彭向峰 李錄賢

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院,機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,陜西省先進(jìn)飛行器服役環(huán)境與控制重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

引言

工程實(shí)際中常見的聚合物、橡膠、凝膠等高彈體以及諸如動脈、肌肉、皮膚等生物物質(zhì)[1],具有高彈性、抗震性、耐磨性等許多優(yōu)良的性能[2].纖維增強(qiáng)超彈性復(fù)合材料更是因?yàn)榫哂袩峤鉁囟雀?、耐老化等特點(diǎn),被廣泛應(yīng)用于固體火箭發(fā)動機(jī)絕熱包覆層中[3-4].這些材料,一般都具有隨機(jī)取向的分子鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),由于分子間相互作用力弱、分子鏈間交聯(lián)點(diǎn)稀疏等特點(diǎn)[5],能夠經(jīng)歷很大變形,且在加載循環(huán)結(jié)束后沒有能量耗散,被稱為是超彈性材料.

不同領(lǐng)域研究者對超彈性材料的關(guān)注角度不同.數(shù)學(xué)家關(guān)注應(yīng)變能函數(shù)的存在性、客觀性及對稱性等基本特性; 材料學(xué)家關(guān)注如何運(yùn)用模型預(yù)測和描述實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象; 應(yīng)用領(lǐng)域的科技工作者關(guān)注的則是通過描述特定實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),對超彈性材料器件的復(fù)雜響應(yīng)進(jìn)行數(shù)值模擬[6].可以看出,建立超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系是所有領(lǐng)域研究者普遍關(guān)注的核心問題[7].

斷裂分析是材料本構(gòu)關(guān)系應(yīng)用的典型問題,復(fù)雜變形模式和大變形構(gòu)成的近裂尖區(qū)完整形貌決定了材料的斷裂行為.線彈性斷裂力學(xué)雖簡潔完美,但由于線彈性理論在描述較大變形方面的局限,嚴(yán)格意義上不適用于裂尖場分析.超彈性材料本構(gòu)模型彌補(bǔ)了線彈性模型在這方面的缺陷,是研究裂尖大變形行為的理想選擇.然而,由于非線性問題的復(fù)雜性和多樣性,人們對超彈性材料本構(gòu)特性的認(rèn)識尚不夠全面,降低了人們通過斷裂分析對裂尖形貌的掌握精度,難以準(zhǔn)確指導(dǎo)實(shí)際的工程設(shè)計(jì).

本文主要從體積變化、變形模式、變形程度3個(gè)不同角度,對超彈性材料本構(gòu)關(guān)系研究的最新進(jìn)展進(jìn)行總結(jié)和分析,并對實(shí)際超彈性材料完全本構(gòu)關(guān)系建立和可壓超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)構(gòu)造等方面的研究工作提出建議.

1 超彈性材料本構(gòu)關(guān)系研究的基本理論

超彈性材料是一類具有大變形能力的非線性彈性材料,其本構(gòu)特性完全取決于它的應(yīng)變能函數(shù)[1,8],因而,超彈性材料性能的研究就是運(yùn)用恰當(dāng)?shù)睦碚摵头椒ù_定該材料的應(yīng)變能函數(shù)W.

根據(jù)連續(xù)介質(zhì)理論,超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)必須遵守“確定性、局部作用性及標(biāo)架無關(guān)性”3 個(gè)基本原則[9].此外,作為規(guī)范化條件,應(yīng)變能函數(shù)及在可壓情形下表示的應(yīng)力在未變形的參考構(gòu)型中還應(yīng)為零(本文研究以假定無初始應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)榍疤?[7].另外,在小變形情形下超彈性理論與線彈性理論的自洽性也是一個(gè)必須遵守的條件.

為使線彈性材料應(yīng)變能函數(shù)具有正定性,應(yīng)變能函數(shù)需滿足C(classical)條件[10],即線彈性材料的剪切模量G和體積模量K均為正,或剪切模量G為正、泊松比的取值范圍為-1 ＜ν ＜0.5.類似地,超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)也需滿足一些附加約束條件,但由于其非線性,這些約束條件表現(xiàn)為多種不同形式,例如:C 條件、B-E (Baker-Ericksen)條件、E (empirical)條件、C-N (Coleman-Noll) 條件、O-F (ordered-force)條件[9]、P-C(pressure compression)條件[11]、Drucker穩(wěn)定性準(zhǔn)則[12]等.需要指出的是,在特殊變形模式下某些條件是等同的,例如等體積變形時(shí)P-C 條件與B-E 條件等同[13];在某些材料的某些變形范圍,某些條件甚至不妥,例如,E 條件對于生物聚合物是一種過度約束,B-E 條件在中等到大應(yīng)變時(shí)則是不正確的[9].多個(gè)領(lǐng)域的研究人員都研究了應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)滿足的條件,但遺憾地發(fā)現(xiàn),除確定性、局部作用性及標(biāo)架無關(guān)性3 個(gè)基本原則以及規(guī)范化等基本條件外,其他對超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)的附加約束條件都不是基本的,其合理性仍值得商榷[7,14].

根據(jù)超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)的3 個(gè)基本原則,應(yīng)變能函數(shù)應(yīng)表示為變形張量不變量I1、I2和I3=J2的函數(shù)W=W1(I1,I2,J),例如Rivlin 類[15],或表示為3 個(gè)主軸方向的主伸縮比λ1,λ2和λ3的函數(shù)W=W2(λ1,λ2,λ3),例如Ogden 類[16].

未變形時(shí)3 個(gè)不變量的值為I1=3,I2=3 和J=1,3 個(gè)主伸長比的值為λ1=λ2=λ3=1,這樣,參考構(gòu)型中無應(yīng)變能的規(guī)范化條件可表示為

可壓材料參考構(gòu)型中無應(yīng)力的規(guī)范化條件可表示為[17]

用不變量表示即為

超彈性材料的拉伸模量、剪切模量、體積模量及泊松比等材料參數(shù)代表了變形過程中的材料特性.

在單軸拉伸變形模式下,超彈性材料的拉伸模量和泊松比可分別定義(除了本文采用的切線方式定義模量外,非線性材料還可采用割線方式定義模量)為E(λ1)=dT1/dλ1和ν(λ1)=-dλ2/dλ1,其中以應(yīng)變能函數(shù)表示的單軸應(yīng)力為[18]

并且,另外兩個(gè)方向的主應(yīng)力為零,即

在簡單剪切變形模式下,剪切模量可定義為G(γ)=dT12/dγ,其中應(yīng)變能函數(shù)表示的剪應(yīng)力為

在純體積變形模式下,體積模量可定義為K(J)=dTm/dJ,其中以應(yīng)變能函數(shù)表示的靜水應(yīng)力為

應(yīng)變能函數(shù)在微小變形時(shí)需與線彈性理論自洽[13],其含義為微小變形時(shí)超彈性材料具有與Hooke線彈性材料相同的物理性質(zhì)[17],一般表現(xiàn)為如下兩個(gè)特性:一個(gè)是微小剪切量γ 時(shí)的剪切模量G(0)與線彈性材料剪切模量 ˉG具有相同的性質(zhì); 另一個(gè)微小純體積變形時(shí)的體積模量K(1)與線彈性材料體積模量ˉK具有相同的性質(zhì).事實(shí)上,由于各向同性線彈性材料只具有兩個(gè)獨(dú)立的材料參數(shù),以單軸應(yīng)力作用下微小變形時(shí)的拉伸模量替代靜水應(yīng)力作用下純體積變形時(shí)的體積模量,將在表述具體模型自洽性條件時(shí)更為簡捷,也可利用更易于實(shí)現(xiàn)的簡單拉伸實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù).

由于非線性問題的復(fù)雜性及多樣性,這些材料參數(shù)常常表現(xiàn)出與線彈性參數(shù)迥異的性態(tài).例如,剪切模量不能僅通過單軸拉伸實(shí)驗(yàn)通過拉伸模量和泊松比來得到,需通過剪切實(shí)驗(yàn)測量[13];在描述體積變形時(shí),體積模量與泊松比不再完全等效,而是前者更為恰當(dāng)[11].采用Hencky 應(yīng)變時(shí)泊松比為常數(shù)0.5,才反映不可壓超彈性材料的體積變化特征[13]; 大多材料小變形時(shí)的泊松比值在0 與0.5 之間[19],但大變形時(shí)軟木塞在軸向壓縮時(shí)的表觀泊松比卻為少見的負(fù)值[20]; 某些木材徑向伸長、橫向收縮時(shí)的表觀泊松比甚至達(dá)到0.6～0.8[21],超出了線彈性理論泊松比值最大為0.5 的上限.最近,Sanborn 和Song[22]實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn),在壓縮變形模式下,硅泡沫材料的泊松比從普通的可壓值轉(zhuǎn)變?yōu)榻豢蓧褐?但準(zhǔn)靜態(tài)和動態(tài)時(shí)又略有不同.

研究超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)形式的方法主要有兩種[23]:第一種是根據(jù)研究者自己的假設(shè),運(yùn)用基本理論,確定函數(shù)的具體形式,例如選取Rivlin 展開式[15]中的前幾項(xiàng),這是一種“先確定后識別” 的方法;另一種是以實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為依據(jù),根據(jù)不同變形模式和/或不同變形范圍時(shí)實(shí)驗(yàn)曲線的變化特征,選取相應(yīng)函數(shù)形式,例如Rivlin 和Saunders[24]及Treloar[25]的工作,這是一種“邊確定邊識別”的方法.

具體超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù)模型分為數(shù)學(xué)模型和物理模型兩類:運(yùn)用連續(xù)介質(zhì)理論,結(jié)合超彈性材料的基本條件,推演得到含模型常數(shù)的數(shù)學(xué)模型,再將其應(yīng)用于材料試驗(yàn)測試結(jié)果,對模型常數(shù)加以識別,最終建立超彈性材料的本構(gòu)關(guān)系[16,26].根據(jù)超彈性材料的分子鏈結(jié)構(gòu)特征,運(yùn)用統(tǒng)計(jì)力學(xué)方法,得到含微觀結(jié)構(gòu)常數(shù)的物理模型.以不變量表示應(yīng)變能函數(shù)時(shí),兩種模型對簡單情形得到的形式相同[5],但參數(shù)的意義不同:例如neo-Hookean 型超彈性材料,其數(shù)學(xué)模型的應(yīng)變能函數(shù)為W1=μ(I1-3)/2,模型常數(shù)μ 在物理上可解釋為微小變形時(shí)的剪切模量G(0)[16];物理模型的應(yīng)變能函數(shù)為W1=nkθ(I1-3)/2,除Boltzmann 常數(shù)k和絕對溫度θ 外,唯一的材料參數(shù)n具有分子鏈密度[5]的物理含義.數(shù)學(xué)模型可根據(jù)實(shí)驗(yàn)測試數(shù)據(jù)進(jìn)行調(diào)整,以反映非線性的多樣性;物理模型則可對變形機(jī)制給予物理解釋,例如應(yīng)變能函數(shù)中I1的高階項(xiàng)反映了網(wǎng)絡(luò)伸長行為的非高斯分布特性[27-28].由于與微觀分子結(jié)構(gòu)建立了物理關(guān)聯(lián),物理模型常常含有較少的材料常數(shù),例如三鏈模型[29]、四鏈模型[30]、八鏈模型[31]和全網(wǎng)模型[32-33]均只含有兩個(gè)材料參數(shù).特別地,基于微觀結(jié)構(gòu)統(tǒng)計(jì)方法的物理模型為描述更復(fù)雜變形模式和更大變形范圍給予了啟發(fā)和指導(dǎo)[5].研究表明[6],結(jié)合數(shù)學(xué)模型和物理模型,運(yùn)用協(xié)同多尺度方法,可建立更符合具體超彈性材料的本構(gòu)模型.

總之,由于非線性超彈性材料性能及其表征的復(fù)雜性和多樣性,建立本構(gòu)模型時(shí)需要考慮6 方面因素[23].

(1)基本理論:本構(gòu)模型必須符合理論所要求的3 個(gè)基本原則及規(guī)范化要求.

(2)附加約束:本構(gòu)模型及其參數(shù)需要滿足某些附加約束條件.

(3)變形模式:由于本構(gòu)參數(shù)與變形模式有關(guān),根據(jù)一種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)確定的本構(gòu)參數(shù),只適用于該類變形模式或被理論證明的等效變形模式,因而,本構(gòu)模型還需適用于多種變形模式[9].

(4)變形范圍:由于不同變形階段的物理機(jī)理不同、變形規(guī)律差異較大,本構(gòu)模型必須適用于理論上允許的整個(gè)變形范圍,換句話說,只適用于小變形和中等變形的模型,不適合被用來進(jìn)行變形很大的裂尖場分析.

(5) 函數(shù)形式相對簡單,參數(shù)盡可能少:為便于實(shí)際應(yīng)用,本構(gòu)模型應(yīng)選用含有較少參數(shù)的函數(shù)形式,在小變形時(shí)保持與線彈性模型自洽,盡管從實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)角度這種較簡單模型的預(yù)測效果并不是最佳[34];實(shí)際上,具有更多參數(shù)的復(fù)雜模型,有時(shí)反而造成對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的過度擬合[35].

(6)參數(shù)具有明確的物理意義:若采用物理模型,其中的常數(shù)本身就具有物理意義; 若采用數(shù)學(xué)模型,其中的常數(shù)應(yīng)通過規(guī)范化條件等賦予其物理意義.這是力學(xué)方式區(qū)別于數(shù)學(xué)方式研究本構(gòu)模型的一個(gè)顯著特征.

2 研究現(xiàn)狀

2.1 不可壓與可壓本構(gòu)關(guān)系研究

2.1.1 不可壓本構(gòu)關(guān)系研究現(xiàn)狀

實(shí)驗(yàn)表明,大多超彈性材料具有體積變化非常小的特征[26],加之不可壓條件極大簡化了超彈性材料性能的理論研究及工程應(yīng)用,因而,對不可壓型超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)的研究是一項(xiàng)基本而重要的工作.

物理上,材料不可壓時(shí)的形狀改變由構(gòu)型熵變化弓起[5],此時(shí)體積比J=1,只有不變量I1和I2是最基本的.目前已提出許多不可壓型應(yīng)變能函數(shù),文獻(xiàn)[23]的附錄中列出了其中的29 種.

總體而言,不可壓超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)的研究有3 個(gè)突破性工作.

第一個(gè)突破是基于Mooney[36]和Rivlin[14]早期工作建立的Mooney-Rivlin 類模型,是一類數(shù)學(xué)模型,其形式為[37]

式中,Cij是模型常數(shù).

這類模型以第一變形張量不變量I1和第二變形張量不變量I2的級數(shù)形式表示,是基于連續(xù)介質(zhì)理論、運(yùn)用張量代數(shù)表示的超彈性非線性理論,可較好描述小變形和中等程度大變形的超彈性本構(gòu)關(guān)系,是迄今描述各向同性超彈性材料本構(gòu)關(guān)系較為常用的模型[38].這類工作還包括Yeoh 模型[39]、Gent-Thomas模型[40]以及Carroll 模型[26]等.最近,Liu 等[41]在neo-Hookean 模型基礎(chǔ)上提出了一種四參數(shù)膠原纖維卷曲本構(gòu)模型,由于考慮了卷曲度和膠原纖維分散系數(shù)的影響,可更好表征角膜前中央基質(zhì)以及其他生物軟組織的超彈性力學(xué)性能.

第二個(gè)突破是Ogden 類模型,也是一類數(shù)學(xué)模型,其形式為[16]

式中,μp與αp是模型常數(shù).

這類模型采用Valanis-Landel 假設(shè)[42],以主伸縮比λi表示應(yīng)變能函數(shù),首次在理論上實(shí)現(xiàn)了對多個(gè)變形模式、較大應(yīng)變范圍實(shí)驗(yàn)曲線的準(zhǔn)確預(yù)測,被認(rèn)為是非線性彈性建模方面的重要進(jìn)展[6].

第三個(gè)突破是運(yùn)用基于分子網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的細(xì)觀統(tǒng)計(jì)力學(xué)途徑獲得的應(yīng)變能函數(shù),是一類物理模型,其形式以不變量或主伸縮比表示.例如Gent 模型[43]及由此而發(fā)展的Gent-Gent 模型[44],其形式分別為

式中,C1和C2為普通模型常數(shù),Im是分子鏈結(jié)構(gòu)極限伸長參數(shù).

可以看出,物理模型都具有參數(shù)少的優(yōu)點(diǎn),但也可含有缺乏物理意義的模型常數(shù),反映了物理模型的另一方面重要應(yīng)用.

2.1.2 可壓本構(gòu)關(guān)系研究現(xiàn)狀

諸如橡膠等超彈性材料,雖然一般認(rèn)為不可壓,但實(shí)際上只是近不可壓的,準(zhǔn)確的本構(gòu)模型需要考慮其體積可壓性;在受約束條件下,即使很小的體積變化,對材料的響應(yīng)都將產(chǎn)生重要影響[5];在多孔固體的大變形過程中,常常伴隨明顯的體積變化,本構(gòu)模型必須具有描述體積改變的能力.另外,運(yùn)用有限元方法模擬超彈性材料復(fù)雜變形時(shí),可壓材料模型更加自然,可避免不可壓模型對不可壓約束的額外處理[45-46]; 常見的線彈性材料都具有明顯的體積變化特征(線彈性材料的泊松比一般在0.3 左右),只有可壓超彈性材料模型才能成為小變形線彈性模型在大變形方面的自然延伸.這些都表明,計(jì)及體積變化的可壓超彈性材料本構(gòu)關(guān)系,理論上才更完善、工程應(yīng)用中也才更準(zhǔn)確.

物理上,超彈性材料的體積改變由內(nèi)能變化所弓起[5].但為了利用已有不可壓本構(gòu)關(guān)系的研究成果,可壓超彈性材料應(yīng)變能函數(shù)一般通過解除不可壓約束J=1 予以建立[5],據(jù)此,可壓模型可分為兩類.

第一類模型是將不可壓應(yīng)變能函數(shù)理解為與體積變形無關(guān)的等積(偏量) 應(yīng)變能,再添加僅與體積比J有關(guān)的體積(靜水)應(yīng)變能部分[23],其形式為

第二類模型是將不可壓應(yīng)變能函數(shù)理解為體積比J→1 時(shí)的極限應(yīng)變能部分,再添加僅與體積比J有關(guān)的應(yīng)變能部分,其形式為

對于靜水壓力狀態(tài),式(12) 描述的體積變化特征為

式(13)描述的體積變化特征則為

式(15) 表明,式(13) 第二類可壓模型的兩部分都與體積變形有關(guān);另外,通過體積模量與剪切模量的比值變大,該模型可很好模擬材料的近不可壓特性[5].

第一類可壓模型的典型代表是Flory 模型[47]和可壓Mooney-Rivlin 模型,其應(yīng)變能函數(shù)分別為

Kumar 和Rao[48]依據(jù)式(8) 的一般Mooney-Rivlin 模型進(jìn)行了可壓本構(gòu)關(guān)系研究,分析了項(xiàng)數(shù)對材料本構(gòu)關(guān)系的影響,發(fā)現(xiàn)項(xiàng)數(shù)增多使得應(yīng)力應(yīng)變曲線的拐點(diǎn)增多,C01值的大小影響應(yīng)力應(yīng)變曲線的非線性程度.

Blatz 和Ko[49]根據(jù)唯象連續(xù)介質(zhì)理論提出的模型是第二類可壓模型的典型代表,其應(yīng)變能函數(shù)可表示為

式中,f∈[0,1]在模型中是一個(gè)比例參數(shù),β=ν/(1-2ν)是與泊松比有關(guān)的材料常數(shù).

式(18)的Blatz-Ko 模型已廣泛用于模擬多孔材料等可壓各向同性非線性固體,在微小變形時(shí)可退化為如下的Gent-Thomas 模型[40,50]

St Venant-Kirchhoff模型[1]可歸為式(13) 取f2(J)=0 的特殊情形,因而也具有描述材料可壓行為的能力; 進(jìn)一步研究表明[51],因I2項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值而不滿足多凸性附加條件,該模型在一定變形范圍時(shí)將產(chǎn)生體積比J為負(fù)的非物理結(jié)果.

可壓模型的建立需要對體積變形的實(shí)驗(yàn)測試,然而,這方面只有早前的少量報(bào)道.例如,Penn[52]及Fong 和Penn[53]采用膨脹儀測試了單軸拉伸過程中的體積改變,雖只得到了相對較小變形時(shí)的數(shù)據(jù),但觀察到了體積改變增大率隨伸縮比增大而減小的規(guī)律.Adams 和Gibson[54]與Bridgman[55]分別開展了天然樹膠的靜水壓縮實(shí)驗(yàn),將試件置于帶有活塞的圓柱型流體槽中,通過移動活塞壓縮流體,改變試件所受壓力.實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,對于相對較大的體積變化(例如J=0.8),材料的壓力隨體積變化呈高度非線性,為體積應(yīng)變能函數(shù)形式的構(gòu)造提供了依據(jù).

式(12)第一類可壓型應(yīng)變能函數(shù)的加和分解在運(yùn)用有限元方法進(jìn)行變形分析時(shí)具有優(yōu)勢,但這種分解只是一種假設(shè),并不是變形(或變形梯度) 張量極分解的必然結(jié)果,無小體積變化約束時(shí)會造成試件“拉伸時(shí)變厚、壓縮時(shí)變薄”等非物理的大變形行為[45].Ogden[56]曾建議在第一類可壓模型中再弓入等積和體積兩部分耦合的第三部分應(yīng)變能,然而,耦合項(xiàng)的存在喪失了本構(gòu)關(guān)系中應(yīng)力張量和彈性張量可分離的優(yōu)勢,更增加了確定耦合項(xiàng)參數(shù)的困難.

2.2 全變形范圍本構(gòu)關(guān)系研究

超彈性材料的隨機(jī)取向分子鏈網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu),使其具有承受較大變形的能力,例如Treloar 對硫化橡膠的單軸拉伸實(shí)驗(yàn),軸向伸長比λ 達(dá)到了7.6[25].但是,不是所有本構(gòu)模型,都能夠很好地描述從小變形到中等變形、再到較大變形的完整變形過程.如圖1 所示,對于氯丁二烯橡膠的大變形,基于交聯(lián)聚合物鏈統(tǒng)計(jì)熱力學(xué)得到的neo-Hookean 模型只適用于初始線性范圍的橡膠類材料[57],三階Ogden 模型比簡單的neo-Hookean 模型則更加適合[58].

圖1 neo-Hookean 模型和三階Ogden 模型對氯丁二烯橡膠大變形的適用性[58]Fig.1 Applicability of neo-Hookean model and Ogden 3rd model for Chloroprene rubber[58]

Destrade 等[7]的定量工作表明,對于小到中等變形階段,應(yīng)變能函數(shù)W必須是兩個(gè)不變量I1和I2的函數(shù),排除了Yeoh 模型等W=W(I1)型廣義neo-Hookean 類模型用于中等變形階段的可能; Mooney-Rivlin[37]、Gent-Thomas[40]和Carroll[26]三種不同模型由于都含有兩個(gè)不變量,它們對這兩個(gè)變形階段(例如1 ≤λ ＜4)都能進(jìn)行很好預(yù)測,如圖2 所示.鑒于得到了不依賴應(yīng)變能函數(shù)具體形式的結(jié)論,該工作被認(rèn)為是超彈性材料本構(gòu)關(guān)系研究方面的一項(xiàng)重要工作.

圖2 W=W(I1,I2)型應(yīng)變能函數(shù)對不同變形階段的預(yù)測效果[7]Fig.2 Predictions of strain energy functions described by W=W(I1,I2)for different deformation regions[7]

圖2 W=W(I1,I2)型應(yīng)變能函數(shù)對不同變形階段的預(yù)測效果[7](續(xù))Fig.2 Predictions of strain energy functions described by W=W(I1,I2)for different deformation regions[7](continued)

建立能描述全變形范圍拉伸實(shí)驗(yàn)的本構(gòu)模型,需要與實(shí)際實(shí)驗(yàn)曲線相結(jié)合的建模步驟.Destrade等[7]還對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了Mooney 圖變換g(z)–z,即橫軸運(yùn)用伸縮比的倒數(shù)z=1/λ、縱軸運(yùn)用折算應(yīng)力g(z).這樣,如圖3 所示,整個(gè)拉伸曲線被劃分為變形機(jī)制不同的3 個(gè)階段:第一階段是小到中等變形階段,此時(shí)聚合物鏈容易展開,Mooney 圖幾乎為直線.第二階段是應(yīng)變硬化階段,此時(shí)成束鏈團(tuán)的展開使得材料的剛度增加,表現(xiàn)為Mooney 圖中曲線的“向上翻轉(zhuǎn)”.第三階段是分子鏈的極限伸長階段,隨著分子鏈拉伸至其極限,材料出現(xiàn)了劇烈的剛化現(xiàn)象.三個(gè)階段的特征分別通過不同的函數(shù)形式在應(yīng)變能函數(shù)中予以反映,最終得到的應(yīng)變能函數(shù)為

式中,C1,C2,C3與n均為模型常數(shù).

式(20) 對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的全變形范圍能很好擬合,在統(tǒng)計(jì)力學(xué)框架內(nèi)還可給出物理解釋,是數(shù)學(xué)模型與物理模型相結(jié)合開展超彈性材料全變形范圍非線性本構(gòu)關(guān)系研究的典型案例.對Treloar[25]經(jīng)典實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)及Dobrynin 和Carrillo[59]數(shù)據(jù)的分析結(jié)果表明,Pucci 和Saccomandi[44]提出的三參數(shù)Gent-Gent 模型能表征橡膠類非線性彈性材料完整變形過程,五參數(shù)Carillo-Dobryin 模型也是一種很好的選擇,并通過預(yù)測簡單剪切實(shí)驗(yàn)對這兩個(gè)模型的強(qiáng)健性進(jìn)行了驗(yàn)證.

圖3 典型拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的Mooney 圖變換[7]Fig.3 Mooney plots of typical uniaxial tension’s data[7]

同樣基于Treloar 的單軸拉伸數(shù)據(jù),Beda[23]通過對整個(gè)變形過程進(jìn)行分級和漸進(jìn)式增加高階項(xiàng)的做法,提出逐步分析法,研究全變形范圍的不可壓超彈性材料的應(yīng)變能函數(shù).由于只有實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與前一步模型預(yù)測的偏差在增加項(xiàng)預(yù)測時(shí)起作用,因此新增加項(xiàng)不影響在前一步已很好預(yù)測的變形階段,從而轉(zhuǎn)化成非線性優(yōu)化問題并加以求解,得到的應(yīng)變能函數(shù)為

式中,C,K,α 和β 為模型常數(shù).

式(21) 推廣了Hart-Smith 模型[60],并再次證實(shí)了第二不變量I2在應(yīng)變能函數(shù)中的關(guān)鍵作用.

依據(jù)小變形到中等變形、再到大變形的全變形范圍的單軸拉伸實(shí)驗(yàn),學(xué)者們開展了卓有成效的研究工作,得到了式(20) 和式(21) 等全新形式的本構(gòu)模型,它們更符合具體材料的實(shí)驗(yàn)曲線特征.

2.3 多種變形模式本構(gòu)關(guān)系研究

單軸拉伸的實(shí)驗(yàn)測試和理論研究固然非?；竞椭匾?但實(shí)際問題的變形場往往是復(fù)雜多樣的,多種不同的變形模式同時(shí)存在,因而,本構(gòu)關(guān)系的研究還應(yīng)考慮對單軸拉伸以外其他多種變形模式的適用性.不可壓各向同性材料一般具有3 對共6 種均勻變形模式,即單軸拉伸與等雙軸壓縮、單軸壓縮與等雙軸拉伸以及純剪切與面內(nèi)壓縮[9].因此,每對中各取其一的單軸拉伸、單軸壓縮及純剪切3 種變形模式被稱為基本變形模式.在材料試驗(yàn)中,最常見的變形模式為單軸或雙軸拉伸[34],較少見的是簡單剪切或純剪切以及扭轉(zhuǎn)[61],更少見的則是復(fù)合剪-拉或復(fù)合扭-拉[62],能包含3 種基本變形模式的完整的材料實(shí)驗(yàn)并不多見.

研究應(yīng)變能函數(shù)對多種變形模式的適用性,考察不同變形模式時(shí)模型常數(shù)的差異,是超彈性材料本構(gòu)關(guān)系研究的一項(xiàng)重要工作.Ogden[16]研究表明,neo-Hookean 模型僅能描述橡膠在小到中等程度的剪切變形,但增加了I2的Mooney–Rivlin 模型其適應(yīng)性可明顯改善,對橡膠特性的預(yù)測與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)更吻合[6].雖尚不能從理論上解釋neo-Hookean 模型和Mooney-Rivlin 模型產(chǎn)生差異的原因,但實(shí)例分析表明[24,63],為了適應(yīng)更多不同的變形模式,應(yīng)變能函數(shù)都需包含第二不變量I2.

Carroll[26]詳細(xì)分析了3 組典型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),即Treloar[25]給出的簡單拉伸、純剪切、復(fù)合剪-拉以及等雙軸拉伸的數(shù)據(jù),Rivlin 和Saunders[24]給出的簡單拉伸、純剪切以及復(fù)合剪-拉數(shù)據(jù)及一個(gè)主變量不變而其他主變量變化等多種實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),以及Jones和Treloar[64]給出的面內(nèi)一個(gè)主伸長不變、另一個(gè)變化的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù).基于其共有的“曲線形狀不變性”[42],他提出了建立本構(gòu)模型的3 步驟方法:第一步用neo-Hookean 模型進(jìn)行模擬,識別參數(shù),使neo-Hookean 模型在一定變形范圍內(nèi)(例如1 ＜λ ＜4.5)對Treloar 的拉伸數(shù)據(jù)能夠準(zhǔn)確模擬; 第二步建立變形范圍修正模型,計(jì)算neo-Hookean 模型對更大變形范圍Treloar拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)預(yù)測的應(yīng)力殘差,藉此提出變形范圍修正模型并識別其參數(shù); 第三步建立模式修正模型,計(jì)算前兩步所得模型對Treloar 等雙軸拉伸這一不同變形模式實(shí)驗(yàn)預(yù)測的應(yīng)力殘差,藉此提出模式修正模型并識別其參數(shù).最終,通過3 步分別得到的應(yīng)變能函數(shù)的加和,得到可適用于多種變形模式的應(yīng)變能函數(shù)為

式中,A,B和C為模型常數(shù).該模型對實(shí)際多種變形模式的預(yù)測效果如圖4 所示.

圖4 式(22)對Treloar 的單軸拉伸和等雙軸拉伸兩種模式實(shí)驗(yàn)結(jié)果的預(yù)測效果[26]Fig.4 The predictions of Eq.(22)for Treloar’s uniaxial tension and biaxial tension[26]

利用Gent[43]弓入的分子鏈結(jié)構(gòu)極限伸長參數(shù)Im,并通過新增項(xiàng),Carroll[65]新近對Treloar 等雙軸拉伸全變形范圍的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了很好擬合,得到了可同時(shí)適用于拉伸和等雙軸拉伸模式的全變形范圍的應(yīng)變能函數(shù)為

式(22) 和式(23) 在函數(shù)形式上非常接近,這一有趣現(xiàn)象表明,從宏觀實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)角度,采用式(21)的數(shù)學(xué)模型和式(22) 的物理模型,都可獲得適合多變形模式的超彈性材料本構(gòu)關(guān)系.

3 研究展望

實(shí)際上,從物理學(xué)觀點(diǎn),超彈性材料本構(gòu)關(guān)系必須是普遍的,雖不苛求其能夠描述所有超彈性材料的力學(xué)行為,但要求其能夠描述某種具體材料多種變形模式下全變形范圍的非線性力學(xué)特性,因而,對不同變形模式及不同變形范圍的適用性是超彈性材料本構(gòu)關(guān)系研究的重要課題,同時(shí)也是本構(gòu)關(guān)系在斷裂分析等超彈性材料實(shí)際應(yīng)用中迫切需要解決的根本問題[7].

3.1 完全本構(gòu)關(guān)系研究

依據(jù)等雙軸拉伸實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù),Carroll[26,65]研究了其全變形范圍的本構(gòu)關(guān)系,與單軸拉伸相比,變形模式中涵蓋了等雙軸拉伸,雖然還只是一種等效的單向壓縮模式; 同時(shí)研究了單軸拉伸、純剪切及復(fù)合剪-拉3 種多種變形模式,但變形范圍又相對較小(λ ＜4).因而,仍需開展超彈性材料的建模方法研究,以建立適用于多種變形模式、能描述全變形范圍的超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系.

3.1.1 多變形模式本構(gòu)關(guān)系

研究發(fā)現(xiàn),應(yīng)變能函數(shù)的具體形式對其描述能力及有限元數(shù)值實(shí)現(xiàn)將產(chǎn)生重要影響[7].對于非線性材料,根據(jù)一種變形模式所建立的本構(gòu)模型對其他變形模式可能效果很差、甚至不適用[9].

筆者認(rèn)為,以小到中等變形范圍(例如單軸拉伸時(shí)1 ≤λ ≤3)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)為對象,可通過“賦初始模型-增加修正項(xiàng)-多模式驗(yàn)證”的研究步驟,開展多變形模式本構(gòu)關(guān)系研究:第一步賦初始模型,即以某模型(例如neo-Hookean 模型或Mooney-Rivlin 模型)為初始模型,以單軸拉伸(基本變形模式) 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行參數(shù)識別;第二步增加修正項(xiàng),即針對另一典型(例如等雙軸拉伸或剪切)變形模式,根據(jù)初始模型的預(yù)測差異,結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)模型或相應(yīng)變形機(jī)制的物理模型,確定修正項(xiàng)函數(shù),進(jìn)行參數(shù)識別;第三步進(jìn)行多模式驗(yàn)證,即將模型用于其他變形模式,驗(yàn)證對更多變形模式的適用性,確認(rèn)模型的強(qiáng)健性.

多變形模式本構(gòu)關(guān)系,適用于小到中等變形范圍的超彈性材料的復(fù)雜響應(yīng)分析,但對裂尖區(qū)變形很大的斷裂問題分析仍不適用.

3.1.2 完全本構(gòu)關(guān)系

超彈性材料的單軸拉伸實(shí)驗(yàn)曲線一般都有一個(gè)明顯的大變形階段,例如Treloar 單軸拉伸實(shí)驗(yàn)的伸長比λ 達(dá)7.6,對應(yīng)工程應(yīng)變超600%,因而,全變形范圍本構(gòu)模型不僅具有理論研究意義,而且具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.

將多模式本構(gòu)關(guān)系延伸至全變形范圍,可建立超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系:以較大變形程度(例如單軸拉伸時(shí)λ ＞3) 的拉伸實(shí)驗(yàn)為依據(jù),以多變形模式本構(gòu)關(guān)系為初始模型,運(yùn)用“賦初始模型-增加修正項(xiàng)-多模式驗(yàn)證”的研究步驟,構(gòu)造應(yīng)變能函數(shù),建立超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系.

理論上,完全本構(gòu)關(guān)系完整描述了超彈性材料的非線性特性,可應(yīng)用于所有情形的力學(xué)響應(yīng)分析,包括實(shí)際結(jié)構(gòu)的復(fù)雜應(yīng)力場問題和裂紋尖端的大變形場問題.

3.2 不可壓與可壓本構(gòu)關(guān)系的相關(guān)性研究

由于不可壓材料的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)最為豐富,3.1 節(jié)展望了不可壓完全本構(gòu)關(guān)系的研究.實(shí)際的超彈性材料一般只是近不可壓的,可壓超彈性材料本構(gòu)模型在理論上更一般,在微小體積變形時(shí)還可退化為不可壓模型,因而,研究可壓超彈性材料的完全本構(gòu)關(guān)系在力學(xué)理論和工程應(yīng)用上都具有重要意義.

對于超彈性材料,首先研究較簡單的不可壓型本構(gòu)關(guān)系,再經(jīng)擴(kuò)充發(fā)展成為可壓型本構(gòu)關(guān)系,符合人類的認(rèn)知過程;從科學(xué)研究的角度,從更一般的可壓型本構(gòu)關(guān)系出發(fā),通過不可壓條件進(jìn)行退化,可揭示材料不可壓特性的物理機(jī)制.事實(shí)上,一種簡單的不可壓模型會通過性能差異很大的多個(gè)不同的復(fù)雜可壓模型退化而來,單從不可壓模型難以追溯得到材料自身獨(dú)特的可壓或近不可壓特性.所以,不可壓與可壓本構(gòu)關(guān)系的相關(guān)性問題是一個(gè)嚴(yán)肅的科學(xué)問題.

以硫化橡膠材料為例,Fong 和Penn[53]進(jìn)行了單軸拉伸實(shí)驗(yàn)研究,同時(shí)獲得了拉伸應(yīng)力與伸長比的關(guān)系曲線和體積比與伸長比的關(guān)系曲線.他們運(yùn)用兩項(xiàng)不可壓Mooney-Rivlin 模型,取應(yīng)變能函數(shù)為

通過對拉伸應(yīng)力與伸長比關(guān)系曲線擬合,得到模型常數(shù)為C10=0.181 MPa 和C01=0.082 MPa.

根據(jù)與線彈性理論的自洽性,由式(24) 得到該材料的初始剪切模量為=2(C10+C01)=0.526 MPa.

若依式(12) 建立形如式(17) 的第一類可壓Mooney-Rivlin 模型,通過對拉伸應(yīng)力與伸長比關(guān)系曲線和體積比與伸長比關(guān)系曲線同時(shí)進(jìn)行擬合,Horgan 和Murphy[46]得到式(17)中的模型常數(shù)為C10=0.092 MPa,C01=0.237 MPa 和d=1000.1 MPa.

根據(jù)與線彈性理論的自洽性,由式(17) 得到該材料的初始剪切模量為=2(C10+C01)=0.658 MPa,初始體積模量=2d=2000.2 MPa,進(jìn)而得到初始泊松比ν=0.4998.與式(24)不可壓模型相比,初始剪切模量相差25.1%.

若依式(13) 建立第二類可壓Mooney-Rivlin 模型,其應(yīng)變能函數(shù)取為

通過對拉伸應(yīng)力與伸長比關(guān)系曲線和體積比與伸長比關(guān)系曲線同時(shí)進(jìn)行擬合,在相關(guān)系數(shù)R2=0.998 6時(shí),可得到式(25)中的模型常數(shù)為C10=0.307 MPa,C01=-0.157 MPa 和d=1605.4 MPa.

根據(jù)與線彈性理論的自洽性,由式(25) 得到該材料的初始剪切模量為=2(C10+C01)=0.300 MPa,初始體積模量=2d-8(C10+C01)/3=1605 MPa,進(jìn)而得到初始泊松比ν=0.499 9.與式(24)不可壓模型相比,初始剪切模量相差達(dá)43.0%.

上述兩種可壓模型,雖然都得到了接近于0.5 的近不可壓初始泊松比,但由于C10和C01兩個(gè)與不可壓特性密切相關(guān)的模型常數(shù)值差異較大、甚至發(fā)生了正負(fù)號變更,可以說不能退化為相應(yīng)的不可壓Mooney-Rivlin 模型,特別是,關(guān)鍵的初始剪切模量相差懸殊.

為此,在建立可壓超彈性模型時(shí),應(yīng)當(dāng)根據(jù)不可壓模型已得到的模型常數(shù),進(jìn)一步構(gòu)造體積變化影響項(xiàng).

本小節(jié)的初步分析表明,對于超彈性材料,從不可壓本構(gòu)到可壓本構(gòu)的延拓,仍有一些值得研究的新問題.

4 結(jié)論

近一百年、特別是第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束之后的七十余年來,對超彈性材料的性能研究已經(jīng)取得了豐碩成果,在科學(xué)研究和工程應(yīng)用的多個(gè)方面得到了應(yīng)用.然而,模型的多樣性及差異性從側(cè)面折射出人們對目前狀況的不滿足及該問題研究的開放性.

超彈性材料性能理論研究和實(shí)際應(yīng)用的最基礎(chǔ)問題是真實(shí)而完整的本構(gòu)關(guān)系研究,雖已提出超30種(類)模型,但仍有很大的發(fā)展空間.本文對超彈性材料本構(gòu)關(guān)系的基本理論、發(fā)展史上的重要進(jìn)展及目前的最新成果進(jìn)行了梳理,分析了超彈性材料完全本構(gòu)關(guān)系研究的理論價(jià)值和工程意義,對超彈性材料性能的進(jìn)一步研究及其他非線性材料性能的研究也大有裨益.