陳文婷

(江南大學 商學院， 江蘇 無錫 214122)

一、研究背景與理論意義

當今社會，金融危機時常發(fā)生，對經(jīng)濟和社會的發(fā)展造成了極大的危害。自20世紀30年代以來，最大的一次金融危機發(fā)生在2008年，這場危機給整個社會帶來了前所未有的災(zāi)難，它不僅導致數(shù)以百計的大型金融機構(gòu)相繼倒閉或被政府接管，還導致了全球股市和房產(chǎn)市場出現(xiàn)嚴重下滑和低迷。在2015年政府工作報告中，李克強總理指出，我國需要“發(fā)展金融衍生品市場，創(chuàng)新金融監(jiān)管，防范和化解金融風險”。對許多金融機構(gòu)而言，其本質(zhì)就是在經(jīng)營風險，而信用風險是金融機構(gòu)面臨的主要風險之一，也是導致區(qū)域性乃至全球性金融危機的關(guān)鍵因素之一，它是貸款或投資債券中經(jīng)常發(fā)生的一種風險，即借款者違約的風險[1]。近年來，隨著互聯(lián)網(wǎng)金融的蓬勃發(fā)展，有效地管理和控制信用風險成了我國乃至世界亟需解決的問題之一。

有效管理和控制信用風險的工具之一是信用衍生產(chǎn)品。它們具有分散信用風險、增強資產(chǎn)流動性、提高資本回報率、擴大金融市場規(guī)模與提高金融市場效率等五個方面的功效[2-3]。信用衍生產(chǎn)品在西方發(fā)展十分迅猛，而目前在我國尚處于初始階段。自2016年以來，我國金融市場上違約事件頻頻發(fā)生?？紤]到利用信用衍生產(chǎn)品有助于緩解銀行業(yè)出現(xiàn)的“惜貸”、化解金融不良資產(chǎn)以及緩解中小企業(yè)融資難等問題，2016年9月23日，中國銀行間市場交易商協(xié)會(NAFMII)發(fā)布了《銀行間市場信用風險緩釋工具試點業(yè)務(wù)規(guī)則》及配套業(yè)務(wù)指引文件，首次在中國推出了“中國版”信用衍生產(chǎn)品，該衍生產(chǎn)品在我國具有極大的應(yīng)用前景，因此，對信用衍生產(chǎn)品定價展開研究具有強烈的時代意義，并且能夠在很大程度上促進我國國民經(jīng)濟的良性發(fā)展。

在所有信用衍生產(chǎn)品中，信用違約互換(Credit Default Swap，簡稱CDS)是債券市場中最常見和最基本的信用衍生產(chǎn)品。針對某一特定的公司違約風險，信用違約互換合約為其提供了保險，其中，該公司被稱為參考實體，該公司的違約被定義為信用事件。信用違約互換的買入方在信用事件發(fā)生時有權(quán)以債券面值的價格將公司債券賣給信用違約互換的賣出方，債券的面值被定義為信用違約互換的名義本金。信用違約互換的買入方有義務(wù)在合約期間向賣出方定期付款，直到該合約結(jié)束或者信用事件發(fā)生，定期付款行為發(fā)生在付款時間段的期末，但是合約的買入方也可以提前付款，或者每半年或每一年付款。當發(fā)生違約事件時，對合約進行交割的方式有支付現(xiàn)金或者交付債券實物，違約事件通常是指應(yīng)當付款時未能支付、債務(wù)重組或者破產(chǎn)。從信用違約互換的運作流程來看，它的本質(zhì)是信用違約互換合約的購買者將債券以面值遞送給出售者，從而有效規(guī)避信用風險[4-5]。由于信用違約互換定義簡單、容易實現(xiàn)標準化、交易簡潔，自90年代以來，該金融產(chǎn)品在國外發(fā)達金融市場得到了迅速發(fā)展。

與普通的互換合約類似，對信用違約互換定價就是指確定其互換溢價。近年來，由于信用違約互換的迅猛發(fā)展，對其進行精確定價得到了業(yè)界和學術(shù)界的廣泛關(guān)注。例如：Longstaff和Schwartz(1995)解決了在一個外生過程中信用差價期權(quán)的定價問題[6]，De Malherbe(2006)使用概率的方法確定了泊松過程下的信用違約互換的價格[7]。隨著隨機強度模型被用于違約事件，Brigo和Chourdakis(2009)在交易對手的違約和違約的信用違約互換參考信用之間存在關(guān)聯(lián)的情況下考慮了該合約的交易對手風險[2]。

需要指出的是，能否給信用違約互換進行準確定價的必要條件之一是選取合適的信用風險模型。在現(xiàn)有文獻中，信用風險模型主要分為兩大類，各自代表著對違約過程形成的兩種截然不同的看法：第一類模型，即簡化模型，認為違約的產(chǎn)生是受短期沖擊的影響造成的，具有突然性和不可預測性。這類模型主要由Artzner和Delbaen(1990)等學者提出[8]，并由Lando(1998)、Madan和Unal(1998)等學者通過修正得到進一步發(fā)展[9-10]。這類模型主要通過分析市場數(shù)據(jù)來提煉出公司的破產(chǎn)概率，在數(shù)學上比較容易處理，因而很受歡迎。然而這類模型比較嚴重的缺點是忽略了公司間破產(chǎn)的相關(guān)性。第二類模型也被稱為結(jié)構(gòu)化模型，是由默頓(Merton)(1974)在Black-Scholes期權(quán)定價模型的基礎(chǔ)上發(fā)展而來的。[5]這類模型通常認為違約發(fā)生于公司價值低于某個閥值的情況，而公司價值的變化服從一個擴散過程，公司價值的突然下跌是不可能的，因此，違約的發(fā)生決不是意料之外的事件，而是在公司經(jīng)營變化過程中逐漸產(chǎn)生的。

雖然默頓模型在信用衍生產(chǎn)品定價領(lǐng)域得到了廣泛的應(yīng)用，但是它的假設(shè)有諸多不合理[4][11]。譬如違約只是發(fā)生在債券到期日，這個假設(shè)與現(xiàn)實情況不相符。其次，它假設(shè)參照資產(chǎn)收益變化是一個布朗運動，其將來的分布為對數(shù)正態(tài)分布[5]，但這與實證研究的結(jié)果是相悖的。有學者指出，資產(chǎn)收益變化具有偏離布朗運動的特征，例如資產(chǎn)收益的變化具有長時間相關(guān)性，與標準對數(shù)正態(tài)分布相比，資產(chǎn)的分布往往具有更肥厚的尾等[12-13]。因此，許多學者試圖修正默頓模型。一種思路是假設(shè)資產(chǎn)收益變化遵循非幾何布朗運動，如假設(shè)參考資產(chǎn)價格服從一個泊松過程[7]、跳躍擴散過程[14]、廣義分數(shù)階布朗運動[4]等；另一種思路是假設(shè)參考資產(chǎn)價格由一個隨機波動率模型控制，如Hull-White模型[15]、Stein-Stein模型[16]、海斯頓隨機波動率模型[17]、單尺度隨機波動率模型[18]、多尺度隨機波動率模型[19]等。需要指出的是，在所有隨機波動率模型中，海斯頓隨機波動率模型受到了最為廣泛的關(guān)注，該模型不僅滿足了市場的一些基本特征，如能夠體現(xiàn)波動率的非負性和它圍繞著一個長期均值水平來回波動等，海斯頓還找出了該模型下歐式期權(quán)的一個半封閉形式的解析解，使得該模型可以快速而精準地進行校正，從而可以很好地運用到實際金融市場中去。

盡管上述模型都在一定程度上修正了經(jīng)典的默頓模型，但是它們中的絕大部分仍然無法捕捉到真實市場狀態(tài)不斷變化的事實，因此，體制轉(zhuǎn)換模型也就應(yīng)運而生了。體制轉(zhuǎn)換模型可以合理解釋經(jīng)濟狀況、宏觀經(jīng)濟環(huán)境的變化，體制轉(zhuǎn)換模型反映了金融市場中的利率、匯率、股票回報等均與經(jīng)濟狀態(tài)有關(guān)，它假定在給定市場經(jīng)濟狀態(tài)時，風險資產(chǎn)價格演變過程由某個特定的模型來刻畫；當市場經(jīng)濟狀態(tài)發(fā)生變化時，價格演變過程切換到另外的模型中去。我們可以認為體制轉(zhuǎn)換模型符合一般的經(jīng)濟周期理論。體制轉(zhuǎn)換模型最早由Hamilton(1990)提出并運用到金融計量領(lǐng)域[20]，大量的實證研究也證實了金融市場中確實存在體制轉(zhuǎn)換的特征[21-23]。Bollen等(2000)學者利用體制轉(zhuǎn)換模型來刻畫匯率的波動情況[21]。So等(1998)學者將體制轉(zhuǎn)換引入到隨機波動率模型中，得到了一個帶有體制轉(zhuǎn)換特征的隨機波動率模型[22]。Vo(2009)指出，So等(1998)學者提出的模型不僅能夠加強隨機波動率模型對資產(chǎn)價格的預測能力，同時也能夠反映金融市場中重大事件的發(fā)生對資產(chǎn)價格的影響。[23]由于海斯頓隨機波動率模型在數(shù)學上具有很強的處理性，帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型引起了學術(shù)界和業(yè)界的共同關(guān)注。例如：Elliott和Lian(2013)在海斯頓模型的長期回歸均值水平中引入體制轉(zhuǎn)換機制，并考慮了在該模型下波動率互換產(chǎn)品的定價。[24]He和Zhu(2018)假設(shè)了波動率的波動率可以在不同狀態(tài)下進行切換，并利用漸近展開法得出了相應(yīng)的歐式期權(quán)價格的一個近似解[25]。最近，He和Chen(2020)將體制轉(zhuǎn)換特征引入到隨機波動率利率模型中，提出了一個帶有體制轉(zhuǎn)換特征的混合隨機波動率利率模型。(1)He X J, Chen W T. A semi-analytical formula for European options under a hybrid Heston-CIR model with regime switching[J]. International Journal of Finance and Economics, 2020, doi: 10.1002/ijfe.1792.通過嚴格的數(shù)學推導，他們找出了該模型下歐式看漲期權(quán)的解析表達式，并通過實證研究，證明了該模型在模擬資產(chǎn)走勢方面的優(yōu)越性。

為了使模型能夠更好地模擬公司資產(chǎn)(參考資產(chǎn))的價格走勢，本文以Elliott和Lian(2013)提出的帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型為藍本[24]。在該模型下，假設(shè)波動率的長期均值水平可以在不同的狀態(tài)中進行切換，由于該模型參數(shù)眾多，在此模型下無論是從解析角度還是數(shù)值角度考慮金融衍生產(chǎn)品的定價都并非易事。盡管如此，本文依然推導出了在該模型下信用違約互換價格封閉形式的解析表達式。文中還通過數(shù)值模擬實驗定量研究了各種參數(shù)變化，特別是引入體制轉(zhuǎn)換特征對信用違約互換價格的影響。值得一提的是，本文所提出的方法具有一定的普適性，在一定程度上可以推廣到求解帶體制轉(zhuǎn)換特征的模型下其他金融衍生產(chǎn)品的價格。

二、信用違約互換價格的解析表達式

本文從解析解的角度重點研究帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下信用違約互換的定價問題。首先，簡單介紹默頓模型和帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型；其次，推導出在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下參考資產(chǎn)的破產(chǎn)概率；最后，通過分析現(xiàn)金流進一步確定新模型下信用違約互換的價格。

1. 定價模型

如前文所述，對信用違約互換合約進行合理定價的關(guān)鍵在于選取合適的定價模型。我們將首先回顧經(jīng)典的默頓模型，在此基礎(chǔ)上，引入帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型。

默頓模型是結(jié)構(gòu)化模型的重要代表[5]。這里的“結(jié)構(gòu)”指的是公司的資本結(jié)構(gòu)，即為債券和股權(quán)之間的資本關(guān)系。結(jié)構(gòu)化模型的基礎(chǔ)思想是通過分析企業(yè)的財務(wù)資本結(jié)構(gòu)情況進而判斷企業(yè)違約風險的可能性，簡而言之就是通過比較企業(yè)資產(chǎn)市場價值和其債務(wù)市場價值之間的關(guān)系來做出違約風險的判斷。默頓模型的基本思想是把負債經(jīng)營的企業(yè)視為債權(quán)人所持有的證券，同時也將其看作是一個被股東所持有的以該證券為標的物的看漲期權(quán)，當企業(yè)總資產(chǎn)的市場價值高于債務(wù)的市場價值時，股東行使看漲期權(quán)，償還公司債務(wù)，進而繼續(xù)擁有公司；可是如果當債務(wù)市場價值高于企業(yè)總資產(chǎn)的市場價值時，則公司發(fā)生破產(chǎn)，公司將被公司所有人出售給債權(quán)人，由債權(quán)人擁有公司。期權(quán)的價值和企業(yè)違約的可能性之間存在著重要的聯(lián)系，并且企業(yè)資產(chǎn)價值與企業(yè)負債面值之間的差額的期望與公司波動率的比值也是影響期權(quán)價值的重要因素。違約率是債務(wù)到期時企業(yè)資產(chǎn)的市場價值小于或者等于企業(yè)負債的賬面價值的概率。在默頓模型中，市場被假定是完全的，也就是說，不存在任何的交易成本，同時，公司資產(chǎn)被假定為不存在流動性的調(diào)整，公司資產(chǎn)的價值被假設(shè)為服從幾何布朗運動。然而，正如前文指出，該假設(shè)具有諸多不合理性，比較突出的是這種假設(shè)不僅忽略了公司資產(chǎn)價格的波動率不是常數(shù)這一事實，也無法將重大事件的發(fā)生對公司的影響考慮在內(nèi)。

針對以上兩點，本文選用帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型來模擬公司資產(chǎn)價格的走勢。在這個模型下，參考資產(chǎn)的波動率被假設(shè)為服從一個均值回歸過程，且其長期均值水平可在不同的狀態(tài)下進行切換。具體來說，假設(shè)參考資產(chǎn)的價值St在風險中性測度Q下滿足帶體制轉(zhuǎn)換特征的隨機波動率模型，即令t為當前時間，vt、r分別為參考資產(chǎn)價格變化的波動率和無風險利率，St滿足：

且在這兩個狀態(tài)下的轉(zhuǎn)移率服從一個泊松過程，即

P(tij>t)=e-λijt(i，j=1，2，i≠j)

其中(·)T是向量的轉(zhuǎn)置，tij是隨機變量Xt在狀態(tài)i中的逗留時間，λij為隨機變量Xt從狀態(tài)i轉(zhuǎn)至狀態(tài)j的轉(zhuǎn)移率。此外，在這種情形下，波動率的長期均值可以分別表述為

dYt=μ(Yt)dt+Σ(Yt)dWt，

(1)

其中

zt=lnSt，W1，t與W2，t是兩個線性無關(guān)的幾何布朗運動，μ(Yt)是漂移率，其定義為

其中，

∑(Yt)是波動率矩陣，它可以表述為

進一步可表述為

其中，H是個2×2×2的矩陣，其元素Hij(1≤i，j≤2)是2×1的向量，具體為

由于漂移項也可以表述為一個仿射函數(shù)，因此，上述隨機過程(1)具有仿射相關(guān)性，該性質(zhì)也是求解公司破產(chǎn)概率的重要性質(zhì)之一。本文接下來將重點闡述如何在該模型下求解公司的破產(chǎn)概率。

2.公司破產(chǎn)概率

公司的破產(chǎn)概率是信用違約互換合約中最重要的因素之一，它代表公司在一定時期內(nèi)發(fā)生違約的可能性，這也是信用違約互換合同價格推導的關(guān)鍵一步。本文將考慮如何定量地確定這個重要因素。

令D為信用違約互換的破產(chǎn)障礙，即參考資產(chǎn)價格一旦下跌至D，則公司違約發(fā)生。根據(jù)金融意義，可知公司發(fā)生破產(chǎn)的概率為PQ(ST≤D)，其中PQ是在測度Q下的概率。進一步令zT=lnST，那么就有PQ(ST≤D)=PQ(zT≤lnD)。

再根據(jù)期望與矩母函數(shù)的關(guān)系，可得

其中j是虛數(shù)單位，a=(0，0)T，b=(-1,0)T，Im(·)是取虛數(shù)部分運算，f(φ,Yt,Xt,t,T)是廣義矩母函數(shù)，具有如下定義f(φ,Yt,Xt,t,T)=E[eφ·YT|Yt,Xt]，其中φ=(φ1,φ2)T。從上述過程可以看出，如果這個矩母函數(shù)可以順利求出的話，那么破產(chǎn)概率也可以很容易的求得。

值得指出的是，由于馬爾科夫鏈Xt的存在，直接計算廣義矩母函數(shù)f很困難。為了簡化求解過程，本文重新將廣義矩母函數(shù)表述為

f(φ,Yt,Xt,t,T)=E{E[eφ·YT|Yt,XT]|Xt}=E[m(φ,Yt,t,T|XT)|Xt]，

其中m(φ,Yt,t,T|XT)是廣義條件矩母函數(shù)。從f與m的關(guān)系可以看出，一旦確定了m，f就可以通過再求一次期望獲得。因此，求解破產(chǎn)概率在現(xiàn)階段的首要任務(wù)變?yōu)榇_定m。下面的定理闡述了該條件矩母函數(shù)的確定方法。

定理1. 如果標的資產(chǎn)價格和其波動率遵循隨機微分方程(1)，則其廣義條件矩母函數(shù)可以表述為m=eC(φ;τ)+D(φ;τ)·Yt，其中·代表向量的點積，τ=T-t，

證明：根據(jù)Duffie等(2000)中提出的仿射跳躍擴散過程的性質(zhì)[26]，可知廣義條件矩母函數(shù)可以表述為m=eC(φ;τ)+D(φ;τ)·Yt，其中函數(shù)C(φ;τ)、D(φ;τ)滿足如下的耦合常微分方程組：

根據(jù)D(φ;τ)的定義，可得

很顯然，D1(φ;τ)是一個關(guān)于τ的常數(shù)。為了求解D2(φ;τ)，采用平移變換D2(φ;τ)=D2(φ;τ)-φ2，可得如下齊次初始條件的Riccati方程：

其解為

有了D(φ;τ)的表達式，C(φ;τ)只需在其滿足的常微分方程兩端對τ做積分。這就完成了整個定理1的證明。

上文中既然已計算出廣義條件矩母函數(shù)m(φ,Y,t,T|XT)的具體表達式，那么只需將最外層的期望計算出來即可確定廣義矩母函數(shù)f，即

f(φ,Yt,Xt,t,T)=E[m(φ,Yt,t,T|XT)|Xt],=eD(φ;τ)·YtE[eC(φ;τ)|Xt]。

根據(jù)Elliott和Lian(2013)中的結(jié)論[24]，E[eC(φ;τ)|Xt]可以通過以下方式顯式地計算出來，即

其中，I=(1，1)T，<·>代表向量內(nèi)積，A是馬爾科夫鏈Xt的轉(zhuǎn)移概率矩陣，定義為

而對角矩陣B可以表述為

其中diag[·]代表該矩陣是對角矩陣，且其對角線上的元素是由該函數(shù)作用的向量的每個元素組成。因此，廣義矩母函數(shù)f(φ,Yt,Xt,t,T)最終可以寫為

f(φ,Yt,Xt,t,T)=eD(φ;τ)·Yt，

其中

至此，我們已經(jīng)推導出了公司破產(chǎn)概率PQ(ZT≤lnD)的解析表達式，即

(2)

這可以認為是進一步確定信用違約互換合約價格的關(guān)鍵一步。本研究將通過分析現(xiàn)金流來進一步確定該合約的價格。

3.信用違約互換合約的價格

本研究將根據(jù)上述得到的破產(chǎn)概率進一步分析相應(yīng)信用違約互換價格的解析表達式。需要指出的是，和一般的金融衍生品不同，信用違約互換的價格是指合約買方需要定期支付給賣方的金額，通常用參考資產(chǎn)名義價值的百分比來表示。

為了確定該信用合約的價格，首先需要分析買賣雙方的現(xiàn)金流狀況。假設(shè)c為信用違約互換的價格，M為該合約的面值，并假設(shè)在離散時間點ti(i=0，1，2，…，N且0=t0

其中r是無風險利率。另一方面，對于賣方來說，當且僅當公司在T時刻發(fā)生破產(chǎn)時，需要支付給買方(1-L)M現(xiàn)金，因此，賣方的現(xiàn)金流為P2=e-rTM(1-L)PQ(ST≤D)，對于互換合約來說，由于其建立在對買賣雙方都公平的基礎(chǔ)上，因此，它的初始價值為0，因此，有P1=P2，即

根據(jù)上一小節(jié)中的結(jié)論，可以推導出c的最終表達式為

從上述價格的解析表達式可以看出，該表達式只包含一個一重積分，因此，它可以很容易在計算機上實現(xiàn)。進一步的，有了該解析表達式，信用違約互換的各種風險參數(shù)，如Δ、Γ等的解析表達式都可以通過對價格表達式c做相應(yīng)參數(shù)的微分得到。此外，由于解析表達式的易實現(xiàn)和可以達到任意精度的特點，使用該解析表達式可顯著提高模型校正效率。因此，本研究中的理論工作大大增強了模型的實用性和可推廣性。此外，上述信用違約互換價格的解析表達式也有助于定量分析相關(guān)參數(shù)變化對價格的影響。

三、數(shù)值模擬與討論

上文從數(shù)學角度嚴格推導出了信用違約互換合約價格的解析表達式。因此，在理論上沒有必要再進行數(shù)值模擬來討論該價格的精度。然而，為了使讀者更信服我們的結(jié)論，本文將公式(2)計算出的結(jié)果與其他方法計算出的結(jié)果進行比較，此外，本文還將定量分析不同參數(shù)的變化，特別是在引入體制轉(zhuǎn)換特征后對信用違約互換價格的影響。

在下面的算例中，除非進行特殊說明，統(tǒng)一采用如下的參數(shù)設(shè)置。在帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下，假設(shè)當前的狀態(tài)為狀態(tài)1，無風險利率r=0.03，破產(chǎn)障礙D=80，當前參考資產(chǎn)價格S0=90，當前波動率水平為v0=0.05，相關(guān)系數(shù)ρ=-0.8，均值回歸速度κ=10，波動率的波動率σ=0.1，轉(zhuǎn)移率λ12=λ21=10，距離合約到期T-τ=5，并規(guī)定在合約生存期內(nèi)完成20次支付。狀態(tài)1對應(yīng)的θ1=0.05，狀態(tài)2對應(yīng)的θ2=0.1。對于將要進行對比的海斯頓隨機波動率模型，參數(shù)設(shè)置如下：r=0.03，D=80，S0=90，v0=0.05，ρ=-0.8，κ=10，σ=0.1，T-τ=5，θ=0.05。

首先將檢驗新推導出的信用違約互換價格的正確性。由于破產(chǎn)概率是信用違約互換價格中最重要的一部分，為了方便起見，該實驗將針對計算破產(chǎn)概率進行。我們將從公式(2)中計算出的破產(chǎn)概率與由蒙特卡羅方法直接計算出的破產(chǎn)概率進行比較，由于蒙特卡洛的計算結(jié)果將作為一個精確解來做為對比參照物，因此需要大量的樣本路徑來模擬資產(chǎn)價格走勢。在本實驗中，我們采用了100，000條路徑來完成蒙特卡羅模擬。兩種方法下的計算結(jié)果如圖1所示。從圖1-a中可見二者吻合的非常好，從圖1-b可觀察到二者間的點對點相對誤差不超過1%。這些都有力地支撐了我們新推導出的公式的準確性，表明了該公式可以很安全地運用到實際金融市場中去。另一方面，從圖1-a也可以看出，當參考資產(chǎn)的價格變大時，公司破產(chǎn)概率也逐漸變小。這是非常合理的，在不考慮價格有較大的跳躍變化的前提下，如果參考資產(chǎn)價格越大，那么在短時間內(nèi)公司資產(chǎn)越不容易觸及破產(chǎn)障礙，公司就越不容易破產(chǎn)。

圖1-a 計算結(jié)果與蒙特卡羅算法比較

圖1-b 點對點相對誤差

有了該公式的正確性檢驗，下面我們將定量研究不同參數(shù)變化對破產(chǎn)概率的影響。首先研究的是引入體制轉(zhuǎn)換機制的影響。在圖2中展示了在帶體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型與海斯頓隨機波動率模型下，破產(chǎn)概率對距離到期日的變化。從這張圖中可以觀察到一個有趣的現(xiàn)象，即在這兩個模型下，破產(chǎn)概率都是先單調(diào)遞增，達到某個水平后，然后再遞減趨于平緩。進一步仔細觀察可以發(fā)現(xiàn)，即便將海斯頓隨機波動率模型下的波動率長期均值水平設(shè)置成與帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下狀態(tài)1中相同的長期均值水平，前者的破產(chǎn)概率也要低于后者的破產(chǎn)概率。從金融角度分析，這是十分合理的。由于可在不同的狀態(tài)中進行切換，從平均意義的角度來說，帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型的長期均值水平會處于狀態(tài)1與狀態(tài)2之間，將略高于相應(yīng)的海斯頓隨機波動率模型下的長期均值水平，導致帶有體制轉(zhuǎn)換特征的模型波動率水平總體高于相應(yīng)的不帶體制轉(zhuǎn)換特征的波動率水平，因此，前者的破產(chǎn)概率高于后者。

圖2 兩種模型下破產(chǎn)概率的比較

在新的模型中，體制轉(zhuǎn)換的頻率主要由轉(zhuǎn)移率來決定。因此，為了進一步定量研究引入體制轉(zhuǎn)換的影響，下面一個數(shù)值實驗將從轉(zhuǎn)移率變化引起信用違約互換價格變化的角度展開。在新的模型下，為了簡化起見，不妨假設(shè)兩個轉(zhuǎn)移率相等，即λ12=λ21=10*z，其中z為縮放參數(shù)。圖3展示了在本文所采取的模型和海斯頓隨機波動率模型下，信用違約互換價格關(guān)于z的函數(shù)圖像。從圖中可以清楚地看出，無論轉(zhuǎn)移率如何變化，海斯頓隨機波動率模型下信用違約互換的價格不隨著轉(zhuǎn)移率的改變而改變，這是非常合理的，因為海斯頓隨機波動率模型本身就與轉(zhuǎn)移率無關(guān)。而在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下，當轉(zhuǎn)移率都為0時，該模型就不具備體制轉(zhuǎn)換特征，因此，此時該模型下信用違約互換的價格與海斯頓隨機波動率模型下的價格一致。由圖3還可以看出，當狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平(θ1(=0.05)<θ2(=0.2))時，新模型下信用違約互換的價格是一個關(guān)于轉(zhuǎn)移率的單調(diào)遞增函數(shù)；反之，如果當狀態(tài)1中的長期均值水平大于狀態(tài)2中的長期均值水平(θ1(=0.05)>θ2(=0.01))時，新模型下信用違約互換的價格是一個關(guān)于轉(zhuǎn)移率的單調(diào)遞減函數(shù)。此現(xiàn)象的發(fā)生與模型的金融本質(zhì)是密不可分的。從金融角度分析，轉(zhuǎn)移率的增加，意味著從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的概率增加，當狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平時，轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2中頻率的增加會引起參考資產(chǎn)平均波動率的增加，進一步引起公司破產(chǎn)概率的增加。由于信用違約互換價格與破產(chǎn)概率是正相關(guān)的，因此，在狀態(tài)1中的長期均值水平小于狀態(tài)2中的長期均值水平的前提下，從狀態(tài)1轉(zhuǎn)移到狀態(tài)2的頻率增加將最終導致信用違約互換的增值，反之亦然。

圖3 信用違約互換價格關(guān)于縮放因子的函數(shù)圖

圖4展示了信用違約互換價格與距離到期日時間的關(guān)系。從該圖中可以清楚地發(fā)現(xiàn)，與破產(chǎn)概率類似，信用違約互換價格與距離到期日時間是一個先單調(diào)遞增后單調(diào)遞減的函數(shù)。這個現(xiàn)象也可以從信用違約互換價格與破產(chǎn)概率是正相關(guān)的角度來解釋。

圖4 信用違約互換價格關(guān)于時間的函數(shù)圖

最后我們研究的是信用違約互換價格與支付次數(shù)的關(guān)系。如圖5所示，當支付次數(shù)增加時，信用違約互換價格降低，反之亦然。從金融的角度來考慮，這是非常合理的，因為在補償金保持不變的情況下，信用違約互換買方支付的次數(shù)越多，每次支付的金額就越少。

圖5 信用違約互換價格關(guān)于支付次數(shù)的函數(shù)圖

四、結(jié)論與研究展望

本文主要研究了在帶有體制轉(zhuǎn)換特征的海斯頓隨機波動率模型下信用違約互換的定價問題。通過分析現(xiàn)金流和公司的破產(chǎn)概率，本文得到了在新模型下信用違約互換價格的一個解析表達式，并將其與蒙特卡羅方法計算出的結(jié)果進行比較，證實了該價格表達式的正確性?；谠搩r格表達式，本文還進行了數(shù)值模擬實驗，特別是引入了體制轉(zhuǎn)換特征，從定量的角度充分分析了不同參數(shù)變化對信用違約互換價格造成的影響。

需要指出的是，在本文中雖然新的模型和原來經(jīng)典的默頓模型相比更加精確，同時也更加符合實際的情況，但是新模型依然有許多的不足之處。例如：將波動率的長期均值水平假設(shè)為可在不同狀態(tài)中進行切換的合理性有待利用實際市場數(shù)據(jù)進一步驗證；其次，在新模型中，利率被假設(shè)為常數(shù)，且沒有考慮公司資產(chǎn)的回報率等，顯然，這與現(xiàn)實之中的情況有很大的出入。另一方面，在本文考慮的信用違約互換合約中，公司只有在信用違約互換合約到期時才有可能會發(fā)生破產(chǎn)，這顯然是不合理的，現(xiàn)實的經(jīng)濟活動中公司破產(chǎn)會發(fā)生在任意時刻，而并不是只能在到期日時發(fā)生。在這些與實際并不完全吻合的假設(shè)下建立模型，依據(jù)該模型計算出的結(jié)果往往與現(xiàn)實情況還存在著誤差，因此，修正后的新模型還是不能夠精準地描述市場狀態(tài)。

為了使定價結(jié)果更加精確，我們應(yīng)該對模型的假設(shè)前提進行不斷優(yōu)化和修正，不斷對模型進行調(diào)整改進，使它更加符合實際的市場情況，同時也讓模型在實際市場的運用之中發(fā)揮著更大的作用，這將是今后的一個重要研究方向。