章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

前面討論了一般的函數(shù)概念和性質(zhì)的內(nèi)容理解和教學(xué)問題，因?yàn)椤昂瘮?shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具”，所以我們從語(yǔ)言學(xué)習(xí)的角度闡釋了教學(xué)中應(yīng)關(guān)注的問題，也就是要讓學(xué)生學(xué)會(huì)這一套“數(shù)學(xué)的話語(yǔ)方式”，理解其內(nèi)涵，通過模仿、重復(fù)和運(yùn)用等熟悉起來，逐步達(dá)到靈活運(yùn)用.接下來就是運(yùn)用這套“話語(yǔ)方式”，從客觀世界的變量關(guān)系和規(guī)律中去抽象基本初等函數(shù)，用函數(shù)的語(yǔ)言表達(dá)，用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究性質(zhì)，并用于解決數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題.這個(gè)過程既是函數(shù)一般概念的應(yīng)用，同時(shí)也在應(yīng)用過程中加深對(duì)函數(shù)概念的理解.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)指出，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生學(xué)會(huì)用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究這些函數(shù)的性質(zhì)；理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律；運(yùn)用這些函數(shù)建立模型，解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，體會(huì)這些函數(shù)在解決實(shí)際問題中的作用.

課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)了如下幾點(diǎn)：

第一，這三個(gè)函數(shù)具有基礎(chǔ)性地位，不僅應(yīng)用廣泛，而且是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，所以非常重要.

第二，研究這些函數(shù)的方法是數(shù)形結(jié)合，即代數(shù)運(yùn)算和圖象直觀.

第三，通過這些函數(shù)的研究，要使學(xué)生理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，這里的運(yùn)算規(guī)律主要是指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律、對(duì)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，這些規(guī)律同時(shí)反映在指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中.

第四，要加強(qiáng)運(yùn)用這些函數(shù)建立模型解決實(shí)際問題.

2 課程標(biāo)準(zhǔn)提出的內(nèi)容與要求

1.冪函數(shù)

2.指數(shù)函數(shù)

(2)通過具體實(shí)例，了解指數(shù)函數(shù)的實(shí)際意義，理解指數(shù)函數(shù)的概念.

(3)能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

3.對(duì)數(shù)函數(shù)

(1)理解對(duì)數(shù)的概念和運(yùn)算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù).

(2)通過具體實(shí)例，了解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念.能用描點(diǎn)法或借助計(jì)算工具畫出具體對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象，探索并了解對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與 特殊點(diǎn).

(3)知道對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax與指數(shù)函數(shù)y=ax互為反函數(shù)(a>0且a≠1).

(4)*收集、閱讀對(duì)數(shù)概念的形成與發(fā)展的歷史資料，撰寫小論文，論述對(duì)數(shù)發(fā)明的過程以及對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用.

4.二分法與求方程近似解

(1)結(jié)合學(xué)過的函數(shù)圖象，了解函數(shù)零點(diǎn)與方程解的關(guān)系.

(2)結(jié)合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點(diǎn)，了解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，探索用二分法求方程近似解的思路并會(huì)畫程序框圖，能借助計(jì)算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解具有一般性.

5.函數(shù)與數(shù)學(xué)模型

(1)理解函數(shù)模型是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的重要數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具.在實(shí)際情境中，會(huì)選擇合適的函數(shù)類型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律.

(2)結(jié)合現(xiàn)實(shí)情境中的具體問題，利用計(jì)算工具，比較對(duì)數(shù)函數(shù)、一元一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異，理解“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”、“直線上升”“指數(shù)爆炸”等術(shù)語(yǔ)的現(xiàn)實(shí)含義.

(3)收集、閱讀一些現(xiàn)實(shí)生活、生產(chǎn)實(shí)際或者經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型，體會(huì)人們是如何借助函數(shù)刻畫實(shí)際問題的，感悟數(shù)學(xué)模型中參數(shù)的現(xiàn)實(shí)意義.

指數(shù)函數(shù)與指數(shù)冪的概念和運(yùn)算性質(zhì)(指數(shù)律)緊密相關(guān)，對(duì)數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)概念和運(yùn)算性質(zhì)緊密相關(guān)，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，這是這一內(nèi)容的顯著特點(diǎn)，如何在教材編寫和教學(xué)中體現(xiàn)好“用代數(shù)運(yùn)算研究這些函數(shù)的性質(zhì)”的要求，需要深入思考.

函數(shù)的應(yīng)用，二分法與求方程的近似解是數(shù)學(xué)內(nèi)部的應(yīng)用，數(shù)學(xué)模型是數(shù)學(xué)用于解決實(shí)際問題.因?yàn)楝F(xiàn)實(shí)中對(duì)數(shù)增長(zhǎng)、直線上升、指數(shù)爆炸的現(xiàn)象大量存在，所以冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中非常普遍，這是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的重要載體.

3 本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)分析

本單元內(nèi)容的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)主要來自以下幾方面：

在“預(yù)備知識(shí)”主題中，學(xué)生經(jīng)歷了梳理二次函數(shù)知識(shí)，學(xué)習(xí)用函數(shù)觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式，建立二次函數(shù)與一元二次方程、一元二次不等式的聯(lián)系，進(jìn)而用二次函數(shù)的性質(zhì)解一元二次不等式的過程，從中感悟了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)，認(rèn)識(shí)了函數(shù)的重要性，積累了用函數(shù)圖象、代數(shù)運(yùn)算研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn).

在“函數(shù)概念與性質(zhì)”中，學(xué)生經(jīng)歷了分析具體實(shí)例、歸納共同特征、抽象概括函數(shù)的一般概念的過程，知道了函數(shù)不僅可以理解為刻畫變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，也是兩個(gè)實(shí)數(shù)集之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，感悟了數(shù)學(xué)抽象的層次性；在已有的通過圖象直觀研究函數(shù)性質(zhì)的經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)上，進(jìn)一步學(xué)習(xí)了用代數(shù)運(yùn)算揭示函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等主要性質(zhì)的方法.

所以，學(xué)生已經(jīng)具有一定的學(xué)習(xí)本單元的認(rèn)知基礎(chǔ)，但在數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)上，學(xué)生還沒有實(shí)數(shù)指數(shù)冪的概念，所以應(yīng)該先對(duì)整數(shù)指數(shù)冪概念進(jìn)行推廣，得出指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，以使指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)镽，成為連續(xù)函數(shù)，并為研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)打下基礎(chǔ).同樣的，在對(duì)數(shù)函數(shù)之前需要先建立對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

4 核心內(nèi)容的理解與教學(xué)思考

數(shù)學(xué)的育人價(jià)值蘊(yùn)含于內(nèi)容之中，解析數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)與挖掘內(nèi)容的育人價(jià)值是相輔相成的.理解內(nèi)容的本質(zhì)、把握其育人價(jià)值是創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境、提出有數(shù)學(xué)含金量的問題的前提，只有這樣才能引導(dǎo)學(xué)生聚焦內(nèi)容的本質(zhì)展開學(xué)習(xí)，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考和探索活動(dòng)，才能真正發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)容的育人功能，將學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的發(fā)展落實(shí)在具體內(nèi)容的教學(xué)中.

本單元內(nèi)容較多，包含實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)，以及二分法與求方程的近似解、函數(shù)與數(shù)學(xué)模型等.下面從內(nèi)容本質(zhì)的分析入手討論這些內(nèi)容的育人價(jià)值以及教學(xué)中需要注意的問題.

4.1 指數(shù)與對(duì)數(shù)及其育人價(jià)值

1.實(shí)數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)

課程標(biāo)準(zhǔn)在本單元的“教學(xué)提示”中指出：“指數(shù)函數(shù)的教學(xué)，應(yīng)關(guān)注指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從整數(shù)指數(shù)冪到有理數(shù)指數(shù)冪、再到實(shí)數(shù)指數(shù)冪的拓展過程，掌握指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律.”通常，我們習(xí)慣于把指數(shù)冪的推廣看成是代數(shù)中數(shù)及其運(yùn)算的問題，而這個(gè)“提示”實(shí)際上是把指數(shù)冪的拓展過程作為指數(shù)函數(shù)研究的一部分，把指數(shù)冪的運(yùn)算法則看成是指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，這是需要關(guān)注的.

從數(shù)及其運(yùn)算的角度看，指數(shù)冪的最初涵義是“自然數(shù)自相乘的縮寫”，an就是n個(gè)a相乘的縮寫，所以

a1=a，an+1=an·a.

由這一定義出發(fā)，利用數(shù)學(xué)歸納法可以證明如下的指數(shù)律成立：

am·an=am+n，(am)n=amn，

(a·b)n=an·bn， (*)

其中a，b，m，n都是自然數(shù).另一個(gè)顯然的事實(shí)是

an>1.

隨著數(shù)從自然數(shù)集擴(kuò)充到整數(shù)集，再擴(kuò)充到有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集，指數(shù)冪an的底數(shù)也逐步擴(kuò)充到實(shí)數(shù)，其意義是“實(shí)數(shù)a的自相乘”.這時(shí)，指數(shù)律(*)仍然成立，而且有

an>1(a>1，n是正整數(shù)).

接著的任務(wù)是把指數(shù)從自然數(shù)推廣到有理數(shù)再推廣到實(shí)數(shù).在把指數(shù)x從自然數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)時(shí)，擴(kuò)充的原則仍然是“使冪的算術(shù)運(yùn)算性質(zhì)(指數(shù)律)仍然成立”.

在上述定義下，容易證明：

(1)當(dāng)a>0，b>0時(shí)，對(duì)于任意有理數(shù)r，s，均有：aras=ar+s，(ar)s=ars，(ab)r=arbr；

(2)當(dāng)a>1，r>0時(shí)，ar>1.

(1)對(duì)于任意一個(gè)x∈R，ax(a>0)的值是唯一確定的；

(2)ax最重要的性質(zhì)是axay=ax+y(a>0，x，y∈R)，由此可得(ar)s=ars(a>0，r，s∈R)，(ab)r=arbr(a>0，b>0，r∈R)也成立；

(3)當(dāng)a>1，r>0時(shí)，ar>1.

其中，(3)叫做冪的基本不等式，由此出發(fā)可以推得如下結(jié)論：

①當(dāng)a>1，r<0時(shí)，0

②當(dāng)00時(shí)，0

③當(dāng)01.

這些結(jié)論的完整證明需要用到極限理論，但我們可以借助信息技術(shù)，通過具體例子讓學(xué)生建立直觀感受.

根據(jù)上述結(jié)論可知，y=ax(a>0，x∈R)就是一個(gè)函數(shù).正因?yàn)槿绱?，課程標(biāo)準(zhǔn)強(qiáng)調(diào)在ax的指數(shù)x的拓展過程中掌握指數(shù)函數(shù)的運(yùn)算法則和變化規(guī)律.

從更一般的角度看，上述擴(kuò)展過程充滿著理性精神，數(shù)學(xué)概念的延伸與拓展中體現(xiàn)出數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、數(shù)學(xué)思想方法的前后一致性和數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生發(fā)展過程的邏輯連貫性，可以使學(xué)生體會(huì)到數(shù)學(xué)對(duì)象的內(nèi)涵、結(jié)構(gòu)、內(nèi)容和方法的建構(gòu)方式，從而使學(xué)生體悟到“數(shù)學(xué)的方式”，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)地認(rèn)識(shí)問題、解決問題的思想方法，這對(duì)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的發(fā)生發(fā)展過程，發(fā)展“四基”、“四能”進(jìn)而提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)等都具有非常積極的意義.

2.對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)

對(duì)數(shù)的發(fā)明與指數(shù)無關(guān)，而是源于數(shù)學(xué)家對(duì)簡(jiǎn)化大數(shù)運(yùn)算的有效工具的追求，其關(guān)鍵是利用對(duì)應(yīng)關(guān)系qk→k：

[q0，q1，q2，…，qn，…]→[0，1，2，…，n，…]

建立起如下對(duì)應(yīng)法則：

(1)qm·qn→m+n；(2)qm÷qn→m-n；

利用上述對(duì)應(yīng)法則降低運(yùn)算層級(jí)，達(dá)到簡(jiǎn)化運(yùn)算的目的.

那么，在研究“指數(shù)冪ax的意義及其運(yùn)算性質(zhì)”的基礎(chǔ)上研究“對(duì)數(shù)的意義及其運(yùn)算性質(zhì)”，其育人價(jià)值如何體現(xiàn)呢？

我們認(rèn)為，先借鑒已有經(jīng)驗(yàn)，抽象出“對(duì)數(shù)”這一研究對(duì)象；再?gòu)摹把芯恳粋€(gè)代數(shù)對(duì)象”的“基本套路”出發(fā)，發(fā)現(xiàn)和提出對(duì)數(shù)的研究?jī)?nèi)容，構(gòu)建研究路徑，得出結(jié)論，并用于解決問題.只要讓學(xué)生完整經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)背景——概念(定義、表示)——性質(zhì)——運(yùn)算性質(zhì)——應(yīng)用”過程，鼓勵(lì)學(xué)生采用獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等方式展開學(xué)習(xí)，就能充分發(fā)揮對(duì)數(shù)的育人功能.具體而言是：

(1)通過數(shù)學(xué)內(nèi)外的問題(例如2x=1，則x=0；2x=2，則x=1；2x=4，則x=2；一般地，2x=N(N>0)，則x=？)，抽象出數(shù)學(xué)問題：

在ax=N(a>0，且a≠1)中，已知a，N，則x=？(以下默認(rèn)a>0，且a≠1.)

這是一個(gè)從具體到抽象的過程，對(duì)培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)都有作用.

從上所述可見，引入對(duì)數(shù)概念的過程反映了人類理性思維的力量.

(3)研究logaN的性質(zhì).從對(duì)數(shù)的定義出發(fā)，與ax=N相聯(lián)系：由定義可得alogaN=N；又由a0=1和a1=a可知，loga1=0，logaa=1對(duì)任意正數(shù)a都成立.這些是從對(duì)數(shù)的定義推出的最基本性質(zhì)，是從logaN涉及的要素a，N的特殊關(guān)系(N=a)、特殊取值(N=1)入手而發(fā)現(xiàn)的.

(4)研究對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).“引入一類新的數(shù)，就要研究它的運(yùn)算性質(zhì)”，這是代數(shù)的基本任務(wù).這里要聯(lián)系指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，而且只要把它們“反過來”，用對(duì)數(shù)符號(hào)表示就可以了：

loga(MN)=logaM+logaN；

logaMn=nlogaM(n∈R).

上述性質(zhì)表明，利用對(duì)數(shù)可以把乘法、除法和乘方(含開方)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為加法、減法和乘法，從而實(shí)現(xiàn)“簡(jiǎn)化運(yùn)算”.

至于應(yīng)用，信息技術(shù)的迅速發(fā)展使對(duì)數(shù)計(jì)算尺、對(duì)數(shù)表等體現(xiàn)對(duì)數(shù)應(yīng)用的計(jì)算工具都不再重要，但利用對(duì)數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題則具有永久的生命力.

順便指出，對(duì)數(shù)的教學(xué)要注重?cái)?shù)學(xué)的整體性.近年來，因?yàn)镠PM的興起，而對(duì)數(shù)的發(fā)展史充滿著神奇，體現(xiàn)了理性思維的力量，而且對(duì)數(shù)的發(fā)明先于指數(shù)，這就吸引著許多老師致力于“對(duì)數(shù)教學(xué)的創(chuàng)新”，在“還原歷史”上進(jìn)行了大量探索.但從與本單元內(nèi)容的整體關(guān)系上看，這種歷史還原意義不大.

在“指數(shù)冪ax的意義及運(yùn)算性質(zhì)”的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)“對(duì)數(shù)的概念及運(yùn)算性質(zhì)”，可以走一條“捷徑”.從“經(jīng)過多少年游客人次翻番”、“已知生物體的碳14含量推測(cè)其死亡年數(shù)”是非常自然的問題，由此就能自然得出“對(duì)數(shù)”這一研究對(duì)象.再?gòu)摹把芯恳粋€(gè)代數(shù)對(duì)象”的“基本套路”出發(fā)，發(fā)現(xiàn)和提出對(duì)數(shù)的研究?jī)?nèi)容，構(gòu)建研究路徑，得出結(jié)論并用于解決問題，也是順理成章的.重要的是要讓學(xué)生完整經(jīng)歷“現(xiàn)實(shí)背景——定義(包括符號(hào)表示)——性質(zhì)——運(yùn)算性質(zhì)”過程，鼓勵(lì)學(xué)生采用獨(dú)立思考、自主探究、合作交流等方式展開學(xué)習(xí)，不必另起爐灶，“重走發(fā)明對(duì)數(shù)之路”.教學(xué)中要加強(qiáng)定義對(duì)數(shù)概念的完整過程(定義——符號(hào)表示——讀法——特例(常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù))——與相關(guān)概念的聯(lián)系，即對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系)，從如何發(fā)現(xiàn)“對(duì)數(shù)的性質(zhì)”和“對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”，如何利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、通過代數(shù)推理得出對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)從而培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)，如何引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)和提出換底公式等方面加強(qiáng)思考和教學(xué)設(shè)計(jì)創(chuàng)新.

4.2 指數(shù)函數(shù)刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象

我們知道，基本初等函數(shù)都有明確的現(xiàn)實(shí)背景，每一類函數(shù)都對(duì)應(yīng)著現(xiàn)實(shí)世界中一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象，是對(duì)這類現(xiàn)象變化規(guī)律的數(shù)學(xué)表達(dá).掌握基本初等函數(shù)的概念與性質(zhì)、理解這些函數(shù)中所蘊(yùn)含的運(yùn)算規(guī)律，其目的就是要運(yùn)用這些函數(shù)建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型解決各種各樣的實(shí)際問題.

分析課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)“函數(shù)與數(shù)學(xué)模型”提出的3條“內(nèi)容和要求”，可以發(fā)現(xiàn)，目標(biāo)(1)需要在應(yīng)用函數(shù)建立模型的過程中來實(shí)現(xiàn)，目標(biāo)(3)要通過一定量的數(shù)學(xué)閱讀來實(shí)現(xiàn).而在面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，能否選擇合適的函數(shù)類型對(duì)其變化規(guī)律加以刻畫，基礎(chǔ)是對(duì)各類函數(shù)的特征有準(zhǔn)確把握，對(duì)每類函數(shù)到底刻畫了哪類現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律有深入了解；同時(shí)，對(duì)各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異要做到心中有數(shù).由此可見，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，一是準(zhǔn)確理解各類基本初等函數(shù)的概念、性質(zhì)以及不同類型函數(shù)刻畫了哪一類現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，準(zhǔn)確把握各類函數(shù)的增長(zhǎng)差異，二是加強(qiáng)用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的實(shí)踐.前一個(gè)是數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，后一個(gè)是數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，兩者缺一不可.

下面我們討論一下指數(shù)函數(shù)刻畫的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律.

現(xiàn)實(shí)中，呈指數(shù)變化的事例很多.例如：

一個(gè)細(xì)胞每次進(jìn)行一分為二的分裂，其結(jié)果順次是20，21，22，23，…，第n次分裂后的細(xì)胞個(gè)數(shù)y=2n.從運(yùn)算的角度看，這個(gè)過程就是2的自乘.如果開始時(shí)有y0個(gè)細(xì)胞，那么第n次分裂后的細(xì)胞個(gè)數(shù)是y=y0·2n.

國(guó)務(wù)院發(fā)展研究中心在2000年曾發(fā)表《未來20年我國(guó)發(fā)展前景分析》，這個(gè)分析預(yù)測(cè)2001～2020年，我國(guó)GDP年平均增長(zhǎng)率可望達(dá)到7.3%.如果把我國(guó)2000年GDP記為y0，那么，2001～2020各年年底我國(guó)GDP的可望值可以表示為y=y0(1+7.3%)x=y0·1.073x(x∈N*,x≤20).

特別地，當(dāng)a>1時(shí)，設(shè)a=1+α，則指數(shù)函數(shù)可表示為y=(1+α)x(α>0)；當(dāng)00)．這樣的表達(dá)是更具實(shí)際意義的，它們表明了指數(shù)函數(shù)y=ax所刻畫的事物變化規(guī)律是：按確定的增長(zhǎng)率α=a-1(a>1)呈指數(shù)增長(zhǎng)，或按確定的衰減率α=1-a(0

總之，指數(shù)函數(shù)刻畫的現(xiàn)實(shí)事物變化規(guī)律的關(guān)鍵詞是“增長(zhǎng)率為常數(shù)”，發(fā)現(xiàn)規(guī)律的方法是作除法運(yùn)算.理解指數(shù)函數(shù)，不僅要知道它的解析式、圖象和性質(zhì)，而且要知道它蘊(yùn)含了一種怎樣的運(yùn)算規(guī)律以及如何發(fā)現(xiàn)這種規(guī)律，只有這樣才能使學(xué)生懂得哪些實(shí)際問題可以通過建立指數(shù)函數(shù)模型進(jìn)行解決，這是教學(xué)中需要特別注意和加強(qiáng)的地方.

順便說明，指數(shù)函數(shù)所刻畫事物變化規(guī)律的精確描述，需要利用微積分知識(shí)才能解決：某種物質(zhì)的量u是時(shí)間t的函數(shù)u=f(t)，并且量u在每一時(shí)刻的變化率與此刻的量u的數(shù)值成比例，即

u'=ku.

解這個(gè)微分方程，可得

u=cekt.

如果知道t=0的量u0，那么常數(shù)c=u0，所以

u=u0ekt.

因此，指數(shù)函數(shù)刻畫的事物變化規(guī)律是：

事物的量在每一時(shí)刻的變化率與此刻的量的數(shù)值成比例.

由于同底數(shù)的對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，研究清楚指數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律，那么對(duì)數(shù)函數(shù)的變化規(guī)律也就自然就清楚了.

4.3 如何抽象指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)概念

將ax的指數(shù)x的范圍拓展到R，定義了對(duì)數(shù)的概念及其符號(hào)表示logaN，并研究了指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，我們就可以定義連續(xù)的指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)了.

一般而言，定義一類函數(shù)，應(yīng)該明確如下四個(gè)要點(diǎn)：

(1)這類函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景是什么？它刻畫了哪類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象？

(2)決定這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的要素是什么？

(3)要素之間的相互關(guān)系如何？

(4)可以用怎樣的數(shù)學(xué)模型來刻畫？

其中，(1)是搞清楚這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的基本特征，這是明確研究對(duì)象的過程；(2)、(3)是對(duì)這類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的深入分析，從中析出常量、變量及其依賴關(guān)系，這里的“依賴關(guān)系”常常要借助于運(yùn)算而建立對(duì)應(yīng)關(guān)系；(4)是以“依賴關(guān)系”為導(dǎo)向，利用代數(shù)、幾何中可以表示這些關(guān)系的數(shù)學(xué)式子、表格、圖形等(中學(xué)階段主要是多項(xiàng)式、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式、三角式等)加以明確.

1.指數(shù)函數(shù)概念的抽象

根據(jù)以上要求，為了使學(xué)生明確指數(shù)函數(shù)反映了現(xiàn)實(shí)世界中哪類事物的變化規(guī)律，我們應(yīng)該精心創(chuàng)設(shè)問題情境，讓學(xué)生通過對(duì)具體實(shí)例中包含的各種量(常量、變量)及其關(guān)系的分析，發(fā)現(xiàn)并歸納它們的共性，在此基礎(chǔ)上概括出指數(shù)函數(shù)定義并給出符號(hào)表示.為了使學(xué)生能順利地展開抽象活動(dòng)，我們可以通過設(shè)計(jì)不同類型的變化現(xiàn)象，為指數(shù)函數(shù)提供可類比的對(duì)象，使學(xué)生獲得抽象指數(shù)函數(shù)概念的路徑與方法的啟發(fā)，在比較不同類型函數(shù)變化差異的過程中得出指數(shù)函數(shù)的定義.

基于這樣的思考，我們?cè)诮炭茣袆?chuàng)設(shè)了如下問題情境：

問題1：隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來越多家庭的重要生活方式．由于旅游人數(shù)不斷增加，A，B兩地景區(qū)自2001年起采取了不同的應(yīng)對(duì)措施，A地提高了景區(qū)門票價(jià)格，而B地則取消了景區(qū)門票．表1是A，B兩地景區(qū)2001年至2015年的游客人次的逐年增加量．比較兩地景區(qū)游客人次的變化情況，你發(fā)現(xiàn)了怎樣的變化規(guī)律？

表1

如何發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的變化規(guī)律呢？可以先通過畫散點(diǎn)圖(圖1)感受一下：

圖1

結(jié)合圖、表可以發(fā)現(xiàn)，A地游客人次近似于直線上升，年增加量基本穩(wěn)定在10萬(wàn)人次；B地游客人次變化規(guī)律看不出來.怎么辦？我們知道，代數(shù)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含規(guī)律性的基本方法，年增加量的計(jì)算用減法，而用除法則可得游客人次的“年增長(zhǎng)率”：

于是，B地游客人次的年增長(zhǎng)率約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù)．增長(zhǎng)(或衰減)率是一個(gè)常數(shù)，它是決定這種變化規(guī)律的要素，稱為指數(shù)增長(zhǎng)(衰減).如果設(shè)經(jīng)過x年后的游客人次為2001年的y倍，那么

y=1.11x(x∈[0，+∞))．

①

這是一個(gè)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量．

以上過程，通過作減法得到了游客人次的年增加量，通過作除法得到了游客人次的年增長(zhǎng)率，而增加量、增長(zhǎng)率恰是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量.

接著，教科書給出問題2：

當(dāng)生物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14含量會(huì)按確定的衰減比率(簡(jiǎn)稱為衰減率)衰減，大約每經(jīng)過5 730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．按照上述變化規(guī)律，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的關(guān)系？

設(shè)生物死亡年數(shù)為x，死亡生物體內(nèi)碳14含量為y，那么y與x之間的關(guān)系為y=(1-p)x，即

②

歸納①②的共性，并考慮到指數(shù)x∈R時(shí)ax(a>0，a≠1)有意義，我們就可以在一般意義上給出刻畫這類現(xiàn)象變化規(guī)律的函數(shù)定義：

函數(shù)y=ax(a>0，且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R．

2.對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象

因?yàn)閷W(xué)生在對(duì)數(shù)概念的學(xué)習(xí)中已經(jīng)掌握了對(duì)數(shù)與指數(shù)之間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，所以對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象應(yīng)該在此基礎(chǔ)上展開，這是對(duì)數(shù)函數(shù)概念抽象過程的“與眾不同”之處.

一般地，根據(jù)指數(shù)與對(duì)數(shù)的關(guān)系，由y=ax(a>0，且a≠1)可以得到x=logay(a>0，且a≠1)．根據(jù)習(xí)慣，將解析式寫成y=logax(a>0，且a≠1)，x∈(0，+∞)，這樣就得到了對(duì)數(shù)函數(shù)的定義．

值得指出的是，從抽象研究對(duì)象的過程與方法看，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)概念的抽象具有典型性，教師應(yīng)該在教學(xué)過程中引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行仔細(xì)揣摩.在發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)世界中呈指數(shù)增長(zhǎng)(衰減)這類現(xiàn)象的變化規(guī)律的過程中，我們綜合使用了表格、圖象(散點(diǎn)圖)、運(yùn)算等數(shù)學(xué)方法，特別是通過運(yùn)算得出精確表達(dá)的函數(shù)解析式.我們知道，函數(shù)的研究對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界中的確定性現(xiàn)象.如果某類確定性現(xiàn)象的變化規(guī)律可以用一個(gè)代數(shù)式來表達(dá)，那么得出這個(gè)表達(dá)式的數(shù)學(xué)方法就是加、減、乘、除、乘方、開方這樣的初等數(shù)學(xué)運(yùn)算.像“均勻變化”、“均勻加速”之類的現(xiàn)象，因?yàn)槠湟?guī)律是“增量保持不變”，所以利用減法運(yùn)算；而指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng)之類的現(xiàn)象，其規(guī)律是“增長(zhǎng)率保持不變”，所以利用除法運(yùn)算.另外，在發(fā)現(xiàn)規(guī)律的過程中，從特殊到一般、從定性(圖象直觀)到定量(用解析式表達(dá)數(shù)量關(guān)系)等也是基本的數(shù)學(xué)思想和方法.

順便指出，對(duì)數(shù)函數(shù)教學(xué)中要加強(qiáng)從反函數(shù)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的引導(dǎo).在數(shù)學(xué)中，“研究反過來的問題”是天經(jīng)地義的，從命題與逆命題的角度入手是發(fā)現(xiàn)和提出問題的基本路徑，體現(xiàn)了建立數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系性，借助指數(shù)函數(shù)的已有結(jié)果認(rèn)識(shí)對(duì)數(shù)函數(shù)的過程，同時(shí)也能加深指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí).能夠習(xí)慣性地問“反過來會(huì)怎樣？”就是學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地發(fā)現(xiàn)和提出問題的表現(xiàn)之一.

從更一般的角度看，函數(shù)是兩個(gè)數(shù)集元素之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，本質(zhì)上反映了自變量與函數(shù)值之間的代數(shù)關(guān)聯(lián)，而數(shù)學(xué)運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)和建立這種關(guān)聯(lián)的基本手段，對(duì)于基本初等函數(shù)則尤其如此.實(shí)際上，對(duì)應(yīng)于指數(shù)冪的運(yùn)算法則，我們可以形式化地給出如下指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：

指數(shù)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上，且滿足f(x)·f(y)=f(x+y)的非常值連續(xù)函數(shù)；

對(duì)數(shù)函數(shù)是定義在正實(shí)數(shù)集上，且滿足f(xy)=f(x)+f(y)的非常值連續(xù)函數(shù).

通過運(yùn)算法則形式化地定義函數(shù)，這是理性思維的結(jié)果，更能說明函數(shù)的本質(zhì)特征.例如，常常看到老師們爭(zhēng)論y=a3x是不是指數(shù)函數(shù)，如果從上述定義出發(fā)，因?yàn)閍3(x+y)=a3x+3y=a3x·a3y，滿足定義，所以它是指數(shù)函數(shù).這表明，采用上述定義就不會(huì)出現(xiàn)任何歧義.不過，形式化定義雖然純粹但脫離了一切現(xiàn)實(shí)背景，與學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)距離很遠(yuǎn)，學(xué)生很難真正理解其意義，不符合高中學(xué)生的認(rèn)知水平，所以教材采用了從學(xué)生熟悉的現(xiàn)實(shí)背景出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生利用數(shù)學(xué)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)運(yùn)算在研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)中的作用，并將這種做法貫穿始終.

4.4 如何用函數(shù)圖象和代數(shù)運(yùn)算的方法研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)

從代數(shù)運(yùn)算的視角看函數(shù)y=xn，y=ax和y=logax，它們就是ab=c(其中a>0，a≠1)中的三個(gè)數(shù)一個(gè)為常數(shù)、一個(gè)為自變量、一個(gè)為函數(shù)所得的三種結(jié)果.所以，用代數(shù)運(yùn)算的方法研究這三個(gè)基本初等函數(shù)是由它們的代數(shù)背景所決定的.另外，指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，這種特殊關(guān)系也是在研究中可以利用的.順便指出，數(shù)學(xué)中最基本的運(yùn)算與現(xiàn)實(shí)中最常見的現(xiàn)象相對(duì)應(yīng)，最基本的函數(shù)——線性函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)，與現(xiàn)實(shí)中最常見的運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象相對(duì)應(yīng)，這是學(xué)習(xí)數(shù)及其運(yùn)算、基本初等函數(shù)的現(xiàn)實(shí)理由，當(dāng)然也是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必需.

下面我們列舉通過代數(shù)運(yùn)算得出指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，從代數(shù)關(guān)系獲得函數(shù)圖象之間關(guān)系的某些結(jié)論：

(1)由指數(shù)冪、對(duì)數(shù)的定義就可得出指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域、值域.

(2)由a0=1可知所有指數(shù)函數(shù)都過點(diǎn)(0，1)，由loga1=0可知所有對(duì)數(shù)函數(shù)都過(1，0).

(3)由指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、冪的基本不等式，可以證明：01；x>0時(shí)01時(shí)，x<0時(shí)00時(shí)ax>1.由此可推出，01時(shí)y=ax為增函數(shù)：

?x1，x2∈R，x11，即ax1>ax2；當(dāng)a>1時(shí)，0

根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可以得出對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì).

由y=logax可得x=ay.設(shè)(s,t)是y=logax圖象上的任意一點(diǎn)，則s=at，這說明(s,t)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)(t，s)在函數(shù)y=ax的圖象上；反之也對(duì).所以，可以利用函數(shù)y=ax的圖象作函數(shù)y=logax的圖象.

以上從函數(shù)解析式入手分析函數(shù)圖象之間關(guān)系的方法，可以讓學(xué)生從具體到抽象進(jìn)行歸納，教材中也給出了相應(yīng)的示范.

5 加強(qiáng)背景和應(yīng)用，發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)

5.1 把函數(shù)應(yīng)用滲透在學(xué)習(xí)函數(shù)的全過程

函數(shù)是描述客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)語(yǔ)言和工具，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)是最基本的、應(yīng)用最廣泛的函數(shù)，在學(xué)習(xí)這些函數(shù)的過程中，加強(qiáng)背景與應(yīng)用，既是為了使學(xué)生了解這些函數(shù)的來源，有效地經(jīng)歷概念的抽象過程，更深刻地理解這些函數(shù)的本質(zhì)，也是為了使學(xué)生明確這些函數(shù)分別描述了現(xiàn)實(shí)世界中哪一類變量關(guān)系和規(guī)律，從而為學(xué)生在面對(duì)具體問題時(shí)能正確選擇函數(shù)類型、建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).同時(shí)，這也是為了把數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)落實(shí)在本單元學(xué)習(xí)全過程的需要.

教材編寫中，首先是對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的現(xiàn)實(shí)背景與應(yīng)用給予了充分關(guān)注.教科書在章引言中指出，在自然條件下，細(xì)胞的分裂、人口的增長(zhǎng)、放射性物質(zhì)的衰減等問題，都可以用指數(shù)函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型來描述它們的變化規(guī)律；在指數(shù)函數(shù)概念的建立過程中，教科書以現(xiàn)實(shí)中的真實(shí)事例為背景，通過與“線性增長(zhǎng)”的比較得出“指數(shù)增長(zhǎng)”的規(guī)律進(jìn)而引入指數(shù)函數(shù)的定義與表示；在研究指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)之后，教科書加強(qiáng)了運(yùn)用函數(shù)圖象與性質(zhì)解決實(shí)際問題的內(nèi)容；最后，教科書通過具體實(shí)例對(duì)不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異(直線上升、指數(shù)爆炸、對(duì)數(shù)增長(zhǎng))進(jìn)行比較，并專門安排了“函數(shù)的應(yīng)用”一節(jié)，在介紹了運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)求方程近似解的基本方法(二分法)的基礎(chǔ)上，安排了典型而豐富的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生更深入地理解用函數(shù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的基本過程，學(xué)習(xí)運(yùn)用模型思想發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析和解決問題的方法.本單元安排了40多個(gè)實(shí)際問題，涉及游客人次旅游收入的指數(shù)增長(zhǎng)、碳14考古、人口增長(zhǎng)模型、產(chǎn)品產(chǎn)量增長(zhǎng)率、儲(chǔ)蓄利率(復(fù)利)、地震釋放的能量與震級(jí)的關(guān)系、GDP增長(zhǎng)率、血液中酒精含量或藥物含量的指數(shù)衰減、物價(jià)的增長(zhǎng)率、溶液酸堿度、火箭飛行的運(yùn)動(dòng)規(guī)律、鮭魚游速與耗氧量的關(guān)系、聲強(qiáng)級(jí)別、動(dòng)物或植物自然繁殖的規(guī)律、投資方案的選擇、數(shù)據(jù)量的爆炸式增長(zhǎng)、特定人群身高體重的關(guān)系、汽車耗油量、廢氣減排、物體冷卻模型等各種各樣的現(xiàn)實(shí)問題.

5.2 不同函數(shù)增長(zhǎng)差異的比較

面對(duì)實(shí)際問題時(shí)，為了準(zhǔn)確地描述它的變化規(guī)律，需要選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)類型來構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，為此就要先分析清楚不同類型函數(shù)的增長(zhǎng)差異．從函數(shù)性質(zhì)的角度看，增長(zhǎng)差異的比較可以深化函數(shù)單調(diào)性的認(rèn)識(shí)，不同函數(shù)增長(zhǎng)差異刻畫了它們的增長(zhǎng)方式以及變化速度的差異.

一般而言，對(duì)于一個(gè)具體的現(xiàn)實(shí)問題，可以用于刻畫其數(shù)量關(guān)系、變化規(guī)律的函數(shù)類型是不唯一的，應(yīng)根據(jù)實(shí)際問題的需要進(jìn)行權(quán)衡，并需要借助一定的數(shù)學(xué)工具對(duì)函數(shù)的擬合優(yōu)度進(jìn)行判斷.

基本初等函數(shù)都是某一類運(yùn)動(dòng)變化現(xiàn)象的數(shù)學(xué)抽象，是理想化的.現(xiàn)實(shí)事物的運(yùn)動(dòng)變化往往不是那么純粹，其增長(zhǎng)方式也是豐富多彩的.例如，有平穩(wěn)增長(zhǎng)也有震蕩增長(zhǎng)，增長(zhǎng)速度有的先慢后快有的先快后慢等等.所以，在利用函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題時(shí)，一般需要根據(jù)實(shí)際情況做出選擇，有時(shí)還需要“分段處理”，這時(shí)就要建立分段函數(shù)模型了.

5.3 二分法與求方程近似解的育人價(jià)值

用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題時(shí)，經(jīng)常需要解方程，但從現(xiàn)實(shí)問題中抽象出的方程往往很難得出精確解.同時(shí)，從實(shí)用角度考慮，達(dá)到一定精度的解就完全可以有令人滿意的效果了.這樣，在無法得出精確解時(shí)，設(shè)法求出滿足精確度要求的解就成為我們的追求.

在“預(yù)備知識(shí)”中曾經(jīng)安排“從函數(shù)的觀點(diǎn)看方程和不等式”.類比“一元二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c有零點(diǎn)?一元二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象與x軸有公共點(diǎn)”，得出“方程f(x)=0有實(shí)數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點(diǎn)?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點(diǎn)”，這個(gè)過程沒有什么難點(diǎn).

接下來，要把這種直觀描述轉(zhuǎn)化為可操作的代數(shù)表示，其難點(diǎn)在于“想不到”用“函數(shù)圖象在區(qū)間[a,b]連續(xù)不斷”、“f(a)f(b)<0”實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.實(shí)際上，由高中數(shù)學(xué)內(nèi)容的抽象性導(dǎo)致的“不是做不到，而是想不到”的現(xiàn)象比較普遍，這體現(xiàn)了“數(shù)學(xué)的方式”的獨(dú)特性，包括數(shù)學(xué)地看問題的視角、抽象事物本質(zhì)的角度以及表達(dá)的方式等等，這些是數(shù)學(xué)的理性思維的具體表現(xiàn)，恰是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的精要所在.所以，教學(xué)中一定不要認(rèn)為“說破了”學(xué)生就知道了而采取“告訴式教學(xué)”，要通過適當(dāng)?shù)摹扒榫?問題”引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷過程，變“想不到”為“想得到”，從而通過基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)以及從數(shù)學(xué)角度發(fā)現(xiàn)和提出問題能力的培養(yǎng)，使數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)落地.

教材在這里安排了一個(gè)“探究”活動(dòng)：

對(duì)于二次函數(shù)f(x)=x2-2x-3，觀察它的圖象(圖2)，發(fā)現(xiàn)它在區(qū)間[2，4]上有零點(diǎn)．這時(shí)，函數(shù)圖象與x軸有什么關(guān)系？計(jì)算f(2)與f(4)的乘積，這個(gè)乘積有什么特點(diǎn)？在區(qū)間[-2，0]上是否也有這種特點(diǎn)呢？

圖2

再任意畫幾個(gè)函數(shù)的圖象，觀察函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間，并計(jì)算在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值的積，是否有同樣的結(jié)論？

這個(gè)問題的引導(dǎo)性在于，觀察 “函數(shù)圖象與x軸的關(guān)系”的角度，不僅“有公共點(diǎn)(3，0)”，而且是“穿過”x軸.這樣，在“圖象連續(xù)不斷”的條件下，把這兩點(diǎn)結(jié)合起來，那么在零點(diǎn)所在區(qū)間內(nèi)，零點(diǎn)的兩邊函數(shù)值一定異號(hào).也就是說，“圖象穿過x軸”(形)用“函數(shù)的取值規(guī)律”(數(shù))來表達(dá)，就是“在x=3的兩側(cè)函數(shù)值異號(hào)”，可以取端點(diǎn)為代表，即f(2)f(4)<0.

有了上述鋪墊，再讓學(xué)生自己舉幾個(gè)例子分析一下，歸納出共性而概括出“零點(diǎn)存在定理”就不難了.不過，這里還有一個(gè)問題也是屬于“數(shù)學(xué)的方式”、邏輯的嚴(yán)謹(jǐn)性方面的，即從邏輯的角度對(duì)定理中兩個(gè)條件的充分性、必要性的考察，這也是發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的契機(jī)，老師們可以由此體會(huì)一下“將核心素養(yǎng)的發(fā)展融于具體內(nèi)容的學(xué)習(xí)中”的韻味.

利用“零點(diǎn)存在定理”可以判斷一個(gè)有限區(qū)間內(nèi)存在零點(diǎn)，接著的任務(wù)是求出其近似值.用二分法求方程近似解，其想法直觀、樸素但思想深刻，它不僅使求解過程程序化、步驟化，是體驗(yàn)算法思想、培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的好載體，同時(shí)也體現(xiàn)了逼近思想，和微積分思想如出一轍.同時(shí)，具體求解過程中常常具有構(gòu)造性，所以也是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的好素材.

6 小結(jié)

本單元內(nèi)容按“背景——概念——圖象和性質(zhì)——應(yīng)用”的路徑安排學(xué)習(xí)過程，體現(xiàn)了研究函數(shù)的一般套路，有利于學(xué)生形成系統(tǒng)性、普適性的數(shù)學(xué)思維模式．讓學(xué)生經(jīng)歷從具體的現(xiàn)實(shí)情境中抽象一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)的過程，有利于培養(yǎng)透過現(xiàn)象看本質(zhì)的能力，使他們學(xué)會(huì)以簡(jiǎn)馭繁，養(yǎng)成一般性思考問題的好習(xí)慣，從而發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng)，逐漸學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界.通過數(shù)學(xué)運(yùn)算、函數(shù)圖象發(fā)現(xiàn)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)所刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的變量關(guān)系和規(guī)律，研究指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，比較不同函數(shù)的增長(zhǎng)差異，有利于學(xué)生把握相關(guān)數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理素養(yǎng)，使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界.運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題，可以幫助學(xué)生切實(shí)感受數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在科學(xué)、社會(huì)、工程技術(shù)等領(lǐng)域的作用，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，提高實(shí)踐能力和創(chuàng)新意識(shí)，進(jìn)而逐步學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)世界.以上這些就是通過本單元學(xué)習(xí)要達(dá)成的育人目標(biāo)，也是教學(xué)中應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注的.