李楊 秦慶華 張亮亮 高陽,2)
*(中國農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,北京 100083)
?(澳大利亞國立大學(xué)工程與計算機科學(xué)學(xué)院,澳大利亞堪培拉2601)
層狀結(jié)構(gòu)因其優(yōu)異的性能被廣泛應(yīng)用于航空、航天、土木和機械等領(lǐng)域[1].常規(guī)的層狀結(jié)構(gòu)是由均質(zhì)材料層組合而成,以期獲得更好的機械和熱力學(xué)性能.但是,這種層狀結(jié)構(gòu)界面處材料參數(shù)的突然變化會產(chǎn)生較大的層間應(yīng)力,從而導(dǎo)致應(yīng)力集中、裂紋和分層等問題.為了克服這些不利影響,科學(xué)家們提出功能梯度材料的概念,即利用連續(xù)變化的組分梯度來代替突變界面,進而消除界面處的物理性能突變,達到提高結(jié)構(gòu)強度和優(yōu)化結(jié)構(gòu)性能的目的[2-3].鑒于功能梯度材料具有組成結(jié)構(gòu)連續(xù)變化和可設(shè)計性的特點,越來越多的科研人員對功能梯度材料表現(xiàn)出極大的興趣.仲政等[2]對功能梯度材料與結(jié)構(gòu)若干力學(xué)問題的最新研究進展進行了綜述,并對非均勻介質(zhì)力學(xué)研究進行了展望.柯燎亮和汪越勝[3]結(jié)合功能梯度材料接觸力學(xué)的若干基本問題,綜述了相關(guān)理論的研究進展.鄭保敬等[4]提出一種模型降階方法用于分析非均質(zhì)材料結(jié)構(gòu)在復(fù)雜載荷作用下的動態(tài)響應(yīng).楊健鵬和王惠明[5]研究了功能梯度球形水凝膠在一定條件下的非均勻大變形溶脹行為.Yang 等[6]利用復(fù)變函數(shù)方法研究了含有功能梯度層加固橢圓孔的無限大板的應(yīng)力集中問題,并獲得了其通解.基于廣義England 方法,Yang 等[7]研究了功能梯度圓板在中心承受集中力作用下的軸對稱彎曲問題.Pan 和Han[8]提出類Stroh 理論用于研究功能梯度磁電彈層合板的彎曲問題,獲得了材料常數(shù)沿厚度方向呈現(xiàn)指數(shù)函數(shù)分布的精確解.
準(zhǔn)晶由以色列科學(xué)家Shechtman 教授首次在急冷的Al-Mn 合金電子衍射圖形中發(fā)現(xiàn)[9].準(zhǔn)晶是一種不同于晶體和非晶體的新型固體材料,具有長程有序的原子排列,但不具備平移對稱性[10].基于Landau 的元激發(fā)唯象理論,準(zhǔn)晶中存在兩個低能元激發(fā):聲子和相位子[11-12].相位子場的弓入,使準(zhǔn)晶表現(xiàn)出不同于晶體和非晶體的多種性能,如:高強度、高硬度、耐磨性、耐腐蝕、低摩擦系數(shù)和低導(dǎo)熱率等[13-14].由于準(zhǔn)晶表現(xiàn)出來的優(yōu)異性能,其主要用作表面涂層、薄膜以及復(fù)合材料增強相[15].隨著準(zhǔn)晶應(yīng)用的推廣,準(zhǔn)晶材料的性能研究受到許多學(xué)者的關(guān)注.Maugin[16]將提出的準(zhǔn)晶彈性方程擴展到準(zhǔn)晶熱彈性問題中.Li 等[17]利用廣義勢能理論,研究了二維六方準(zhǔn)晶中的三維熱彈性平面裂紋問題,并獲得了解析解.Guo 等[18]基于Stroh 理論,研究了二維十次熱彈性準(zhǔn)晶的缺陷問題.Li 等[19-20]分別給出了考慮熱效應(yīng)的一維六方壓電準(zhǔn)晶中平面裂紋問題的理論解和數(shù)值解.
層合圓柱殼具有重量輕、強度高等特點,是工程中常用的結(jié)構(gòu)元件之一.目前,關(guān)于準(zhǔn)晶層狀結(jié)構(gòu)的動態(tài)和靜態(tài)問題研究多數(shù)是基于矩形層合板開展的[21-23].此外,同時考慮熱電彈耦合效應(yīng)和材料不均勻性的準(zhǔn)晶層合圓柱殼的研究開展的很少.因此,本文采用類Stroh 理論和傳遞矩陣方法,獲得了一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的熱電彈性精確解,討論了功能梯度指數(shù)因子對層合圓柱殼物理量的影響,以期為準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的多場耦合效應(yīng)及非均勻性分析提供可靠的參考依據(jù).
圖1 是柱坐標(biāo)系(r,θ,z)中一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的示意圖,準(zhǔn)周期方向和極化方向均沿著r軸,其外表面半徑為rb,內(nèi)表面半徑為ra,沿z向長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于層合圓柱殼半徑,層合圓柱殼的角度跨度為θ0,第j層的內(nèi)外半徑分別為rj和rj+1.
圖1 一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的示意圖Fig.1 Schematic of functionally graded layered 1D quasicrystal cylindrical shells
對于考慮熱-電-彈耦合的一維正交準(zhǔn)晶材料,本構(gòu)方程為[24]
式中,σkl為聲子場應(yīng)力; εkl為聲子場應(yīng)變;Hil為相位子場應(yīng)力;wil為相位子場應(yīng)變;Dk為電位移;Ek為電場強度;T為溫度變化;Ckl,Rkl,Kkl分別為聲子場彈性常數(shù),聲子場-相位子場耦合彈性常數(shù)和相位子場彈性常數(shù);ekl,dkl,ξll分別為聲子場壓電系數(shù),相位子場壓電系數(shù)和介電系數(shù);p3和βk分別為熱電系數(shù)和導(dǎo)熱系數(shù).
忽略體力、自由電荷以及內(nèi)部熱源,靜態(tài)平衡方程可寫為
式中,qr,qθ,qz為熱流.熱流與溫度的關(guān)系,可以表示為[25]
式中,kll為熱傳導(dǎo)系數(shù).幾何方程為
式中,ur,uθ,uz為聲子場位移;wr為相位子場位移;φ 為電勢.考慮層合圓柱殼兩側(cè)邊簡支的邊界條件[24],即
對于一維準(zhǔn)晶功能梯度材料,假設(shè)其材料參數(shù)沿著徑向呈現(xiàn)冪函數(shù)分布,即
式中,α 為功能梯度指數(shù)因子,表示材料參數(shù)在半徑r方向的梯度分布程度,后文中α 均表示功能梯度指數(shù)因子;上標(biāo)帶“0”的物理量表示均質(zhì)材料對應(yīng)的材料參數(shù).
滿足兩側(cè)邊簡支邊界條件的溫度函數(shù)可假設(shè)為
式中,ρ=r/rj,p=mπ/θ0,ˉT(r)為與圓柱殼角度θ 無關(guān)的溫度,文中其他頂部帶橫線的物理量均表示獨立于圓柱殼角度的物理量.
將式(7)代入式(3),然后代入式(2),得
式中,特征值η 可求解為
將式(8)所示特征關(guān)系改寫成
利用特征值和特征向量,可得到一維準(zhǔn)晶功能梯度單層圓柱殼溫度場的精確解
式中,χ1和χ2為待定未知量.
對于簡支層合圓柱殼,廣義位移矢量可表示為
將式(12)代入式(4),然后代入式(1),得到徑向的廣義應(yīng)力矢量
弓入4 個矢量
式(14)所示矢量存在如下關(guān)系
利用基本方程和式(12),推導(dǎo)出滿足一維熱-電-彈性準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的類Stroh 公式[26]
式(15)和式(16)中矩陣分別為
為了便于求解,將式(16) 轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)特征關(guān)系
式中,矩陣N和β分別為
求解式(18),可得到電-彈耦合場對應(yīng)的特征值s和特征向量[a b]T,[c d]T.因此,一維準(zhǔn)晶功能梯度單層圓柱殼電-彈耦合場的精確解為
本節(jié)弓入傳遞矩陣方法[26],用于處理層狀結(jié)構(gòu)問題.假設(shè)層間界面為完美連接,首先處理溫度場的傳遞問題,然后求解電-彈耦合場多層結(jié)構(gòu)問題,最后將溫度場、電場和彈性場的結(jié)果合并,得到一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的熱-電-彈性精確解.
考慮溫度場,對于層合圓柱殼第j層,利用式(11),有
利用式(22),圓柱殼j層任意半徑處的物理量為
式中,溫度場的傳遞矩陣Tj為
考慮電-彈耦合場,對于圓柱殼j層,借助式(20),可以得到
利用式(25),層合圓柱殼j層任意半徑處的物理量可以表示為
式中,矩陣Ej和Sj分別為
將式(23) 和式(26) 中精確解合并,同時重復(fù)利用傳遞矩陣,得到一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的熱電彈性精確解
式中,δj=rj+1/rj,傳遞矩陣Gj(δj)為
本節(jié)主要討論功能梯度指數(shù)因子對溫度場、電場、聲子場和相位子場的影響.考慮3 層功能梯度圓柱殼,第一層和第三層為功能梯度準(zhǔn)晶材料Al-Ni-Co,第二層為均質(zhì)壓電材料BaTiO3,且每層厚度相等,材料常數(shù)見表1[27-29].計算中為避免產(chǎn)生奇異矩陣,晶體的相位子場彈性常數(shù)按照10-8倍的準(zhǔn)晶相位子場彈性常數(shù)選取[30],同時晶體中聲子場-相位子場耦合彈性常數(shù)為0.
表1 材料常數(shù)Table 1 Material Constants
層合圓柱殼的幾何參數(shù)為:內(nèi)表面半徑ra=4 mm,外表面半徑rb=10 mm,角度跨度θ0=1 rad.假設(shè)在功能梯度層合圓柱殼的內(nèi)外表面同時施加溫度載荷,外表面載荷為T(rb)=1K,內(nèi)表面載荷為T(ra)=0.5K.令m=1,指數(shù)因子分別為α=-5,0,5.當(dāng)α=0 時,功能梯度材料退化為均質(zhì)材料.數(shù)值算例中給出的物理量均獨立于圓柱殼角度θ.
圖2 指數(shù)因子對溫度的影響Fig.2 Influence of exponential factor on temperature
圖3 指數(shù)因子對電場的影響Fig.3 Influence of exponential factor on electric field
圖4 為不同指數(shù)因子α 對應(yīng)的聲子場和相位子場應(yīng)力沿半徑方向的變化曲線.圖4(a) 為在圓柱殼界面處連續(xù)的聲子場應(yīng)力.和α=-5 對應(yīng)的相比,α=5 對應(yīng)的最大值更大.此外,α=5 對應(yīng)的在靠近內(nèi)表面處數(shù)值最小,在靠近外表面處數(shù)值最大.從圖4(b)可以看到,相位子場應(yīng)力在中間層為0,因為晶體中不存在相位子場.準(zhǔn)晶層中的隨著α 的增大而增大.
圖4 指數(shù)因子對聲子場和相位子場應(yīng)力的影響Fig.4 Influence of exponential factor on phonon and phason stresses
圖5 給出指數(shù)因子α 對聲子場和相位子場位移的影響.圖5(a)顯示聲子場位移在界面處是連續(xù)的.文中功能梯度材料參數(shù)遵循冪函數(shù)變化規(guī)律,當(dāng)指數(shù)因子α >0 時,功能梯度材料性質(zhì)呈現(xiàn)漸變硬化趨勢,α <0 則呈現(xiàn)漸變軟化特性.所以層合圓柱殼內(nèi)表面隨著α 增大而變小.同時,的大小還與層合圓柱殼半徑有關(guān).因此,不同的指數(shù)因子對應(yīng)的在最外層出現(xiàn)交點.此外,和α=-5 對應(yīng)的相比,α=5 對應(yīng)的在界面處曲線更光滑.在圖5(b)中,和α 對的影響相比,α 對內(nèi)外表面處的相位子場位移的影響較小.
圖5 指數(shù)因子對聲子場和相位子場位移的影響Fig.5 Influence of exponential factor on phonon and phason displacements
本文利用類Stroh 理論和傳遞矩陣方法,研究了一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的熱電彈性耦合問題,基于材料參數(shù)沿徑向呈現(xiàn)冪函數(shù)分布特點,得到了簡支邊界條件下的一維準(zhǔn)晶功能梯度層合圓柱殼的熱電彈性精確解.數(shù)值算例中討論了功能梯度指數(shù)因子對溫度場、電場、聲子場和相位子場的影響.所得結(jié)論如下:
(1)指數(shù)因子的變化影響層合圓柱殼的材料性質(zhì)分布情況,進而對溫度、電勢、電位移、聲子場和相位子場應(yīng)力和位移產(chǎn)生較大的影響.
(2)隨著指數(shù)因子的增大,徑向聲子場應(yīng)力增大,且最大值出現(xiàn)在層合圓柱殼外層.外層中較大的應(yīng)力易于被外層凸面分散,從而提升層合圓柱殼的承載能力.
(3)隨著指數(shù)因子的增大,層合圓柱殼外表面周向聲子場位移略有增大,內(nèi)表面周向聲子場位移減小.此外,周向位移在界面處更為光滑,可有效減緩層合圓柱殼在界面處出現(xiàn)開裂和分層等現(xiàn)象.