過(guò)心麗

[摘? 要] 數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，是指對(duì)具體形象的事物進(jìn)行觀察操作、歸納猜想、表達(dá)驗(yàn)證后獲得的一種經(jīng)驗(yàn). 文章借助“勾股定理及其驗(yàn)證”，從喚醒、感悟、運(yùn)用、升華四個(gè)方面闡述了積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法.

[關(guān)鍵詞] 親自操作;活動(dòng)經(jīng)驗(yàn);思維發(fā)展

在傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，學(xué)生較少主動(dòng)參與到知識(shí)形成的過(guò)程中去，不能深入理解知識(shí)，更不用說(shuō)靈活運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題了. 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將課程總目標(biāo)從“雙基”教學(xué)修改為“四基”教學(xué)，即基本知識(shí)、基本技能、基本思想、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)方式的變革和學(xué)生的主體性地位，教師只是學(xué)生學(xué)習(xí)的組織者和引導(dǎo)者，學(xué)生在課堂上獲得了主動(dòng)發(fā)現(xiàn)、探索、研究、總結(jié)的空間. 學(xué)生要適應(yīng)這種更為靈活的課堂，就必須積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，這也是三維目標(biāo)中的過(guò)程與方法目標(biāo)所要求的. 那什么是基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)兀?/p>

數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)是指，學(xué)生通過(guò)對(duì)具體、形象的事物進(jìn)行一定的觀察操作、歸納猜想、表達(dá)、驗(yàn)證或證明，所獲得的一種經(jīng)驗(yàn). 由于數(shù)學(xué)的學(xué)科特色，有些知識(shí)無(wú)法通過(guò)傳遞訓(xùn)練直接得到，因此數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)必須通過(guò)學(xué)生的親身經(jīng)歷和感悟得到，是學(xué)生通過(guò)經(jīng)歷、感悟數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理后積淀出的一種思維模式，繼而建立一定的數(shù)學(xué)直觀，甚至達(dá)到更高的層次——形成數(shù)學(xué)的直覺(jué). 學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不僅是動(dòng)手實(shí)踐得到的經(jīng)驗(yàn)，還是大腦實(shí)踐后得到的數(shù)學(xué)思維經(jīng)驗(yàn).

只有通過(guò)長(zhǎng)期積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的過(guò)程，才能幫助學(xué)生形成數(shù)學(xué)直觀，才更易于學(xué)生理解、掌握和運(yùn)用，才更有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力，從而使學(xué)生領(lǐng)悟?qū)W習(xí)技巧. 筆者借助勾股定理及其驗(yàn)證，開(kāi)展了關(guān)于學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的一次教學(xué)探索.

結(jié)合實(shí)際生活經(jīng)驗(yàn)，喚醒已有

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，滲透在我們生活的方方面面，其在生活中的應(yīng)用更是數(shù)不勝數(shù). 學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，一方面來(lái)自之前數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的不斷積累，層層深入積淀;另一方面來(lái)自實(shí)際生活的潛移默化，從而自然而然地獲得一些數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)片段1

師展示PPT：這是古希臘曾經(jīng)發(fā)行的一張郵票（如圖1），其中的圖案證明了一個(gè)非常重要的數(shù)學(xué)定理. 請(qǐng)你計(jì)算圖中三個(gè)正方形的面積，看看能發(fā)現(xiàn)什么.

生：S■+S■=S■.

師：請(qǐng)大家在學(xué)案上的網(wǎng)格中任意畫(huà)一個(gè)直角三角形，然后分別以三條邊為邊向外作三個(gè)正方形，計(jì)算這三個(gè)正方形的面積. 此時(shí)，剛才的結(jié)論還成立嗎？

生投影展示：利用割補(bǔ)法，仍然有S■+S■=S■.

師：如果把直角三角形的兩條直角邊記為a，b，斜邊記為c，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：三個(gè)正方形的面積分別為a2，b2，c2，所以a2+b2=c2.

師：非常棒！通過(guò)剛才的計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，這就是我們今天要學(xué)習(xí)的勾股定理.

設(shè)計(jì)意圖？搖 筆者利用生活中常見(jiàn)的郵票，借由學(xué)生熟悉的網(wǎng)格，激活了學(xué)生已有的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，為后續(xù)積累更高層次的經(jīng)驗(yàn)做鋪墊. 同時(shí)，依托生活中滲透的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和積極性，通過(guò)學(xué)生的親身經(jīng)歷和操作驗(yàn)證，引導(dǎo)他們發(fā)現(xiàn)勾股樹(shù)相關(guān)結(jié)論并歸納得到勾股定理，加深了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握，幫助學(xué)生積累了更深一層的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，同時(shí)激發(fā)了學(xué)生的思維，讓學(xué)生知其然，更知其所以然，為后續(xù)學(xué)習(xí)勾股定理的驗(yàn)證和應(yīng)用做鋪墊.

經(jīng)歷知識(shí)形成過(guò)程，感悟數(shù)學(xué)

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

數(shù)學(xué)問(wèn)題光靠生搬硬套并不能解決. 讓學(xué)生親身經(jīng)歷知識(shí)的形成過(guò)程，可以幫助他們更好地理清思路，了解數(shù)學(xué)知識(shí)之間的結(jié)構(gòu)體系，感悟更深一層的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，從而正確地應(yīng)用相關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題，這是學(xué)生積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的一種有效手段.

教學(xué)片段2

師：請(qǐng)大家以小組為單位，將準(zhǔn)備好的四個(gè)全等的直角三角形紙片拼成一個(gè)正方形，然后用不同的方式計(jì)算正方形的面積，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生展示圖2的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為（a+b）2，再由割補(bǔ)法得其面積為c2+2ab，所以（a+b）2=c2+2ab，化簡(jiǎn)后得a2+b2=c2.

師：還有其他拼法嗎？

生展示圖3的拼法：由正方形的面積公式得大正方形的面積為c2，再由割補(bǔ)法得其面積為（b-a）2+2ab，所以c2=（b-a）2+2ab，化簡(jiǎn)后可得a2+b2=c2.

師：剛才我們借助等積法驗(yàn)證了勾股定理，其實(shí)等積法在直角三角形內(nèi)還有一個(gè)常見(jiàn)的應(yīng)用——請(qǐng)大家思考“如果直角三角形的兩條直角邊AB=6，BC=8，那么斜邊上的高BD為多少”.

生：容易求得直角三角形的斜邊為10，利用等積法可得6×8=10×BD，所以BD=4.8.

師：非常棒！我們初中階段要計(jì)算直角三角形斜邊上的高，就是利用等積法.

設(shè)計(jì)意圖？搖 學(xué)生利用4張全等的直角三角形紙片進(jìn)行拼接，在操作—思考—交流—?dú)w納的過(guò)程中親自驗(yàn)證了勾股定理，對(duì)勾股定理有了更深層次的認(rèn)知. 同時(shí)，學(xué)生在勾股定理的驗(yàn)證過(guò)程中，對(duì)等積法也有了更深入的理解. 筆者順勢(shì)引出等積法的另一個(gè)常見(jiàn)應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生歸納、發(fā)現(xiàn)求直角三角形斜邊上的高就是利用等積法，幫助學(xué)生進(jìn)一步積累了數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，也拓寬了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 學(xué)生由此積淀出關(guān)于等積法的一種初步思維模式，這能為后續(xù)利用等積法解決其他類似問(wèn)題做鋪墊.

觀察問(wèn)題共性特征，運(yùn)用數(shù)學(xué)

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

通過(guò)感悟得到的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，不能只停留在紙上談兵層面，我們還需要培養(yǎng)學(xué)生將其運(yùn)用到有共性的問(wèn)題中的能力. 學(xué)生要能夠在復(fù)雜的條件中判斷出解題的關(guān)鍵點(diǎn)，與已經(jīng)積累的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)相匹配，找到不同問(wèn)題中的共性特征，并遷移已有的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，舉一反三，從而建立起屬于自己的解決問(wèn)題的一套經(jīng)驗(yàn)體系.

教學(xué)片段3

師：已知直角三角形的兩條直角邊AB=5，BC=12，點(diǎn)O是∠BAC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，求點(diǎn)O到AB的距離. 這題如何解決？看到角平分線你有什么想法？

生：過(guò)點(diǎn)O作直角三角形三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)可得OD=OE=OF（如圖4）.

師：那如何求垂線段OD的長(zhǎng)呢？

生：容易求得AC=13. 因?yàn)镾■=S■+S■+S■=■OD（AB+BC+AC）=30，所以O(shè)D=2.

師：更一般地，如果把△ABC的面積記為S，周長(zhǎng)記為C，那OD可以如何表示？

生：OD=■.

師：那如果已知在等腰三角形ABC中，AB=AC=13，BC=10，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，如何求點(diǎn)O到BC的距離？

生：如圖5，過(guò)點(diǎn)O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)得OD=OE=OF，利用等積法同理可得OD=■.

師：等腰三角形的面積怎么求？

生：如圖6，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥BC，垂足為G，則BG=CG=5. 由勾股定理得AG=12，故S■=60，OD=■=■.

師：三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，要求這個(gè)距離，可利用等積法得到OD=■，然后求出三角形的面積和周長(zhǎng)即可.

設(shè)計(jì)意圖 ？搖筆者先將問(wèn)題設(shè)置到直角三角形中，從角平分線的性質(zhì)出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)三角形三條角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，而垂線段放在三角形中可以看作高，所以利用等積法計(jì)算大三角形的面積即可求得這個(gè)距離. 接著將題目背景設(shè)置到等腰三角形中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)兩個(gè)問(wèn)題的共性——同樣利用等積法可以求得這個(gè)距離，關(guān)鍵是作高后結(jié)合“三線合一”求等腰三角形的面積. 學(xué)生通過(guò)對(duì)不同問(wèn)題共性特征的觀察，將感悟到的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行遷移，拓寬了學(xué)生的思維，形成了關(guān)于等積法的更系統(tǒng)的一種思維模式，幫助學(xué)生積累了更加全面的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).

建立數(shù)學(xué)直觀思維，升華數(shù)學(xué)

基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)

積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的最終目的是幫助學(xué)生建立數(shù)學(xué)直觀，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維. 只有通過(guò)長(zhǎng)期對(duì)數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、運(yùn)用和升華，才能從特殊到一般，幫助學(xué)生積淀一種數(shù)學(xué)直觀，甚至形成一定的數(shù)學(xué)直覺(jué)，這樣學(xué)生在面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)就能快速地?fù)駜?yōu)解決.

教學(xué)片段4

師：更一般地，在△ABC中，AB=13，BC=15，AC=14，點(diǎn)O是∠ABC，∠ACB的平分線的交點(diǎn)，求點(diǎn)O到邊AB的距離.

生：過(guò)點(diǎn)O作△ABC三條邊的垂線段OD，OE，OF，由角平分線的性質(zhì)得OD=OE=OF，再利用等積法得OD=■.

師：那如何求這個(gè)任意三角形的面積呢？

生：如圖7，作AC邊上的高BD.

師：如何求BD？

生：設(shè)AD=x，則CD=14-x. 于是可以列出方程132-x2=152-（14-x）2.？搖？搖？搖

師：設(shè)未知數(shù)表示出AD和CD，然后在有公共邊的兩個(gè)直角三角形中借助BD2兩次運(yùn)用勾股定理列方程. 然后呢？

生：解得x=5. 利用勾股定理得BD=12，所以S■=84，OD=■=4.

師：很好！已知任意一個(gè)三角形三條邊的長(zhǎng)，只要作高后利用勾股定理列方程即可求出這個(gè)三角形的面積，再結(jié)合等積法就可以求出這個(gè)三角形的角平分線的交點(diǎn)到一邊的距離了.

設(shè)計(jì)意圖？搖 通過(guò)前面一系列數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的喚醒、感悟和運(yùn)用，學(xué)生的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)上升到一定的抽象高度，獲得了許多有價(jià)值的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 在此基礎(chǔ)上，筆者繼續(xù)將問(wèn)題背景設(shè)置得更為一般，放在普通的三角形內(nèi)讓學(xué)生研究，試圖幫助學(xué)生建立一定的數(shù)學(xué)直觀. 從直角三角形到等腰三角形，再到任意一個(gè)三角形，筆者通過(guò)這三個(gè)運(yùn)用的層層遞進(jìn)，從特殊到一般，發(fā)展學(xué)生的思維，幫助學(xué)生建立起一種數(shù)學(xué)直觀——求三角形角平分線交點(diǎn)到三邊的距離的本質(zhì)就是利用等積法.

結(jié)語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累在現(xiàn)今的數(shù)學(xué)教學(xué)中越來(lái)越重要. 教師作為教學(xué)活動(dòng)的組織者和引導(dǎo)者，要充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性，喚醒已有的數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn). 同時(shí)，在知識(shí)的形成過(guò)程中，引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)歸納推理和演繹推理，幫助學(xué)生進(jìn)一步積累數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用升華，積淀出一種思維模式，形成一定的數(shù)學(xué)直觀.