)系不容易找到，因此要引導(dǎo)學(xué)生用畫(huà)圖的方法直觀地表示出題意，從而找到對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后再用植樹(shù)問(wèn)題的模型解決問(wèn)題，感受數(shù)學(xué)模型的價(jià)值。

四、結(jié)語(yǔ)

數(shù)學(xué)建模能力的培育需要一個(gè)長(zhǎng)期的循環(huán)往復(fù)的過(guò)程，并非一蹴而就。在教學(xué)中，要堅(jiān)持引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)問(wèn)題情境或具體生活實(shí)例中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，提出自己的猜想，調(diào)用自己的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)去驗(yàn)證猜想，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，形成數(shù)學(xué)模型，然后解構(gòu)數(shù)學(xué)模型的過(guò)程。學(xué)生只有經(jīng)歷了模型建構(gòu)和解構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)建模能力才能得到有效發(fā)展。教材中關(guān)于數(shù)學(xué)模型建構(gòu)的內(nèi)容很豐富，如：?jiǎn)蝺r(jià)×數(shù)量=總價(jià)的價(jià)格模型、速度×?xí)r間=路程的路程模型、雞兔同籠問(wèn)題模型、相遇問(wèn)題模型，還有一些運(yùn)算定律和基本的數(shù)量關(guān)系模型等等。教學(xué)時(shí)，要做到深入挖掘，適時(shí)滲透，讓學(xué)生感覺(jué)到數(shù)學(xué)模型無(wú)處不在；要從低年級(jí)開(kāi)始逐步培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)模型意識(shí)，實(shí)現(xiàn)前鋪墊，后照應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生逐漸體會(huì)研究模型、建立模型、應(yīng)用模型是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，逐步培育學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思考力，發(fā)展學(xué)生的理性精神。