摘 要： 《植樹問題》一課是大家耳熟能詳?shù)牡湫驼n例，我也教過多次，但學(xué)生的錯(cuò)誤依舊不斷，這也促使著我再探究竟。通過多次課堂實(shí)踐及教研組同事們的傾力協(xié)助，我進(jìn)行了深刻反思和整理。文章從“魚—漁—喻”的角度，并以《植樹問題》一課為例，探討教師在一線教學(xué)中，如何分析教材、剖析錯(cuò)誤，從教會(huì)學(xué)生知識(shí)到培養(yǎng)學(xué)生能力，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞： 植樹問題;兩端都種;數(shù)學(xué)思想

一、 引子——課材領(lǐng)航，指明方向

《植樹問題》在人教版五上數(shù)學(xué)廣角中，共編排了3個(gè)例題、1個(gè)練習(xí)。例題分別是兩端都種、兩端都不種（兩旁）、封閉圖形。課標(biāo)中指出：數(shù)學(xué)廣角主要目的就是讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)的形成過程和感悟數(shù)學(xué)思想方法。植樹問題就是要讓學(xué)生在實(shí)際情境中，抽象出數(shù)學(xué)問題，經(jīng)過動(dòng)手操作、推理得出結(jié)論，最后把結(jié)論運(yùn)用于實(shí)際問題的解決，并在探索活動(dòng)中滲透數(shù)學(xué)思想方法，建立數(shù)學(xué)模型。這里的數(shù)學(xué)思想方法應(yīng)該有“簡(jiǎn)單的劃歸”（化繁為簡(jiǎn)就是一種簡(jiǎn)單的化歸思想），“數(shù)形結(jié)合”“一一對(duì)應(yīng)”“推理”以及“比較”的學(xué)習(xí)策略等等。

二、 探索——實(shí)踐反思，重“樹”思想

（一）授之以魚——教知識(shí)——掌握知識(shí)

初次思考就頗費(fèi)腦筋，我不能像俞正強(qiáng)老師那樣另立新意，從“平均分”這樣獨(dú)特的角度再找出一個(gè)點(diǎn)來切入，那怎么辦呢？一個(gè)數(shù)學(xué)老師最大的本領(lǐng)是將散落在課本中各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，串聯(lián)起來，將書本“由厚變薄”。我努力去尋找一條線，這條線可以把相關(guān)的例題整合在一起，將知識(shí)點(diǎn)串聯(lián)在一起。

1. 熱點(diǎn)引入、一線牽頭

植樹問題中主要的數(shù)學(xué)思想是模型思想，也是植樹問題的重難點(diǎn)，即讓學(xué)生從生活情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，通過探究，建立模型。首先要找到一個(gè)與植樹問題相關(guān)的生活“熱點(diǎn)”來引入，我想到了支付寶里的螞蟻森林，螞蟻森林是一項(xiàng)公益事業(yè)，就是植樹造林。其次是找到一條“主線”，引導(dǎo)學(xué)生在螞蟻森林的情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，在“兩端未知的情況下植樹”這條主線上，通過畫線段圖、列算式等，一步一步地來探究植樹問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，推理出相應(yīng)的結(jié)論，并尋找結(jié)論與生活的聯(lián)系，最終建立起植樹問題的數(shù)學(xué)模型。

2. 按部就班、平均發(fā)力

最初的設(shè)計(jì)是按順序給出三個(gè)例題，分別是“兩端都種”“只種一端”（一端插上了木牌）、“兩端都不種”（兩端都插上了木牌），探究每個(gè)例題時(shí)，都給予同樣的時(shí)間精力讓學(xué)生畫圖解決、推理結(jié)論。那么，植樹問題的“三種類型”需要平均發(fā)力嗎？顯然不是，因?yàn)榘凑枕樞蚪o出例題，看似穩(wěn)扎穩(wěn)打，層層遞進(jìn)，但不利于學(xué)生思維的發(fā)散和拓展，這種只按老師意愿進(jìn)行的課堂教學(xué)，又回到了傳統(tǒng)教學(xué)的老路。

3. 配套練習(xí)、穩(wěn)扎穩(wěn)打

以下是我最初的練習(xí)設(shè)計(jì)：

（1）某公交路線全長(zhǎng)13千米，平均每相鄰兩個(gè)站點(diǎn)的距離為1千米。一共有幾個(gè)站？

（2）一根木頭長(zhǎng)10米，每隔2米鋸一段，一共要鋸多少次？

（3）開運(yùn)動(dòng)會(huì)了，學(xué)校打算在一條長(zhǎng)60米的跑道邊上插彩旗（只插一端），每隔1.5米插一面，一共要準(zhǔn)備多少面彩旗？

（4）月牙泉全長(zhǎng)約240米，泉水很深，為了安全，工作人員在泉水四周安裝了柱子，每隔2米安裝一根，并用鐵鏈圍起來。問一共安裝了多少根柱子？

由習(xí)題可見，每個(gè)結(jié)論都通過對(duì)應(yīng)的練習(xí)，穩(wěn)扎穩(wěn)打，把每個(gè)知識(shí)點(diǎn)都強(qiáng)化鞏固，看似無可厚非，但是這樣的練習(xí)設(shè)計(jì)是否有利于學(xué)生對(duì)植樹問題四種類型的整體把握呢？是否可以更開放呢？是否讓學(xué)生自己去發(fā)散？

授之以魚，就是教師教會(huì)學(xué)生知識(shí)，讓學(xué)生掌握知識(shí)，這樣的傳統(tǒng)設(shè)計(jì)有一定的意義，但顯然可以更加開放。因此，我重新開始思考。

（二）授之以漁——教方法——提高能力

實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)，只有實(shí)踐才能發(fā)現(xiàn)問題，而初次課堂實(shí)踐就暴露出很多設(shè)計(jì)上的問題，“授之以魚，不如授之以漁”，教知識(shí)，更要教方法，在大家的幫助下，我進(jìn)行了調(diào)整。

1. 整合例題，開放思維

既然是探究，就要開放，這次我摒棄了按序教學(xué)和平均發(fā)力的教學(xué)設(shè)計(jì)，把三個(gè)例題進(jìn)行了整合，把兩端的情況隱蔽掉，讓學(xué)生自主去思考不同的情況，同時(shí)，也可以培養(yǎng)學(xué)生思考問題嚴(yán)密性的解題習(xí)慣。

例題：在庫(kù)布其荒漠，工作人員已經(jīng)挖好了一條長(zhǎng)2000米的溝，打算在溝里種植一排沙柳，每隔5米種一棵。一共要準(zhǔn)備多少棵沙柳？

2. 尋找源頭，確定切口

集體反饋是本節(jié)課的重點(diǎn)環(huán)節(jié)，那么我們應(yīng)該選擇哪種類型作為“切入口”最合適呢？換言之，哪種類型最容易被學(xué)生想到，最容易被接受，為了尋找心中的答案，我們對(duì)二到五年級(jí)學(xué)生進(jìn)行了前測(cè)，以下是前測(cè)的內(nèi)容與結(jié)果。

工人叔叔在一條長(zhǎng)20米的小路一邊種樹，打算每隔5米種一棵，他要準(zhǔn)備多少棵樹？（請(qǐng)用畫圖和算式說明你的想法）

（1）你知道上題是一個(gè)什么問題嗎？（2）生活中有差不多類型的問題嗎？請(qǐng)你舉兩個(gè)例子。（3）對(duì)這類問題你有什么疑惑的地方嗎？

從前測(cè)統(tǒng)計(jì)得出，在兩端未知的情況下，各年級(jí)的孩子多理解為“兩端都種”，答案也是5棵居多。前測(cè)是考察孩子生活經(jīng)驗(yàn)與已有基礎(chǔ)，這說明他們?cè)趯?shí)際生活中，接觸最多的情形是“兩端都種”。所以，“兩端都種”作為植樹問題的“切入口”最合適。

3. 抓住核心，統(tǒng)率整體

當(dāng)以“兩端都種”為切入口時(shí)，我們需要如何教學(xué)？植樹問題的源頭是平均分，其本質(zhì)就是間隔問題，就是把總長(zhǎng)進(jìn)行平均分，每段長(zhǎng)度相等。但植樹是種在點(diǎn)上，然后點(diǎn)和段依次重復(fù)出現(xiàn)。所以植樹問題的核心是“段和點(diǎn)的關(guān)系”，我們必須從段和點(diǎn)著手，引導(dǎo)學(xué)生通過探究段（段數(shù)）和點(diǎn)（棵數(shù)）之間的關(guān)系，最終推理出結(jié)論。

那么怎么抓住“段和點(diǎn)”的關(guān)系呢？首先要引導(dǎo)學(xué)生用“畫圖”“列式”等方法來研究，這就是“授之于漁”，就是教方法。然后，要引導(dǎo)學(xué)生在線段圖中找段與點(diǎn)的關(guān)系，可以是數(shù)一數(shù)或直接觀察，但是當(dāng)段數(shù)很多的時(shí)候，可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生通過“一一對(duì)應(yīng)”的方法去圈一圈，找出段與點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，從而來發(fā)現(xiàn)“兩端都種”時(shí)，棵數(shù)=段數(shù)+1，幫助學(xué)生建立植樹問題的一般模型。

（三）授之以喻——教思想——發(fā)展素養(yǎng)

華應(yīng)龍?jiān)f：“過去我們的教學(xué)只為了結(jié)果，掐頭去尾，精講多練，重在知識(shí);現(xiàn)在，我們的教學(xué)還為了過程，從頭到尾，自主探究，重在體驗(yàn)?！敝矘鋯栴}承擔(dān)了很多思想方法，而“教思想”是最難琢磨的，這是一個(gè)無聲勝有聲的滲透過程。

1. 一一對(duì)應(yīng)

植樹問題背后的思想是“一一對(duì)應(yīng)”，是重要的數(shù)學(xué)思想方法，要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)，通過一一對(duì)應(yīng)，找到一棵數(shù)（點(diǎn)）對(duì)應(yīng)一段（或者一個(gè)間隔），最后來看看，棵數(shù)有沒有多或少，從而來發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

教學(xué)片段：

匯報(bào)過程中，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)“總長(zhǎng)”“每段長(zhǎng)度”“段數(shù)”，理清并板書“總長(zhǎng)÷每段長(zhǎng)度=段數(shù)”的關(guān)系，板書算式：20÷5=4（? ）

追問：4后面是什么單位，為什么？

師：為什么要加1？怎么看出來？你能在圖上圈一圈嗎？最后，把圈好的線段圖展示在黑板上。

多次課堂實(shí)踐中，我發(fā)現(xiàn)很多孩子都寫20÷5=4（棵），4+1=5（棵），這里需要引導(dǎo)學(xué)生明確20÷5算出來的4表示4段。同時(shí)，也發(fā)現(xiàn)很多孩子沒有主動(dòng)用“一一對(duì)應(yīng)”的思想方法來圈一圈的，但孩子并不陌生，只需教師稍加提醒，都能很好地使用“一一對(duì)應(yīng)”的方法，將一棵樹與一段圈在一起，依次圈完，從而發(fā)現(xiàn)聯(lián)系。

2. 模型思想

模型思想也是植樹問題中重要的數(shù)學(xué)思想，要求學(xué)生從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問題，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示植樹問題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。我以螞蟻森林為例，引導(dǎo)學(xué)生將其抽象成線段圖，再通過探究得出結(jié)論，建立起“棵數(shù)=段數(shù)+1”的一般模型，并深化和完善規(guī)律，建立起完整的數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活，植樹問題的模型還需要拓展，勢(shì)必要和生活聯(lián)系，我設(shè)計(jì)的3個(gè)練習(xí)都是圍繞著這個(gè)意圖展開的。

（1）問題一：生活中有類似植樹問題的情形嗎？你能不能舉個(gè)例子呢？我可以把它放在植樹問題的哪種情況里？

（2）問題二：公交路線。

教學(xué)片段：

師：你覺得公交站與植樹問題有什么聯(lián)系？屬于哪一種情況？為什么？公交站相當(dāng)于什么？還有呢？

追問：那又有什么不一樣？你觀察得很仔細(xì)，看來植樹問題的路線不一定是直的，彎的也可以。

師：那還有什么不一樣？厲害，其實(shí)公交站的設(shè)置還要考慮路況、地形和人流量等等，所以每個(gè)公交站之間的距離有所不同，但如果平均一下，依然可以看作植樹問題。

盡管公交站路線有很多不同，但是規(guī)律和思考方式如出一轍，這樣的設(shè)計(jì)拓寬了植樹問題的內(nèi)涵，讓植樹問題的模型更加完善和豐富。

（3）問題三：編一編。

①20÷5=4，4+1=5;②20÷5=4;③20÷5=4，4-1=3。

請(qǐng)你根據(jù)今天所學(xué)的知識(shí)，結(jié)合生活實(shí)際，選擇上面的一組算式，來編一道題。

這題不僅要求學(xué)生把植樹問題的原型與生活中的例子進(jìn)行比較，還要求選擇算式來編題，也是在數(shù)學(xué)建模之后再次應(yīng)用。不僅培養(yǎng)了學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，也讓學(xué)生深刻地感受到植樹問題與生活的緊密聯(lián)系。

3. 轉(zhuǎn)化思想（化曲為直、化直為曲）

轉(zhuǎn)化思想的其中一種就是將未知的轉(zhuǎn)化為已知的，有利于探究解決新的問題。植樹問題里的封閉圖形便是如此。

教學(xué)片斷：

師：那么封閉圖形和我們前面的植樹問題有什么聯(lián)系？為什么？

預(yù)設(shè)：它與只種一端的情況一樣，我們把封閉圖形斷開后，其實(shí)就是一個(gè)只種一端的線段圖。如果把只種一端的線段圖，頭尾相連，就是封閉圖形。

封閉圖形斷開后拉直，就是只種一端的線段圖。只種一端的線段圖首尾相接，就是封閉圖形。

課件出示或動(dòng)畫演示（如上圖）

通過“化曲為直”和“化直為曲”之間的轉(zhuǎn)變，打通了這兩種情況之間的聯(lián)系，加深了學(xué)生對(duì)植樹問題結(jié)論的理解。

教學(xué)有三重境界：一是教知識(shí);二是教方法;三是教思想。這次磨課經(jīng)歷，讓我深深地體會(huì)到新課程下的小學(xué)數(shù)學(xué)比以往更加重視數(shù)學(xué)思想方法的蘊(yùn)含與滲透，我們?cè)谄綍r(shí)的教學(xué)中應(yīng)適時(shí)地引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決數(shù)學(xué)問題，內(nèi)化學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正地做到“植”入人心，“樹”立思想。

參考文獻(xiàn)：

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[3]陳健.兩種異化現(xiàn)象談引領(lǐng)學(xué)生有效動(dòng)手操作[J].小學(xué)數(shù)學(xué)教師，2009（12）.

作者簡(jiǎn)介：

倪建鋒，浙江省杭州市，浙江省杭州市蕭山區(qū)銀河實(shí)驗(yàn)小學(xué)。