杜永霞 高 雅 李珊珊

（河套學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)系 內(nèi)蒙古巴彥淖爾 015000）

一、引言

隨著混沌系統(tǒng)研究的不斷發(fā)展，人們提出了各種不同的混沌同步的方法，如驅(qū)動(dòng)響應(yīng)同步、主動(dòng)控制同步、自適應(yīng)同步等，這些方法在理論和實(shí)驗(yàn)上都已經(jīng)有了廣泛的應(yīng)用。但這些理論大多是只研究了整數(shù)階或者分?jǐn)?shù)階的同步問題，而分?jǐn)?shù)階和整數(shù)階間的同步卻發(fā)展的遠(yuǎn)不如整數(shù)階充分。

本文基于追蹤器的思想，利用分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)的穩(wěn)定性理論和主動(dòng)控制方法實(shí)現(xiàn)了整數(shù)階超混沌Rossler系統(tǒng)和分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的同步，理論分析和數(shù)值仿真結(jié)果的一致性表明了同步方法的有效性。

二、系統(tǒng)描述

超混沌Rossler系統(tǒng)的是數(shù)學(xué)模型為：

當(dāng)a=0.25,(b=3,c=0.05,d=0.05時(shí)，系統(tǒng)呈現(xiàn)超混沌現(xiàn)象。

分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為

當(dāng)a1=35,b1=3,c1=12,d1=7,r=0.5,q=0.95時(shí)，此時(shí)系統(tǒng)是超混沌的。

在（3）式中u(x）+U(t）為追蹤控制器，u(x）為補(bǔ)償器，U(t）為控制器。

定義受控系統(tǒng)（3）中的補(bǔ)償器u(x）為

三、主動(dòng)控制同步

定理1：假設(shè)存在關(guān)于e1,e2,e3,e4）函數(shù)的控制輸入信號(hào)V1(t）,V2(t）V3(t）,V4(t），若控制函數(shù)選擇為

則分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)與超混沌Rossler系統(tǒng)漸近同步。

證明 將方程（7）帶入到誤差系統(tǒng)（6），得到如下的誤差系統(tǒng)：

因?yàn)閂(t）=V1(t）,V2(t）V3(t）,V4(t））T是關(guān)于誤差函數(shù) 的控制輸入信號(hào)，即V(t）=Ke

其中K∈R4×4實(shí)常數(shù)矩陣，關(guān)于矩陣K∈R4×4的選取有很多種可能情況。

該式滿足同步條件，故實(shí)現(xiàn)了分?jǐn)?shù)階超混沌Chen系統(tǒng)和超混沌Rossler系統(tǒng)的異結(jié)構(gòu)同步。

通過數(shù)值模擬實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證此方法的有效性，取a=0.95時(shí)，選取參數(shù)為：(a,b,c,d）=(0.25,3,0.5,0.5)，(a1,b1,c1,r）=(35,3,12,7,0.5)，初值選擇為：(x1(0),x2(0),x3(0),x4(0))=(3,-4,2,2)， (y(0),y(0),y(0),y(0))=(-15,5,9,3-4,18.6)