趙振平,王林林,周 荻,王錦程,王永海

(1.北京航天長(zhǎng)征飛行器研究所,北京 100076；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院,哈爾濱 150001)

某空間飛行器為實(shí)現(xiàn)對(duì)地觀測(cè)等任務(wù)，在飛行過程中可能需要進(jìn)行多次大角度姿態(tài)調(diào)整，以滿足觀測(cè)角度的要求. 根據(jù)實(shí)際情況，該空間飛行器采用6個(gè)安裝在尾部的小型姿控發(fā)動(dòng)機(jī)作為姿控系統(tǒng)的執(zhí)行機(jī)構(gòu)，姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中需要消耗燃料.燃料的消耗量與姿態(tài)控制律密切相關(guān).由于空間飛行器總質(zhì)量的限制，其攜帶的燃料有限，為保障機(jī)動(dòng)全程的燃料消耗，需要優(yōu)化設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律，以期兼顧控制精度和能量消耗.

關(guān)于空間飛行器姿態(tài)機(jī)動(dòng)優(yōu)化控制方法，一些文獻(xiàn)已經(jīng)給出了相關(guān)的研究成果，減少能量消耗的思路集中在姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)上.文獻(xiàn)[1]采用自抗擾技術(shù)設(shè)計(jì)姿態(tài)機(jī)動(dòng)控制器，仿真結(jié)果顯示該控制器能夠減少能量消耗.但是該方法參數(shù)整定繁瑣，且對(duì)觀測(cè)器性能有較高要求.文獻(xiàn)[2]也采用自抗擾控制器設(shè)計(jì)了姿態(tài)控制律，并給出了控制參數(shù)優(yōu)化的方法.文獻(xiàn)[3]通過對(duì)bang-bang控制的優(yōu)化減少了姿態(tài)機(jī)動(dòng)的振動(dòng)問題，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)能量時(shí)間的優(yōu)化. 上述3種方法僅能實(shí)現(xiàn)能量消耗的降低，并非最優(yōu)能量控制.

通過應(yīng)用最優(yōu)控制方法設(shè)計(jì)姿態(tài)控制律，從而降低航天器姿態(tài)控制系統(tǒng)的能量消耗，是一種常見的設(shè)計(jì)思路.例如，文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了一種反最優(yōu)控制器，從而避免了直接求取Hamilton-Jacobi方程.仿真結(jié)果顯示能夠?qū)崿F(xiàn)能量的優(yōu)化.文獻(xiàn)[5]把姿態(tài)控制問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)具有平方和約束的參數(shù)優(yōu)化問題，利用平方和優(yōu)化技術(shù)，實(shí)現(xiàn)了能量的最優(yōu)控制.文獻(xiàn)[6]討論了采用變速控制力矩陀螺的一種姿態(tài)/能量一體化控制方法.文獻(xiàn)[7]不僅設(shè)計(jì)了能量姿態(tài)一體化控制律，并進(jìn)一步考慮了執(zhí)行器飽和及四元數(shù)漂移等問題，對(duì)其漂移進(jìn)行了整定，實(shí)現(xiàn)了姿態(tài)能量的一體化控制.實(shí)際上，上述這些文獻(xiàn)均采用了龐特里亞金最小值法設(shè)計(jì)姿態(tài)最優(yōu)控制律.

最優(yōu)控制理論中的非線性規(guī)劃方法也在最優(yōu)姿態(tài)控制律的設(shè)計(jì)中的得到應(yīng)用.文獻(xiàn)[8-10]均把姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題.文獻(xiàn)[8-9]使用非線性規(guī)劃的方法描述了姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，并提出了解的構(gòu)造方法，避免了求解高階微分方程，但仍存在計(jì)算復(fù)雜的問題；文獻(xiàn)[10]進(jìn)一步對(duì)初始可行解進(jìn)行了改進(jìn)優(yōu)化，仿真結(jié)果顯示該方法能夠有效減少尋優(yōu)計(jì)算的時(shí)間.文獻(xiàn)[11]通過偽譜法計(jì)算全局路徑節(jié)點(diǎn)，減少了全局規(guī)劃的計(jì)算量，結(jié)合預(yù)測(cè)控制實(shí)現(xiàn)能量節(jié)省.

另外，針對(duì)非對(duì)稱航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，文獻(xiàn)[12]則基于Krotov-Bellman充分條件求取了最小燃料消耗解.

上述的文獻(xiàn)在求解姿態(tài)最優(yōu)控制律的過程中，均假設(shè)姿態(tài)控制系統(tǒng)執(zhí)行機(jī)構(gòu)能夠輸出連續(xù)變化的控制力矩，從而實(shí)現(xiàn)最優(yōu)控制律所需要的連續(xù)型控制變量.但在許多特定應(yīng)用背景下，例如本文所研究的某空間小型飛行器上，只能安裝小型姿控發(fā)動(dòng)機(jī)組，每個(gè)姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的輸出均為開關(guān)型的控制力，即使采用脈沖調(diào)寬方式，也無法準(zhǔn)確輸出最優(yōu)控制律所要求的連續(xù)型控制力矩.因此，需要結(jié)合特定的問題優(yōu)化設(shè)計(jì)特定的姿態(tài)控制律，達(dá)到優(yōu)化燃料消耗量的目的.

為避免奇異并有利于非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，宜采用四元數(shù)描述空間飛行器的大角度姿態(tài)運(yùn)動(dòng).因此，在姿態(tài)控制律優(yōu)化設(shè)計(jì)中，本文采用魯棒性相對(duì)較好的基于四元數(shù)的非線性PD姿態(tài)控制律，并在這種控制律中引入3個(gè)姿態(tài)控制通道的開關(guān)門限，從而即有利于用脈沖調(diào)寬方式近似實(shí)現(xiàn)該控制律，又能有效地降低燃料消耗.另外，本文還采用一種新的改進(jìn)的粒子群尋優(yōu)(PSO)算法對(duì)非線性PD控制律的開關(guān)門限進(jìn)行尋優(yōu)設(shè)計(jì).

對(duì)于許多執(zhí)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的空間飛行器而言，經(jīng)常采用的機(jī)動(dòng)模式是從一種姿態(tài)指向到另外一種姿態(tài)指向的Rest-To-Rest機(jī)動(dòng).Rest-To-Rest姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令的規(guī)劃也直接影響姿控系統(tǒng)的燃料消耗量.階躍型指令只強(qiáng)調(diào)了快速性，而忽略了姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令對(duì)燃料消耗的影響.本文針對(duì)Rest-To-Rest姿態(tài)機(jī)動(dòng)模式，研究用四元數(shù)描述的姿態(tài)指令規(guī)劃問題，通過指令設(shè)計(jì)進(jìn)一步減少燃料消耗，同時(shí)兼顧一定的響應(yīng)速度.

1 空間飛行器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)數(shù)學(xué)描述

假設(shè)某空間飛行器需要在飛行過程中進(jìn)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，為實(shí)現(xiàn)姿態(tài)控制，在飛行器的尾部安裝了6臺(tái)姿控發(fā)動(dòng)機(jī)，發(fā)動(dòng)機(jī)采用倒T型布局，如圖1所示，每個(gè)姿控發(fā)動(dòng)機(jī)可以工作與開啟或關(guān)閉狀態(tài)，其推力工作曲線如圖2所示.

圖1 空間飛行器姿控發(fā)動(dòng)機(jī)布局

圖2 姿控發(fā)動(dòng)機(jī)推力上升和下降動(dòng)態(tài)特性

定義四元數(shù)q=[q0,qv]T，qv=[q1,q2,q3]T，則四元數(shù)描述的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)方程為[13]

考慮到存在干擾，姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程寫作：

式中：J=diag[JxJyJz]為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣；u∈R3為控制力矩；d∈R3為干擾力矩.

2 基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤非線性PD控制器設(shè)計(jì)

2.1 誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型

定義誤差四元數(shù)[14-15]為

其中

不難證明‖e‖=1.定義由體坐標(biāo)系到期望的體坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣為C1→d，則坐標(biāo)轉(zhuǎn)換矩陣可以表示為

定義角速度跟蹤誤差為

ω=[ω1ω2ω3]T=Ω-CΩd,

(1)

而跟蹤誤差動(dòng)力學(xué)方程為

(2)

式中，ω=Ω-CΩd為角速度跟蹤誤差.

2.2 非線性PD控制律設(shè)計(jì)

本文先給出應(yīng)用Back-Stepping方法設(shè)計(jì)的非線性PD控制律[16].

ω可以視作運(yùn)動(dòng)學(xué)方程式(1)的虛擬輸入，選取:

ω=-k1ev,k1>0,

預(yù)選Lyapunov函數(shù)為

沿著狀態(tài)軌跡(1)求導(dǎo)得到:

易得ev→0.

由于ω不是真實(shí)輸入，把ω與理想值-k1ev之差記為

σ=ω-(-k1ev).

(3)

Lyapunov函數(shù)V1的真實(shí)導(dǎo)數(shù)表達(dá)式為

由式(3)和式(1)、(2)可以改寫為

(4)

本文重新選取Lyapunov函數(shù)為

沿著式(4)求導(dǎo)可得：

2σTJ(σ-k1ev)×CΩd-σTCΩd×JCΩd-

(5)

本文為式(4)所示的非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)如下PD控制器：

u=-k2σ-k3ev,

式中,k2,k3為大于零的常數(shù).式(5)可改寫為

k1γJ‖ev‖‖σ‖(‖σ‖+k1‖ev‖+‖CΩd‖)+

2γJ‖σ‖‖CΩd‖(‖σ‖+k1‖ev‖)+

-χTQχ+WTχ,

其中:

本文假定k3=1/3，保證矩陣Q正定的約束條件可由下式給出：

如果合理選擇k1,k2滿足上述不等式，則有

式中，λ為矩陣Q的最小特征值，即

借鑒文獻(xiàn)[16]中的進(jìn)一步分析結(jié)果，當(dāng)t→時(shí)，σ和ev趨于有界，進(jìn)而ω趨于有界.

為了簡(jiǎn)單起見，對(duì)控制器的形式做一些改寫，令

u=[MzxMzyMzz]T=-K1ω-K2ev.

(6)

式中：Mzx、Mzy和Mzz分別為滾轉(zhuǎn)、偏航和俯仰力矩；K1=k2，K2=k2k1+k3.

按照PD控制律(6)，得到控制指令力矩指令Mzx，Mzy，Mzz后，需要根據(jù)控制力矩指令對(duì)圖1所示的6個(gè)發(fā)動(dòng)機(jī)的工作方式進(jìn)行分配.

2.2.1 滾轉(zhuǎn)和偏航通道

由于滾轉(zhuǎn)和偏航方向具有耦合作用，本文對(duì)滾轉(zhuǎn)和偏航同時(shí)進(jìn)行控制.本文采取以下的發(fā)動(dòng)機(jī)分配方式：

Mzx=Fz1lx+Fz4lx,

(7)

Mzy=Fz1ly-Fz4ly,

(8)

式中，lx、ly分別為滾轉(zhuǎn)和偏航力臂.聯(lián)立式(7)、(8)，解出:

Mzx=-Fz3lx-Fz6lx,

(9)

Mzy=-Fz1ly+Fz6ly,

(10)

聯(lián)立式(9)、(10)，解出:

當(dāng)Mzx=0時(shí)，1，3，4，6號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)均不輸出控制力.

2.2.2 俯仰通道

俯仰通道沒有耦合，很容易得出2號(hào)和5號(hào)發(fā)動(dòng)機(jī)所需產(chǎn)生的等效力:

由于姿控發(fā)動(dòng)機(jī)只能工作于完全開啟狀態(tài)或完全關(guān)閉狀態(tài)，不能輸出所需要的連續(xù)控制力，所以只能采用脈寬調(diào)制(PWM)方法，在一個(gè)給定的控制周期Tc內(nèi)，通過調(diào)整發(fā)動(dòng)機(jī)開啟和關(guān)閉時(shí)間的占空比，利用沖量等效原理近似實(shí)現(xiàn)PD控制律[17-18].

根據(jù)動(dòng)量等效原則，發(fā)動(dòng)機(jī)產(chǎn)生的等效力Fe為

在一個(gè)控制周期Tc內(nèi)，上式中

通過調(diào)整開啟時(shí)間Ton可近似輸出不同的等效控制力Fe.

為了節(jié)省燃料，并降低姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的開啟頻率，本文在非線性PD控制規(guī)律中引入開關(guān)門限δx、δy、δz，它們均為大于零的常值.這樣，實(shí)際實(shí)現(xiàn)的PD控制律表達(dá)如下：

2.3 非線性PD控制律開關(guān)門限的粒子群尋優(yōu)

首先選擇適當(dāng)?shù)腜D控制律參數(shù)，在跟蹤指令信號(hào)時(shí)，滿足跟蹤速率快，基本無超調(diào)，而且在連續(xù)控制量下穩(wěn)態(tài)誤差也很小.

進(jìn)一步設(shè)計(jì)中，本文在PD姿態(tài)控制律引入了開關(guān)門限δx、δy、δz，目的是在滿足姿控精度和姿控效率的情況下，盡量減小燃料的消耗量.為實(shí)現(xiàn)控制能量的優(yōu)化，并保證一定的控制誤差，選取下式作為優(yōu)化指標(biāo)：

式中：u(t)為控制輸入；e(t)為控制系統(tǒng)誤差；w1、w2為權(quán)值.

本文引用文獻(xiàn)[19]的算法，利用粒子群算法(PSO)和遺傳算法(GA)結(jié)合，來實(shí)現(xiàn)PD姿態(tài)控制律開關(guān)門限參數(shù)的尋優(yōu).PSO和GA都是群體智能優(yōu)化算法.每一種尋優(yōu)算法都有其缺陷.由于缺乏選擇機(jī)制，傳統(tǒng)粒子群算法會(huì)在較差個(gè)體上浪費(fèi)過多資源，從而降低效率.在傳統(tǒng)遺傳算法中，如果某個(gè)個(gè)體未被選中，那么該個(gè)體的信息就會(huì)丟失.因此，PSO-GA的基本思想是將PSO的群體搜索能力和GA的局部搜索能力相結(jié)合.同時(shí)，利用粒子群速度更新算法中的“記憶”功能，來保留搜索過程中的較好解.粒子群的位置更新由個(gè)體最優(yōu)位置和群體最優(yōu)位置構(gòu)成.在粒子群迭代中形成新一代粒子后，選取新群體中一定數(shù)量的粒子，分別應(yīng)用遺傳算法對(duì)其進(jìn)行求解.選取的數(shù)量如下:

每一個(gè)選中的粒子加上在粒子群中隨機(jī)選擇一定數(shù)量的粒子作為進(jìn)化算法的初始種群，該算法從種群中通過選擇、交叉和變異算子，選擇最優(yōu)個(gè)體后，通過遺傳原理將當(dāng)前種群中的點(diǎn)替換為當(dāng)前最優(yōu)點(diǎn).遺傳算法的種群大小GAPS和最大迭代次數(shù)GAMaxIter隨著PSO迭代次數(shù)的增加而逐漸減小，其關(guān)系定義如下:

通過上述迭代過程，種群趨于全局最優(yōu)狀態(tài).

3 大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)角速度和四元數(shù)指令規(guī)劃方法

以Rest-To-Rest大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題為例，研究大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令規(guī)劃方法.

大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的指令規(guī)劃思路是：令姿態(tài)初始的歐拉角按照某種運(yùn)動(dòng)規(guī)律在期望的時(shí)間內(nèi)變化到終端歐拉角，然后求出這種運(yùn)動(dòng)規(guī)律下對(duì)應(yīng)的姿態(tài)角速度指令和四元數(shù)指令.以歐拉角作為考核指標(biāo)，設(shè)按照312轉(zhuǎn)序旋轉(zhuǎn)3次得到的期望Euler角分別為?d、γd和ψd.設(shè)初始?xì)W拉角為?d0、γd0和ψd0，經(jīng)過時(shí)間td到達(dá)期望的終端姿態(tài)角?df、γdf和ψdf.

這里，本文給出一種令歐拉角勻速變化的角速度和四元數(shù)指令設(shè)計(jì)方法.令3個(gè)歐拉角勻速變化的姿態(tài)指令，即:

這樣, 不僅可以獨(dú)立控制3個(gè)歐拉角的變化規(guī)律，使得四元數(shù)描述的姿態(tài)控制系統(tǒng)3個(gè)歐拉角的運(yùn)動(dòng)相互之間不產(chǎn)生耦合影響，而且姿態(tài)角和姿態(tài)角速率指令的變化也始終是平滑的，易于保證姿態(tài)控制系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，并有助于減小能量消耗.

并可推導(dǎo)出四元數(shù)指令，即

4 數(shù)值仿真

假設(shè)飛行器攜帶的燃料總質(zhì)量為2.0 kg，姿控發(fā)動(dòng)機(jī)的穩(wěn)態(tài)推力設(shè)計(jì)為Fzs=18 N.以一種Rest-To-Rest的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程為研究對(duì)象，設(shè)計(jì)指令時(shí)，取動(dòng)態(tài)上升時(shí)間td=30 s，在300 s內(nèi)完成5次大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng).采用歐拉角勻速變化的角速度和四元數(shù)指令，令俯仰角?和偏航角ψ同時(shí)在0°～60°之間作5次大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)，而滾轉(zhuǎn)角γ保持為0°.具體設(shè)計(jì)出來的俯仰角指令?d如圖4中的虛線所示.

采用基于誤差四元數(shù)的姿態(tài)跟蹤PD控制律和姿控發(fā)動(dòng)機(jī)開關(guān)邏輯.PD控制律為u=-K1ω-K2ev，取K1=6，K2=32.在這組參數(shù)滿足跟蹤速率快，基本無超調(diào)的要求，而且在連續(xù)控制量下穩(wěn)態(tài)誤差遠(yuǎn)小于1°.

姿控指令更新的周期取2 ms，PWM控制周期Tc=0.3 s.

4.1 無開關(guān)門限時(shí)的Rest-To-Rest姿態(tài)機(jī)動(dòng)

令δx=0，δy=0，δz=0，這種情況相當(dāng)于沒有在PD控制律中加入開關(guān)門限.

無開關(guān)門限情況下，圖3所示的俯仰角變化過程表明，在大約前155 s，姿控系統(tǒng)跟蹤指令的過程良好，但155 s時(shí)燃料耗盡，姿控系統(tǒng)發(fā)散，無法繼續(xù)跟蹤姿態(tài)指令.圖4顯示的俯仰角速度指令跟蹤過程也呈現(xiàn)同樣情況. 圖5顯示的姿態(tài)角的跟蹤誤差在前155 s均小于0.5°，但155 s后發(fā)散.偏航角和滾轉(zhuǎn)角的控制也表現(xiàn)出同樣的特性.

圖3 俯仰角變化情況(無開關(guān)門限)

圖4 俯仰角速率指令和實(shí)際值變化情況(無開關(guān)門限)

圖5 俯仰角跟蹤誤差(無開關(guān)門限)

4.2 最優(yōu)開關(guān)門限下的Rest-To-Rest姿態(tài)機(jī)動(dòng)

為實(shí)現(xiàn)飛行器大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量?jī)?yōu)化管理，在PD姿態(tài)控制律設(shè)計(jì)中，引入了開關(guān)門限δx，δy和δz，目的是在滿足一定姿態(tài)控制精度的情況下，盡可能減小燃料的消耗量.在上述給定的Rest-To-Rest姿態(tài)機(jī)動(dòng)指令下，采用的粒子群尋優(yōu)算法對(duì)開關(guān)門限δx，δy和δz進(jìn)行尋優(yōu).為了保證姿態(tài)控制有一定的穩(wěn)態(tài)精度，δx，δy和δz每一個(gè)參數(shù)的尋優(yōu)范圍都限定在[0 10/57.3]范圍內(nèi).設(shè)種群大小為100，循環(huán)迭代500次.求得的最優(yōu)解δx=4.09/57.3，δy=3.35/57.3，δz=3.35/57.3.

采用這組最優(yōu)開關(guān)門限，在進(jìn)行大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)的過程中，俯仰角可以很好地跟蹤設(shè)計(jì)的機(jī)動(dòng)指令，動(dòng)態(tài)過程幾乎無超調(diào)，如圖6、7所示.圖8(a)給出的是整個(gè)300 s仿真過程中俯仰角指令的跟蹤誤差，無論動(dòng)態(tài)跟蹤誤差還是穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均較小，圖8(b)給出的是前120 s的俯仰角指令跟蹤誤差，更清楚地顯示了俯仰角指令動(dòng)態(tài)跟蹤誤差和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均較小.

偏航角和滾轉(zhuǎn)角的控制也表現(xiàn)出同樣的特性.仿真得到的最優(yōu)解保證了姿態(tài)控制3個(gè)歐拉角的姿態(tài)控制誤差小于1°，最小燃料消耗為0.89 kg.

在同樣的控制器參數(shù)下, 如果簡(jiǎn)單地采用階躍型四元數(shù)指令, 那么在85 s時(shí)燃料消耗殆盡, 也無法完成5次姿態(tài)機(jī)動(dòng)的任務(wù).

圖6 俯仰角變化情況(有開關(guān)門限)

圖7 俯仰角速率指令及實(shí)際值(有開關(guān)門限)

圖8 俯仰角跟蹤誤差(有開關(guān)門限)

5 結(jié) 論

1)提出了一種含開關(guān)門限的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)PD控制律，并利用粒子群算法和遺傳算法相結(jié)合的方法，尋找到開關(guān)門限的最優(yōu)解.

2)數(shù)值仿真結(jié)果表明，采用這種含開關(guān)門限的大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)PD控制律，可以顯著減小姿控系統(tǒng)的燃料消耗，且動(dòng)態(tài)跟蹤誤差和穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差均較小.

3)設(shè)計(jì)了令歐拉角勻速變化的角速度和四元數(shù)指令，有助于保證系統(tǒng)良好的瞬態(tài)特性,并節(jié)省燃料.