貴州 楊 勇

機(jī)械能守恒定律是解決動(dòng)力學(xué)的基本定律，是自然界最普遍的一種能量守恒，機(jī)械能守恒的條件幾乎包括了功能關(guān)系的基本原理，機(jī)械能守恒的應(yīng)用是動(dòng)力學(xué)中的重點(diǎn)及難點(diǎn)，是高考考查的重點(diǎn)知識。所以理解和應(yīng)用機(jī)械能守恒定律是高三復(fù)習(xí)的重點(diǎn)知識，由于多個(gè)物體系統(tǒng)的機(jī)械能守恒是多數(shù)學(xué)生在判斷和計(jì)算上容易出錯(cuò)的問題，所以本文將從多個(gè)物體組成的系統(tǒng)進(jìn)行分析機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。

一、利用重心分析系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

【例1】如圖1所示，AB為光滑的水平面，BC是傾角為θ的足夠長的光滑斜面，斜面體固定不動(dòng)，AB、BC間用一小段光滑圓弧軌道相連，一條長為L的均勻柔軟鏈條開始是靜止地放在ABC表面上，其一端D至B的距離為L-a，現(xiàn)自由釋放鏈條，求當(dāng)鏈條的D端滑到B點(diǎn)時(shí)鏈條的速率v。

圖1

【評價(jià)】本題是考查學(xué)生對質(zhì)量分布均勻的鏈條問題的處理，通常此類問題在考試中都以系統(tǒng)機(jī)械能守恒的形式出現(xiàn)，主要是考查學(xué)生對機(jī)械能守恒定律的理解和應(yīng)用。但是對于此類問題，由于鏈條不是筆直的，所以在計(jì)算時(shí)，部分學(xué)生會(huì)把鏈條分成兩部分來計(jì)算，這樣鏈條和鏈條之間會(huì)有張力做功，導(dǎo)致計(jì)算錯(cuò)誤，所以在練習(xí)時(shí)一定注意此類問題的系統(tǒng)性。

【變式1】如圖2所示，在傾角為θ的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別為mA和mB的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B兩球質(zhì)量相等，兩球之間用一根長為L的輕桿相連，小球B距水平面的高度為h。兩球從靜止開始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，重力加速度為g。求：當(dāng)A滑到水平面時(shí)的速率vA。

圖2

【解析一】由于A、B兩球可以看成質(zhì)點(diǎn)，小球A、B和輕桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，當(dāng)A、B都滑到水平面上時(shí)，由于有輕桿連接，所以在水平面上時(shí)速度相等，即vA=vB，取水平面為零勢面，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有

【評價(jià)】對于本題的兩種解法，結(jié)果都是一樣的，由于在末狀態(tài)兩小球都到水平面時(shí)，其重心的速度與兩球的速度大小和方向都一致，也就是相對速度為零，所以兩種方法處理最終的結(jié)果都對，但是當(dāng)末狀態(tài)兩小球與重心具有一定的相對速度時(shí)，兩種解法不一定相等，這涉及質(zhì)心(即質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量中心)運(yùn)動(dòng)規(guī)律。所以在高考復(fù)習(xí)中對于此類模型的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，處理方法一般都用“解析一”的方式求解。

二、利用質(zhì)心參考系分析系統(tǒng)機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用

在高中階段，我們所遇到的大部分質(zhì)點(diǎn)系模型的運(yùn)動(dòng)大多數(shù)是平動(dòng)，所以我們在選擇相應(yīng)的處理辦法時(shí)不需要考慮更多的因素，但是偶爾會(huì)遇到有轉(zhuǎn)動(dòng)的情形，所以若用等效重心的方法處理會(huì)遇到一些麻煩，下面通過幾個(gè)實(shí)例來分析等效重心處理質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)機(jī)械能守恒時(shí)遇到的一些情況。

【例2】如圖3所示，在長為L的剛性輕桿的中點(diǎn)A和端點(diǎn)B處各固定一質(zhì)量為m可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，桿可繞軸O無摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)，求：當(dāng)桿從水平位置無初速度釋放轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，小球B的速度大小。

圖3

【解析一】以小球A、B和輕桿組成的系統(tǒng)為研究對象，在擺動(dòng)的過程中，由于輕桿不會(huì)發(fā)生形變，所以剛性輕桿不儲(chǔ)存能量，整個(gè)過程中只有重力對系統(tǒng)做功，因此在輕桿擺動(dòng)的過程中，只有重力勢能和動(dòng)能之間的轉(zhuǎn)化，因此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。擺動(dòng)過程，兩小球做圓周運(yùn)動(dòng)，A、B的角速度ω相等，取最低點(diǎn)為參考面，即重力勢能為零，由系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律得

【評價(jià)】此解法是我們在教學(xué)以及做題時(shí)通常應(yīng)用的方法，也是高中教輔資料所給出的解析方法，由于在高中階段，我們所掌握的物理方法較少，所以一般情況下，處理此類問題都用以上的辦法，但是由于受到均勻鏈條類似問題的影響和題型，有的同學(xué)為了方便、簡單，會(huì)選擇用重心的方法處理，下面來分析利用重心方法處理是否可以得到相同的結(jié)果。

因此可以得到相同的結(jié)果。

【變式2】質(zhì)量都為m的兩個(gè)小球P和Q，中間用輕質(zhì)桿固定連接，桿長為3L，在離P球L處有一個(gè)光滑固定軸O，如圖4所示，現(xiàn)在把桿置于水平位置后自由釋放，在Q球順時(shí)針擺動(dòng)到最低位置時(shí)，求：小球Q的速度大小。

圖4

【解析一】由于小球P和Q與桿組成的系統(tǒng)只有重力做功，所以機(jī)械能守恒，小球Q的重力勢能減少，轉(zhuǎn)化成小球P的動(dòng)能和重力勢能以及小球Q的動(dòng)能，小球Q到達(dá)的最低點(diǎn)為參考面，由機(jī)械能守恒定律得

由于P、Q繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度相等，設(shè)角速度為ω，則

vQ=ω2L，vP=ωL

【解析二】找小球P和Q的質(zhì)心(質(zhì)量的中心)，由于兩小球質(zhì)量相等，則質(zhì)心在P、Q連線上中點(diǎn)處，選擇Q到達(dá)的最低點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)柯尼希定理得

【評價(jià)】通過以上對兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成系統(tǒng)機(jī)械能的兩種計(jì)算方法的對比，發(fā)現(xiàn)求解此類質(zhì)點(diǎn)組系統(tǒng)機(jī)械能守恒問題時(shí)，可以通過求解單個(gè)質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能的變化，最后把所有的質(zhì)點(diǎn)的機(jī)械能變化關(guān)系求和即可，也可以用質(zhì)心問題進(jìn)行求解，但是用質(zhì)心問題時(shí)要注意質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)能表示形式，其滿足柯尼希定理。在高中階段，我們所研究的基本是單個(gè)質(zhì)點(diǎn)，偶爾也遇到多質(zhì)點(diǎn)組系統(tǒng)，但是大多數(shù)的是平動(dòng)，所以用單個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對基本參考系計(jì)算機(jī)械能守恒和用質(zhì)心參考系(高中常表示為重心)計(jì)算是一樣的，因?yàn)楦髻|(zhì)點(diǎn)組相對于質(zhì)心參考系速度為零。但是若果遇到像均質(zhì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)等問題，應(yīng)用高中常表示的找重心的方法計(jì)算就會(huì)得到錯(cuò)誤的答案，因此我們應(yīng)用微元等相應(yīng)的方法解決。

三、利用微元法計(jì)算均質(zhì)桿轉(zhuǎn)動(dòng)的機(jī)械能守恒

在高中階段微元法的應(yīng)用比較多，比如均質(zhì)的細(xì)桿其質(zhì)量可以看成是很多質(zhì)量元Δmi的疊加，則m=∑Δmi，下面應(yīng)用微元法處理均質(zhì)桿類型的機(jī)械能守恒問題。

【例3】如圖5所示，質(zhì)量為m的均勻細(xì)桿OA，長度為L，從水平位置釋放，可繞O點(diǎn)做無摩擦地轉(zhuǎn)動(dòng)，求：當(dāng)轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，A端的速度大小。

圖5

【解析一】對于均勻桿，我們可以看成是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)，在桿擺動(dòng)過程中，由于各質(zhì)點(diǎn)的速度不一樣，則不能用質(zhì)心來代替該桿，我們可以把質(zhì)量為m的桿分n等份，Δm1，Δm2，Δm3……Δmn每一等份可以看成一個(gè)質(zhì)點(diǎn)，利用各質(zhì)點(diǎn)相對基本參考系的機(jī)械能守恒得

由于vi=ωli，則

若直接應(yīng)用重心的方式進(jìn)行計(jì)算，則得到的答案必然是錯(cuò)的。

【解析二】如果取重心，則應(yīng)用柯尼希定理得

【評價(jià)】對于均勻細(xì)桿此類型的問題，在高中階段大多數(shù)是平動(dòng)的，學(xué)生在處理的時(shí)候有時(shí)會(huì)想到用重心的方法來簡單處理，答案也是對的。但是在教學(xué)的過程中，我們要讓學(xué)生知道，等效重力解決問題的條件性，不要把所有模型都統(tǒng)一用同一種解題方式，這樣對學(xué)生追求物理規(guī)律和科學(xué)處理問題的方法存在限制。在教學(xué)中，尤其是具有一定數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的高中生，我們要盡可能地讓學(xué)生掌握更多的用數(shù)學(xué)知識處理物理問題的方法，不要禁固于公式的套用，這樣會(huì)失去學(xué)習(xí)物理的意義。