廣東 蔡 鉗

動(dòng)量與能量結(jié)合的綜合問題，在高考試題中非常常見，且經(jīng)常以壓軸題的形式出現(xiàn)。在系統(tǒng)(兩個(gè)以上的物體組成)內(nèi)物體間的相互作用中，應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律結(jié)合動(dòng)量守恒定律、功能關(guān)系解決問題，是常見的思路。如果能處理好功能關(guān)系，解決這類問題可以事半功倍。

常見的功與能的關(guān)系有：(1)克服摩擦力做功轉(zhuǎn)化為內(nèi)能；(2)克服重力做功轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能；(3)克服彈力做功轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能；(4)克服電場(chǎng)力做功轉(zhuǎn)化為電勢(shì)能；(5)克服安培力作用轉(zhuǎn)化為電能進(jìn)而轉(zhuǎn)化為焦耳熱。本文主要通過分類歸納這些功能關(guān)系問題，聚焦內(nèi)能、重力勢(shì)能、彈性勢(shì)能、電勢(shì)能和焦耳熱與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化過程，探討解決問題的思路和方法。

一、彈簧類問題——通過彈力做功儲(chǔ)存與釋放彈性勢(shì)能

【問題1】如圖1所示，在光滑水平地面上有一質(zhì)量為m的木塊A，靠在豎直墻壁上，用一輕質(zhì)彈簧與質(zhì)量為2m的物體B相連?，F(xiàn)用力向左推B，使彈簧壓縮至最短時(shí)，外力對(duì)B做的功為W，然后突然釋放。

圖1

(1)分析此后彈簧的彈性勢(shì)能何時(shí)再次達(dá)到最大值；

(2)求木塊A所獲得的最大速度和最小速度。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈力做功與彈性勢(shì)能變化進(jìn)行分析。

1.外力向左推物體B的過程(儲(chǔ)存勢(shì)能)：外力推B壓縮彈簧，克服彈力做功，將外力做的功轉(zhuǎn)化為能量儲(chǔ)存在彈簧中，彈簧獲得彈性勢(shì)能E0=W；

3.物塊B和彈簧拉著物塊A向右運(yùn)動(dòng)，彈簧伸長。動(dòng)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能，當(dāng)vA=vB時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能最大。(儲(chǔ)存彈性勢(shì)能)。彈簧第一次被拉伸至最長時(shí)，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

2mvB0=(2m+m)v

4.當(dāng)彈簧的長度大于原長時(shí)，A受到彈簧的拉力作用，始終被加速；當(dāng)彈簧長度小于原長時(shí)，A受到彈簧的推力作用，始終被減速。A獲得最大速度和最小速度出現(xiàn)在其加速和減速過程結(jié)束的時(shí)刻，即彈簧處于原長時(shí)，此時(shí)Ep=0，彈性勢(shì)能釋放完畢，全部轉(zhuǎn)化為動(dòng)能，由動(dòng)量守恒定律和機(jī)械能守恒定律得

2mvB0=mvA+2mvB

從以上過程分析，不難發(fā)現(xiàn)解決彈簧類的動(dòng)量和能量問題，抓住彈性勢(shì)能的變化過程，是解題的關(guān)鍵。

圖2

(1)求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大??；

(2)求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈性勢(shì)能與其他能量的轉(zhuǎn)化

1.小物塊P從C下滑第一次到達(dá)B，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，由功能關(guān)系可知

2.從B到E的過程，動(dòng)能和重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能和內(nèi)能(儲(chǔ)存勢(shì)能)，設(shè)E與B距離為x，則

3.從E到B的過程，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能、重力勢(shì)能和內(nèi)能(釋放勢(shì)能)，則

從B到F由功能關(guān)系可知

從以上過程分析，不難發(fā)現(xiàn)抓住彈性勢(shì)能與動(dòng)能、重力勢(shì)能和內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化過程，是解題的關(guān)鍵。

【變式2】輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l，現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖3所示，物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。

圖3

(1)若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；

(2)若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。

【分析與解答】

過程分析：抓住彈性勢(shì)能與其他能量的轉(zhuǎn)化。

1.通過重力做功儲(chǔ)存彈性勢(shì)能：豎直放置時(shí)，重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為Ep彈，由機(jī)械能守恒得5mgl=Ep，此時(shí)彈簧長度為l；水平放置時(shí)用外力推至彈簧長度為l，彈性勢(shì)能也為Ep。

2.彈簧將彈性勢(shì)能釋放后，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，由能量守恒定律可知Ep=EkB+Q

3.從B運(yùn)動(dòng)至D過程中動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，由動(dòng)能定理可知

此后，物體做平拋運(yùn)動(dòng)可知

4.假設(shè)物塊質(zhì)量為m′，彈簧從相同長度釋放，彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為動(dòng)能和內(nèi)能，則

若要滑上圓弧還能沿圓弧滑下，則最高不能超過C點(diǎn)此時(shí)假設(shè)恰好到達(dá)C點(diǎn)，則根據(jù)能量守恒定律可知

5mgl=μm′g·4l+m′gl

【解題思路】通過上述分析過程，不難發(fā)現(xiàn)彈簧類問題，始終“抓住”彈性勢(shì)能的儲(chǔ)存和釋放過程，弄清楚彈性勢(shì)能與其他形式能量之間的轉(zhuǎn)化問題。

解題方法可歸納為：釋放彈簧或壓縮彈簧過程——能量守恒；圓弧上轉(zhuǎn)動(dòng)過程——?jiǎng)幽芏ɡ?；平拋過程——運(yùn)動(dòng)的分解：彈簧拉或彈開物塊過程——?jiǎng)恿渴睾恪?/p>

二、相對(duì)滑坡問題——“分析”重力勢(shì)能與動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化

【問題2】在光滑水平地面上放有一質(zhì)量為M帶光滑弧形槽的小車，一個(gè)質(zhì)量為m的小鐵塊以速度v0沿水平槽口滑去，如圖4所示，求：

圖4

(1)鐵塊能滑至弧形槽內(nèi)的最大高度；(小車上滑槽足夠高)

(2)小車的最大速度；

(3)若M=m，則鐵塊從右端脫離小車后將做什么運(yùn)動(dòng)？

【分析與解答】

過程分析：抓住重力勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化。

1.鐵塊滑至最高處時(shí)，有共同速度v(相互作用過程，水平動(dòng)量守恒)

mv0=(M+m)v

2.滑塊滑上弧面最高位置，滑塊的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能

3.鐵塊從小車右端滑離小車時(shí)，小車的速度最大為v1，此時(shí)鐵塊速度為v2，相互作用過程水平動(dòng)量守恒，則

mv0=Mv1+mv2

4.滑塊從最高處下滑過程，滑塊的重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的動(dòng)能，則

當(dāng)M=m時(shí)，解得v2=0，因鐵塊滑離小車后只受重力，所以做自由落體運(yùn)動(dòng)。

【變式3】上題中，若車上滑槽不夠高，且滑槽上端是豎直面，求滑塊離開小車后上升的最大高度h。

【分析與解答】

過程分析：始終抓住重力勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化。

滑塊離開小車時(shí)，水平速度與小車相同，設(shè)為v3；滑塊離開小車后，僅受重力作用，故水平速度不變，當(dāng)滑塊的豎直速度減小為零時(shí)，滑塊到達(dá)最高點(diǎn)，設(shè)滑塊該過程上升的高度為h。

1.相互作用過程中，水平方向動(dòng)量守恒，則

mv0=(M+m)v3

2.滑塊從滑上小車，直到滑塊到達(dá)最高點(diǎn)的過程中，動(dòng)能轉(zhuǎn)化為重力勢(shì)能，則

【解題思路】解決物塊與小車“相對(duì)滑坡”的問題，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1)重力勢(shì)能與系統(tǒng)動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化(或許由其他形式能量)；(2)當(dāng)滑塊不再相對(duì)小車滑動(dòng)時(shí)共速，滑塊在小車上到達(dá)最高點(diǎn)(滑塊不脫離小車)；(3)若滑塊滑上光滑小車后又滑回小車底端，重力勢(shì)能沒有變化，初、末動(dòng)能相等。

三、板塊類問題——“聚焦”摩擦生熱與系統(tǒng)動(dòng)能之間的變化關(guān)系

【問題3】如圖5所示，質(zhì)量M=3.5 kg的小車靜止于光滑水平面上靠近桌子處，其上表面與水平桌面相平，小車長L=1.2 m，其左端放有一質(zhì)量為0.5 kg的滑塊Q。水平放置的輕彈簧左端固定，質(zhì)量為1 kg的小物塊P置于桌面上的A點(diǎn)并與彈簧的右端接觸。此時(shí)彈簧處于原長，現(xiàn)用水平向左的推力將P緩慢推至B點(diǎn)(彈簧仍在彈性限度內(nèi))時(shí)，推力做的功為WF=6 J，撤去推力后，P沿桌面滑到小車上并與Q相碰，最后Q停在小車的右端，P停在距小車左端0.5 m處，已知AB間距L1=5 cm，A點(diǎn)離桌子邊沿C點(diǎn)距離L2=90 cm，P與桌面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.4，P、Q與小車表面間動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.1，P、Q均視為質(zhì)點(diǎn)(重力加速度g取10 m/s2)求：

圖5

(1)P到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度vC；

(2)P與Q碰撞后瞬間Q的速度大小。

【分析與解答】

過程分析，始終聚焦：FfΔs=Q(Q是板塊的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來)。

解得vC=2 m/s

2.設(shè)P、Q碰后速度分別為v1、v2，小車最后速度為v，相互作用過程中動(dòng)量守恒，則

m1vC=m1v1+m2v2，m1vC=(m1+m2+M)v

3.碰后P、Q的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)最終的動(dòng)能和系統(tǒng)摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，由能量守恒定律得

(聚焦關(guān)鍵點(diǎn)：滑塊Q與小車的相對(duì)路程是L，P與小車的相對(duì)路程是s)

圖6

(1)A、B最后速度的大??；

(2)鐵塊A與小車B之間的動(dòng)摩擦因數(shù)；

(3)鐵塊A與小車B的擋板相碰撞前后小車B的速度，并在圖7坐標(biāo)中畫出A、B相對(duì)滑動(dòng)過程中小車B相對(duì)地面的v-t圖線。

圖7

【分析與解答】

過程分析，始終聚焦：FfΔs=Q(Q是板塊的動(dòng)能轉(zhuǎn)化而來)。

1.對(duì)A、B系統(tǒng)，相互作用過程中動(dòng)量守恒，則

mv0=(M+m)v

2.在相對(duì)滑動(dòng)過程中，系統(tǒng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為摩擦產(chǎn)生的內(nèi)能，該過程物塊相對(duì)小車走過的路程為1.5L，由功能關(guān)系可知

3.設(shè)A、B碰撞前速度分別為v10和v20，相互作用過程動(dòng)量守恒，則mv0=mv10+Mv20

4.A從滑上小車，到與擋板碰撞過程，相對(duì)路程為L，該過程系統(tǒng)動(dòng)能轉(zhuǎn)化為內(nèi)能

5.求滑塊的速度與時(shí)間變化關(guān)系的問題，要應(yīng)用牛頓運(yùn)動(dòng)定律，該過程小車B做勻加速運(yùn)動(dòng)有

6.A、B相碰，設(shè)A、B碰后A的速度為v1和v2，相互作用過程中動(dòng)量守恒mv0=mv1+Mv2

7.由系統(tǒng)機(jī)械能守恒可知

該過程小車B做勻減速運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律可知

-μmg=MaM

到最終相對(duì)靜止v=v2+aMt2，t2=0.433 s

故運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間為t=t1+t2=0.75 s

小車B的v-t圖如圖8所示。

圖8

【解題思路】通過上述分析過程，不難發(fā)現(xiàn)板塊類問題，始終“聚焦”系統(tǒng)克服摩擦力做的功等于系統(tǒng)的發(fā)熱量即FfΔs=Q，清楚板塊的動(dòng)能與內(nèi)能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，便可求解。

解題方法可歸納為：系統(tǒng)動(dòng)能的減少量等于摩擦生熱(摩擦力與相對(duì)路程的乘積，找到相對(duì)路程是關(guān)鍵)——功能關(guān)系；板塊相互作用過程——?jiǎng)恿渴睾?；板塊運(yùn)動(dòng)速度和時(shí)間的關(guān)系——分別用牛頓第二定律結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解。

四、電荷、導(dǎo)體的相對(duì)運(yùn)動(dòng)——“尋找”其他形式的功能關(guān)系

【問題4】如圖9所示，在傾角為θ的斜面上有一輛小車，車的底板絕緣，金屬板A、B、C等大、正對(duì)、垂直地安放在車的底板上，它們之間依次相距L，A、B板上各有一等高、正對(duì)的小孔，A與B、B與C之間反向連有電動(dòng)勢(shì)各為E1、E2的直流電源。小車總質(zhì)量為M，正以速度v0勻速下滑，此時(shí)有一帶負(fù)電的小球正以速度v(v

圖9

(1)小球在A、B板間的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；

(2)要使小球剛好打到C板上，E1、E2的大小有何關(guān)系？

【分析與解答】

過程分析：小球與小車通過電場(chǎng)力相互作用過程中，電場(chǎng)力做功與系統(tǒng)電勢(shì)能的關(guān)系、機(jī)械能與電勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化關(guān)系，是解題的關(guān)鍵。

又由于u=v+at

2.小球由A至C先做勻加速運(yùn)動(dòng)，后做勻減速運(yùn)動(dòng)。設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到C之前與小車有相同的速度v′。小球與小車相互作用過程中動(dòng)量守恒，則Mv0-mv=(m+M)v′

3.由小車原來勻速運(yùn)動(dòng)知，減少的重力勢(shì)能恰好等于克服滑動(dòng)摩擦力做的功。小球與車通過電場(chǎng)力相互作用，小球克服電場(chǎng)力做功大小為qE2，電場(chǎng)力對(duì)小球做的正功為qE1，則系統(tǒng)的電勢(shì)能增量為qE2-qE1

根據(jù)能量轉(zhuǎn)化及守恒可知

聯(lián)立以上各式解得滿足題意的條件是

【解題關(guān)鍵】抓住系統(tǒng)通過電場(chǎng)力相互作用的過程中，電場(chǎng)力做功與電勢(shì)能變化的關(guān)系以及電勢(shì)能與動(dòng)能的轉(zhuǎn)化關(guān)系為解題的關(guān)鍵。

【問題5】如圖10所示，空間存在著一個(gè)范圍足夠大的豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，邊長為L的正方形金屬框abcd(下簡(jiǎn)稱方框)放在光滑的水平地面上，其外側(cè)套著一個(gè)與方框邊長相同的U型金屬框架MNPQ(下簡(jiǎn)稱U型框)，U型框與方框之間接觸良好且無摩擦。兩個(gè)金屬框每條邊的質(zhì)量均為m，每條邊的電阻均為r。給U型框垂直NP邊向右的初速度v0，如果U型框恰好不能與方框分離，則在這一過程中兩框架上產(chǎn)生的總熱量為多少？

圖10

圖11

【分析與解答】

過程分析：始終抓住通電導(dǎo)線在克服安培力做功的過程中，克服安培力做的功等于系統(tǒng)的焦耳熱。即系統(tǒng)焦耳熱與系統(tǒng)動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系。

方框(U型框)每條邊的質(zhì)量為m，則U型框﹑方框的質(zhì)量分別為3m和4m。又設(shè)U型框恰好不與方框分離時(shí)的速度為v，此過程中產(chǎn)生的總熱量為Q，由動(dòng)量守恒定律可知

3mv0=(3m+4m)v(解題關(guān)鍵：相互作用過程中，動(dòng)量守恒)

由能量轉(zhuǎn)化及守恒可知