弦圖問題賞析

1.C ?2.B （設(shè)小正方形的邊長為x，則（x+3）²+（x+4）²=7².整理得x²+7x-12=0.S_長方形=（x+3）（x+4）=x²+7x+12）

“勾股定理”優(yōu)題庫

1.D ?2.D ?3.A ?4.D ?5.D? ? 6.60/13 ?7.√5-1 ?8.5 ?9.√13 ?10.511. 11√5 ?12.1 ?13.> ?14. 10

15.所作圖形如下所爾，其中點A即為所求.

16.（1）逆命題是“兩條直線平行，內(nèi)錯角相等”，是真命題.

（2）逆命題是“如果兩個實數(shù)的立方相等，那么這兩個實數(shù)相等”，是真命題.

（3）逆命題是“（角內(nèi)部）到角兩邊的距離相等的點在這個角的平分線上”，是真命題.

（4）逆命題是“直角三角形中，一條直角邊等于斜邊的一半，則這條直角邊所對的角是30°”，是真命題.

17.（1）BC=12; （2） CD=9.6.

18.易證Rt△ABC≌Rt△BED，? ? ∴∠ABC+∠DBE=90°.∠ABE=90°.

三個直角三角形的面積分別為（1/2）ab，（1/2）ab和（1/2）c²，直角梯形ACDE的面積為

1/2（a+b）（a+b）.

由圖形可知1/2（a+b）（a+b）=（1/2）ab+（1/2）ab+（1/2）c²，整理得a²+b²=C².

19.（l） 11，60，61

20.（1）答案不唯一，如x=3，y=4，z=5;x=5，y=12，z=13等.

（2）想起了勾股數(shù)或不定方程等。答案不唯一.

21.如圖2， ?在△ABC中，AB=15，BC=14，AC=13.

設(shè)BD=x.則CD=14-x.

∴15²-X²=13²-（14-X）².

解得x=9.

∴AD=12.S_△ABC=（1/2）BC·AD=84.

22.（1）銳角 ?鈍角

（2）> ?<

（3）因a=2，b=4，c為最長邊，故4≤c<6.對于△ABC分類討論如下：①當(dāng)a²+b²2時，△ABC為鈍角三角形，此時C²>2²+4²=20，則c>2√5.2√52+b²=C²時，△ABC為直角三角形，此時c²=2²+4²=20，則c=2√5.③當(dāng)a²+b²>C²時，△ABC為銳角三角形，此時C²<2²+4²=20，則0

綜上，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，2√5

2019年“勾股定理”中考題演練

1.B ?2.B ?3.A（△ACF，△BCF均為等腰三角形） ?4.A（過B作BD上AC于D， ?則BD=2cm，△BCD是等腰直角三角形，BC=2√2cm.作AE上BC于E，則AE=2Cm）5.A（連接FC，△FOA≌△BOC.因AO=CO，AE=CE，故BE垂直平分AC，BC=AF=CF） ?6.c ?7.B ?（設(shè)AD=a，AB=b，則BG=b+（b/2）=（3b）/2.在Rt△BCG中，a²+（b/2）²=[（3/2）b]²） ?8.B 設(shè)正方形ADOF的邊長為x，由AC²+AB²=BC²，得（6+x）²+（4+x）²=10²，各選項代人驗證） ?9.D（△ABD是等腰直角三角形，易證△BDG≌△ADE（角邊角），故BG=AE=l，DG=DE.△EDG為等腰直角三角形，∠AED=135°，△AED沿直線AE翻折得△AEF，AED≌△AEF，△DEF為等腰直角三角形，EF=DE=DG.在Rt△AEB中，BE=√（AB）²-（AE）²=2√2，故GE=BE-BG=2√2-1.DE=GF/√2）

10.如果a，b互為相反數(shù)，那么a+b=011.5 ?12.√13 ?13.1 ?14.10/3（設(shè)CE=x，則BE=6-x.由折疊性質(zhì)可知EF=CE=x，DF=CD=AB=lO.故AF=8.BF=2.在Rt△BEF中，（6-x）²+2²=x²） ?15. 75或25（過點A作AD⊥BC于點D，則點D在BC或BC的延長線上） ?16.2√3 ?17.√3

2.易知△ABD和△DEF均為等邊三角形，于是可算出 CF，F(xiàn)O，CO，CD） ?20.4√5（先計算七巧板各組件的邊長，如圖3）

21.（1）由A，B兩點的縱坐標(biāo)相同可知AB//x軸，AB=12-（-8）=20（km）.

（2）如圖4，過點C作CE⊥AB于點E.連接AC.作AC的垂直平分線交CE于點D.由（l）可知CE=1-（-17）=18（km），AE=12km.設(shè)CD=xkm，則AD=xkm，在Rt△ADE中由勾股定理知x²=（18-x）²+12²，x=13，即為所求.

22. 6-2√5（設(shè)BF=x.在Rt△GEF和Rt△CEF中，利用公共邊EF有（2√5-4）²+x²=（4-x）²+2²）

23. 24+16√3（如圖5，將△BCP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°后得到△BAP'.連接PP'.易知△BPP'為等邊三角形，故BP'=BP=8=pp'.由勾股定理的逆定理知△APP'是直角三角形，S_△ABP+S_△BCP=S_{四邊形APBP}=S_△BPP+S_△APP'=（√3/4）BPS_△ABP+（1/2）PP'·AP）

24.B²=（n²-1）²+（2n）sup>2=n⁴-2n²+1+4n²=（n²+1）².因B>0，則B=n²+1.當(dāng)2n=8時，n=4，n²+l=17;當(dāng)n²-1=35時，n²+l=37.

25.（1）證△BAE≌△ADF（邊角邊）.

（2）由（1）知△DAE≌△ADF，∠EBA=∠FAD，推出∠AGB=90°，在Rt△ABE中，（1/2）AB·AE=（1/2）BE·AG.可得AG=（4*3）/5=12/5.

26.（1）略（△AEC≌△CDB（角角邊））.

（2）由（1）知BD=CE=a，CD=AE=b.

S_梯形AEDB=（1/2）（a+b）（a+b）=（1/2）a²+ab+（1/2）b².

又S_梯形AEDB=S_△AEC+S_△BCD+S_△ABC=（1/2）ab+（1/2）ab+（1/2）c²=ab+（1/2）c²，故（1/2）a²+ab+（1/2）b²=ab+（1/2）c²，a²+b（1/2）c²=c（1/2）c².

27.（1）作圖略.

（2）由作圖知AD=BD.設(shè)BD=x，則CD=8-x，由勾股定理可以得4²+（8-x）²=x²，解得x=5.BD=5.

28.答案不唯一.

（1）如圖6;

（2）如圖7.

29.（1）√2-（√6/3）（∠MBD=30°）.

（2）易證明△BDE≌△ADF（角邊角），故有BE=AF.

（3）過點M作ME//BC交AB的延長線于E，仿（2）可證△BME≌△NMA（角邊角），故BE=AN，AB+AN=AE=√2AM.

30.（1）①40或20.

②顯然∠MAD不能為直角（因其所對的邊不是最長邊）.當(dāng)∠AMD為直角時，AM²=AD²-DM²=800，AM=20√2;當(dāng)∠ADM=90°時，AM²=AD²+DM²=30²+10²=1000 ，AM=10√10.綜上所述，AM的長為20√2或10√10.

（2）連接CD₁. ∠D₁AD₂=90°，AD₁=AD₂=30，故D₁D₂=30√2.因∠AD₂C=135°，故∠CD₂D₁=90°，CD₁=√CD²₂+D₁D²₂=30√6.易證△BAD₁≌△CAD₁（邊角邊），則BD₂=CD₁=30√6.

31.（1）點A在線段BD的垂直平分線上，點C在線段BD的垂直平分線上，故直線AC是線段BD的垂直平分線，AC⊥BD，四邊形ABCD是垂美四邊形.

（2）由勾股定理得AD²+BC²=A0²+D0²+B0²+C0²，AB²+CD²=A0²+B0²+C0²+D0²，故AB²+CD²=AD²+BC².

（3）連接CG，BE.由“手拉手”模型易證△GAB≌△CAE，CE⊥BG.故四邊形CGEB是垂美四邊形，由（2）得CG²+BE²=CB²+GE².因 AC=4，AB=5，故BC=3， CG=4√2，BE=5√2.于是GE²=CG²+BE²-CB²=73，GE=√73.

“勾股定理”單元測試題

1.C ? 2.D ? 3.C ? 4.C ? 5.C ?6.B ?7.D8.B ?9.B ? 10. C（如圖8，在△ABC中，∠C=90°AC=m..BC=n.過點A的射線AD交BC于點D.且將△ABC分成兩個等腰三角形（△ACD和△ADB），則CA=CD=m，AD=BD=n-m. 在Rt△ACD中，由勾股定理得m²+m²=（n-m）²，從而m²+2mn-n²=0）

11. 1.5 ?12. 600√3 ?13.2 ?14.415. 1/2²⁰¹⁸

16.AC=2√3.

17. 96m².

18.（1）在△ABD中，由勾股定理的逆定理易證AD⊥BC;

（2）CD=9.

19.7√2（設(shè)AB=7x，則（2√7）²-X²=（7x）²-（6x）²）.

20.（1）連接CE.因D是BC的中點，且DE⊥BC. 故CE=BE.因BE²-EA²=AC²，故CE²-EA²=AC²，即EA²+AC²=CE²，則△ACE是直角三角形，∠A=90°.

（2）因DE=3 ，BD=4，故BE=5=CE.所以AC²=25-AE².易知BC=2BD=8.在Rt△ABC中，由勾股定理可得8²-（5+AE）²=25-AE²，解得AE=7/5.

21.（1）如圖9①所示;

（2）如圖9②、圖9③所示.

22.作A點關(guān)于CD的對稱點A'，連接A'B'，A'B與CD的交點即為點M.最低的總費用為150萬元.

23.（1）如圖10.

（2）如圖11，連接CE.易證△ABC≌△DBE（邊角邊），故AC=DE.

易證△BCE是等邊三角形，

∴CE=BC，∠BCE=60°.

又∠DCB=30°，故∠DCE=90°.

∴CD²+CE²=DE².故CD²+BC²=AC²，四邊形ABCD是勾股四邊形.