錢(qián)程 毛月華

摘要：整理反思課不僅要幫助學(xué)生鞏固和進(jìn)一步理解所學(xué)知識(shí)，而且要幫助學(xué)生溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步條理化和系統(tǒng)化。為此，需要引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，溝通內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，并激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步“生長(zhǎng)”的活力。

關(guān)鍵詞：整理反思課聯(lián)系練習(xí)《立體圖形的表面積和體積》

作為小學(xué)數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)課的一種重要課型，整理反思課不僅要幫助學(xué)生鞏固和進(jìn)一步理解所學(xué)知識(shí)，而且要幫助學(xué)生溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，使所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步條理化和系統(tǒng)化。為此，需要引導(dǎo)學(xué)生理清知識(shí)脈絡(luò)，溝通內(nèi)在聯(lián)系，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用，并激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步“生長(zhǎng)”的活力。

《立體圖形的表面積和體積》整理反思課是基于蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)六年級(jí)下冊(cè)《總復(fù)習(xí)》單元相應(yīng)內(nèi)容的《整理與反思》欄目和《練習(xí)與實(shí)踐》欄目第1—第7題設(shè)計(jì)的。本節(jié)課基本的教學(xué)目標(biāo)是：（1）理解并掌握立體圖形表面積、體積的意義以及計(jì)算方法和推導(dǎo)過(guò)程，能夠應(yīng)用表面積和體積的計(jì)算方法解決相關(guān)的實(shí)際問(wèn)題;（2）經(jīng)歷整理的過(guò)程，溝通知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)過(guò)程中蘊(yùn)含的思想方法，使所學(xué)知識(shí)進(jìn)一步條理化和系統(tǒng)化;（3）進(jìn)一步體會(huì)知識(shí)整理的價(jià)值，積累相應(yīng)的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和學(xué)好數(shù)學(xué)的積極性。根據(jù)整理反思課的目標(biāo)定位和操作要點(diǎn)，本節(jié)課的教學(xué)過(guò)程如下：

一、記憶喚醒，激活認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)

師在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，我們認(rèn)識(shí)了很多圖形，從點(diǎn)到線(xiàn)，再到平面圖形、立體圖形。今天這節(jié)課，我們要復(fù)習(xí)立體圖形的有關(guān)知識(shí)。前面我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了立體圖形的特征，想一想：我們還可以從立體圖形的哪些方面進(jìn)行復(fù)習(xí)？

生立體圖形的表面積和體積。

師好的，接下來(lái)就讓我們一起開(kāi)啟今天的復(fù)習(xí)之旅吧。

二、知識(shí)梳理，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

（一）理清知識(shí)脈絡(luò)

師課前，我們已經(jīng)從意義、單位和方法三個(gè)方面自主整理了表面積與體積的區(qū)別。我們先來(lái)看意義上的不同。（出示表1、表2）這是兩位同學(xué)整理的結(jié)果，你覺(jué)得哪種表述更加規(guī)范？

生第2種。

師也就是說(shuō)，表面積是指物體表面的總面積，而體積是指物體所占空間的大小。說(shuō)到物體的體積，我們還可以很自然地想到容器的容積，誰(shuí)來(lái)介紹一下容積？

生容器所能容納物體的體積叫作容器的容積。

師你認(rèn)為體積和容積有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？

生它們都是指所占空間的大小，它們的計(jì)算方法相同，計(jì)量單位一樣;但是，計(jì)算體積需要測(cè)量外部數(shù)據(jù)，計(jì)算容積需要測(cè)量?jī)?nèi)部數(shù)據(jù)。

生任何物體都有體積，但不一定有容積。

師說(shuō)得真好！接著，我們?cè)賮?lái)看表面積和體積的單位有什么不同，誰(shuí)來(lái)說(shuō)一說(shuō)？

生常見(jiàn)的表面積單位有平方米、平方分米、平方厘米，體積單位有立方米、立方分米、立方厘米。

師對(duì)??！那相鄰的兩個(gè)單位之間的進(jìn)率又是多少呢？

生相鄰的兩個(gè)表面積單位之間的進(jìn)率都是100，而相鄰的兩個(gè)體積單位之間的進(jìn)率都是1000。

師表面積和體積除了意義、單位不同，計(jì)算方法也不同，它們分別是怎么計(jì)算的呢？

（學(xué)生口答，教師記錄，得到表3。）

[評(píng)析：知識(shí)的回顧整理不是簡(jiǎn)單的“重復(fù)昨天的故事”，而是對(duì)原先知識(shí)的“再學(xué)習(xí)”。因此，課前，教師用預(yù)習(xí)單引導(dǎo)學(xué)生對(duì)立體圖形的表面積、體積（容積）的意義、單位、計(jì)算方法等進(jìn)行自主整理。這樣的活動(dòng)，可以幫助學(xué)生將腦海中原有的知識(shí)按照一定的體系有序地提取出來(lái)。而后，課堂上的交流、對(duì)比或補(bǔ)充，可以幫助學(xué)生加深對(duì)立體圖形表面積、體積（容積）的理解，明晰知識(shí)之間的聯(lián)系與區(qū)別。]

（二）溝通內(nèi)在聯(lián)系

師說(shuō)得很完整！那圓柱的底面積和側(cè)面積分別又是怎么計(jì)算的呢？ 我們又是怎么推導(dǎo)圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法的呢？

生S底=πr2，S側(cè)=Ch。圓柱側(cè)面沿高剪開(kāi)是一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高，長(zhǎng)方形的面積等于長(zhǎng)乘寬，所以，圓柱的側(cè)面積等于底面周長(zhǎng)乘高。

師是這樣嗎？（課件演示，得到圖1）能把知識(shí)背后的原因說(shuō)得這么清楚，真了不起！其實(shí)，不僅圓柱存在側(cè)面積，長(zhǎng)方體和正方體也存在側(cè)面積。你認(rèn)為長(zhǎng)方體和正方體的側(cè)面積應(yīng)該怎么計(jì)算？

生把前后左右四個(gè)面的面積加起來(lái)。

師老師贊同你的想法，再想一想：還有沒(méi)有更加直接的方法？

生底面周長(zhǎng)乘高。把長(zhǎng)方體或正方體的側(cè)面展開(kāi)，也可以得到一個(gè)長(zhǎng)方形，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于高，所以，長(zhǎng)方體或正方體的側(cè)面積也可以用底面周長(zhǎng)乘高來(lái)計(jì)算。

師（課件演示，得到圖2）看來(lái)，不管是圓柱、長(zhǎng)方體，還是正方體，都能用底面周長(zhǎng)乘高來(lái)計(jì)算側(cè)面積。

[評(píng)析：這一環(huán)節(jié)側(cè)重對(duì)立體圖形側(cè)面積概念和計(jì)算方法的拓寬與聯(lián)系。首先，從圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法出發(fā)，拋出“長(zhǎng)方體、正方體的側(cè)面積應(yīng)該怎么計(jì)算”的問(wèn)題，啟發(fā)學(xué)生基于“側(cè)面的面積”的含義得到長(zhǎng)方體、正方體側(cè)面積的概念，生成長(zhǎng)方體、正方體側(cè)面積的自然計(jì)算方法。其次，利用一組動(dòng)畫(huà)演示，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體的側(cè)面積也可以用底面周長(zhǎng)乘高來(lái)計(jì)算，從而統(tǒng)一側(cè)面積的計(jì)算公式。整理反思課的魅力就在于此：不是簡(jiǎn)單地堆砌知識(shí)，而是找出不同知識(shí)之間的聯(lián)系，構(gòu)建新的知識(shí)，掌握新的方法。]

師那么，這些立體圖形的體積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程又是怎樣的呢？接下來(lái)，請(qǐng)同學(xué)們四人一組，每人選擇一個(gè)立體圖形，互相說(shuō)說(shuō)它的體積計(jì)算公式及其推導(dǎo)過(guò)程。

（學(xué)生交流。）

師哪一組來(lái)給大家介紹一下？

生長(zhǎng)方體的體積計(jì)算公式是“長(zhǎng)×寬×高”。其推導(dǎo)過(guò)程是把長(zhǎng)方體分成若干個(gè)小正方體，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)決定了每排可以分幾個(gè)，寬決定了可以分幾排，高決定了可以分幾層，小正方體的個(gè)數(shù)是每排的個(gè)數(shù)乘排數(shù)乘層數(shù)，而有多少個(gè)小正方體就表示這個(gè)長(zhǎng)方體的體積是多少，所以，長(zhǎng)方體的體積是長(zhǎng)乘寬乘高。

生正方體的體積計(jì)算公式是棱長(zhǎng)的立方。由于正方體是特殊的長(zhǎng)方體，所以，其推導(dǎo)過(guò)程與長(zhǎng)方體是一樣的。

師的確，我們可以根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式進(jìn)一步推導(dǎo)出正方體的體積公式，那圓柱呢？

生圓柱的體積公式是“底面積×高”。其推導(dǎo)過(guò)程是沿著圓柱的底面直徑切開(kāi)，拼成一個(gè)近似的長(zhǎng)方體，圓柱的體積等于長(zhǎng)方體的體積，圓柱的底面積等于長(zhǎng)方體的底面積，圓柱的高等于長(zhǎng)方體的高，長(zhǎng)方體的體積可以用底面積乘高，所以圓柱的體積也可以用底面積乘高。

師你們同意嗎？

（學(xué)生表示同意。）

師也就是說(shuō)，我們根據(jù)長(zhǎng)方體的體積公式進(jìn)一步推導(dǎo)出了圓柱的體積公式。

生圓錐的體積公式是“底面積×高×13”。它是通過(guò)實(shí)驗(yàn)推導(dǎo)出來(lái)的：準(zhǔn)備等底、等高的圓柱和圓錐形容器各一個(gè)，將圓錐形容器裝滿(mǎn)水，再倒入圓柱形容器中，發(fā)現(xiàn)只能倒到容器的13處。

師也就是說(shuō)，我們通過(guò)圓柱的體積公式又進(jìn)一步推導(dǎo)出了圓錐的體積公式。你們同意這一組的想法嗎？把掌聲送給這一組。

（學(xué)生鼓掌。）

[評(píng)析：這一環(huán)節(jié)側(cè)重對(duì)立體圖形體積計(jì)算方法的聯(lián)系。學(xué)生在五年級(jí)《多邊形的面積》單元的回顧整理中，進(jìn)行過(guò)多邊形面積公式之間的對(duì)比聯(lián)系，具備了畫(huà)聯(lián)系圖的經(jīng)驗(yàn)。因此，教師放手讓學(xué)生以小組為單位進(jìn)行匯報(bào)，在交流互動(dòng)中不斷完善認(rèn)識(shí)。]

師剛才的回顧整理，我們經(jīng)歷了怎樣的過(guò)程？

生首先，復(fù)習(xí)了表面積和體積的意義、單位和計(jì)算方法三個(gè)方面的區(qū)別;然后，進(jìn)一步復(fù)習(xí)了表面積和體積的計(jì)算公式以及推導(dǎo)過(guò)程，并發(fā)現(xiàn)了它們之間存在的一些聯(lián)系。

師（完成板書(shū)，得到圖3）剛才，我們?cè)诓恢挥X(jué)中得到了一棵“知識(shí)樹(shù)”。其實(shí)，圍繞數(shù)學(xué)上的任一知識(shí)，都可以像這樣“生長(zhǎng)”出很多關(guān)聯(lián)的知識(shí)，而且可以設(shè)計(jì)出很多不同的樣子。課前，同學(xué)們也進(jìn)行了自主整理。通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，相信同學(xué)們一定都有了新的想法。課后，大家可以再試著理一理、畫(huà)一畫(huà)，并與之前的整理比一比。

[評(píng)析：課前基于已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)行了初步的梳理;課內(nèi)在師生、生生交流中，形成了較為系統(tǒng)的知識(shí)結(jié)構(gòu)（“知識(shí)樹(shù)”）;課后再次進(jìn)行自主整理，并與原來(lái)的整理結(jié)果進(jìn)行對(duì)比。由此，學(xué)生可以感受到知識(shí)不斷清晰、由“點(diǎn)”連成 “線(xiàn)”再結(jié)成“網(wǎng)”的過(guò)程。]

三、練習(xí)提升，強(qiáng)化知識(shí)運(yùn)用

師今天，我們復(fù)習(xí)的是立體圖形的表面積和體積。其實(shí)，很多立體圖形都可以由平面圖形創(chuàng)造出來(lái)，（出示圖4）請(qǐng)看活動(dòng)要求。

（學(xué)生閱讀要求。）

師要求都明確了嗎？請(qǐng)按照要求開(kāi)始探究。

（學(xué)生探究。生成的學(xué)習(xí)資源有：①繞著長(zhǎng)方形的寬轉(zhuǎn);②繞著三角形較短的直角邊轉(zhuǎn);③繞著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)轉(zhuǎn);④繞著三角形較長(zhǎng)的直角邊轉(zhuǎn);⑤折成長(zhǎng)為5 cm、寬為1 cm、高為3 cm的長(zhǎng)方體;⑥折成長(zhǎng)為4 cm、寬為2 cm、高為3 cm的長(zhǎng)方體;⑦折成棱長(zhǎng)為3 cm的正方體;⑧沿著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)卷; ⑨沿著長(zhǎng)方形的寬卷。）

師（同步出示學(xué)習(xí)資源①②）他們分別創(chuàng)造出了怎樣的立體圖形？分別是通過(guò)怎樣的方式創(chuàng)造出來(lái)的？

（學(xué)生口答。）

師盡管他們選擇了不同的圖形，但都是繞著較短的那條邊轉(zhuǎn)的。創(chuàng)造出來(lái)的這兩個(gè)立體圖形有什么聯(lián)系嗎？

生等底、等高，圓柱的體積是圓錐的3倍。

師（出示學(xué)習(xí)資源③）同樣是選擇長(zhǎng)方形紙，還有同學(xué)是這樣轉(zhuǎn)的，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生這是繞著長(zhǎng)方形的長(zhǎng)轉(zhuǎn)的。不管是繞著長(zhǎng)轉(zhuǎn)，還是繞著寬轉(zhuǎn)，我發(fā)現(xiàn)側(cè)面積不變。

師觀(guān)察得真仔細(xì)！怎么轉(zhuǎn)才能使得到的圓柱的表面積和體積更大一些呢？

生繞著寬轉(zhuǎn)。

師（同步出示學(xué)習(xí)資源②④）同樣是用三角形紙轉(zhuǎn)，也可以得到不同的圓錐，那怎樣轉(zhuǎn)體積更大呢？

生也是繞著較短的直角邊轉(zhuǎn)。

師（同步出示學(xué)習(xí)資源⑤⑥⑦）這些長(zhǎng)方體是怎么創(chuàng)造出來(lái)的？你覺(jué)得這些長(zhǎng)方體都應(yīng)該符合什么要求？

生它們都是沿著長(zhǎng)折出來(lái)的，折出來(lái)的長(zhǎng)與寬的和都是6 cm，高都是3 cm。

師是的。繼續(xù)觀(guān)察，你還有什么發(fā)現(xiàn)嗎？

生側(cè)面積都相等，都等于長(zhǎng)方形紙的面積;長(zhǎng)和寬越接近，表面積和體積就越大。

師同學(xué)們真的很善于觀(guān)察！其實(shí)，除了像這樣沿著長(zhǎng)折，我們還可以沿著寬折。沿著長(zhǎng)折和沿著寬折又有什么聯(lián)系和區(qū)別呢？聰明的你課后去想一想，一定會(huì)有所發(fā)現(xiàn)的。

師（同步出示學(xué)習(xí)資源⑧⑨）我們還可以通過(guò)卷一卷，創(chuàng)造出不一樣的圓柱。比較這兩種卷法，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生側(cè)面積一樣，而且與折一折創(chuàng)造出的長(zhǎng)方體的側(cè)面積相同，都等于長(zhǎng)方形紙的面積，都可以用長(zhǎng)方形紙的長(zhǎng)乘寬計(jì)算。

生我還發(fā)現(xiàn)，沿著長(zhǎng)卷得到的圓柱體積和表面積更大。

師確實(shí)，剛才同學(xué)們用同樣的長(zhǎng)方形紙和三角形紙創(chuàng)造出了不同的立體圖形，它們之間存在著一定的聯(lián)系。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就應(yīng)該像這樣，同中求異、異中求同，在變與不變中找到相應(yīng)的規(guī)律。

[評(píng)析：整理反思課中的練習(xí)是幫助學(xué)生進(jìn)一步完善知識(shí)結(jié)構(gòu)的重要紐帶，也是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)能力的重要環(huán)節(jié)。本環(huán)節(jié)以一道習(xí)題作為學(xué)生進(jìn)一步“生長(zhǎng)”的落腳點(diǎn)。通過(guò)轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、折一折、卷一卷等操作，學(xué)生不僅擺脫了枯燥練習(xí)的枷鎖，而且很好地發(fā)展了自身的創(chuàng)造能力。多層次的交流，還將知識(shí)點(diǎn)的復(fù)習(xí)融入其中：在“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”的交流中復(fù)習(xí)等底、等高圓柱與圓錐體積之間的關(guān)系;在“轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)”“折一折”“卷一卷”的交流中反復(fù)體會(huì)圖形中的“變與不變”——體積在變而側(cè)面積不變，對(duì)圖形之間聯(lián)系的認(rèn)知向縱深發(fā)展。]

四、拓展延伸，激發(fā)“生長(zhǎng)”活力

師（出示圖5）咱們?cè)賮?lái)看這4個(gè)立體圖形。如果讓你把這4個(gè)立體圖形分分類(lèi)，你會(huì)怎么分？依據(jù)又是什么？

生根據(jù)面的特征分成長(zhǎng)方體、正方體，圓柱、圓錐。

生根據(jù)體積公式分成長(zhǎng)方體、正方體、圓柱，圓錐。

師長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的體積都可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算。我們還可以發(fā)現(xiàn)，它們存在著相同的特征：上下兩個(gè)面完全相同，上下粗細(xì)完全一樣。像這樣的立體圖形稱(chēng)為直柱體。（出示圖6）這里的三棱柱、五棱柱也屬于直柱體，猜猜看：它們的體積可以怎么計(jì)算？

生底面積乘高。

師究竟是不是這樣呢？我們一起來(lái)看一看。（播放視頻）果然，就如同學(xué)們猜的那樣，直柱體都可以用底面積乘高來(lái)計(jì)算體積。關(guān)于直柱體的體積，有興趣的同學(xué)課后可以繼續(xù)研究。

[評(píng)析：學(xué)生經(jīng)過(guò)“理—聯(lián)—練”，已經(jīng)能夠?qū)⒈竟?jié)課復(fù)習(xí)的知識(shí)連成“線(xiàn)”、結(jié)成“網(wǎng)”，對(duì)知識(shí)的理解也具有了一定的深度。而這一環(huán)節(jié)的拓展，讓本節(jié)課的回顧整理進(jìn)一步深入。首先，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方體、正方體、圓柱的共同特征，引出直柱體的概念;其次，讓學(xué)生猜想、了解三棱柱、五棱柱等直柱體體積的計(jì)算方法，使學(xué)生的思維更加開(kāi)闊，令本節(jié)課的學(xué)習(xí)余音繞梁。]

參考文獻(xiàn)：

[1] 潘小福.小學(xué)數(shù)學(xué)教材的專(zhuān)業(yè)化解讀[M].南京：江蘇鳳凰教育出版社，2017.

[2] 潘小福.課型范式與實(shí)施策略：小學(xué)數(shù)學(xué)[M].南京：江蘇教育出版社，2012.