李慧祥

勾股定理神秘而美妙，它的證法豐富而精彩.產(chǎn)生勾股定理各種巧妙證法的關(guān)鍵之一，是弦圖的不同的結(jié)構(gòu)，而對應(yīng)于不同結(jié)構(gòu)的弦圖，又可以提出許多數(shù)學(xué)問題.下面略舉幾例，供同學(xué)們參考.

點評：本題也可由a²+b²=25。ab=8，利用乘法公式（a-b）²=a²+b²-2ab求出a-b，得到小正方形的邊長.

點評：在“趙爽弦圖”中，大正方形的邊長等于直角三角形兩直角邊的平方和的算術(shù)平方根，小正方形的邊長等于直角三角形兩直角邊的差.解題中要靈活運用這些結(jié)論尋找解題途徑.

例3 （2019年，孝感）在平面直角坐標(biāo)系中，將點P（2，3）繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到點P，則點P'的坐標(biāo)為（?）.

A.（3，2）

B.（3，-1）

C.（2，-3）

D.（3，-2）

解：如圖5，作PA⊥y軸于點A，作P'B⊥y軸于點B.由此可聯(lián)想到“弦圖”，就會發(fā)現(xiàn)△OAP≌△PBO，答案唾手可得.點P'的坐標(biāo)為（3，-2），選D.

點評：“弦圖”中包含著多個“一線三直角”的模型，因此遇到“一線三直角”（即簡化的“弦圖”）的條件時，可聯(lián)想“弦圖”中的全等三角形.

例4 （2011年·溫州）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖6）.圖7由弦圖變化而得，它是由八個全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S₁，S₂，S₃.若S₁+S₂+S₃=10，則S₂的值是_____.

解：設(shè)四邊形MNKT的面積為x，八個全等直角三角形每個的面積為y.

因正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S₁，S₂，S₃，且S₁+S₂+S₃=10，由圖形可知S₁=8y+x，S₂=4y+X，S₃=X.

∴S₁+S₂+S₃=3x+12y=10 ，x+4y=10/3.

∴S₂=X+4y=10/3.

練習(xí)

1.（2017年·襄陽）“趙爽弦圖”利用面積關(guān)系巧妙地證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖8所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形，設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b.若（a+b）²=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為（?）.

A.3

B.4

C.5

D.6

2.（2018年·溫州）我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形（古人稱直角三角形為勾股形）分割成一個正方形和兩對全等的直角三角形，得到一個恒等式.后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理.如圖9所示的長方形是由兩個這樣的圖形拼成的，若a=3，b=4，則該長方形的面積為（?）.

A. 20 B.24 c.99/4

D. 53/2