田長(zhǎng)軍

平衡問題是高考物理每年必考的知識(shí)點(diǎn)，要求考生只研究共點(diǎn)力作用下物體的平衡問題. 筆者對(duì)多年的高考真題進(jìn)行了研究，總結(jié)了高考中常見的幾類題型，并給出了求解方法，希望對(duì)學(xué)生備考提供幫助.

1. 一般平衡問題.

【例1】（2020年全國(guó)卷Ⅲ）如圖1所示，懸掛甲物體的細(xì)線拴牢在一不可伸長(zhǎng)的輕質(zhì)細(xì)繩上O點(diǎn)處;繩的一端固定在墻上，另一端通過光滑定滑輪與物體乙相連. 甲、乙兩物體質(zhì)量相等. 系統(tǒng)平衡時(shí)，O點(diǎn)兩側(cè)繩與豎直方向的夾角分別為α和β. 若α=70°，則β等于（ ）

A. 45° B. 55° C. 60° D. 70°

解析：甲物體是拴牢在O點(diǎn)，且甲、乙兩物體的質(zhì)量相等，則甲、乙繩的拉力大小相等，O點(diǎn)處于平衡狀態(tài)，則左側(cè)繩子拉力的方向在甲、乙繩子的角平分線上，如圖2所示，

根據(jù)幾何關(guān)系有180°=2β+α，解得β=55°，故選B.

求解策略：三力平衡問題中，任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力等大反向，且正好組成一個(gè)三角形，這種問題最終是將力學(xué)平衡問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決.

2. 動(dòng)態(tài)平衡問題.

【例2】（2019年全國(guó)卷Ⅰ）如圖3所示，一粗糙斜面固定在地面上，斜面頂端裝有一光滑定滑輪. 一細(xì)繩跨過滑輪，其一端懸掛物塊N，另一端與斜面上的物塊M相連，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài). 現(xiàn)用水平向左的拉力緩慢拉動(dòng)N，直至懸掛N的細(xì)繩與豎直方向成45°. 已知M始終保持靜止，則在此過程中（ ）

A. 水平拉力的大小可能保持不變

B. M所受細(xì)繩的拉力大小一定一直增加

C. M所受斜面的摩擦力大小一定一直增加

D. M所受斜面的摩擦力大小可能先減小后增加

解析：對(duì)N受力分析可知，物體在重力、水平拉力F和細(xì)繩的拉力FT三個(gè)力的作用下處于平衡狀態(tài)，做出三個(gè)力的矢量三角形，如圖4所示. FT與豎直方向的夾角逐漸增大的過程中，水平拉力F的大小逐漸增大，細(xì)繩的拉力FT也一直增大，選項(xiàng)A錯(cuò)誤，B正確;

M的質(zhì)量與N的質(zhì)量的大小關(guān)系不確定，設(shè)斜面傾角為θ，由分析可知FTmin=mN g，故若mN g≥mM gsin θ，則M所受斜面的摩擦力大小會(huì)一直增大，若mN g

求解策略：本題是三力動(dòng)態(tài)平衡問題，也是高考中最常見的動(dòng)態(tài)平衡問題. 三力動(dòng)態(tài)平衡問題常見解法有：

（1）三角形圖解法：適用于物體所受的三個(gè)力中，有一力的大小和方向均不變，另一個(gè)力的方向不變，大小變化，第三個(gè)力則大小、方向均發(fā)生變化的問題. 這類問題先將三個(gè)力平移，首尾相連構(gòu)成閉合三角形，然后觀察哪些力變化，哪些力不變，將方向不變的力延長(zhǎng)，將方向變化的力按題目要求進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，變化過程中物體一直處于平衡狀態(tài)，三角形總是存在，只是形狀發(fā)生了改變，比較這些不同形狀的矢量三角形，各力的大小及變化就非常明顯了.

（2）相似三角形法：適用于物體所受的三個(gè)力中，一個(gè)力大小、方向不變，其它二個(gè)力的方向均發(fā)生變化，且三個(gè)力中沒有二力保持垂直關(guān)系，但可以找到力構(gòu)成的矢量三角形相似的幾何三角形的問題. 這類問題先正確分析物體的受力，畫出受力分析圖，將三個(gè)力的矢量首尾相連構(gòu)成封閉三角形，再尋找與力的三角形相似的幾何三角形，利用相似三角形的性質(zhì)，建立比例關(guān)系，把力的大小變化問題轉(zhuǎn)化為幾何三角形邊長(zhǎng)的大小變化問題進(jìn)行討論.

（3）作輔助圓法：適用的問題是物體所受的三個(gè)力中，開始時(shí)兩個(gè)力的夾角為90°的情況. 這類問題先對(duì)物體受力分析，畫出力的示意圖，將三個(gè)力的矢量首尾相連構(gòu)成封閉三角形，然后根據(jù)力的變化情況具體分析即可看出力的變化規(guī)律.

（4）解析法：適用的類型較為廣泛. 先對(duì)物體受力分析，畫力的示意圖，根據(jù)平衡條件列方程，物理量的變化規(guī)律在方程中即可發(fā)現(xiàn). 有的題目還需要根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性等數(shù)學(xué)方法求解某一區(qū)間內(nèi)的最值后才能討論其變化規(guī)律.

3. 連接體中的平衡問題.

【例3】（2020年山東卷）如圖5所示，一輕質(zhì)光滑定滑輪固定在傾斜木板上，質(zhì)量分別為m和2m的物塊A、B，通過不可伸長(zhǎng)的輕繩跨過滑輪連接，A、B間的接觸面和輕繩均與木板平行. A與B間、B與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力. 當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時(shí)，物塊A、B剛好要滑動(dòng)，則μ的值為（ ）

A.?B.?C.?D.

解析：（解法一：隔離法）當(dāng)木板與水平面的夾角為45°時(shí)，兩物塊剛好滑動(dòng)，對(duì)A物塊受力分析如圖6，沿斜面方向，A、B之間的滑動(dòng)摩擦力f1= N= mgcos45°①，根據(jù)平衡條件可知T=mgsin45°+ mgcos45°②，對(duì)B物塊受力分析如圖7，沿斜面方向，B與斜面之間的滑動(dòng)摩擦力f2= N′= ·3mgcos45°③，根據(jù)平衡條件可知2mgsin45°=T+ mgcos45°+ ·3mgcos45°④，聯(lián)立②④式可得 = ，C正確.

（解法二：整體-隔離法）對(duì)A受力分析，由平衡條件知T=mgsin45°+ mgcos45°，對(duì)AB整體受力分析，由平衡條件知2T+3 mgcos45°=3mgsin45°，聯(lián)立以上兩式可得 = .

求解策略：在連接體問題中，一般都是兩個(gè)及以上的物體發(fā)生相互作用，無論系統(tǒng)中的物體處于靜止?fàn)顟B(tài)還是勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，加速度都為零. 可將系統(tǒng)中的多個(gè)物體看作一個(gè)整體，捆綁在一起受力分析，即整體法.也可以將某個(gè)物體單獨(dú)分離出來受力分析，即隔離法. 用整體法和隔離法，再根據(jù)平衡條件列方程求解.

4. 復(fù)合場(chǎng)中的平衡問題

【例4】（2017年全國(guó)卷Ⅰ）如圖8所示，空間某區(qū)域存在勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)方向豎直向上（與紙面平行），磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，三個(gè)帶正電的微粒a、b、c電荷量相等，質(zhì)量分別為ma、mb、mc，已知在該區(qū)域內(nèi)，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，c在紙面內(nèi)向左做勻速直線運(yùn)動(dòng). 下列選項(xiàng)正確的是（? ?）

A. ma>mb>mc B. mb>ma>mc

C. mc>ma>mb D. mc>mb>ma

解析：設(shè)三個(gè)微粒的電荷量均為q，a在紙面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，說明洛倫茲力提供向心力，重力與電場(chǎng)力平衡，得ma g=qE;b在紙面內(nèi)向右做勻速直線運(yùn)動(dòng)，三力平衡，得mbg=qE+qvB;c在紙面內(nèi)向左做勻速直線運(yùn)動(dòng)，三力平衡，得mc g+qvB=qE. 三式比較即得mb>ma>mc，故選項(xiàng)B正確，A、C、D錯(cuò)誤.

求解策略：帶電粒子以某一速度垂直進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，會(huì)受到洛倫茲力的作用，進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)，會(huì)受到電場(chǎng)力的作用. 若帶電粒子在電場(chǎng)、磁場(chǎng)和重力場(chǎng)三個(gè)場(chǎng)的疊加場(chǎng)中處于平衡狀態(tài)，對(duì)粒子受力分析，列方程求解. 不過在分析的過程中需要注意兩個(gè)問題，一是若粒子處于靜止?fàn)顟B(tài)，則不受洛倫茲力的作用. 二是注意各力的空間方向，電場(chǎng)力、洛倫茲力、重力和其他力不一定在同一平面內(nèi).

5. 電磁感應(yīng)中的平衡問題.

【例5】（2015年海南卷）如圖9所示，兩平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面上，相距l(xiāng)，左端與一電阻R相連;整個(gè)系統(tǒng)置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下. 一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒置于導(dǎo)軌上，在水平外力作用下沿導(dǎo)軌以速度v勻速向右滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直并接觸良好. 已知導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，重力加速度大小為g，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均可忽略. 求：

（1）電阻R消耗的功率;

（2）水平外力的大小.

解析：（1）導(dǎo)體切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)為E=Blv，

根據(jù)歐姆定律，閉合回路中的感應(yīng)電流為I= ，

電阻R消耗的功率為P=I2R，聯(lián)立可得P= .

（2）對(duì)導(dǎo)體棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力，向右的外力，三力平衡，故有F安+ mg=F，F(xiàn)安=BIl=B· ·l，故F= + mg.

求解策略：導(dǎo)體棒在磁場(chǎng)中切割磁感線運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)體棒相當(dāng)于電源，若回路閉合，回路中會(huì)有感應(yīng)電流，這時(shí)導(dǎo)體棒也相當(dāng)于通電導(dǎo)體在磁場(chǎng)中切割磁感線運(yùn)動(dòng)，會(huì)受到安倍力的作用.若導(dǎo)體棒處于勻速直線運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，通過受力分析，列平衡方程求解. 但需要特別注意的是，若磁場(chǎng)方向與導(dǎo)體棒和導(dǎo)軌所在的平面不垂直，安倍力的方向就與導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)速度方向不在一條直線上，需要對(duì)安培力進(jìn)行分解，用正交分解法解決.

6. 平衡中的臨界與極值問題.

【例6】（2013年全國(guó)卷Ⅱ）如圖10所示，在固定斜面上的一物塊受到一外力的作用，F(xiàn)平行于斜面上. 若要物塊在斜面上保持靜止，F(xiàn)的取值應(yīng)有一定范圍，已知其最大值和最小值分別為F1和F2（F2>0）. 由此可求出（ ）

A. 物塊的質(zhì)量

B. 斜面的傾角

C. 物塊與斜面間的最大靜摩擦力

D. 物塊對(duì)斜面的正壓力

解析：設(shè)滑塊受到的最大靜摩擦力為f，對(duì)滑塊受力分析，當(dāng)靜摩擦力平行斜面向下時(shí)，拉力最大，有F1-mgsin -f=0;當(dāng)靜摩擦力平行斜面向上時(shí)，拉力最小，有：F2-mgsin +f=0，聯(lián)立解得：f= ，故C正確;mgsin = ，因質(zhì)量和傾角均未知，故A錯(cuò)誤，B錯(cuò)誤;物塊對(duì)斜面的正壓力為：N=mgcosθ，未知，故D錯(cuò)誤;故選C.

求解策略：處理臨界與極值問題一般有三種方法.（1）解析法：根據(jù)物體的平衡條件列出平衡方程，用數(shù)學(xué)方法求極值，例如導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、配方、均值不等式等.（2）圖解法：在三個(gè)力作用下的平衡問題中，可根據(jù)圖解法，用矢量三角形求解最值（點(diǎn)到直線的距離，垂線段最短）.（3）極限法：極限法是一種處理極值問題最有效的方法之一，它是指通過恰當(dāng)選取某個(gè)變化的物理量將問題推向極端（如“極大”“極小”等），從而把比較隱蔽的臨界現(xiàn)象暴露出來，快速求解.

7. 平衡中的STSE問題.

【例7】（2012年全國(guó)卷Ⅱ）拖把是由拖桿和拖把頭構(gòu)成的擦地工具（如圖11甲）. 設(shè)拖把頭的質(zhì)量為m，拖桿質(zhì)量可以忽略;拖把頭與地板之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為常數(shù)μ，重力加速度為g，某同學(xué)用該拖把在水平地板上拖地時(shí)，沿拖桿方向推拖把，拖桿與豎直方向的夾角為θ.

（1）若拖把頭在地板上勻速移動(dòng)，求推拖把的力的大小.

（2）設(shè)能使該拖把在地板上從靜止剛好開始運(yùn)動(dòng)的水平推力與此時(shí)地板對(duì)拖把的正壓力的比值為λ. 已知存在一臨界角θ0，若θ≤θ0，則不管沿拖桿方向的推力多大，都不可能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng). 求這一臨界角的正切tanθ0.

解析：（1）設(shè)沿拖桿方向用大小為F的力推拖把，地板對(duì)拖把的支持力為N，摩擦力為f，建立坐標(biāo)系，受力分析，如圖11（乙）所示. 利用正交分解法，將推拖把的力沿豎直和水平分解，由平衡條件有

Fcos +mg = N ……①

Fsin? = f ……②

f =? N ……③

聯(lián)立①②③式得F= mg ……④

（2）若不管沿拖桿方向用多大的力都不能使拖把從靜止開始運(yùn)動(dòng)，應(yīng)用

fsin ≤ N ……⑤

這時(shí)，①式仍滿足，聯(lián)立①⑤式得

sin - cos ≤? ……⑥

上式右邊總是大于零，且當(dāng)F無限大時(shí)極限為零，有

sin - cos ≤0 ……⑦

使上式成立的角滿足θ≤θ0，這里是題中所定義的臨界角，即當(dāng)θ≤θ0時(shí)，不管沿拖桿方向用多大的力都推不動(dòng)拖把. 臨界角的正切值為tanθ0= .

求解策略：高考物理中，涉及科學(xué)、技術(shù)、社會(huì)、環(huán)境等STSE問題的新情景類試題越來越多，選材靈活，立意新穎，要求學(xué)生從日常生活中提煉出物理模型，再將物理模型轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)公式求解. 物體受到三個(gè)或三個(gè)以上共點(diǎn)力的作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，通過建立平面直角坐標(biāo)系將物體所受的力分解為相互垂直的兩組，每組力都滿足平衡條件，即正交分解法. 本題中，拖把頭受四個(gè)力，用正交分解法解決較為簡(jiǎn)便.

責(zé)任編輯 李平安