吳 曉

(湖南文理學院機械工程學院，湖南 常德 415000)

1 引 言

文獻[1]是一本優(yōu)秀的普通物理實驗教材，該教材詳細介紹了梁彎曲法測定楊氏模量的試驗原理。文獻[2]在文獻[1]的基礎上研究了光杠桿彎曲法測量楊氏模量的原理，文獻[3]研究了梁彎曲法測量圓柱形試樣楊氏模量。文獻[4]對文獻[1]測量楊氏模量的梁彎曲法提出了質疑，認為文獻[1]測量楊氏模量的梁彎曲法存在錯誤。基于以上因素，本文采用材料力學理論，對文獻[1]測量楊氏模量的梁彎曲法進行了合理解釋。

圖1 梁彎曲示意圖

2 梁的彎曲撓曲線

對于圖1所示的梁在外載荷作用下的彎曲，文獻[1]推導出了彎曲微分方程為：

(1)

由式(1)可得梁截面轉角為：

(2)

式中，B1為待定常數(shù)。

由文獻[5]可知，圖1所示梁彎曲微分方程為：

(3)

對式(3)積分，可得梁截面轉角為：

(4)

對式(4)積分，可得梁撓曲線為：

(5)

式中，A1、A2為待定常數(shù)。

為了計算圖2所示梁中點撓度，文獻[1]把圖2所示簡支梁簡化為圖3所示集中載荷作用下的懸臂梁，由文獻[5]可知是完全合理的。

圖2 集中載荷作用下簡支梁

圖3 集中載荷作用下懸臂梁

由圖3可知，梁CB段的梁截面彎矩表達式為：

(6)

把式(6)代入式(4)、式(5)中，可得轉角及撓度分別為：

(7)

(8)

由圖3可知，梁的邊界條件為：

x=0，φ(0)=0，w(0)=0

(9)

由式(7)～式(9)可求得：

(10)

式(7)～式(10)是文獻[5]給出的結果。

文獻[1]的方法式(2)僅能給出式(7)而不能求出式(8)。文獻[1]為了求得CB段的撓度表達式，認為梁微段dx上D點處的水平線與E點處切線的夾角近似為dφ，這樣可得梁微段dx上E點與D點之間的撓度差為：

(11)

再對式(11)分部積分可得：

(12)

把式(2)代入式(12)中可得：

(13)

利用邊界條件式(9)及式(13)可得：

(14)

下面把式(8)的計算結果與式(13)的計算結果列在表1中。

表1 懸臂梁的撓度

3 討論分析

由表1可知，文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果相差很大，僅在梁末端計算結果一致。因此，文獻[4]認為，文獻[1]的楊氏模量的測定(梁彎曲法)“在實驗原理中存在一個錯誤”，文獻[4]且認為文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果僅在梁末端才一致是“想當然的產(chǎn)物”。文獻[4]還認為，文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果僅在梁末端才一致是“偶然的正確，掩蓋了這一錯誤，致使這一錯誤長期以來未被發(fā)現(xiàn)和糾正”。因此，筆者認為，文獻[4]關于文獻[1]的楊氏模量的測定(梁彎曲法)“在實驗原理中存在一個錯誤”等觀點太絕對、武斷。

工程實際中的應用已證明，在小撓度情況下，文獻[5]材料力學方法建立的梁理論是正確的，完全可以滿足和保證梁在實際工程中的安全和使用。因為在實際工程中，對于等截面梁來說，只要保證控制梁截面沉降處的最大撓度值不超過設計規(guī)范所允許的許用撓度值，僅就撓度這一單方面梁可以說是安全了。

文獻[1]的式(1)與文獻(5)的式(4)是一致的，關鍵是文獻[5]的式(8)與文獻[1]的式(13)的計算結果差別很大，但是這不能說文獻[1]建立的公式是完全錯誤的，因為力學理論建立的所有關于實際工程中結構的各種計算理論都是近似的，只是計算精度不同而已。文獻[1]的梁彎曲法關于楊氏模量的測定只需要測定出梁的最大撓度值，由于文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果在梁末端是一致的，所以文獻[1]的梁彎曲法關于楊氏模量的測定值是可靠的。那么，是什么原因導致文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果在梁末端是一致的呢？對比式(8)與式(13)可以看出，在梁末端式(8)與式(13)是一致的，因為在梁末端時，文獻[1]方法計算出梁末端角度與文獻[5]方法計算出梁末端角度是一致的，對比式(2)與式(4)就可看出，所以文獻[1]方法的計算結果與文獻[5]方法的計算結果在梁末端是一致的。

由以上計算分析可知，文獻[1]關于測定楊氏模量的梁彎曲法的試驗原理不是錯誤的，僅是由于假設導致關于梁撓度的計算在除梁末端以外梁段計算精度誤差較大而已。