龔夕霞，盧琴芬

(浙江大學(xué) 電氣工程學(xué)院，杭州 310027)

0 引 言

磁懸浮列車的車體與軌道無直接接觸，相比傳統(tǒng)輪軌交通，不存在摩擦阻力，速度能大幅度提升，非常適用于高速交通。目前常用的懸浮方式有電磁懸浮(EMS)與電動懸浮(EDS)，EMS是需要控制的主動懸浮，而EDS是不需要控制的被動懸浮，屬于自穩(wěn)定系統(tǒng)。

EDS具有多種結(jié)構(gòu)，懸浮氣隙各不相同，其中能實現(xiàn)大氣隙懸浮的是超導(dǎo)電動懸浮系統(tǒng)。超導(dǎo)電動懸浮系統(tǒng)中，車載超導(dǎo)磁極產(chǎn)生的強磁場與8字形懸浮線圈的感應(yīng)磁場相互作用產(chǎn)生懸浮力，該懸浮力隨著速度增加而增大，當(dāng)車輛速度超過一定值后，懸浮力就能與車體重量相平衡，實現(xiàn)車輛懸浮。

超導(dǎo)電動懸浮系統(tǒng)一直是研究的熱點，包括結(jié)構(gòu)與計算。前者主要在于采用低成本的高溫超導(dǎo)磁極來替代目前高成本的低溫超導(dǎo)磁極；后者主要在于優(yōu)化分析方法。一般的分析方法包括有限元算法、解析算法(如諧波分析法、短時傅里葉變換法、動態(tài)電路理論等)。對于EDS系統(tǒng)來說，系統(tǒng)尺寸大，有限元方法雖然精度高，但是計算時間長，不利于進(jìn)行大量的計算；解析法模型簡單，計算方便，但精度不高，因此需要對解析法進(jìn)行修正改進(jìn)。

解析過程中，提出互感計算公式、保證互感計算精確度至關(guān)重要。文獻(xiàn)[1]基于場-路結(jié)合的解析方法，計算分析了交叉連接的8字形零磁通線圈與超導(dǎo)線圈組成的懸浮、導(dǎo)向系統(tǒng)。文獻(xiàn)[2]采用諧波近似法，忽略了磁通的高次諧波分量，基于場-路-運動耦合模型，得到了正弦規(guī)律變化的環(huán)路電流。

本文針對超導(dǎo)EDS系統(tǒng)，為解決開放式磁場造成的有限元模型龐大、仿真時間長的問題，提出了一種有限元-解析耦合算法，基于動態(tài)電路原理對系統(tǒng)進(jìn)行了解析建模，再采用有限元法計算模型的電參數(shù)，以達(dá)到修正解析法的目的，最后基于該方法計算并分析了懸浮系統(tǒng)的性能。

1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)與工作原理

圖1顯示了超導(dǎo)EDS系統(tǒng)，包括8字形閉合線圈和極性交替變換的車載超導(dǎo)磁極。車載超導(dǎo)磁極提供了實現(xiàn)懸浮所需的強磁場，線圈勵磁電流很大，可采用低溫超導(dǎo)磁極或高溫超導(dǎo)磁極。前者已經(jīng)應(yīng)用于日本的MLX01型高速磁懸浮列車，優(yōu)點是磁場穩(wěn)定性好；后者是目前的研究熱點，因為制冷成本低。無論采用哪種方式，從懸浮力計算的角度來說，其作用都是提供強磁場，并不影響計算模型。

圖1 單側(cè)8字形線圈與車載超導(dǎo)磁極模型

超導(dǎo)電動磁懸浮系統(tǒng)具有自穩(wěn)定特性，懸浮與導(dǎo)向都無需人為控制，圖2顯示了懸浮與導(dǎo)向的工作原理。

圖2 懸浮與導(dǎo)向原理示意圖

懸浮原理：當(dāng)超導(dǎo)磁極跟隨著車輛快速前進(jìn)時， 8字形線圈中匝鏈的磁場快速變換。根據(jù)楞次定律，8字形線圈將會產(chǎn)生感應(yīng)電流，由于上下兩環(huán)交叉環(huán)繞，因此感應(yīng)出的電流大小相同、方向相反，產(chǎn)生的磁場方向則相反。下環(huán)感應(yīng)電流所產(chǎn)生的磁場極性與超導(dǎo)線圈一致，而上環(huán)相反，兩者相互作用便產(chǎn)生了懸浮力。

導(dǎo)向原理：當(dāng)車體偏離軌道中心線時，由楞次定律知，距離變小的一側(cè)8字形線圈會感應(yīng)出電流產(chǎn)生斥力，距離變大的一側(cè)8字形線圈感應(yīng)出電流產(chǎn)生吸引力，最終使得車輛穩(wěn)定在軌道中心線位置。

2 分析方法

超導(dǎo)EDS系統(tǒng)一般的分析方法為有限元與解析算法，各有優(yōu)缺點。

2.1 有限元法

有限元法的計算精度較高，基本理念是將一個研究對象分解成多個離散的小單元，對這些小單元進(jìn)行線性計算，并且通過迭代將單元間的差值控制在合理的范圍之內(nèi)，這樣的處理方式有助于解決各類難以計算的微分方程，將解析解轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)值解。

經(jīng)分析可知，該磁懸浮結(jié)構(gòu)不適合簡化成2D模型進(jìn)行分析，而3D模型仿真則需要消耗大量的時間。同時，由于該EDS結(jié)構(gòu)中沒有鐵磁材料，因此磁路將在空氣中閉合形成回路，形成開放式磁場。在回路較為分散的情況下，為保證計算精度，需要在建模時將空氣部分的范圍設(shè)置成結(jié)構(gòu)體范圍的若干倍，從而造成了模型龐大、仿真時間長、參數(shù)調(diào)整不方便等問題。

2.2 解析法——動態(tài)電路原理

動態(tài)電路原理根據(jù)一系列與時間、空間相關(guān)的電參數(shù)，利用一組矩陣形式的微分方程來計算分析電動系統(tǒng)。由于動態(tài)電路原理通常用來求解時域中的電流，因此該方法非常適用于磁懸浮列車、電磁發(fā)射器等系統(tǒng)的瞬態(tài)及動態(tài)分析。

2.2.1 無交叉系統(tǒng)

文獻(xiàn)[3]介紹了EDS懸浮系統(tǒng)中的動態(tài)電路理論應(yīng)用，提供了合理的數(shù)學(xué)模型，可用于計算機(jī)代碼開發(fā)。該模型如圖3所示，n個8字線圈(2n個線圈環(huán)路)作為直線電機(jī)的定子，m個超導(dǎo)線圈作為動子。值得一提的是，該模型只取了電動磁懸浮列車的半側(cè)進(jìn)行建模分析，這是因為磁懸浮列車兩側(cè)的豎直懸浮系統(tǒng)相距較遠(yuǎn)，兩側(cè)8字形線圈的相互作用可以忽略不計。

圖3 無交叉系統(tǒng)動態(tài)電路原理計算模型

計算過程中，需進(jìn)行如下假設(shè)：

(1)超導(dǎo)線圈中的電流保持恒定。

(2)忽略yz平面的運動，即超導(dǎo)線圈只沿著x軸方向運動。

根據(jù)動態(tài)電路原理，可以得到以下微分方程求解8字線圈中的感應(yīng)電流。

(1)

根據(jù)求解得到的8字線圈感應(yīng)電流值，可以進(jìn)一步求解得到系統(tǒng)在x，y，z三個方向上的電磁力。

(2)

(3)

(4)

2.2.2 交叉系統(tǒng)

文獻(xiàn)[4]介紹了超導(dǎo)EDS系統(tǒng)兩側(cè)8字形懸浮線圈交叉連接后的計算模型，如圖4所示。在與無交叉系統(tǒng)相同的假設(shè)條件下，基于動態(tài)電路原理同樣可以得到感應(yīng)電流與電磁力的計算公式。

圖4 交叉系統(tǒng)動態(tài)電路原理計算模型

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

M11(i,j)=M33(i,j)=2mi,j-2mi,n+j

(11)

其中i=1,n;j=1,n;當(dāng)i=j時，mi,j=L

M22(i,j)=2mi,j

(12)

其中,i=1,n;j=1,n;當(dāng)i=j時，mi,j=L

M12(i,j)=M21(i,j)=M23(i,j)=
M32(i,j)=mi,n+j-mi,j

(13)

其中,i=1,n;j=1,n;當(dāng)i=j時，mi,j=L

(14)

(15)

(16)

ib j=ic j(i=1,n)

(17)

ib n+1=ic n+j-ic j(j=1,n)

(18)

ib 2n+j=ic 2n+j-ic n+j(j=1,n)

(19)

ib 3n+j=-ic 2n+j(j=1,n)

(20)

(21)

(22)

(23)

3 電感計算

由以上公式可以看到，基于動態(tài)電路原理的方法進(jìn)行求解時需要進(jìn)行大量的電感、電感關(guān)于坐標(biāo)軸導(dǎo)數(shù)的計算，顯然計算結(jié)果的正確性很大程度上取決于電感的準(zhǔn)確性。電感的計算可采用有限元方法以及解析算法。

3.1 有限元計算

采用有限元軟件JMAG可以對線圈電感進(jìn)行仿真計算，且無需對線圈形狀進(jìn)行簡化，計算精度相對較高。不過有限元只能得到數(shù)值解，無法獲悉解析解，求解互感關(guān)于坐標(biāo)軸的導(dǎo)數(shù)值較為復(fù)雜，一般采用擬合的方式得到互感解析式，再進(jìn)行相應(yīng)的求導(dǎo)計算。

經(jīng)Matlab中Cftool工具擬合發(fā)現(xiàn)，該互感可以用式(24)表示。

(24)

式中,pi(i=1,2,3,4,5),qi(i=1,2,3,4) 為未知數(shù)，x為8字線圈中心點與超導(dǎo)線圈中心點在x軸方向上的距離，擬合效果如圖5所示。

圖5 8字形線圈單環(huán)與超導(dǎo)線圈互感擬合效果圖

3.2 解析算法

解析算法中，為便于計算，需要對模型的形狀進(jìn)行簡化，如圖4所示，將兩端呈圓弧狀的超導(dǎo)磁極長環(huán)簡化成一個矩形(根據(jù)文獻(xiàn)[5]中面積不變的原則確定等效后的長度)，于是計算所需的互感就轉(zhuǎn)變?yōu)楦鱾€矩形線圈間的互感值。

3.2.1 矩形截面的矩形線圈的電感[6]

若矩形線圈的匝數(shù)為ω，截面尺寸為a×r，中心線匝的尺寸為b×c(b

圖6 8字線圈單環(huán)圖

(25)

就正方形線圈而言 ，則公式變?yōu)?/p>

(26)

3.2.2 同一平面兩個相距較遠(yuǎn)的矩形回路的互感

當(dāng)線圈相距較遠(yuǎn)，間距為線圈尺寸的3倍及以上時，可采用泰勒級數(shù)法求解互感[6]

(27)

式中,u=cosθ，v=sinθ，Sk、Si為兩個矩形的面積；r為矩形中心點的距離；θ為兩個矩形中心連線與平面水平線的夾角。

3.2.3 兩個各邊相互平行的矩形線圈的互感[7]

如圖7所示，當(dāng)兩個矩形線圈的對應(yīng)邊相互平行，并且與矩形線圈總體尺寸相比，其截面尺寸能忽略時，可利用聶以曼公式求解線圈互感。

圖7 8字線圈與超導(dǎo)線圈模型

(28)

(29)

4 耦合算法及驗證

4.1 耦合算法

基于以上分析，結(jié)合有限元與解析法，本文提出了一種有限元-解析耦合算法，其利用動態(tài)電路原理建立計算模型，借助有限元軟件計算模型中的電感參數(shù)，便于提高模型參數(shù)的準(zhǔn)確性以及計算精度。

以無交叉系統(tǒng)為例，耦合算法可分為兩種方案，方案一中一半電感來自于有限元結(jié)果，方案二中全部電感都來自于有限元結(jié)果：

(1)方案一：L與mi,j采用有限元計算。

(2)方案二：L、mi,j及Mi,j、Gi,j都采用有限元計算。

4.2 算法驗證

圖8顯示了一個超導(dǎo)EDS系統(tǒng)的示意圖，包括8字形線圈與車載超導(dǎo)線圈，具體模型參數(shù)如表1所示。

圖8 8字形線圈與車載超導(dǎo)線圈模型尺寸示意圖

表1 模型參數(shù)表

基于前述的有限元分析法、解析法與二種耦合算法，可以計算出系統(tǒng)的懸浮力特性。圖9顯示了75 mm懸浮高度、500 km/h速度下的計算結(jié)果。由于有限元模型更接近實際模型，結(jié)果將更準(zhǔn)確，因此以JMAG有限元仿真結(jié)果作為標(biāo)準(zhǔn)，得到各方法與有限元仿真結(jié)果的誤差大小，如表2所示。

表2 懸浮力誤差對比

圖9 懸浮力隨懸浮高度的結(jié)果對比

解析法的誤差比較大，是因為計算過程中所用的互感公式帶有誤差，如部分公式中忽略了線圈的厚度；而且圖形的簡化使得計算模型與實際模型具有一定的差異，如將超導(dǎo)線圈簡化成了矩形、將8字形線圈單環(huán)的邊長簡化成了最外側(cè)與最內(nèi)側(cè)邊長的平均值。

盡管基于JMAG的有限元分析結(jié)果最為準(zhǔn)確，但是當(dāng)模型較大時，需要消耗漫長的仿真時間，效率不高；完全采用解析法進(jìn)行計算快速且方便，但具有較大的誤差；耦合方案一通過有限元計算得到了定子部分的自感、互感，而8字線圈與超導(dǎo)線圈的互感采用解析法進(jìn)行分析，雖然方案一在解析法的基礎(chǔ)上增加了有限元仿真的工作量，但增大了計算的精度，在定子結(jié)構(gòu)不變的情況下，只需要進(jìn)行一次有限元仿真即可；耦合方案二中的電感參數(shù)都來自于有限元模型，計算量增多，但結(jié)果誤差跟方法一相差不大。因此耦合方案一比較合適，以下采用該方法對懸浮系統(tǒng)的動態(tài)特性進(jìn)行分析。

5 動態(tài)特性

5.1 懸浮高度與速度的關(guān)系

當(dāng)車輛速度增加時，電動磁懸浮列車的懸浮力不斷增大，直至懸浮力與列車自身重量相等時，列車達(dá)到穩(wěn)定懸浮狀態(tài)(交叉與非交叉系統(tǒng)在軌道中心線位置，即無導(dǎo)向偏差時，懸浮力大小相差無幾)。圖10為采用耦合方案一得到的懸浮高度與速度的特性曲線。由圖10可見，車輛提速到一定程度之后，其穩(wěn)定懸浮的高度基本不變，意味著在該結(jié)構(gòu)下，磁懸浮列車加速的過程中具有一定的懸浮穩(wěn)定性，尤其是在高速階段，其懸浮氣隙基本保持恒定，因此該懸浮方式可適用于高速與超高速的運行狀態(tài)。

圖10 懸浮高度與運行速度的關(guān)系曲線

5.2 導(dǎo)向偏差對懸浮高度的影響

在運行過程中，列車的導(dǎo)向出現(xiàn)偏差時，車輛將偏離軌道中心線，并造成車輛與兩側(cè)8字形懸浮線圈距離不等的現(xiàn)象。此時線圈之間的互感發(fā)生變化，線圈電流、列車懸浮力改變，距離減小的一側(cè)產(chǎn)生的懸浮力增大，距離增大的一側(cè)反之，由于增大程度高于減小的程度，因此偏移后兩側(cè)懸浮合力增加、穩(wěn)定懸浮高度增大。圖11為無交叉系統(tǒng)不同速度、不同導(dǎo)向偏移時的穩(wěn)定懸浮高度，符合上述規(guī)律，并且可以看出，在高速情況下，穩(wěn)定懸浮高度相差不大。

圖11 無交叉系統(tǒng)中速度、導(dǎo)向偏差對懸浮高度的影響

另外，據(jù)文獻(xiàn)可知，兩側(cè)8字線圈交叉連接的方式，相比無交叉系統(tǒng)具有更好的懸浮剛度[1]，因此針對兩種連接方式進(jìn)行了比較分析。圖12為交叉與無交叉系統(tǒng)在不同導(dǎo)向偏差時的懸浮高度，圖13為交叉與無交叉系統(tǒng)不同導(dǎo)向偏差時兩側(cè)懸浮力的差值大小。顯然，當(dāng)偏移的距離增大時，兩側(cè)的懸浮合力增幅越來越大，導(dǎo)致了穩(wěn)定懸浮高度逐步提升，但交叉系統(tǒng)懸浮高度的增幅較小，且左右側(cè)懸浮力差值較小，相比之下更加穩(wěn)定。

圖12 不同導(dǎo)向偏差對懸浮高度的影響

圖13 不同導(dǎo)向偏差對兩側(cè)懸浮力差值的影響

5.3 運行阻力

懸浮系統(tǒng)產(chǎn)生懸浮力的同時，也會產(chǎn)生制動力。由圖14可知，交叉系統(tǒng)在低速狀態(tài)下的制動阻力更大，若采用交叉連接方式，則需要更大的驅(qū)動力。同時，相比低速的運行情況，高速前進(jìn)時車輛的制動力較小，因此該懸浮方式可應(yīng)用于高速和超高速的運行模式。

圖14 不同速度情況下懸浮線圈的制動力

6 結(jié) 論

本文針對超導(dǎo)電動磁懸浮系統(tǒng)，提出了有限元-解析耦合算法，方案一通過有限元計算解析模型中的部分電感，方案二通過有限元計算了全部電感。結(jié)果表明，兩種方案都能夠把計算誤差從約24%降低到6%以下，懸浮高度越小時誤差越小，但前者計算速度更快速?；谠擇詈夏Ｐ?，快速計算了不同運行速度、不同懸浮高度與不同導(dǎo)向偏差時的懸浮高度，以及不同速度下的制動力。

該方法解決了有限元仿真模型仿真時間長、不易進(jìn)行參數(shù)化分析等問題，能夠?qū)崿F(xiàn)準(zhǔn)確且快速的計算，實現(xiàn)模型的優(yōu)化設(shè)計與性能分析。另外，該方法還可運用于超導(dǎo)磁懸浮列車的牽引系統(tǒng)中，完成牽引線圈與超導(dǎo)磁極之間相互作用力的計算。