黃光玉

(南京市金陵中學(xué) 210005)

1 問題提出

教學(xué)經(jīng)驗(yàn)告訴我們，學(xué)生只有真正理解數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)涵的意義，才能增強(qiáng)他們主動學(xué)習(xí)的動力，激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，進(jìn)而喜歡數(shù)學(xué)、熱愛數(shù)學(xué)．要探索數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)含的意義，就需要把學(xué)生帶到數(shù)學(xué)發(fā)展的長河中，從知識產(chǎn)生的起點(diǎn)開始，讓他們自主找尋知識的發(fā)生發(fā)展的一個又一個片段，經(jīng)歷思想的穿越，與千百年前的科學(xué)家們來一場時(shí)空對話，從紛繁復(fù)雜的數(shù)學(xué)發(fā)展歷程中，慢慢捕捉到一絲光亮——客觀規(guī)律.這不是僅僅獲得某一個數(shù)學(xué)知識，而是學(xué)生探索科學(xué)道路上的一次歷練，在探索數(shù)學(xué)知識所蘊(yùn)涵的意義的過程中，學(xué)生獲得探索未知世界的一般方法．那么，如何引導(dǎo)學(xué)生從歷史過程中找尋數(shù)學(xué)知識的意義呢？本文以“對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”教學(xué)為例，對這個問題的解決做一次探索.

2 教學(xué)過程

2.1 復(fù)習(xí)概念，強(qiáng)化關(guān)聯(lián)

復(fù)習(xí)對數(shù)的概念，鞏固指數(shù)式與對數(shù)式的本質(zhì)聯(lián)系[1]．

2.2 回顧歷史，提出問題

課本中關(guān)于對數(shù)，有如下這樣的描述：

對數(shù)是由納皮爾發(fā)明的，納皮爾為了簡化天文學(xué)問題中的計(jì)算，在沒有指數(shù)概念的情況下發(fā)明了對數(shù)，并于1614年在《論述對數(shù)的奇跡》(Mirifici logarithorum canois descriptio)中，介紹了他的方法和研究成果．

現(xiàn)在通用的“常用對數(shù)”，是與納皮爾同時(shí)期的英國數(shù)學(xué)家布里格斯引入的，并于1617年出版了常用對數(shù)表．1622年，英國數(shù)學(xué)家皮德爾給出了以e為底的自然對數(shù)表．

法國數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家拉普拉斯曾說：對數(shù)可以縮短計(jì)算時(shí)間，“在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”．

恩格斯在他的著作《自然辯證法》中，曾經(jīng)把笛卡爾的坐標(biāo)系、納皮爾的對數(shù)、牛頓和萊布尼茲的微積分共同稱為17世紀(jì)的三大數(shù)學(xué)發(fā)明．

師：從上述這段對數(shù)發(fā)展歷史的描述中，我們發(fā)現(xiàn)許多的科學(xué)家、哲學(xué)家都對對數(shù)給予了很高的評價(jià)，拉普拉斯甚至說對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍．可見在數(shù)值運(yùn)算，特別是在天文學(xué)的計(jì)算中，對數(shù)一定起到了簡化運(yùn)算的作用．

同學(xué)們，通過昨天的學(xué)習(xí)和作業(yè)，你們感受到對數(shù)運(yùn)算帶來的便捷了嗎？

學(xué)生：沒有！(苦笑)

師：那為什么歷史上這么多科學(xué)家和哲學(xué)家會對對數(shù)有如此之高的評價(jià)呢？

學(xué)生：……

師：如果我們仔細(xì)看一下這段歷史發(fā)生的時(shí)間，同學(xué)們就會發(fā)現(xiàn)對數(shù)是在距離今天大約400年的時(shí)候出現(xiàn)的，而對數(shù)的發(fā)明對運(yùn)算的影響超過了250年，直到恩格斯在其著作中仍給予對數(shù)極高的評價(jià)．那個時(shí)代的科學(xué)家想到得到一組精確的數(shù)據(jù)可能需要花上幾個小時(shí)的時(shí)間，這是輕點(diǎn)按鍵就可以得到結(jié)論的我們無法想象的．究竟對數(shù)中隱藏著怎樣的奧妙呢？它真的能簡便計(jì)算嗎？

2.3 深入歷史，探求方法

實(shí)際上在納皮爾發(fā)明對數(shù)之前，還有許多數(shù)學(xué)家對數(shù)值之間的關(guān)系進(jìn)行過研究．把時(shí)間繼續(xù)向前推至1544年，有一位德國數(shù)學(xué)家斯蒂費(fèi)爾寫了一本名叫《整數(shù)的算術(shù)》的書．他在這本書中欣喜地寫到：“關(guān)于整數(shù)的奇妙性質(zhì)，可以寫成整本整本的書……”那么斯蒂費(fèi)爾發(fā)現(xiàn)了整數(shù)的什么“奇妙性質(zhì)”，使他這樣驚喜萬分呢？[2]6-7

讓我們先來看看他在書中的這個表格：

…0.1250.250.51248163264128256512102420484096……-3-2-10123456789101112

利用上述表格，若要計(jì)算16×128，可以用如下方法：

(1)找到16的“代言人”4，找到128的“代言人”7；

(2)把4和7相加，就得到11——新“代言人”；

(3)找到11作為“代言人”對應(yīng)的數(shù)2048．

所以16×128=2048．

師：你能用上述方法計(jì)算4096×0.125嗎？結(jié)果如何？

生1：(1) 找到4096的“代言人”12，找到0.125的“代言人”-3；

(2) 把12和-3相加，就得到9——新“代言人”；

(3) 找到9作為“代言人”對應(yīng)的數(shù)512．

所以4096×0.125=512．

師：很好！你們還能利用上述表格進(jìn)行哪些計(jì)算？

生2：計(jì)算：256×0.25=64．

生3：計(jì)算：4096×8=？

學(xué)生：不在表格里了！！(笑)

師：那怎么辦？

學(xué)生：進(jìn)一步“擴(kuò)大”表格.

師：表格中的數(shù)越多，我們可以用這種方法進(jìn)行計(jì)算的數(shù)值范圍越廣．但是這個表格仍然存在一定的缺陷：只能計(jì)算與2的整數(shù)次冪相關(guān)的運(yùn)算．于是后來許多科學(xué)家包括納皮爾在內(nèi)都在此基礎(chǔ)上建立了更加細(xì)化的表格．而現(xiàn)在通用的“常用對數(shù)”是與納皮爾同時(shí)期的英國數(shù)學(xué)家布里格斯在納皮爾對數(shù)的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)引入的，并于1617年出版了常用對數(shù)表．

請同學(xué)們利用常用對數(shù)表(部分)，計(jì)算1.37×2.16的值．

如果想要利用表格進(jìn)行計(jì)算，那么關(guān)鍵在于找到所計(jì)算數(shù)值的“代言人”．在常用對數(shù)表中，如何才能找到1.37的代言人呢？先在表格的第一列中尋找數(shù)值的前兩位——13，在13所在行尋找數(shù)值的最后一位——7所對應(yīng)的列，即1.37的“代言人”為1367，該數(shù)值與1.37的常用對數(shù)有關(guān)，由于版面印刷的限制省略了小數(shù)點(diǎn)，其實(shí)際含義為lg1.37=0.1367．

你能用這樣的方法找到2.16的“代言人”嗎？

生4：找到了，2.16的“代言人”是3345．

師：找到兩個數(shù)的“代言人”，下一步呢？

生5：用0.1367+0.3345=0.4712；尋找0.4712作為“代言人”的對應(yīng)的數(shù)，…

生6：表格中沒有0.4712．

生7：找一個近似的，有0.4713，找到0.4713作為“代言人”的對應(yīng)的數(shù)為2.96．所以1.37×2.16≈2.96．

log0123456789表尾差123456789100000 0043 0086 0128 0170 0212 0253 02940334 0374 4 8 12 17 21 25 29 3337 110414 0453 0492 0531 0569 0607 0645 06820719 0755 4 8 11 15 19 23 26 3034 120792 0828 0864 0899 0934 0969 1004 10381072 1106 37 10 14 17 21 24 283313 1139 1173 1200 1239 1271 1303 1335 1367 1399 1430 36 10 13 16 19 22 2629

續(xù)表

師：我們用這樣的方法找到的結(jié)果準(zhǔn)確嗎？

生8：(使用計(jì)算器)1.37×2.16=2.9592．

師：我們從表格中查找出來的數(shù)值與準(zhǔn)確值非常接近，由此同學(xué)們能夠體會到在沒有科技產(chǎn)品的幾百年前，科學(xué)家利用尋找對應(yīng)數(shù)的方式來進(jìn)行計(jì)算的確能夠節(jié)約許多時(shí)間！通過查表，我們找到的數(shù)值與準(zhǔn)確值僅相差0.0008，應(yīng)該說精確度還是比較高的！但如果我們要進(jìn)行天文學(xué)計(jì)算的話，對數(shù)值精確度的要求會更高，如何提高精確度呢？

學(xué)生：進(jìn)一步細(xì)化表格.

師：太好了！歷史上的科學(xué)家們?yōu)榱瞬粩嗵岣呔_度，有的人花了畢生的心血來細(xì)化表格，給更多的科學(xué)家進(jìn)行研究提供了便利．因此在長達(dá)兩百多年的時(shí)間里，數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家以及工程研究人員都要與常用對數(shù)表一類的工具為伴．

常用對數(shù)表[3]1206 lgN

對于科技如此發(fā)達(dá)的今天來說，常用對數(shù)表已經(jīng)與我們漸行漸遠(yuǎn)了，那我們?yōu)槭裁催€需要學(xué)習(xí)這些知識呢？

我們當(dāng)然不再需要將表格進(jìn)一步細(xì)化了，但是歷史上的這些數(shù)學(xué)家們那種通過觀察研究紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)，得出重要結(jié)論的過程和方法仍然是值得我們?nèi)パ芯亢蛯W(xué)習(xí)的．

2.4 抽象驗(yàn)證，建構(gòu)新知

讓我們再回到斯蒂費(fèi)爾發(fā)現(xiàn)整數(shù)的奇妙性質(zhì)的過程．

為了計(jì)算16×128的值，我們分別找到了16的“代言人”4，128的“代言人”7，將4與7相加得到11，最后找到11作為“代言人”對應(yīng)的數(shù)2048，從而得到16×128=2048．

用表格的形式呈現(xiàn)如下：

16×128=2048↓ ↓ ↑4 + 7 = 11

24 × 27 = 211 log216 + log2128 =?(log2(16×128))

上述運(yùn)算過程，用同學(xué)們熟悉的指數(shù)形式來刻畫應(yīng)該如何表示？

生9：16×128=24×27=24+7=211=2048．

師：同學(xué)們根據(jù)自己的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)對斯蒂費(fèi)爾的發(fā)現(xiàn)給出了形式化的表達(dá).但歷史的發(fā)展有的時(shí)候卻不像我們所希望的那樣具有邏輯性和系統(tǒng)性．在斯蒂費(fèi)爾和納皮爾的時(shí)代，還沒有完善的指數(shù)概念，而在這樣的情況下，他們?nèi)匀话l(fā)現(xiàn)了數(shù)值之間的“秘密”.同學(xué)們能用我們前一節(jié)課所學(xué)習(xí)的對數(shù)的形式來刻畫一下這其中的“秘密”嗎？

16的“代言人”4就是log216，128的“代言人”7就是log2128，因此log216+log2128=11，11的含義是什么？

生10：11就是log22048．

師：log22048又可以表示為？

生11：log2(16×128)．

師：對于1.37×2.16的運(yùn)算過程，也能用類似的方式分析嗎？

1.37 × 2.16 ≈ 2.96 ↓ ↓ ↑0.1367+ 0.3345 =0.4712

100.1367 × 100.3345 = 100.4712lg1.37 + lg2.16 =?(lg(1.37×2.16))

如果推廣到一般情況呢？

M × N = ? ↓ ↓ ↑ p + q = p+q

ap × aq = ap+qlogaM + logaN =?(loga(M×N))

通過對具體實(shí)例的分析我們終于發(fā)現(xiàn)了斯蒂費(fèi)爾的運(yùn)算方法：為了得到(M×N)的數(shù)值，我們希望找到(M×N)的“代言人”，即loga(M×N)，而loga(M×N)等于M的“代言人”logaM及N的“代言人”logaN的和，通過在數(shù)表中查找對應(yīng)數(shù)的方式，將復(fù)雜的乘法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算．

斯蒂費(fèi)爾的方法用對數(shù)的符號呈現(xiàn)出來就是：loga(M×N)=logaM+logaN．這個方法是正確的嗎？大家能證明嗎？

生12：

證明：設(shè)logaM=p，logaN=q．

由對數(shù)的定義得M=ap，N=aq，

所以MN=apaq=ap+q，

故loga(MN)=p+q=logaM+logaN，

即loga(MN)=logaM+logaN．

師：我們終于用推理的方式驗(yàn)證了斯蒂費(fèi)爾方法的正確性．這一結(jié)論在對數(shù)運(yùn)算中非常重要，我們稱其為對數(shù)的一個運(yùn)算性質(zhì)．能用文字語言來刻畫一下這個性質(zhì)嗎？

生13：真數(shù)積的對數(shù)等于真數(shù)對數(shù)的和．

老師：好！一定要注意該性質(zhì)的形式，將真數(shù)積的對數(shù)轉(zhuǎn)化為真數(shù)對數(shù)和的運(yùn)算．同學(xué)們還記得我們之前學(xué)過的指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)嗎？

生14：(1)ap·aq=ap+q；(2)ap÷aq=ap-q；(3) (ap)q=apq．

師：仔細(xì)對比指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)ap·aq=ap+q與對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)loga(MN)=logaM+logaN，你有什么發(fā)現(xiàn)？

學(xué)生：一樣的！(笑)

師：根據(jù)指對數(shù)的相互關(guān)系，他們本質(zhì)上是相同的，只是呈現(xiàn)形式不同．根據(jù)指數(shù)運(yùn)算的另外兩個性質(zhì)，我們能有怎樣的猜想？

生15：從ap÷aq=ap-q猜想：

生16：從(ap)q=apq猜想：logaMq=qlogaM．

師：大家都是這樣想的嗎？有沒有其他的想法？

學(xué)生：……

師：同學(xué)們猜想的結(jié)論都是正確的，但由于時(shí)間關(guān)系，我們不能在課堂上進(jìn)行證明了，請同學(xué)們在課后用前面的方法證明你們的猜想．最后，請注意上述結(jié)論成立有限制條件嗎？

生17：a>0，a≠1，M>0，N>0，p∈R．

2.5 應(yīng)用舉例，運(yùn)用新知

例1：已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，試求下列各式的值(結(jié)果保留4位小數(shù)).

(1) lg8； (2) lg12；(3) lg13.5；(4) lg5.

解：(1) lg8=lg23=3lg2≈3×0.3010=0.9030；

(2) lg12=lg(22×3)=lg22+lg3=2lg2+lg3≈2×0.3010+0.4771=1.0791；

1-0.3010=0.6990．

例2：求下列各式的值：

(1) log2(23×45)； (2) log5125．

解：(1) log2(23×45)=log2(23×210)=

log2213=13log22=13；

(2) log5125=log553=3log55=3．

思考：已知lg1.37=a，則lg137=______．

解：lg137=lg(1.37×100)=lg1.37+lg100=lg1.37+2，

因?yàn)閘g1.37=a，所以lg137=lg1.37+2=a+2．

2.6 復(fù)習(xí)鞏固，課后練習(xí)

回顧本節(jié)課，同學(xué)們共同經(jīng)歷了在沒有科技設(shè)備的情況下，人們進(jìn)行簡便運(yùn)算的一些過程，從中找到了對數(shù)運(yùn)算的相關(guān)性質(zhì)，并證明了其正確性．

2.7 預(yù)設(shè)生成，板書呈現(xiàn)

3 教學(xué)反思

“對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)”是蘇教版必修1第3章對數(shù)函數(shù)的第2課時(shí)．在前一課時(shí)，我們通過對指數(shù)式ab=N的進(jìn)一步研究引入了對數(shù)的概念，得到與指數(shù)式本質(zhì)相同的另一種表達(dá)形式logaN=b．學(xué)生對對數(shù)的概念有了初步的認(rèn)識，但對研究對數(shù)的意義還不是非常清楚，特別是在信息技術(shù)和科技手段日益強(qiáng)大的今天，想要計(jì)算出課本中出現(xiàn)的那些對數(shù)式的值，只要在手機(jī)屏幕上輕松點(diǎn)擊數(shù)下，就可以得到精確度極高的結(jié)果，如今，中學(xué)生學(xué)習(xí)這一知識的意義究竟何在？

3.1 黑暗與曙光

每次在高一講解對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)這一內(nèi)容的時(shí)候，我都會比較茫然，站在學(xué)生的角度，總會提出這樣的問題——究竟是如何想到對數(shù)具有這樣的性質(zhì)的呢？雖然現(xiàn)代技術(shù)手段越來越發(fā)達(dá)了，但是如果我們僅是通過科學(xué)技術(shù)手段讓學(xué)生知道這個結(jié)論，然后不斷操練熟悉這個結(jié)論嗎？有很長的一段時(shí)間，我都在不斷追問這個問題，終于當(dāng)我在翻閱對數(shù)知識的發(fā)展歷程時(shí)，找到了解決的方法——回到對數(shù)發(fā)展的起點(diǎn)，讓學(xué)生在課堂上感受一次從紛繁復(fù)雜的數(shù)據(jù)中尋找數(shù)量之間關(guān)系的過程．

3.2 選擇與放棄

雖然我終于找到了教學(xué)設(shè)計(jì)的方向，但是面對紛繁復(fù)雜的素材，如何能在一堂課的時(shí)間里把這些內(nèi)容用合適的方式呈現(xiàn)出來，又成了我面前的一個難題．比如，納皮爾在研究對數(shù)的過程中，投入了很多的精力，他將長達(dá)近20年的業(yè)余時(shí)間都奉獻(xiàn)給了對數(shù)運(yùn)算，得到了許多有價(jià)值的結(jié)果，還有很多數(shù)學(xué)家為了對數(shù)計(jì)算能夠更加便捷，還制作了一些運(yùn)算的工具，……但這些內(nèi)容比較適合由老師直接呈現(xiàn)，學(xué)生無法參與其中，這樣的課堂只是陳述事實(shí)的講堂，怎樣才能讓學(xué)生動起來呢？帶著這個問題，我從大量的實(shí)際背景中選定了兩個材料：一個是德國數(shù)學(xué)家斯蒂費(fèi)爾對于整數(shù)性質(zhì)的研究，一個是在對整數(shù)性質(zhì)分析的基礎(chǔ)上，借助數(shù)學(xué)用表，推廣到對一般數(shù)據(jù)運(yùn)算的分析．

3.3 收獲與遺憾

我們已經(jīng)進(jìn)入大數(shù)據(jù)時(shí)代，每天都有海量的數(shù)據(jù)被記錄下來，我們將要面對的世界比幾百年前的世界更加復(fù)雜，雖然隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，我們進(jìn)行數(shù)據(jù)分析的工具更加先進(jìn)了，但是我們分析數(shù)據(jù)的能力是不是也在不斷進(jìn)步呢？在數(shù)學(xué)的課堂上，教師帶著學(xué)生一起學(xué)習(xí)這些“古老”的知識不是用它們來填裝我們的大腦，而是希望能通過切實(shí)的體驗(yàn)，豐富學(xué)生處理問題的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)學(xué)生面對新的世界，遭遇新的問題時(shí)，他們可以嘗試找到方法來解決．社會的不斷進(jìn)步，要求我們的學(xué)生能夠有解決新困難的勇氣和方法，這才是真正的學(xué)習(xí)．一節(jié)課的時(shí)間是非常有限的，教學(xué)設(shè)計(jì)的有效達(dá)成，還需要考慮學(xué)生的課堂狀態(tài)，因此本節(jié)課中留給學(xué)生體驗(yàn)和考察數(shù)據(jù)之間關(guān)系的過程還略顯倉促，如果能有更充裕的時(shí)間會更好．另外，隨著課程教學(xué)改革的不斷深入，加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)據(jù)分析能力的培養(yǎng)也不是一節(jié)課就能夠?qū)崿F(xiàn)的，這需要教師對課程教學(xué)有整體的規(guī)劃和研究．