◇ 山東 劉文靜

(作者單位:山東省濱州市第一中學)

高考一直在進行題型改革的探索,2019年11月末,山東省組織高三學生進行了一次統(tǒng)一的模擬考試,在第17題(第一個解答題)中,出現(xiàn)了從三個條件中選取一個條件組成一道題目的試題,屬于條件開放(半開放)性問題.問題難度雖然不大,卻改變了以往題目固定的形式.

開放性問題是指那些答案不唯一或在設(shè)置的條件上要求學生能夠進行多角度、多方面、多層次探索的問題.因此開放性問題包括條件開放型、結(jié)論開放型和完全開放型問題.

1 條件開放(半開放)型

例1在①b1＋b3＝a2,②a4＝b4,③S5＝－25這三個條件中任選一個,補充在下面的問題中,若問題中的k 存在,求k 的值;若k 不存在,請說明理由.

設(shè)等差數(shù)列{an}的前n 項和為Sn,{bn}是等比數(shù)列,_______,b1＝a5,b2＝3,b5＝－81,是否存在k,使得Sk＞Sk＋1且Sk＋1＜Sk＋2?

分析本題考查數(shù)列知識.

因為在等比數(shù)列{bn}中,b2＝3,b5＝－81,所以其公比q＝－3,從而bn＝b2(－3)n－2＝3×(－3)n－2,從而a5＝b1＝－1.

若存在k,使得Sk＞Sk＋1,即Sk＞Sk＋ak＋1,從而ak＋1＜0;同理,若使Sk＋1＜Sk＋2,即Sk＋1＜Sk＋1＋ak＋2,從而ak＋2＞0.

若選①:由b1＋b3＝a2,得a2＝－1－9＝－10,所以an＝3n－16,當k＝4 時,滿足a5＜0 且a6＞0成立.

若選②:由a4＝b4＝27,且a5＝－1,所以數(shù)列{an}為遞減數(shù)列,故不存在ak＋1＜0且ak＋2＞0.

例2已知△ABC 滿足________,且求sinC 的值及△ABC 的面積.

分析這類題目難度并不大,選一個合適的條件,轉(zhuǎn)化為封閉式問題即可,重點還是基礎(chǔ)知識的掌握.

本題不可選擇②作為補充條件.若選①,解答如下.

在△ABC 中,A＋B＋C＝π,所以

若選③,解答如下.

因為在△ABC 中,A＋B＋C＝π,所以

2 結(jié)論開放型

例3(2018年北京卷理13)能說明“若f(x)＞f(0)對任意的x∈(0,2]都成立,則f(x)在[0,2]上是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是________.

分析本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,只要滿足f(x)＞f(0)對任意的x∈(0,2]都成立,且函數(shù)f(x)在[0,2]上不是增函數(shù)即可.如f(x)＝sinx,答案不唯一.

例4對于中心在原點的雙曲線,給出下列三個條件:

① 離心率為2;②一條漸近線的傾斜角為60°;③實軸長為4,且焦點在x 軸上.寫出符合其中兩個條件的一個雙曲線標準方程________.

分析本題主要考查雙曲線的性質(zhì),三個條件任選兩個都可以求出雙曲線標準方程,難度系數(shù)不大,答案不唯一.

3 全部開放型

例5(2019年北京卷)已知l,m 是平面α 外的兩條不同直線.給出下列三個論斷:

①l⊥m;②m∥α;③l⊥α.

以其中的兩個論斷作為條件,余下的一個論斷作為結(jié)論,寫出一個正確的命題:_______.

分析若l⊥α,l⊥m,則m∥α,顯然①③為條件②為結(jié)論是正確的命題;若l⊥m,m∥α,則l∥α,l與α 相交但不垂直都可以,故①②為條件③為結(jié)論是不正確的命題;若l⊥α,m∥α,則l 垂直α 內(nèi)所有直線,在α 內(nèi)必存在與m 平行的直線,所以可推出l⊥m,故②③為條件①為結(jié)論是正確的命題.

高考試題所涉及的事物會隨著發(fā)展而變化,問題的類型、條件也被不斷地創(chuàng)造和完善.解決這種開放型問題就是要改變解決封閉式問題的固定思維,然后再用所學知識進行求解.

鏈接練習

1.α,β 是兩個不同的平面,m,n 是平面α 及β 之外的兩條不同的直線,給出四個論斷:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中的三個論斷作為條件,余下一個論斷作為結(jié)論,寫出你認為正確的一個命題.

2.在等差數(shù)列{an}中,已知a6＝12,a15＝36.若______,求數(shù)列{bn}的前n 項和.在①bn＝(－1)n·an,②bn＝③bn＝2an·an這三個條件中任選一個補充在第(2)問中,并對其求解.

鏈接練習參考答案

1.依題意可得以下四個命題:(1)m⊥n,α⊥β,n⊥β,則m⊥α;(2)m⊥n,α⊥β,m⊥α,則n⊥β;(3)m⊥α,n⊥β,m⊥n,則α⊥β;(4)α⊥β,n⊥β,m⊥α,則m⊥n.不難發(fā)現(xiàn),命題(3)和(4)為真命題,而命題(1)和(2)為假命題.故填上命題(3)或(4).