王 輝，徐 瑞，朱圣英，梁子璇

(1.北京理工大學(xué)宇航學(xué)院，北京 100081；2.深空自主導(dǎo)航與控制工信部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100081)

0 引 言

在軌運(yùn)行的航天器經(jīng)常需要進(jìn)行姿態(tài)機(jī)動(dòng)來完成特定的任務(wù)，例如通信、觀測和跟蹤。航天器上的燃料和電能都是有限的；因此，減少姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中的能量消耗對(duì)于任務(wù)成功執(zhí)行非常重要。進(jìn)一步地，空間中存在很多明亮天體，例如太陽、火星和月亮；航天器上的某些光學(xué)敏感器(例如星敏感器和紅外望遠(yuǎn)鏡)在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中不能曝光于這些明亮天體下，否則可能會(huì)損壞。同時(shí)，為了保持對(duì)地通信，航天器上的天線在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中需要與地面站保持一定的指向關(guān)系。另外，陀螺儀和太陽敏感器等儀器都需要航天器的角速度不能太大，否則會(huì)造成較差的角速度測量和姿態(tài)估計(jì)結(jié)果；航天器上的執(zhí)行機(jī)構(gòu)一般只能提供有限的控制力矩。最后，航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中還需要滿足自身的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)約束。

這些約束[1-4]的存在極大地限制了航天器在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中的可行空間，這使得多約束姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問題變得難以求解。為了解決多約束姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題，McInnes[5]使用人工勢函數(shù)[6-8]的方法，通過對(duì)禁忌區(qū)域施加高的勢能來實(shí)現(xiàn)對(duì)姿態(tài)指向禁忌約束的規(guī)避。該方法對(duì)計(jì)算資源的要求較低，但是未考慮角速度和控制力矩有界約束，且歐拉角的姿態(tài)表示方式容易導(dǎo)致奇異性問題。Hablani[9]在單位球上定義排斥區(qū)域，并主要通過求解兩個(gè)相關(guān)轉(zhuǎn)角得到理想的切線路徑來規(guī)避明亮天體，即需要的俯仰/偏航轉(zhuǎn)角和明亮天體相對(duì)于旋轉(zhuǎn)平面的排斥角。該方法簡單直觀，但是只適合于處理少量指向約束的情況。Frazzoli等[10]應(yīng)用隨機(jī)規(guī)劃[11-12]方法求解該問題，可以快速搜索得到可行的姿態(tài)路徑。該方法能處理復(fù)雜指向約束的情況，但是隨機(jī)算法具有很大的不確定性，星上應(yīng)用不可靠。Kim等[13]將禁忌約束轉(zhuǎn)化成二次凸約束的形式，并將邊界條件表示成二次型形式的目標(biāo)函數(shù)，而后利用半定規(guī)劃[14-15]方法求解得到滿足約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡。該方法采用單步規(guī)劃，且未考慮性能指標(biāo)優(yōu)化。Kjellberg等[16]利用二十面體離散化方法和A*搜索算法求解復(fù)雜指向約束下的姿態(tài)機(jī)動(dòng)可行路徑。該姿態(tài)路徑規(guī)劃算法未考慮姿態(tài)動(dòng)力學(xué)和有界約束。Biggs等[17]提出了一種半解析的幾何姿態(tài)運(yùn)動(dòng)規(guī)劃方法來同時(shí)處理禁忌約束和有界約束。該方法通過改變路徑參數(shù)來生成不同的姿態(tài)路徑，規(guī)避禁忌約束；同時(shí)，利用時(shí)間參數(shù)化的方法來改變機(jī)動(dòng)角速度，并實(shí)現(xiàn)滿足有界約束。該方法計(jì)算代價(jià)較小，但是只適合處理簡單的小范圍禁忌區(qū)域的情況。

在考慮多種復(fù)雜約束的情況下，姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問題已經(jīng)很難求解。引入能量消耗這一優(yōu)化指標(biāo)，又進(jìn)一步給問題帶來一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)。Sun等[18]利用半定松弛方法將原來的非凸二次約束二次規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為半定規(guī)劃問題，并通過迭代秩最小化方法逐漸得到最優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜指向約束下能量最優(yōu)姿態(tài)機(jī)動(dòng)。武長青等[19]引入線性松弛方法將原問題轉(zhuǎn)化為雙線性規(guī)劃問題，并通過求解其中一個(gè)變量的凸包絡(luò)和凹包絡(luò)，得到原問題的一個(gè)線性松弛解，最后通過基于評(píng)價(jià)函數(shù)的迭代規(guī)劃算法求出原問題的近優(yōu)解，實(shí)現(xiàn)了復(fù)雜指向約束下低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)。Wu等[20]利用改進(jìn)的差分進(jìn)化算法來得到復(fù)雜約束下姿態(tài)機(jī)動(dòng)近優(yōu)解。這些方法計(jì)算效率較低，難以實(shí)現(xiàn)星上應(yīng)用。偽譜法[21-23]是一種求解優(yōu)化問題的直接法，廣泛應(yīng)用于多種軌跡規(guī)劃問題。該類方法利用正交多項(xiàng)式來表示最優(yōu)解曲線，將原來的最優(yōu)控制問題轉(zhuǎn)化為求解正交多項(xiàng)式展開系數(shù)的非線性規(guī)劃問題。偽譜法采用了非一致節(jié)點(diǎn)離散化方法，只需少量的節(jié)點(diǎn)就可以完成對(duì)優(yōu)化問題的離散化。但是，偽譜法只能保證在節(jié)點(diǎn)處滿足指向約束，而并未考慮中間稀疏節(jié)點(diǎn)之間的路徑是否滿足約束。而且當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)增加時(shí)，偽譜法的計(jì)算效率會(huì)顯著降低。

本文首先提出了時(shí)-虛混合域的概念，而后采用連續(xù)的路徑和時(shí)間參數(shù)化，建立了時(shí)-虛混合域上非線性約束問題模型，提出了時(shí)-虛混合域單點(diǎn)式非線性姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法，解決了文獻(xiàn)[17]中方法只適合處理簡單的小范圍禁忌區(qū)域的問題，并且有效減少了航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)中的能量消耗，實(shí)現(xiàn)了連續(xù)光滑的多約束低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)的高效規(guī)劃。

1 航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)中的多種復(fù)雜約束

用旋轉(zhuǎn)矩陣表示航天器的姿態(tài)，剛體航天器的姿態(tài)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[17,24]可以表示如下：

(1)

式中：CIB表示從本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣，如式(2)所示。ω=[ω1,ω2,ω3]T表示本體坐標(biāo)系下航天器的角速度。x×表示由x=[x1,x2,x3]T定義的斜對(duì)稱矩陣，如式(3)所示。q=[q0,q1,q2,q3]T是單位四元數(shù)，表示從本體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)。q0是標(biāo)量部分。

(2)

(3)

剛體航天器的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)方程[25-26]如下所示：

(4)

式中：u=[u1,u2,u3]T表示本體坐標(biāo)系下的控制力矩。J∈R3×3表示航天器的慣量矩陣。如果本體坐標(biāo)系是主軸坐標(biāo)系，則有J=diag(J1,J2,J3)。

在實(shí)際工程應(yīng)用中，航天器上測量儀器的量程有限；某些儀器的正常工作需要航天器的角速度不能太大；執(zhí)行機(jī)構(gòu)提供的控制力矩是有界的。這形成了航天器姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中的角速度和控制力矩有界約束[25-26]，可以分別表示為如下不等式的形式。

|ωj|≤ωmax,j=1,2,3

(5)

|uj|≤umax,j=1,2,3

(6)

式中：ωj和uj為分量約束的角速度和控制力矩。如果對(duì)整體矢量有約束，則可以將約束表示為角速度和控制力矩的2范數(shù)的形式。

圖1 禁忌約束

(7)

圖2 強(qiáng)制約束

(8)

姿態(tài)機(jī)動(dòng)初始和終端邊界條件可以歸納為如下形式:

(9)

2 時(shí)-虛混合域單點(diǎn)式非線性姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法

為了解決多約束低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問題，本文提出了時(shí)-虛混合域的概念和時(shí)-虛混合域單點(diǎn)式非線性姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法。時(shí)-虛混合域的含義如定義1所示。時(shí)-虛混合域模型采用連續(xù)參數(shù)化的虛擬域解析路徑集以及時(shí)域角速度和控制力矩來描述兩點(diǎn)間姿態(tài)機(jī)動(dòng)，而后通過統(tǒng)一的非線性參數(shù)優(yōu)化和單點(diǎn)式路徑分解置換規(guī)劃求解得到復(fù)雜多約束下低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡以及連續(xù)光滑的角速度和控制力矩曲線。

定義1.時(shí)-虛混合域指的是時(shí)域和虛擬域同步存在而形成的定義域。具體地對(duì)于姿態(tài)機(jī)動(dòng)問題而言，在虛擬域上描述姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑，在時(shí)域上描述角速度和控制力矩，并且姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑以及角速度和控制力矩的求解過程同步進(jìn)行。

2.1 時(shí)-虛混合域上非線性約束問題建模

(10)

其中，CW(p)=[xyz]，如式(11)～式(13)所示：

(11)

(12)

(13)

式中：

M1(p)=Asech(γp+C)

M2(p)=Bsech(γp+C)

(14)

(15)

(16)

不同于文獻(xiàn)[17]中首先求解虛擬域姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑而后通過調(diào)整機(jī)動(dòng)時(shí)間來改變角速度和控制力矩進(jìn)而滿足有界約束的方法，本文提出了時(shí)-虛混合域的概念，統(tǒng)一優(yōu)化求解虛擬域姿態(tài)路徑以及時(shí)域角速度和控制力矩。時(shí)-虛混合域模型在保持路徑和時(shí)間參數(shù)化所帶來的問題降維和約束解耦等優(yōu)點(diǎn)的基礎(chǔ)上，通過統(tǒng)一同步優(yōu)化機(jī)制，進(jìn)一步增加了優(yōu)化的全局性，以實(shí)現(xiàn)更好的目標(biāo)優(yōu)化。

(17)

(18)

2.2 單點(diǎn)式路徑分解置換規(guī)劃方法

通過對(duì)式(18)建立的時(shí)-虛混合域上非線性約束問題的參數(shù)優(yōu)化，可以得到連接任意的起始和目標(biāo)姿態(tài)的虛擬域路徑以及時(shí)域角速度和控制力矩。如果該路徑違反指向約束，則選取約束違背路徑區(qū)域中間位置對(duì)應(yīng)的最近臨界增量節(jié)點(diǎn)[25]作為路徑分解置換節(jié)點(diǎn)。而后同樣根據(jù)式(18)依次求解各段姿態(tài)機(jī)動(dòng)。每段姿態(tài)路徑如果再次違反指向約束，則需要再次進(jìn)行單點(diǎn)式路徑分解置換。單軸禁忌約束下單次單點(diǎn)式路徑分解置換如圖3所示。圖中實(shí)線圓包圍起來的部分為禁忌區(qū)域；虛線邊界圓通過給禁忌約束增加最近臨界增量角得到；從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的箭頭虛線是分解置換前的路徑；從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的箭頭實(shí)線是分解置換后的路徑；箭頭虛線上的五角星節(jié)點(diǎn)是當(dāng)前約束違背路徑區(qū)域中間位置節(jié)點(diǎn)；箭頭實(shí)線上的六角星節(jié)點(diǎn)是當(dāng)前路徑分解置換節(jié)點(diǎn)。

圖3 單軸禁忌約束下單次單點(diǎn)式路徑分解置換

特別地，最近臨界增量節(jié)點(diǎn)指的是在增量圓錐邊界上跟當(dāng)前位置節(jié)點(diǎn)角度距離最近的節(jié)點(diǎn)。增量圓錐通過在指向約束角的基礎(chǔ)上疊加一個(gè)增量角度得到。該增量角度對(duì)于禁忌約束為正值，對(duì)于強(qiáng)制約束為負(fù)值。根據(jù)從當(dāng)前位置節(jié)點(diǎn)到最近臨界增量節(jié)點(diǎn)的歐拉旋轉(zhuǎn)的姿態(tài)關(guān)系，可以得到最近臨界增量節(jié)點(diǎn)的求解方法如式(19)所示，詳細(xì)的過程可以參考文獻(xiàn)[25]。

(19)

2.3 算法流程

本文時(shí)-虛混合域單點(diǎn)式非線性姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法的算法流程如圖4所示，算法步驟如下。

圖4 時(shí)-虛混合域算法流程圖

步驟1:求解式(18)所示的時(shí)-虛混合域上非線性約束問題，得到當(dāng)前段姿態(tài)路徑以及角速度和控制力矩。

步驟2:判斷該段路徑是否違反指向約束；否，執(zhí)行步驟7；是，得到指向約束違反區(qū)域個(gè)數(shù)N，執(zhí)行步驟3。

步驟3:對(duì)于每塊指向約束違反區(qū)域，生成相應(yīng)的路徑分解置換節(jié)點(diǎn)。

步驟4:根據(jù)式(18)建模并求解出本段姿態(tài)路徑以及角速度和控制力矩；再判斷本段路徑是否違反指向約束；否，執(zhí)行步驟5；是，重復(fù)步驟3～6。

步驟5:根據(jù)式(18)建模并求解出下一段姿態(tài)路徑以及角速度和控制力矩。

步驟6:然后再判斷下一段姿態(tài)路徑是否違反指向約束；否，重復(fù)步驟5到6，直到求解出全部N+1段姿態(tài)路徑以及角速度和控制力矩，執(zhí)行步驟7；是，重復(fù)步驟3～6。

步驟7:輸出最終的姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡以及角速度和控制力矩。

3 仿真與分析

本節(jié)分別進(jìn)行單軸禁忌約束以及多軸禁忌和強(qiáng)制約束仿真來說明本文方法的有效性和優(yōu)勢。仿真在普通的臺(tái)式電腦(3.00 GHz CPU和3.00 GB RAM)上利用MATLAB編程實(shí)現(xiàn)。航天器能提供的最大控制力矩為0.1 N·m，允許的最大角速度為0.0471 rad·s-1，基本參數(shù)如表1所示。航天器X軸和Y軸正方向上分別安裝有一個(gè)星敏感器和通信天線。

表1 航天器的基本參數(shù)

3.1 單軸禁忌約束

本節(jié)首先考慮單軸禁忌約束的情況。在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，星敏感器需要規(guī)避四個(gè)明亮天體禁忌約束，相關(guān)參數(shù)如表2所示。姿態(tài)機(jī)動(dòng)的初始和終端邊界條件如式(20)所示。

表2 禁忌約束參數(shù)

(20)

本文方法求得的星敏感器視線軸(X軸)在慣性坐標(biāo)系下經(jīng)緯度形式的機(jī)動(dòng)軌跡如圖5所示。圖中連接起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的實(shí)線是求得的機(jī)動(dòng)軌跡，密集圓點(diǎn)包圍起來的部分是由禁忌約束產(chǎn)生的禁忌區(qū)域。其中，對(duì)于慣性坐標(biāo)系下任意的單位矢量y∈R3，相應(yīng)的經(jīng)緯度計(jì)算如式(21)所示。從圖5可以看出，本文方法可以有效地得到安全規(guī)避多個(gè)禁忌約束的姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡。

圖5 X軸的機(jī)動(dòng)軌跡

(21)

式中：y=[y1,y2,y3]T,lo和la分別表示經(jīng)度和緯度。

機(jī)動(dòng)過程中角速度和控制力矩隨時(shí)間變化的曲線分別如圖6和圖7所示。從圖6～7可以看出，本文方法在單軸禁忌約束下求得的角速度和控制力矩都滿足有界約束，而且角速度曲線連續(xù)光滑,控制力矩曲線連續(xù)且分段光滑。

圖6 角速度曲線

圖7 控制力矩曲線

本文方法的平均規(guī)劃時(shí)間是3.98 s，如表3所示。本文方法求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗是0.0038 N2·m2·s。相同條件下，基于MATLAB GPOPS工具箱的偽譜法[21-23,26,29]的平均規(guī)劃時(shí)間是15.93 s。偽譜法求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗是0.0109 N2·m2·s。本文方法的規(guī)劃時(shí)間比偽譜法減少了75%，并且求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗比偽譜法減少了65%。本文方法在單軸禁忌約束下可以快速地得到低能量的姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃結(jié)果。

表3 時(shí)-虛混合域方法和偽譜法的規(guī)劃結(jié)果

3.2 多軸禁忌和強(qiáng)制約束

本節(jié)進(jìn)一步考慮更加復(fù)雜的多軸禁忌和強(qiáng)制約束情況。在姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中，天線需要保持與地面站通信，同時(shí)星敏感器需要規(guī)避四個(gè)明亮天體禁忌約束，相關(guān)參數(shù)如表4所示。姿態(tài)機(jī)動(dòng)的初始和終端邊界條件如式(22)所示。

表4 指向約束參數(shù)

(22)

本文方法求得的星敏感器視線軸(X軸)在慣性坐標(biāo)系下經(jīng)緯度形式和通信天線(Y軸)在慣性坐標(biāo)系下三維空間的機(jī)動(dòng)軌跡以及角速度和控制力矩隨時(shí)間變化的曲線分別如圖8～圖11所示。圖8的經(jīng)緯圖的含義和圖5相同。圖9中圓錐包含的部分是由強(qiáng)制約束產(chǎn)生的強(qiáng)制區(qū)域。從圖8和圖9可以看出，本文方法求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)軌跡在安全規(guī)避多個(gè)禁忌約束的同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)滿足強(qiáng)制約束。從圖10和圖11可以看出，本文方法在非常復(fù)雜的多軸禁忌和強(qiáng)制約束下同樣可以得到滿足有界約束的角速度和控制力矩,而且角速度曲線連續(xù)光滑,控制力矩曲線連續(xù)且分段光滑。

圖8 X軸的機(jī)動(dòng)軌跡

圖9 Y軸的機(jī)動(dòng)軌跡

圖10 角速度曲線

圖11 控制力矩曲線

對(duì)于非常復(fù)雜的多軸禁忌和強(qiáng)制約束仿真，本文方法的平均規(guī)劃時(shí)間和求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗分別是7.26 s和0.0042 N2·m2·s，見表5。相同條件下，偽譜法的平均規(guī)劃時(shí)間和求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗分別是30.85 s和0.0253 N2·m2·s。本文方法的規(guī)劃時(shí)間和求得的姿態(tài)機(jī)動(dòng)的能量消耗比偽譜法分別減少了76%和83%。本文方法在更加復(fù)雜的多軸禁忌和強(qiáng)制約束下同樣可以實(shí)現(xiàn)低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)的快速規(guī)劃。

表5 時(shí)-虛混合域方法和偽譜法的規(guī)劃結(jié)果

4 結(jié) 論

針對(duì)復(fù)雜禁忌和強(qiáng)制約束下低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃問題，本文提出了時(shí)-虛混合域的概念和時(shí)-虛混合域單點(diǎn)式非線性姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃方法。時(shí)-虛混合域建模采用虛擬域姿態(tài)機(jī)動(dòng)路徑集合以及時(shí)域角速度和控制力矩。在時(shí)-虛混合域模型的基礎(chǔ)上，采用非線性參數(shù)優(yōu)化和單點(diǎn)式路徑分解置換規(guī)劃方法求解問題。仿真結(jié)果表明該方法能高效地處理多種復(fù)雜約束，并且有效地減少姿態(tài)機(jī)動(dòng)過程中的能量消耗，得到連續(xù)光滑的低能量姿態(tài)機(jī)動(dòng)規(guī)劃結(jié)果，有利于實(shí)際工程應(yīng)用。