劉 沁

(重慶工商大學(xué) 藝術(shù)學(xué)院，重慶 400067)

0 引 言

LED(發(fā)光二極管)作為一種節(jié)能、耐用的新型光源，已在各種照明環(huán)境(包括公共場所照明、家庭照明、景觀照明等)中廣泛地使用[1-3]。為了更加充分地發(fā)揮LED這種新型光源在照明領(lǐng)域的應(yīng)用，從理論上對LED的照明特性進行研究顯得越來越重要，并取得很多重要的研究成果。如羅曉霞等[4]對單個LED光源的大視場角準(zhǔn)直照明問題做了研究[4]，丁毅等[5-6]研究了單個LED光源的均勻照明問題。由于單個LED光源的亮度較小，因此絕大多數(shù)的LED光源都是由多個LED燈芯構(gòu)成的陣列來實現(xiàn)照明的。為了在理論上弄清楚LED陣列的照明特性，開展了對這個領(lǐng)域的研究。對方形陣列和圓形陣列的照度特性做了研究[7-10]， 得出了方形陣列和圓形陣列的光斑的發(fā)散規(guī)律和照度的變化規(guī)律。進而研究了圓形陣列和矩形陣列的照度均勻性[11-12]，得出這兩種陣列的照度均勻性的特征和變化規(guī)律。

在上述對LED的陣列研究中，都是將LED陣列面固定在一個平面內(nèi)。而實際的LED陣列光源，多數(shù)的LED燈芯的分布是在一個曲面上。因此研究曲面LED陣列的照度特性以及變化規(guī)律在理論上和應(yīng)用上都有著非常重要的價值。將利用非相干光的疊加原理，針對彎曲LED矩形陣列這一對象，引入彎曲度的概念，推導(dǎo)出計算陣列的光斑半徑公式、照度公式和發(fā)散角公式。利用這些公式研究彎曲LED矩形陣列的照度峰值隨彎曲度的變化規(guī)律，光斑半徑隨彎曲度的變化規(guī)律，光斑發(fā)色角隨彎曲度的變化規(guī)律。研究結(jié)果的獲得將進一步加深和豐富對LED陣列照明理論的認(rèn)識，也為設(shè)計LED陣列的照明方案提供理論依據(jù)和研究方法。

1 模型與理論

首先建立這樣一個彎曲的LED矩形陣列模型，矩形陣列在沒有彎曲時，是由若干個邊長為a的小方形網(wǎng)格構(gòu)成，每個網(wǎng)格的節(jié)點上放置一個LED芯片。矩形陣列的長邊為40a,寬邊為20a，即長邊方向上有41個節(jié)點，寬邊方向上有21個節(jié)點，陣列的總芯片數(shù)為 41×21=861。LED矩形陣列放置于z=0平面內(nèi)，陣列的中心坐標(biāo)在(0,0,0)處，長邊沿y軸方向，寬邊沿x軸方向。用Aij標(biāo)記在坐標(biāo)為(ia,ja)節(jié)點處的芯片。目標(biāo)平面置于z=h處?，F(xiàn)將矩形陣列的長邊向z軸方向成圓弧彎曲，而寬邊不發(fā)生彎曲，如圖1所示。

彎曲的LED矩形陣列在目標(biāo)平面產(chǎn)生照度是由陣列上的每個LED芯片產(chǎn)生照度的非相干疊加。而單個LED芯片在視角θ方向上的光強I由下式確定[7]，如圖2，芯片到P點的距離為l。

(1)

其中I0為0°角的光強，m值由LED芯片的產(chǎn)生工藝確定。

若芯片的坐標(biāo)在(X，Y,Z)處,目標(biāo)平面上的照明點P的坐標(biāo)在(x,y,h)處，則芯片在P點處產(chǎn)生的照度E由下式確定[11]：

(2)

由式(1)、式(2)得到單個芯片在P點的照度：

(3)

如果陣列是由N個芯片構(gòu)成的，這N個芯片發(fā)出的光彼此是非相干光，由非相干光的疊加原理陣列在P點處產(chǎn)生的照度為[12]：

E(x,y,h)=

(4)

其中Xn、Yn、Zn為第n個LED芯片的坐標(biāo)。

為了將式(4)應(yīng)用于上述彎曲的LED矩形陣列，首先應(yīng)引入長邊成圓形彎曲的彎曲圓半徑RK,下標(biāo)K是用來表示將矩形陣列的長邊(40a)彎曲為彎曲圓的K分之一周長，即40a=2πRK/K。由此得彎曲圓半徑RK與K關(guān)系：

(5)

K越大RK越大，陣列長邊彎曲的彎曲程度就越小。為了能用一個與彎曲程度成正比的量來描述長邊的彎曲程度，引入彎曲度D：

D=1/K

(6)

彎曲度D越大，長邊彎曲程度越大。D就是描述陣列長邊的彎曲程度的量。當(dāng)長邊不彎曲時K=,對應(yīng)的D=0。當(dāng)長邊彎曲為半圓周時K=2,對應(yīng)的D=1/2。當(dāng)長邊彎曲為一個圓周時K=1,對應(yīng)的D=1，彎曲度達到最大。

利用圖1可以得到芯片Aij的3個坐標(biāo)分別為

(7)

將式(7)代入式(4)可得彎曲LED矩形陣列在目標(biāo)平面上的照度公式：

(8)

式(8)就是計算彎曲LED矩形陣列的照度公式。

x軸和y軸上的照度分布Ex和Ey，可以分別將式(8)中的y取為0和x取為0而得到：

(9)

光斑中心的照度(照度峰值)E0，可以將式(8)中的y和x取為0得到：

(10)

LED陣列在目標(biāo)平面上形成的光斑大小由下列關(guān)系確定[12]：

E≥0.2E0

(11)

x軸和y軸上的光斑半徑Rx和Ry由于芯片在x軸和y軸上分布的不同而不同。由式(9)和式(11)可求出Rx和Ry：

(12)

光斑在x軸和y軸上的發(fā)散角φx和φy可以由公式求得[10]：

(13)

利用式(12)和式(13)可以研究彎曲LED矩形陣列的光斑半徑和發(fā)色角的變化特征。

2 光斑特性

利用式(5)—式(13)，采用數(shù)值計算法研究彎曲LED矩形陣列的照度峰值、光斑半徑、發(fā)色角隨矩形的彎曲度的變化規(guī)律。

2.1 照度峰值與彎曲度的關(guān)系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究照度峰值隨彎曲度的變化關(guān)系。取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10組數(shù)據(jù)，計算出對應(yīng)的彎曲度D和照度峰值E0的數(shù)據(jù)，見表1。利用表1中的數(shù)據(jù)繪出照度峰值E0隨彎曲度D的響應(yīng)曲線，如圖3所示。圖3中把10個數(shù)據(jù)點用線連接。

表1 不同彎曲度下的照度峰值E0Table 1 E0under different curvature

分析表1和圖3可知：當(dāng)長邊不彎曲(K=)時，其彎曲度D=0,光班中心的照度(照度峰值)E0=158.3 lx。隨著長邊彎曲度的增加，光班中心的照度成非線性增大。當(dāng)長邊彎曲為四分之一圓周時(K=4、D=1/4),中心的照度E0增加為168.74 lx。照度峰值隨彎曲度的這一變化規(guī)律表明，彎曲LED矩形陣列對照度有聚光的作用，彎曲度越大對照度的聚光效果越明顯。在照明設(shè)計中，利用這一規(guī)律可以到達提高目標(biāo)中心亮度的效果。

2.2 光斑半徑與彎曲度的關(guān)系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究光斑半徑隨彎曲度的變化關(guān)系。仍取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10組數(shù)據(jù)，計算出對應(yīng)的彎曲度D以及光斑在x軸和y軸上的半徑Rx和Ry,見表2。為了直觀地反映光斑的變化情況，計算出長邊不彎曲(K=)時的光斑和長邊彎曲為1/4周長(K=4)時的光斑，如圖4。由圖4(a)、(b)可知：長邊不彎曲時的光斑和長邊彎曲為1/4周長時的光斑都是橢圓形，Rx都小于Ry。長邊不彎曲時的光斑大于長邊彎曲為1/4周長的光斑。

由表2中的數(shù)據(jù)，計算出Rx和Ry隨彎曲度D的變化曲線，如圖5所示。圖5中實線連接的曲線是Ry隨彎曲度D的響應(yīng)曲線，虛線連接的曲線是Rx隨彎曲度D的響應(yīng)曲線。分析表2和圖5可知：當(dāng)長邊不彎曲時，光斑是長軸在y軸上的橢圓，其Rx=1.672 m、Ry=1.847 m，Ry/Rx=1.11。隨著長邊彎曲度的增加，Rx和Ry都緩慢減小。當(dāng)長邊彎曲為1/4圓周時其Rx減小為1.621 m、Ry減小為1.775 m，Ry/Rx減小為1.09，光斑更接近于圓形。光斑半徑隨彎曲度的這一變化規(guī)律表明：彎曲LED矩形陣列對光斑大小有匯聚的作用，彎曲度越大對光斑大小的匯聚效果越明顯。在照明設(shè)計中，利用這一規(guī)律可以控制光斑的大小。

表2 不同彎曲度下的光斑半徑Rx和RyTable 2 Rxand Ryunder different curvature

2.3 發(fā)散角與彎曲度的關(guān)系

固定I0=2cd，m=10,a=0.04 m，h=3 m，研究光斑發(fā)散角隨彎曲度的變化關(guān)系。仍取K=、20、18、16、14、12、10、8、6、4共10組數(shù)據(jù)，計算出對應(yīng)的彎曲度D以及光斑在x軸和y軸上的發(fā)散角φx和φy,見表3。由表3中的數(shù)據(jù)，計算出光斑的發(fā)散角φx和φy,隨彎曲度D的變化曲線，如圖6所示。圖6中實線連接的曲線是φy隨彎曲度D的響應(yīng)曲線，虛線連接的曲線是φx隨彎曲度D的響應(yīng)曲線。分析表3和圖6可知：當(dāng)長邊不彎曲時，兩個軸上的發(fā)散角分別是φx=22.977°、φy=19.069°，φy/φx=0.83，光斑在y軸上的發(fā)散小于在x軸上的發(fā)散。隨著長邊彎曲度的增加，φx和φy都緩慢減小。當(dāng)長邊彎曲為1/4圓周時其φx減小為22.154°、φy減小為18.003°，φy/φx減小為0.81，即光斑在y軸上發(fā)散角的減小更快。光斑發(fā)散角隨彎曲度的這一變化規(guī)律進一步表明：彎曲LED矩形陣列對光斑的發(fā)散角也有匯聚作用，彎曲度越大對光斑發(fā)散角的匯聚效果越明顯。

表3 不同彎曲度下的發(fā)散角φx和φyTable 3 φxand φyunder different curvature

3 結(jié) 論

建立了彎曲LED矩形陣列的模型，引入彎曲度來描述矩形陣列的彎曲程度。利用非相干光的疊加原理，推導(dǎo)出計算彎曲LED矩形陣列的光斑半徑公式、照度公式和光斑發(fā)散角公式。研究了彎曲度對照度峰值、光斑半徑、發(fā)散角的影響。通過數(shù)值計算研究了照度峰值隨彎曲度的變化規(guī)律、光斑半徑隨彎曲度的變化規(guī)律、發(fā)散角隨彎曲度的變化規(guī)律。通過計算得出：當(dāng)彎曲度為0時照度峰值為158.3 lx，隨著彎曲度的增加照度峰值逐漸增大，當(dāng)彎曲度增加到0.25時照度峰值增加為168.74 lx；當(dāng)彎曲度為0時,光斑半徑為1.847 m，隨著彎曲度的增加光斑半徑逐漸減小，當(dāng)彎曲度增加到0.25時光斑半徑減小為1.775 m；當(dāng)彎曲度為0時發(fā)散角為19°，隨著彎曲度的增加發(fā)散角逐漸減小，當(dāng)彎曲度增加到0.25時發(fā)散角減小為18°。計算結(jié)果表明陣列面的彎曲對照度、光斑半徑、發(fā)散角都有明顯的匯聚作用。結(jié)果的獲得在理論上和方法上為利用彎曲LED矩形陣列來實現(xiàn)照明設(shè)計提供依據(jù)，彌補了之前在研究LED陣列中陣列面僅限于平面的不足。主要創(chuàng)新為

(1) 建立了彎曲LED矩形陣列的模型，引彎曲度來描述矩形陣列的彎曲程度，彌補了之前在研究LED陣列中陣列面僅限于平面的不足。

(2) 推導(dǎo)出計算彎曲LED矩形陣列的光斑半徑公式、照度公式以及光斑發(fā)散角的公式。在理論上和方法上為利用彎曲LED矩形陣列來實現(xiàn)照明設(shè)計提供依據(jù)。

(3) 計算出彎曲LED矩形陣列的照度峰值隨彎曲度的變化規(guī)律、光斑半徑隨彎曲度的變化規(guī)律、發(fā)散角隨彎曲度的變化規(guī)律。研究結(jié)果表明陣列面的彎曲對照度、光斑半徑、發(fā)散角都有明顯的匯聚作用。