姜 尚，田福慶，孫世巖，梁偉閣

(海軍工程大學(xué) 兵器工程學(xué)院,武漢 430033)

隨著科學(xué)技術(shù)的日新月異與海戰(zhàn)思想的發(fā)展進步,艦炮武器需要具備持續(xù)的火力支援能力與精確的遠(yuǎn)程打擊能力[1].艦炮制導(dǎo)炮彈效費比高,可以對近岸目標(biāo)進行有效毀傷,較好地適應(yīng)了信息化、遠(yuǎn)程化、精確化的現(xiàn)代海戰(zhàn)需求[2].

末端導(dǎo)引控制是艦炮制導(dǎo)炮彈實現(xiàn)精確打擊的技術(shù)核心,直接決定其制導(dǎo)性能.隨著攻防裝備體系的升級,彈目相對運動速度加快,導(dǎo)引與控制系統(tǒng)的頻率接近,不再滿足時標(biāo)分離條件[3],控制艙空間有限,需要共享傳感器,以節(jié)省研發(fā)經(jīng)費,同時提高裝備可靠性;實戰(zhàn)中客觀存在的約束條件也制約著系統(tǒng)性能,如攻擊角約束、執(zhí)行器控制飽和、視線角速率測量受限等[4].顯然,傳統(tǒng)的時標(biāo)分離設(shè)計方式與僅滿足脫靶量約束的導(dǎo)引控制方法難以適應(yīng),學(xué)者們開始致力于研究滿足多約束的IGC設(shè)計方法.

Williams等[5]在1983年首次提出了IGC概念,它以氣動角為紐帶,建立起導(dǎo)引系統(tǒng)與控制系統(tǒng)的直接聯(lián)系,將兩個子系統(tǒng)聯(lián)合成為串級型的高階非線性系統(tǒng),根據(jù)相對運動、彈體運動、彈體姿態(tài)等信息,運用控制算法直接解算出執(zhí)行器的操縱指令.此后,學(xué)者們結(jié)合現(xiàn)代控制理論取得了較為豐碩的成果,主要有最優(yōu)控制[6]、魯棒控制[7-8]、動態(tài)面控制[9-11]、自適應(yīng)控制[7-9]、滑模控制[11-13](sliding mode control,SMC)、模糊控制[14]等.基于最優(yōu)控制,Vaddi等[6]設(shè)計了一種適用于非線性系統(tǒng)的IGC方法,降低了求解Hamilton-Jacobi-Bellman方程的難度,并運用卡爾曼濾波估計目標(biāo)機動,缺陷是未考慮客觀約束條件,且算法繁瑣.為了提升制導(dǎo)炮彈的制導(dǎo)性能,楊靖等[7]基于滑模觀測器提出了一種魯棒IGC設(shè)計方法,構(gòu)造自適應(yīng)魯棒項有效地鎮(zhèn)定了觀測誤差,使彈體能夠在打擊機動目標(biāo)時適應(yīng)氣動參數(shù)攝動,缺陷是需要精確的視線角速率信息,但是彈體的旋轉(zhuǎn)特性會限制捷聯(lián)式導(dǎo)引裝置的測量.反步控制在求解高階導(dǎo)數(shù)時易誘發(fā)微分膨脹,Seyedipour等[9]結(jié)合一階低通濾波器構(gòu)建了動態(tài)面,既能夠保證制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定,又提升了系統(tǒng)性能,同時還使控制器的設(shè)計過程得到了簡化.進而,Shao等[10]設(shè)計了ESO對參數(shù)攝動等系統(tǒng)內(nèi)外的未知干擾進行了準(zhǔn)確而又迅速的觀測,并將觀測信息運用到動態(tài)面控制器的設(shè)計當(dāng)中,有效地補償了干擾對系統(tǒng)造成的負(fù)面影響,缺陷是在分析系統(tǒng)穩(wěn)定性時未考慮觀測誤差項.ESO由韓京清[15]首次提出,其優(yōu)勢在于結(jié)構(gòu)簡易,即使缺乏被控對象的精確數(shù)學(xué)模型,也能夠?qū)ο到y(tǒng)狀態(tài)以及未知干擾進行有效地觀測,為IGC設(shè)計方法提供必要信息.在實際飛行過程中,舵面有時候會運行到機械極限位置,帶來了控制飽和受限問題,這就很容易導(dǎo)致需用過載大于可用過載,不能夠按照所需彈道飛行.Nussbaum增益函數(shù)常常被用來設(shè)計含有執(zhí)行器飽和的非線性系統(tǒng)控制器[8],可以結(jié)合魯棒、動態(tài)面以及自適應(yīng)控制等,對由舵機偏轉(zhuǎn)受限誘發(fā)的控制飽和非線性問題進行妥善地處理.

SMC的優(yōu)勢在于能夠克服線性與非線性系統(tǒng)的不確定性,對作用于系統(tǒng)的不確定性干擾和建模誤差具有良好的魯棒性.Shtessel等[11]基于滑?？刂铺岢隽艘环N高階非線性的IGC設(shè)計方法,較好地克服了機動目標(biāo)與模型氣動系數(shù)攝動造成的負(fù)面影響,使系統(tǒng)具備良好的魯棒性.為了使導(dǎo)彈滿足攻擊角約束,Wu等[12]將彈體速度與水平面的夾角作為攻擊角,在基于非線性滑?？刂铺岢隽艘环NIGC設(shè)計方法,提升了制導(dǎo)系統(tǒng)的綜合性能.值得注意的是,通過對現(xiàn)有研究文獻的分析,將命中時刻的彈體與目標(biāo)速度之間的夾角視為攻擊角更具有普適性[13].眾所周知,如何有效地削弱SMC切換抖振是亟待解決難點問題,現(xiàn)常采用連續(xù)飽和函數(shù)替代符號函數(shù),由于與干擾項有關(guān)的切換增益難以確定,削弱效果不盡如人意,為此,Ran等[14]設(shè)計了自適應(yīng)模糊系統(tǒng)逼近不確定干擾,提高了IGC精度與魯棒性,但參數(shù)較多、結(jié)構(gòu)復(fù)雜,難以付諸實踐.

綜上所述,IGC是具有時變性、非線性、多不確定性的高階次嚴(yán)反饋串級系統(tǒng),約束條件更是給系統(tǒng)的有限時間內(nèi)收斂性與穩(wěn)定性帶來了不小的挑戰(zhàn),因此,現(xiàn)有文獻多針對單約束,但多約束恰是作戰(zhàn)中存在且亟待解決的需求.本文充分考慮了客觀存在的多項約束和作用于彈體的各類未知干擾,提出了設(shè)計方法ARSMDS,運用Lyapunov穩(wěn)定性理論嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了終端視線角跟蹤誤差與視線角速率能夠在有限時間內(nèi)收斂,以及系統(tǒng)的一致最終有界性.

1 系統(tǒng)建模

1.1 運動與力學(xué)模型

艦炮制導(dǎo)炮彈轉(zhuǎn)速較低,馬氏力與馬氏力矩帶來的通道耦合因素較小,鉛直面內(nèi)彈目相對運動關(guān)系如圖1所示,Px0y0、Px1y1、Px2y2、Px6y6、Tx7y7、Tx8y8分別為彈體基準(zhǔn)、彈體、彈道、視線、目標(biāo)基準(zhǔn)、目標(biāo)彈道坐標(biāo)系,P、T、r、θQ、θ、α、δz分別為彈體、目標(biāo)、彈目距離、視線角、俯仰角、準(zhǔn)攻角、俯仰舵偏角,vP、aP、θP與vT、aT、θT分別為P、T的速度、法向加速度、彈道傾角.

圖1 彈目相對運動關(guān)系

假設(shè)1[8]視T為質(zhì)點,r、θQ、θP、θT易測,P、T僅在速度法向有加速度,且始終滿足vP>vT.

彈目相對運動關(guān)系為

(1)

令θQT=θQ-θT,θQP=θQ-θP,對式(1)求導(dǎo)可得:

考慮舵機一階動態(tài)特性,艦炮制導(dǎo)炮彈在鉛直面內(nèi)的動力學(xué)模型為

假設(shè)2[12]升力主要由α產(chǎn)生,將δz產(chǎn)生的升力視為有界不確定干擾.

1.2 近岸機動目標(biāo)模型

近岸機動目標(biāo)由一階慣性環(huán)節(jié)描述:

1.3 攻擊角模型

將攻擊角?E定義為命中時刻彈目速度夾角,如圖2所示,攻擊角約束即要求彈藥以?E命中目標(biāo).

圖2 攻擊角

通過零化彈目相對法向速度可得:

由于近岸地勢比較平坦,而且能夠使用無人偵察手段獲取,因此可以將θTf視為已知量.即,對于任一給定的?E,都存在著唯一的θQf與之相對應(yīng)[1].

1.4 系統(tǒng)狀態(tài)空間

(2)

其中,各函數(shù)與參量為

(3)

di(i=2,3,4,5)是考慮目標(biāo)機動、模型假設(shè)、建模誤差、氣動參數(shù)攝動的綜合干擾項,具體形式為

為便于IGC的設(shè)計,現(xiàn)引入一種連續(xù)可微的雙曲正切函數(shù)g(x5)來描述俯仰舵偏角飽和.

此時系統(tǒng)狀態(tài)空間為

(4)

本文針對系統(tǒng)(4),在狀態(tài)變量x2測量受限、x5飽和受限、di未知有界的條件下,通過設(shè)計方法ARSMDS得到控制量u,令x1與x2在有限時間內(nèi)收斂至零點的任意小鄰域內(nèi),系統(tǒng)一致最終有界.

2 ARSMDS設(shè)計

2.1 ESO設(shè)計

為觀測d2,定義觀測量[zx1,zx2,zd2],建立ESO為

(5)

式中,0<β2i(i=1,2,3),0<σ2i<1(i=1,2), 0<η2i<1(i=1,2),非線性函數(shù)fal為

通過文獻[16]可推導(dǎo)出ESO(5)的穩(wěn)態(tài)誤差為

(6)

由式(6)可知,無論干擾項是否連續(xù),選擇合適參數(shù),令β23遠(yuǎn)大于β21、β22,就可以對其進行精確地觀測,即zx1→x1、zx2→x2、zd2→d2.同理,為觀測di(i=3,4,5),定義觀測量[zxi,zdi],分別建立ESO為

(7)

(8)

(9)

式中,各參數(shù)取值范圍同式(5).

2.2 非奇異終端滑模設(shè)計

為保證系統(tǒng)(4)中的x1、x2在有限時間內(nèi)快速收斂至零點的任意小鄰域內(nèi).

引理1[1,17]考慮如下系統(tǒng)：

現(xiàn)選用一種非奇異終端滑模:

s2=x1+β|x2|γsign(x2),0<β,1<γ<2,

(10)

求導(dǎo)可得:

(11)

為了使滑模在趨近的過程中具備優(yōu)良的性能,運用彈目接近速率與彈目相對距離來設(shè)計滑模的自適應(yīng)指數(shù)趨近律,即

(12)

式中,|e21|≤k2,0

(13)

定理1針對由系統(tǒng)(4)中第1、2個等式所組成的子系統(tǒng),通過ESO(5)與控制指令(13)的調(diào)控,x1與x2在有限時間收斂內(nèi)收斂至零點附近任意小的鄰域內(nèi).

根據(jù)Lyapunov穩(wěn)定性定理,當(dāng)x2≠0時,s2在有限時間內(nèi)收斂至零,當(dāng)x2=0時也成立[18],在此后有

根據(jù)引理1,x1、x2在有限時間內(nèi)收斂至零點附近任意小的鄰域內(nèi).

為了削弱控制量的高頻震顫,在現(xiàn)有文獻中,通常引入連續(xù)飽和函數(shù)sat(s)=s/(|s|+δ)來替換滑模切換項,0<δ,則有

(14)

2.3 自適應(yīng)魯棒動態(tài)面設(shè)計

針對鎮(zhèn)定系統(tǒng)(4),簡化虛擬控制量的求解過程,并結(jié)合自適應(yīng)魯棒項削弱抖振.

步驟1定義s2為動態(tài)面2

地下室是建筑整體中重要的基礎(chǔ)結(jié)構(gòu)，對抗震性能要求較高。為了保證地下室的抗震性能，要求地下室的墻柱要保持和上部結(jié)構(gòu)的墻柱協(xié)調(diào)統(tǒng)一。按規(guī)范要求作為被嵌入上部結(jié)構(gòu)中的地下室頂樓蓋應(yīng)該采用梁板結(jié)構(gòu)，無梁樓蓋的地下室頂板不能被嵌入上部結(jié)構(gòu)中。結(jié)構(gòu)的計算應(yīng)從上往下算，直至達到嵌固端要求的地下室底板位置，底部加強區(qū)的剪力墻結(jié)構(gòu)層數(shù)應(yīng)從地面往上算，而且包括地下層。

步驟2定義動態(tài)面3為

s3=x3-x3d,

求導(dǎo)可得：

(15)

(16)

選取觀測誤差:

s4=x4-x4d,

求導(dǎo)可得：

(17)

步驟4定義動態(tài)面5為

s5=g-gd,

求導(dǎo)可得：

定義1[19]若連續(xù)函數(shù)N(χ)滿足以下性質(zhì):

則N(χ)為Nussbaum函數(shù).

為有效地處理出現(xiàn)的控制輸入飽和受限問題,設(shè)計控制量為：

(18)

(19)

選取Nussbaum函數(shù),設(shè)計其自適應(yīng)律為:

N(χ)=eχ2cos(χ),

3 穩(wěn)定性分析

引理2[20]對任意給定的1階線性非齊次微分方程dy/dt+P(x)y=Q(x),它的通解形式為

其中,C為任意常數(shù).

引理3[21]V(t)與χ(t)是定義域為[0,tf)的光滑函數(shù),0≤V(t),N(·)是光滑Nussbaum函數(shù),?t∈[0,tf),若有不等式下式成立,則V(t)與χ(t)是有界的.

0

虛擬控制量的誤差項為

求導(dǎo)可得：

進一步推導(dǎo)可得：

經(jīng)推導(dǎo)可得:

選取全系統(tǒng)Lyapunov函數(shù)V,即

(20)

定義動態(tài)面向量s=[s2,s3,s4,s5]T,其范數(shù)為

定理2對于系統(tǒng)(4),采用式(5)、(7)～(9)的ESO,魯棒自適應(yīng)律為式(16),控制量如式(14)、(15)、(17)、(18),(19)通過選擇適宜的參數(shù),系統(tǒng)一致最終有界,動態(tài)面向量的范數(shù)‖s‖滿足下式：

(21)

證明對式(20)進行微分,可得：

為保證系統(tǒng)穩(wěn)定,選取合適的參數(shù)滿足：

(23)

由引理2可得式(23)的解滿足如下不等式：

(24)

由上式可知，影響系統(tǒng)收斂速度與精度的參數(shù)主要有ε、ζ、γχ，經(jīng)分析可知ε、γχ與收斂精度成正相關(guān)，ζ與收斂精度成負(fù)相關(guān)，進一步地，可以通過調(diào)整影響ε、ζ、γχ的mi、ρ、κi等參數(shù)來間接調(diào)控收斂速度與精度，但這些參數(shù)的取值必須滿足式(21).根據(jù)引理3與Barbalat引理,系統(tǒng)一致最終有界.進而,式(21)經(jīng)過進一步地推導(dǎo),可得：

由式(24)可得：

V(T)-V(0)≤V(T)-V(0)e-2εT≤

(25)

進一步地,由式(24)、(25),推導(dǎo)可得：

證畢.

4 仿真實驗

為驗證ARSMDS的有效性與魯棒性,考慮了氣動參數(shù)攝動,通過數(shù)字仿真模擬復(fù)現(xiàn)了打擊正弦與方波機動目標(biāo)的工況,并引入文獻[19]中的自適應(yīng)動態(tài)面控制(ADSC)作為對比,受篇幅所限僅展示部分結(jié)果.

彈體氣動參數(shù)、彈目運動參數(shù)、制導(dǎo)參數(shù)見表1～3.了體現(xiàn)ARSMDS無需視線角速率,式(3)、(4)、(5)、(10)、(14)中都使用zx2,設(shè)定導(dǎo)引盲區(qū)為30 m,盲區(qū)內(nèi)舵機指令不變,依靠慣性飛行.

表1 彈體氣動參數(shù)

表2 彈目運動參數(shù)

表3 導(dǎo)引控制參數(shù)

4.1 工況1:正弦機動目標(biāo)

表4 工況1仿真實驗結(jié)果

圖3(a)為彈目運動軌跡,ARSMDS、ASDC都可以成功地攻擊正弦機動目標(biāo),ARSMDS彈道更為平直,通過分析表4可知,ARSMDS使脫靶量等重要指標(biāo)得到了優(yōu)化,降低了氣動參數(shù)攝動對制導(dǎo)系統(tǒng)的影響.法向加速度在圖3(b)中展示,僅采用自適應(yīng)魯棒項的ASDC不能有效地處理未知干擾,而ARSMDS將ESO與魯棒控制相結(jié)合,降低了加速度的峰值與變化范圍,變化趨勢更為平滑.從圖3(c)中可以看出,準(zhǔn)攻角的變化趨勢與法向加速度保持一致,驗證了假設(shè)2的正確性,ASDC受氣動參數(shù)攝動影響較大,出現(xiàn)了突變與發(fā)散的現(xiàn)象,而ARSMDS通過ESO與魯棒項的調(diào)控,使準(zhǔn)攻角的變化始終保持在較小的范圍內(nèi),有益于彈體穩(wěn)定飛行.由圖3(d)可知,通過引入自適應(yīng)Nussbaum函數(shù),ARSMDS有效地處理了飽和非線性問題,較好地保護了舵機,盡量避免因舵機控制飽和而達不到戰(zhàn)技指標(biāo).視線角、視線角速率的變化情況如圖3(e)、(f)所示,在ARSMDS的調(diào)控下,視線角與視線角速率自7 s后能夠穩(wěn)定地保持收斂狀態(tài),x1與x2有限時間收斂,ARSMDS收斂速度優(yōu)于ASDC.分析圖3(f)～圖3(i)可知,ESO能夠?qū)σ暰€角速率與干擾進行快速準(zhǔn)確地觀測,為設(shè)計方法提供重要信息,使彈體具備足夠的可用過載,以補償不確定性干擾對制導(dǎo)飛行的負(fù)面影響.

4.2 工況2:方波機動目標(biāo)

圖3 工況1仿真實驗曲線

表5 工況2仿真實驗結(jié)果

圖4(a)為彈目運動軌跡,兩種設(shè)計方法都可以令彈體命中作正弦機動的目標(biāo),通過分析表5可知,ARSMDS在ESO與自適應(yīng)魯棒項的調(diào)控下,降低了氣動參數(shù)攝動的不利影響,提升了制導(dǎo)系統(tǒng)性能.法向加速度的仿真曲線在圖4(b)中描述,ASDC受氣動參數(shù)攝動等不確定性干擾的影響較大,致使其加速度峰值較大、收斂速率緩慢,并且存在抖振發(fā)散的現(xiàn)象,而ARSMDS使彈體能夠較好地適應(yīng)氣動參數(shù)在一定范圍內(nèi)的攝動,制導(dǎo)系統(tǒng)具備良好的魯棒性.圖4(c)展示了準(zhǔn)攻角的變化曲線,由于設(shè)計并采用了ESO、自適應(yīng)魯棒項等有效措施,ARSMDS準(zhǔn)攻角的變化范圍較小、變化趨勢平緩,這有利于彈體在末制導(dǎo)段的穩(wěn)定飛行.觀察圖4(d),在不確定性干擾的影響下,ASDC舵偏峰值與變化范圍都比較大,而ARSMDS通過引入自適應(yīng)Nussbaum增益函數(shù),妥善地處理了由舵偏受限誘發(fā)的控制飽和非線性.視線角與視線角速率的變化情況在圖4(e)～圖4(f)中描繪,ARSMDS可以令終端視線角跟蹤誤差在7 s后保持穩(wěn)定的收斂狀態(tài),充分體現(xiàn)出“定理1”的正確性.圖4(f)～圖4(i)表明ESO具有良好的觀測性能與魯棒性,即使在氣動參數(shù)攝動范圍較大的工況下也能夠快速準(zhǔn)確地觀測出視線角速率與綜合干擾項,為ARSMDS提供了準(zhǔn)確的必要反饋信息,使彈體具備足夠的可用過載,進一步提升了制導(dǎo)系統(tǒng)性能與戰(zhàn)技指標(biāo).

圖4 工況2仿真實驗曲線

5 結(jié) 論

1)ESO準(zhǔn)確迅速地觀測出視線角速率與各類未知干擾,降低了制導(dǎo)炮彈的硬件設(shè)計要求.

2)結(jié)合自適應(yīng)魯棒設(shè)計了動態(tài)面滑模，避免了微分膨脹并有效地解決了切換增益難以確定所導(dǎo)致的控制量抖振.

3)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)刈C明了終端視線角跟蹤誤差、視線角速率的有限時間收斂性,以及系統(tǒng)的一致最終有界性.