邵邦武

摘 ? ?要：現(xiàn)行的初中物理教材中有眾多的物理概念都是用比值定義法來定義的。然而，教材中并沒有明確闡釋比值定義法的本質，造成物理概念的量度公式被符號形式化，忽視了物理量背后的本質屬性。文章以數(shù)形結合的方式，將抽象思維與形象思維相結合，通過實例分析比值定義的本質特征，讓學生理解比值定義的內涵，感悟定義新物理量的方法，提升科學素養(yǎng)。

關鍵詞：比值定義;數(shù)形結合;教學設計;案例分析

中圖分類號：G633.7 文獻標識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）10-0028-5

1 ? ?比值定義法的重要性

初二學生自開始學習物理后，就逐漸在認識物理世界，在這過程中除了要觀察、了解各種物理現(xiàn)象，還會遇到許多物理概念，只有真正地理解這些概念才稱得上“認識”物理。在諸多物理概念中有相當一部分是用比值定義法得出的，比如速度、密度、功率、效率、比熱容、熱值、電流、電阻等。所謂比值定義法，就是用兩個或多個基本物理量的“比”來定義一個新物理量的方法。比值定義法的基本特點是被定義的物理量往往反映的是物質本質的屬性，它不隨參與定義的物理量大小改變而改變[1]。

2 ? ?理解比值定義的困難所在

比值定義法在眾多物理概念的定義中占有重要的地位。然而，現(xiàn)行的初中物理教材沒有專門的章節(jié)來介紹比值定義方面的內容，也沒有明確說明為何要進行比值定義，其本質意義何在？這給學生的學習造成許多困惑，也給教師的教學帶來困難。用比值定義法建立物理概念時，如果沒有搞清概念表達的屬性，沒有從量度公式中理解它們的物理過程及物理符號的真實含義，就容易使得這些量度公式被符號形式化，忽視了物理量的豐富內容，導致學生死記硬背和亂用。因此，教學中需要采用有效的教學方式對比值定義進行較為全面、深入的分析，這對后續(xù)學習物理是非常有益的。通過實踐探索發(fā)現(xiàn)，用數(shù)形結合的方法可以有效攻克難點，體現(xiàn)其獨到的教學優(yōu)勢。

3 ? ?數(shù)形結合的應用優(yōu)勢

數(shù)形結合就是把抽象的數(shù)學語言、數(shù)量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來，將原本需要通過抽象思維解決的問題，借助形象思維就能夠解決，有利于抽象思維和形象思維的協(xié)調發(fā)展，同時優(yōu)化解決問題的方法[2]。正是基于這種處理問題的方法，在初中物理課堂中嘗試采用數(shù)形結合的方法進行比值定義的教學，目的就是要將比值所表征的抽象本質通過直觀的圖像呈現(xiàn)出來，降低學生的理解難度，直達本質內涵。

4 ? ?數(shù)形結合認識比值定義的教學設計

初中學生認識物理世界是從運動開始的，所以我們的教學設計從速度概念的建立開始，利用數(shù)形結合從比值定義法中找到規(guī)律，認識本質特征，并能依此嘗試定義新物理量。

4.1 ? ?教學目標

（1）掌握數(shù)形結合的思維方法，明白圖像所蘊含的物理意義;

（2）理解比值定義的內涵，會用比值法來定義新物理量。

4.2 ? ?教學思路

（1）初步感受。通過講授勻速直線運動中速度的概念，讓學生體驗如何通過數(shù)形結合的方法進行比值定義。

（2）進階訓練。通過觀察自由落體運動現(xiàn)象，根據(jù)時間、位移和速度的相關數(shù)據(jù)，描繪出v-t圖像，嘗試用比值定義的方法定義重力加速度。

（3）實戰(zhàn)應用。通過探究彈簧所受彈力與伸長量關系的實驗，讓學生自行從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并定義出新的物理量——勁度系數(shù)。

4.3 ? ?新課引入

情境創(chuàng)設：小敏1歲時身高為50 cm，3歲時身高增了20 cm ，5歲時又長了20 cm ，到了7歲時身高已達120 cm。

提問：描述小敏的身高變化。

換成圖像來表達這個信息，看看有何不同？（圖1）

設計意圖：在新課教學前讓學生先體會“數(shù)”與“形”，從中感受圖像比語言表達的信息更加直觀形象，能夠更清晰地反映事物的本質特征和預測事物發(fā)展的趨勢。圖像其實是“數(shù)”和“形”的有機結合體。“形”就是“圖線”，“數(shù)”就是其中所蘊含的數(shù)學表達式，數(shù)形結合能夠揭示數(shù)據(jù)背后用語言無法完整表達的基本形態(tài)和發(fā)展趨勢。所以，采用數(shù)形結合的方法來研究物理問題有重要的意義。

4.4 ? ?新課教學

4.4.1 ? ?數(shù)形結合初識比值定義法

情境創(chuàng)設：一輛小汽車在平直公路勻速行駛，研究者從某一時刻起每10 s對它進行一次定位，記錄的數(shù)據(jù)見表1。

（1）分析表格中的數(shù)據(jù)，找出其中隱含的“不變量”——恒量。通過分析數(shù)據(jù)，找出路程與時間的比值是一個不變量。但這個恒量仍比較抽象，表征的意義也不夠直觀。

（2）用描點法作出小汽車的s-t關系圖像，并從中找出規(guī)律，如圖2所示。

從圖像中可以發(fā)現(xiàn)，路程以一種固定的趨勢隨時間變化，表現(xiàn)為圖像的斜率不變，因此斜率就是我們要找的“不變量”，它表征小汽車運動快慢不變的本質特征，且不隨路程和時間的改變而改變。在s-t圖中斜率是路程與時間的“比值”，這個“比值”有特定的物理意義，在這里人們把它定義為“速度”。

從以上兩種方式中提煉出共同的做法：用比的方法來找“不變量”，從而提出比值定義法。最后，抽象概括出此比值為反映事物本質屬性的一個新的物理量，與定義式里的物理量并沒有關系，是一個不變量。

設計意圖：運用“數(shù)”與“形”的結合，將抽象的物理知識具象到數(shù)字與圖形中，更加有利于學生去理解。相對于數(shù)據(jù)，圖像對于情境的描述更加直觀，更容易觀察到數(shù)據(jù)的變化規(guī)律，找出本質特征。因此，用數(shù)形結合的方式進行比值定義的教學，可以讓比值代表的內涵更具體化和顯性化，有助于對物理量本質的理解。

4.4.2 ? ?數(shù)形結合進行比值定義的思維過程

不管是用“數(shù)”還是“形”進行比值定義物理量時，都是尋求一個“不變量”，在尋找這個“不變量”時有兩種思維方式，如圖3所示。一種是抽象思維，另一種是形象思維。數(shù)形結合，一方面是將抽象思維和形象思維協(xié)調發(fā)展，將原本需要通過抽象思維解決的問題，借助形象思維進行顯性化處理，優(yōu)化了解決問題的方法。另一方面，通過數(shù)形結合的方法對物理情境進行分析，促進學生從感性認知上升到理性認知，學會利用科學方法獲得新知識，并且能夠以文字或公式的形式定義新知識。這兩種思維方式相輔相成，相得益彰。

4.4.3 ? ?進階嘗試：數(shù)形結合定義重力加速度

情境：據(jù)記載，1590年出生在比薩城的意大利物理學家伽利略，曾在比薩斜塔上做自由落體實驗，他將一個重10磅、一個重1磅的鐵球從相同的高度同時扔下，結果兩個鐵球同時落地，由此發(fā)現(xiàn)了自由落體定律。后來人們將羽毛和蘋果放在真空管中做實驗，發(fā)現(xiàn)它們同時落地。

提問：是什么力使得鐵球下落？不同鐵球都能同時落地，說明它們存在“共性”，能否給這個“共性”下個定義？

通過頻閃照相機記錄得到一個蘋果做自由落體運動時的相關數(shù)據(jù)，見表2。

分析數(shù)據(jù)作出v-t圖像，找出不變量，并嘗試進行定義。在v-t圖像中可直觀得出線性圖線，其斜率為9.8 m/s2（如圖4所示），因此速度與時間的“比值”應該就是能反映自由落體運動共性特征的一個物理量，人們把它定義為重力加速度，用g表示，即g=v/t。所有物體在做自由落體運動時所獲得的重力加速度都是一樣的，與質量大小無關。

設計意圖：重力加速度對初中生來說是個全新的物理量，雖然之前沒有見過，但通過數(shù)形結合畫出的v-t圖像與前面勻速直線運動的s-t圖像特征相似，通過思維遷移，不難發(fā)現(xiàn)該線性圖像的斜率也是不變的，同時也代表一個物理量。由此，讓學生感受到利用數(shù)形結合的方法可以更直觀地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，自己也能夠輕易地用“比值”來定義新物理量，從而加深對比值定義的理解，感悟它的本質內涵。

4.4.4 ? ?實戰(zhàn)演練：數(shù)形結合定義“新”物理量——彈簧的勁度系數(shù)

探究“彈簧伸長量與彈力的關系”時，讓學生觀察實驗現(xiàn)象，發(fā)現(xiàn)規(guī)律并自行定義彈簧的勁度系數(shù)。如圖5所示，在一塊展示板（板面貼一張方格紙）上掛5根一樣的彈簧，第一根不掛鉤碼，原長7 cm ，后面4根分別掛上1至4個鉤碼，當彈簧靜止時標記彈簧末端的位置，用刻度尺測量彈簧的長度，記錄數(shù)據(jù)（見表3）。

直接看表格中的數(shù)據(jù)，簡單地將，并不能得出不變量。于是，把實驗展板上的鉤碼取下，將展板白紙上彈簧末端的標記點連接起來，發(fā)現(xiàn)正好是一條直線，將展板旋轉90°，再畫上橫坐標（長度L）和縱坐標（拉力F），如圖6所示，可以看出線性關系。不過在求斜率時發(fā)現(xiàn)自變量不能是彈簧總長L，而應該選取伸長量Δx（Δx=L-L0），因此求出斜率k=，也就找出了不變量。如前面的s-t圖像一樣，意味著這條直線的斜率代表一個物理量，我們可以給它下一個定義：在彈性限度內，彈性體彈力的大小跟彈性體伸長（或縮短）長度的比值叫做彈性體的勁度系數(shù)。于是，彈力與伸長量的關系就可以寫成F=kx。這個規(guī)律是英國科學家胡克發(fā)現(xiàn)的，因此稱為胡克定律。為了證實這一定律，并擴大適用范圍，胡克還做了大量實驗，制作了各種材料構成的不同形狀的彈性體，最終發(fā)現(xiàn)都符合這一規(guī)律。

設計意圖：這個實驗的巧妙之處在于4根完全相同的彈簧每次伸長量與所受拉力都能在同一個展板上保留，可以直觀地進行比較。同時，將每根受力伸長的彈簧末端做上標記，取下彈簧和鉤碼后，將各個標記點連接起來，并畫上兩條坐標，就呈現(xiàn)出F-x關系的線性圖，無需另外描點，數(shù)據(jù)真實，圖像直觀，學生一眼就能看出斜率是個定值，它反映的是彈性體的一種屬性，可以用一個新物理量來定義。這也讓學生更加確信，通過數(shù)形結合可以輕松定義出新的物理量，真切感受到數(shù)形結合在物理學習中的獨特優(yōu)勢。

通過以上三個案例分析，可以發(fā)現(xiàn)用數(shù)形結合的方法進行比值定義，可以更直觀地看出參與定義的物理量之間的正比關系，且比值是一個不變的恒量。該比值不隨定義所用的物理量大小的改變而改變，可以抽象概括出此比值為反映事物本質屬性的一個新的物理量。

4.4.5 ? ?比值定義中各物理量之間的關系

為了加深對比值定義的理解，我們還得讓學生知道各個物理量之間的關系。這里有兩組關系：一組是新物理量與參與定義的物理量之間的關系;另一組是參與定義的兩個物理量之間的關系。

新定義的物理量是不變量，從圖像上也可以清楚地看出它不隨定義量的改變而改變，比值定義的物理量與參與定義的物理量之間沒有因果關系[3]。例如，速度是描述物體運動快慢的物理量，它是通過位移與時間的比值來定義，位移是物體位置變化的表現(xiàn)，時間是物體運動持續(xù)性的表現(xiàn)。當物體做勻速直線運動時，位移和時間發(fā)生改變，但速度卻保持不變，這三者雖然有關聯(lián)，但速度與它們沒有因果關系，速度大小的變化是由受力情況決定。

在比值定義的三個量中，比值量是“不變量”，而另外兩個定義量是“變化量”，且它們都是正比的關系。這種根據(jù)“不變量”來研究“變化量”之間的正比關系有很強的應用價值。比如，“綠波帶”行車原理?！熬G波帶”是通過信號燈控制，使汽車在按照建議的速度——“綠波速度”（如圖7所示的指示牌上顯示的時速為50 km～55 km），通過主動調控路口紅綠燈，一路綠燈通行，形成綠色通行波帶。簡單來說，就是根據(jù)兩個路口之間的距離和設計的車速，計算出兩個路口之間的綠燈間隔時間。這里的不變量就是速度v，而變化量是路程s和時間t。如果車輛在上一個路口綠燈后按照設計的車速行駛，那么到達下一個路口的時候剛好也是綠燈，一路綠燈暢通無阻，減少交通延誤。再如，彈簧測力計的工作原理。在彈性限度內彈簧伸長量Δx與所受拉力F成正比，其中不變量是勁度系數(shù)k，變化量是Δx與F，已知Δx就可以得到F。例如，某實驗小組的同學對A、B 兩根長度相同、粗細不同的橡皮筋進行探究，并做成橡皮筋測力計，將橡皮筋的一端固定，另一端懸掛鉤碼（如圖8），記錄橡皮筋受到的拉力大小F 和橡皮筋的伸長量Δx，根據(jù)多組測量數(shù)據(jù)作出的圖像如圖9所示， 將這兩根細橡皮筋并聯(lián)起來代替彈簧測力計，能夠測量力的最大值為22.5 N。

5 ? ?總 ?結

用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀兩者有機結合的方法認識比值定義，一方面能將抽象內涵具體化，更好地揭示所定義概念的本質屬性。另一方面通過數(shù)形結合，讓學生的抽象思維和形象思維得到整合訓練，在變與不變的辯證研究中加深對概念內涵和外延的理解，感悟定義新物理量的方法，在學習中不斷提升科學素養(yǎng)。

參考文獻：

[1]王愛生，佟巖.初中教科書中引入比值法定義物理概念的思考與實踐[J].物理教師，2007，28（3）：26-27.

[2]張桂峰.數(shù)形結合思想在初中數(shù)學教學中的應用[J].考試（中考版）， 2012（9）：42-44.

[3]鄭淵方.比值定義物理量的思維本質及教學啟示[J].物理教師，2015，36（4）：34-37.

（欄目編輯 ? ?鄧 ? 磊）