劉俊潔

[摘? 要] 分類討論思想是數(shù)學(xué)思想的一個分支，它在探究數(shù)學(xué)概念和解決數(shù)學(xué)問題中起著重要的作用. 文章以“圓”的教學(xué)為例，具體闡述了初中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中分類討論思想能力的培養(yǎng)措施.

[關(guān)鍵詞] 圓;初中數(shù)學(xué);分類討論思想

所謂數(shù)學(xué)分類思想，是將數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間的異同點(diǎn)進(jìn)行分類之后再討論的一種思想，具有綜合性、邏輯性以及探索性等特征，又可稱為數(shù)學(xué)邏輯思想. 這種數(shù)學(xué)思想的形成不是一蹴而就的，它需要從學(xué)生的學(xué)習(xí)習(xí)慣及認(rèn)知水平上逐漸滲透，經(jīng)歷一個漫長的過程，形成思想的螺旋式上升，逐漸豐富學(xué)生的內(nèi)涵而達(dá)成.

數(shù)學(xué)分類討論思想的作用

數(shù)學(xué)分類能培養(yǎng)學(xué)生條理性和周密性的思維能力，分類時要確保不能有遺漏或重復(fù);而討論則是學(xué)生觀察數(shù)學(xué)現(xiàn)象與分類情況，探索其中的數(shù)學(xué)規(guī)律和問題. 學(xué)生掌握這種思想方法將會夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力. 這種思想的應(yīng)用能讓一些過于抽象和復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡單化，能幫助學(xué)生更好地解決數(shù)學(xué)問題.

運(yùn)用數(shù)學(xué)分類思想解決數(shù)學(xué)實(shí)際問題時，先要明確哪些數(shù)學(xué)問題需要用這種思想，哪些問題不需要. 不少學(xué)生面對問題的時候，難以判斷問題是不是需要用到分類討論思想方法，更沒辦法從問題呈現(xiàn)的條件與結(jié)論分辨出與分類有關(guān)的位置或數(shù)量關(guān)系. 因此，遇到問題時，能否快速辨認(rèn)是否需要使用數(shù)學(xué)分類討論思想方法是解決實(shí)際問題的關(guān)鍵. 筆者從多年的初中數(shù)學(xué)執(zhí)教經(jīng)驗出發(fā)，以解決“圓”的問題為例，具體談?wù)劵诜诸愑懻撍枷肽芰ε囵B(yǎng)的課堂教學(xué).

以解決“圓”的問題為例

圓，既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形;具有旋轉(zhuǎn)不變性、任意對稱等特殊性. 這些特征給學(xué)生解決問題帶來了一定的難度. 而分類討論的方法正適合解決這種具有多種屬性和復(fù)雜性的數(shù)學(xué)問題. 因此，筆者在解決與圓有關(guān)的問題時滲透分類討論思想，將問題進(jìn)行相應(yīng)的分類與歸納，以幫助學(xué)生更清晰地理清問題，從而更好地解決問題.

1. 直線與圓的位置關(guān)系不唯一

案例1已知直線l上一點(diǎn)P到圓心O的距離為5 cm，⊙O的半徑也是5 cm，試確定直線l與⊙O的位置關(guān)系.

分析?部分學(xué)生誤認(rèn)為圓心O到直線l的距離為OP，將直線l上一點(diǎn)P當(dāng)作垂足，得到直線l與⊙O的位置關(guān)系是相切，從而出現(xiàn)漏解.

解答?（1）當(dāng)OP⊥l時，圓心O到直線l的距離為OP. 因為OP=5，⊙O 的半徑也為5，所以圓心O到直線l的距離等于⊙O的半徑. 所以此時直線l與⊙O相切.

（2）當(dāng)OP與直線l不垂直時，圓心O到直線l的距離小于OP的長，此時直線l與⊙O相交.

綜上可知，直線l與⊙O的位置關(guān)系為相切或相交.

變式直線l上一點(diǎn)P到圓心O的距離是a，⊙O的半徑為r，且a=r，試確定直線l與⊙O的位置關(guān)系.

2. 弦與弦的位置關(guān)系不唯一

案例2?在半徑為1的⊙O中， 弦AB=■，AC=■，求∠BAC的度數(shù).

分析?這道題主要考查勾股定理和垂徑定理，很多學(xué)生只能求出其中一個解. 事實(shí)上，應(yīng)考慮到圓心與兩弦的位置關(guān)系，分弦AB與AC在圓心O的同側(cè)或異側(cè)兩種情況進(jìn)行求解.

解答?過點(diǎn)O分別作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D，E，則AD=BD=■，AE=CE=■. 所以cos∠DAO=■=■，cos∠OAE=■=■. 所以∠DAO=45°，∠OAE=30°. 如圖1，當(dāng)AB與AC在圓心O的兩側(cè)時，∠BAC=∠DAO+∠OAE=75°;當(dāng)AB與AC在圓心O的同側(cè)時，∠BAC=∠DAO-∠OAE=15°. 所以∠BAC為75°或15°.

變式?如圖2，AB是⊙O的直徑，AB=2，弦AC=■，畫弦AD，使AD=1，并求∠CAD的度數(shù).

3. 弦與和它所對的圓周角的不唯一

案例3?已知⊙O的弦AB的長和⊙O的半徑相等，請求出弦AB所對的圓周角的度數(shù).

分析?不少學(xué)生所給的答案只有30°，究其原因，主要是學(xué)生對弦所對的圓周角以及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系沒有完全理解. 一個圓上非直徑的弦所對的弧有優(yōu)弧和劣弧，非直徑的弦所對的圓周角有鈍角和銳角，因此，解題過程中要從優(yōu)弧、劣弧所對的不同的圓周角這一角度來思考.

解答如圖3，連接OA，OB，因為OA=OB=AB，所以△AOB是等邊三角形. 所以∠AOB=60°. 當(dāng)點(diǎn)P在優(yōu)弧AB上時，∠P=■∠AOB=30°;當(dāng)點(diǎn)P在劣弧AB上時，∠P=180°-30°=150°. 所以弦AB所對的圓周角為30°或150°.

變式1?已知O為△ABC的外心，若∠BOC=100°，求∠BAC的度數(shù).

變式2 在半徑為4的⊙O中，弦AB=4■，求弦AB所對的圓周角的度數(shù).

變式3 在⊙O中，弦AB分圓成1∶4兩部分，求弦AB所對的圓周角的度數(shù).

從上面幾個解決圓的問題的例題中可以看出，分類討論思想方法能把一些繁雜的問題變得簡單. 學(xué)生通過這種思想方法，能快速理清解題思路，明晰解題步驟，讓問題變得簡單易懂. 其實(shí)，這種思想方法不僅能用于解決與圓有關(guān)的問題，在初中數(shù)學(xué)幾何、方程、函數(shù)、概率或絕對值等方面也有運(yùn)用. 實(shí)踐證明，這種思想方法能力的培養(yǎng)能幫助學(xué)生更加周密、全面地解決數(shù)學(xué)問題. 因此，教師在教學(xué)過程中，必須從思想上與行動上高度重視分類討論思想的應(yīng)用，要將這種思想貫穿課堂的各個環(huán)節(jié)，讓學(xué)生掌握，并達(dá)到舉一反三、觸類旁通的學(xué)習(xí)成效，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率和數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng).