莊旦丹

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“綜合與實(shí)踐”是一類以問題為載體，以學(xué)生自主參與為主的學(xué)習(xí)活動(dòng)。在于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用有關(guān)知識(shí)與方法解決實(shí)際問題，培養(yǎng)問題意識(shí)、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí)，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高解決現(xiàn)實(shí)問題能力。因此，教師在教學(xué)《打電話》一課時(shí)，切忌只關(guān)注“雙基”，更重要的是在綜合運(yùn)用中，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，滲透數(shù)學(xué)思想。

一、巧借東風(fēng)，開拓全新路徑

曹培英教授根據(jù)SOLO分類評(píng)價(jià)法，將數(shù)學(xué)理解分為“前結(jié)構(gòu)水平”（不能恰當(dāng)處理）、“單點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平”（能提出與學(xué)習(xí)任務(wù)相關(guān)的一個(gè)方面知識(shí)）、“多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平”（能提出與學(xué)習(xí)任務(wù)有關(guān)的幾個(gè)獨(dú)立方面知識(shí)）、“關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)水平”（能把相關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)整合成一個(gè)連貫的整體結(jié)構(gòu)）、“拓展抽象水平”（能把整體結(jié)構(gòu)概念化為一個(gè)更高的抽象水平）五個(gè)層次。這五個(gè)層次能很好地顯示學(xué)生的認(rèn)知水平，從而指導(dǎo)教師針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，這為本課教學(xué)提供了全新的路徑。

1.SOLO理論，引領(lǐng)前測(cè)。

測(cè)試對(duì)象：某校501班35名同學(xué)。

測(cè)試方法：?jiǎn)柧?訪談。教師不讀題，不提示，學(xué)生寫完就上交。

測(cè)試內(nèi)容：教師接到一項(xiàng)緊急任務(wù)，需要盡快通知7位七彩小義工，如果采用打電話的方式，每分鐘通知1個(gè)人，怎樣通知最省時(shí)間？最少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能通知到每一個(gè)人？

測(cè)試要求：讀懂題意，獨(dú)立思考，先想一想，再寫一寫或畫一畫。

測(cè)試結(jié)果：33名同學(xué)用圖形、圖示、文字、符號(hào)等方式進(jìn)行了解答，有2名同學(xué)無從下手。未給出答案或沒有考慮到同時(shí)打電話可以節(jié)省時(shí)間的人占28.6%；能考慮到接收到通知的學(xué)生可以同時(shí)打電話給其他同學(xué)占5.7%；能考慮到老師和學(xué)生可以同時(shí)打電話給其他同學(xué)，但仍有空閑占17.1%；能考慮到老師和學(xué)生可以同時(shí)打電話給其他同學(xué)，且沒有空閑占48.6%。

2.基于學(xué)情，精準(zhǔn)施教。

課前調(diào)研，目的有二：一方面了解學(xué)生的真實(shí)想法和學(xué)習(xí)起點(diǎn)。在前測(cè)中發(fā)現(xiàn)，前兩個(gè)水平層次超過了30%，達(dá)到SOLO認(rèn)知水平三即多點(diǎn)結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生有17.1%，達(dá)到SOLO認(rèn)知水平四即關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)層次的學(xué)生達(dá)到了48.6%，第五個(gè)水平層次的學(xué)生一個(gè)也沒有?？梢钥闯鰧W(xué)生在策略的選擇上還是有一定的想法和基礎(chǔ)，但在圖示表征上卻存在著或多或少的缺陷，如表達(dá)過于繁瑣、圖示中缺少時(shí)間標(biāo)注、過程不夠清晰等情況，此外還沒有達(dá)到抽象模型概念化水平。這些都為本節(jié)課的教學(xué)提供了寶貴的教學(xué)資源，也讓筆者意識(shí)到，將圖示表征優(yōu)化，積累數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，這是學(xué)生所需求的，也是他們今后學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)非常重要的一種方法，同時(shí)還要通過教學(xué)使學(xué)生朝著更高的抽象化水平發(fā)展。另一方面以前測(cè)為素材展示給學(xué)生，用以對(duì)比、分析，針對(duì)性更強(qiáng)，節(jié)省了寶貴的課堂教學(xué)時(shí)間，提高了課堂效率。

二、思維可視，推進(jìn)系統(tǒng)生長(zhǎng)

借助SOLO分類評(píng)價(jià)理論進(jìn)行水平層次分析后，筆者以撬動(dòng)深度學(xué)習(xí)的杠桿解——思維可視化教學(xué)策略為抓手，把原本不可見的思考結(jié)構(gòu)、思考路徑、思考方法展現(xiàn)出來，助力“數(shù)學(xué)理解層次”這一路徑系統(tǒng)生長(zhǎng)。

1.建構(gòu)衍生，單一到多元。

要讓那些僅憑直覺、思考單一的學(xué)生從第一、二階段上升到多點(diǎn)結(jié)構(gòu)水平的第三階段，關(guān)鍵是通過思維可視，把抽象知識(shí)圖像化，把知識(shí)結(jié)構(gòu)直觀化，從而發(fā)現(xiàn)本質(zhì)屬性。

（1）聚焦“共讀”，突出個(gè)性特征。

我們可以發(fā)現(xiàn)前測(cè)中最主要的其實(shí)只有三種方法，即“7分鐘方案”、“4分鐘方案”和“3分鐘方案”。前測(cè)中的這三種情況只是個(gè)體的想法，在課堂上教師應(yīng)該轉(zhuǎn)化為群體的“共讀”，讓學(xué)生明白原理，這樣才更有利于經(jīng)歷探索最優(yōu)化方案的過程。

【片斷1】解讀三種方案。

圖1

圖2

圖3

師：同學(xué)們課前已經(jīng)解決過了打電話這個(gè)問題，老師進(jìn)行了整理和分類，大致有這么三種方案。你看得懂嗎？

生1：圖1，老師一個(gè)接一個(gè)打電話通知學(xué)生，通知7位學(xué)生共需要7分鐘。

生2：圖2，第1分鐘：老師通知學(xué)生一。第2分鐘：學(xué)生一通知學(xué)生二，老師通知學(xué)生三。第3分鐘，學(xué)生三通知學(xué)生四，老師通知學(xué)生五。第4分鐘：學(xué)生五通知學(xué)生六，老師通知學(xué)生七。4分鐘內(nèi)，7位學(xué)生都收到通知。

生3：圖3，老師在第1分鐘通知1個(gè)學(xué)生，第2分鐘老師又去通知一個(gè)學(xué)生，第1個(gè)學(xué)生通知又一個(gè)學(xué)生，第3分鐘老師再通知一個(gè)學(xué)生，剛才的2個(gè)學(xué)生也去通知（說的時(shí)候斷斷續(xù)續(xù)，不斷地配著手勢(shì)）……

生4：我被你弄暈了，到底誰(shuí)打給誰(shuí)啊？

生3：那我上來指一指，不指還真說不清楚（邊說邊走上講臺(tái)）。

（2）逐步完善，優(yōu)化表征方法。

從“共讀”方案這個(gè)環(huán)節(jié)筆者發(fā)現(xiàn)，前兩種方案學(xué)生解讀起來比較輕松，在3分鐘方案的解讀中遇到了一些困難。其實(shí)在前測(cè)中，有3分鐘畫得很完美的學(xué)生，但是非常少，更多的是像圖3這樣有待修正的表征。這正是學(xué)生的難點(diǎn)所在，也是本節(jié)課很好的切入口。

【片斷2】?jī)?yōu)化“3分鐘方案”。

師：看來3分鐘的這種方案無論是觀察，還是表達(dá)都有些困難，請(qǐng)大家動(dòng)動(dòng)腦筋，看有什么方法可以讓大家一眼就看清楚，每一分鐘是打給誰(shuí)的呢？

生1：我仿照?qǐng)D1，在○內(nèi)寫上數(shù)字編號(hào)表示學(xué)生，這樣的圖別人易懂。

生2：我借鑒圖2，用一、二、三等數(shù)字表示學(xué)生，用1、2、3等數(shù)字表示第幾分鐘，便于表達(dá)。

師：這位同學(xué)把剛才前面兩種方案中編號(hào)的方法用到3分鐘方案，使表達(dá)更加方便，能夠舉一反三，真棒。我們?cè)傧胍幌?，畫圖的時(shí)候除了編號(hào)，還有什么辦法能讓別人一眼就看清楚每一分鐘的變化？怎樣改進(jìn)比較好？

生3：還可以把每一分鐘新收到通知的學(xué)生放在同一列對(duì)齊，這樣更加清楚。

師：太棒了，那么就請(qǐng)同學(xué)們發(fā)揮聰明才智，在練習(xí)紙上再畫一畫，使你的畫圖更加清楚、更加完美。

學(xué)生修改后選取典型作品展示，全班交流。

從學(xué)生后期的作品中筆者發(fā)現(xiàn)，正是因?yàn)橛辛饲懊娌荒芊奖愕亍坝^察”、“表達(dá)”這種內(nèi)需，才能更好地激發(fā)學(xué)生去質(zhì)疑、去思考、去完善。讓畫圖從錯(cuò)到對(duì)、從粗到細(xì)、從模糊到清晰，在不斷嘗試、反思、分析的過程中，優(yōu)化表征方法。在畫圖的過程中初步認(rèn)識(shí)到每分鐘新通知的人數(shù)就是上一分鐘知道消息的總?cè)藬?shù)，為建立數(shù)學(xué)模型積累豐富的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。

2.關(guān)聯(lián)整合，散點(diǎn)到聯(lián)法。

從第三階段到第四階段，是一個(gè)較大的飛躍，關(guān)鍵是通過思維可視，把隱性知識(shí)顯性化，把解題規(guī)律模型化，通過關(guān)聯(lián)整合，從知識(shí)層深入到理解層。

（1）分層對(duì)比，提煉關(guān)鍵要素。

通過畫圖表征、說理，理解各種方案內(nèi)涵，剖析各種方案的設(shè)計(jì)原理，在對(duì)比中明晰最優(yōu)化方案。在這里，三種方案涉及到兩個(gè)層次，第一個(gè)層次：“7分鐘方案”只有教師在逐個(gè)通知，其他兩個(gè)方案都是教師和學(xué)生同時(shí)通知；第二個(gè)層次：3分鐘的方案不僅是同時(shí)通知，還不空閑。因此就需要將三種方案進(jìn)行分層對(duì)比，在互譯的過程中進(jìn)行進(jìn)一步體驗(yàn)，形成知識(shí)的結(jié)構(gòu)化。

【片斷3】對(duì)比三類方案，明白“最少”時(shí)間的關(guān)鍵。

師：很好，大家對(duì)原有的圖又有了新的改進(jìn)，這樣可以使我們的思維更加清晰。那么對(duì)于這三種方案你有什么想說的？哪種比較費(fèi)時(shí)，其他幾種呢？

（1）三類分兩類（提煉“同時(shí)”）。

師：為什么后兩種方案可以節(jié)省時(shí)間？

生：第一種只有老師在打，后兩種是師生共同參與。（板書：同時(shí)）

（2）4分變3分，少在哪里（提煉“不空閑”）。

師：后兩種方案老師和學(xué)生都同時(shí)打了，第三種方案為什么會(huì)少1分鐘呢？少在哪里呢？

生：圖2的方案，老師通知4位學(xué)生，其中3位學(xué)生各通知1位學(xué)生，還有學(xué)生二沒有發(fā)揮作用。

生：圖3的每一位先收到通知的學(xué)生都不空閑。圖1的學(xué)生都是空閑的，圖2在第3分鐘內(nèi)，學(xué)生二出現(xiàn)空閑狀態(tài)。

師：最優(yōu)的方案是，充分發(fā)揮每一位同學(xué)的作用，沒有人空閑。（板書：不空閑）

師：還有沒有比3分鐘更少的？為什么？

生：每位同學(xué)都發(fā)揮了作用，不閑著，所以3分鐘最省時(shí)。

師：2分鐘后收到信息的4個(gè)人都在打電話，所以3分鐘最省時(shí)。那第4分鐘又有多少人接到新的通知呢？為什么？第5分鐘呢？

生：第4分鐘8人接到新通知，前面已經(jīng)知道的8個(gè)人可以同時(shí)通知。

師：第9分鐘呢？

生：一下子算不過來啊。

（2）歸納推理，理解數(shù)學(xué)模型。

數(shù)學(xué)模型的真正建立必須依賴于學(xué)生自己的歸納，在教學(xué)中，筆者并沒有直接問學(xué)生發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律，而是讓學(xué)生思考“第4分鐘新通知了多少人”，讓學(xué)生再次自覺運(yùn)用“讓知道消息的人都去通知”這個(gè)問題的本質(zhì)去進(jìn)行解釋。然后教師再讓學(xué)生思考：“9分鐘一共通知了多少人？學(xué)生從初悟規(guī)律的小竊喜，一下就被“卡住”了，這時(shí)適時(shí)出示表格，引導(dǎo)學(xué)生探究奧秘，自然而然地歸納出數(shù)學(xué)模型。

【片斷4】填寫表格，探索“打電話”的規(guī)律。

師：看來第9分鐘同學(xué)們遇到了些困難，那么就請(qǐng)同學(xué)們帶著這個(gè)問題填一填表格，看看能不能發(fā)現(xiàn)其中的奧秘所在。

時(shí)間（分）123456789知道通知總?cè)藬?shù)248163264128256512知道通知總學(xué)生數(shù)137153163127255511

學(xué)生填寫表格（讓填完的一個(gè)學(xué)生板書）。

師：你是怎么想的？

生1：我發(fā)現(xiàn)知道通知總?cè)藬?shù)-1=知道通知總學(xué)生數(shù)。

生2：我還發(fā)現(xiàn)下一分鐘接到通知總?cè)藬?shù)是上一分鐘知道通知總?cè)藬?shù)的兩倍。

反饋時(shí)教師適時(shí)提問：第3分鐘的8人怎么來的？學(xué)生數(shù)呢？第6分鐘呢？

生3：第3分鐘的8人是第2分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)乘2，也就是2×2×2，也就是3個(gè)2相乘。

生4：第6分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)就是6個(gè)2相乘。

師：那你知道n分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)嗎？

生5：n個(gè)2相乘，我在課外書上看到過，就是2的n次方。

生6：知道通知學(xué)生的總數(shù)就是2的n次方－1。

3.深化突破，直觀到抽象。

從關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)的第四階段到拓展抽象的第五階段，關(guān)鍵是通過思維可視，把零散知識(shí)系統(tǒng)化，把核心知識(shí)發(fā)散化，從而讓思維的路徑更加清晰。

（1）活化資源，豐富表征載體。

利用表格表征，學(xué)生能較好地理解模型。但反過來，告知通知的人數(shù)求時(shí)間，逆向思考是有一定難度的?！按螂娫挕钡膮^(qū)間感受比較抽象，僅僅通過表格這種“文字表征”的圖示化是不夠的。利用數(shù)軸，豐富表征載體，將時(shí)間和學(xué)生數(shù)聯(lián)系起來，更加直觀。進(jìn)度條的設(shè)置，也讓學(xué)生更好地感受到哪怕比每一分鐘人數(shù)的最大值多1，也應(yīng)該算在下一分鐘。

【片斷5】結(jié)合數(shù)軸，探索區(qū)間中“片”數(shù)量。

填一填：通知28個(gè)小義工，如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，至少需要（）分鐘才能通知到每一個(gè)人？如果通知64個(gè)小義工，需要（）分鐘呢？

生1：通知28個(gè)義工需要5分鐘，因?yàn)?分鐘的時(shí)候總共也就16個(gè)人知道通知。通知64個(gè)小義工需要6分鐘，表格里可以找到。

生2：第6分鐘可以通知第32人~63人，它是有范圍的。所以通知28個(gè)小義工是5分鐘，通知64個(gè)小義工不是6分鐘，6分鐘的64人還得把老師除掉。

師：64個(gè)小義工需要幾分鐘大家有點(diǎn)爭(zhēng)議，那我們請(qǐng)數(shù)軸來幫幫忙吧。

師：我們知道，老師知道信息后，第1分鐘通知了1個(gè)人，第2分鐘又新通知了2個(gè)人……看一看數(shù)軸（圖4），你有什么發(fā)現(xiàn)？

圖4

圖5

生3：我發(fā)現(xiàn)每分鐘新知道通知的人數(shù)在翻倍。

生4：同一分鐘的人數(shù)顏色相同，翻倍的正好是前一分鐘知道通知的總?cè)藬?shù)。

師：老師的上面為什么標(biāo)著0？第2分鐘總共有4人知道信息，為什么標(biāo)3？

生5：因?yàn)槔蠋熑ネㄖ獎(jiǎng)e人的，所以算學(xué)生數(shù)得把他除去。

師：第5分鐘呢？標(biāo)31還是32？

師：下一次標(biāo)在哪里？老師用進(jìn)度條表示，哪里停由你們提醒老師。（圖5）

師：64個(gè)人是第幾分鐘？

生6：64個(gè)人應(yīng)該是第7分鐘。

（2）挖掘內(nèi)涵，彰顯思維價(jià)值。

在數(shù)軸的圖示表征中，學(xué)生已經(jīng)到達(dá)了一個(gè)興奮點(diǎn)。這時(shí)就要抓住契機(jī)，進(jìn)一步挖掘“數(shù)軸表征”內(nèi)涵，通過猜想、推理、驗(yàn)證，讓“倍增”潛移默化地植入學(xué)生心中，推動(dòng)發(fā)展性理解。

【片斷6】數(shù)形結(jié)合，理解倍增。

（1）如果老師采用打電話的形式，每分鐘通知1人，30分鐘最多大約可以通知（）人？

①1000②100萬(wàn)③10億

師：通知64個(gè)人需要7分鐘，猜一猜30分鐘可以通知幾個(gè)人？

生1：我覺得人數(shù)很多，可能會(huì)有1000人。

生2：下一分鐘新收到通知的人數(shù)應(yīng)該是之前的人數(shù)乘2，要乘好多個(gè)2。所以我覺得數(shù)很大，可能會(huì)是100萬(wàn)。

師：連續(xù)不斷地乘2，30分鐘要乘幾次？（2的30次方）

圖6

師：這里有一張工具量表，讀一讀這個(gè)數(shù)字。230=1073741824（圖6）。

生3：天吶，居然可以通知10億多人，太難以想象了。

師：我國(guó)人口13．9億，幾分鐘能都通知到？在2的30次方和2的31次方之間，所以時(shí)間是31分鐘（圖7）。31分鐘通知到全中國(guó)人，你有什么感覺？

圖7

師：那70億人呢？（倍增）

小結(jié)：想想不可思議，實(shí)際上是真實(shí)規(guī)律。

在思維可視化策略的支持下，以形象直觀的圖示和動(dòng)態(tài)的展示過程，形成特有的教學(xué)路徑，從而提高數(shù)學(xué)理解層次，促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)積累基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。這就是讓學(xué)生終身受益的教學(xué)路徑。