李妍 何天虎 田曉耕,2)

*(西安交通大學(xué)機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動(dòng)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,西安 710049)

?(蘭州理工大學(xué)理學(xué)院,蘭州 730050)

引言

超短激光脈沖是指脈沖持續(xù)時(shí)間在飛秒到皮秒的激光脈沖,其具有功率密度高、持續(xù)時(shí)間短、加工精度高等優(yōu)勢(shì).自1960 年Maiman[1]發(fā)現(xiàn)激光以來(lái),超短激光脈沖技術(shù)已廣泛應(yīng)用于鉆孔、切割、微納尺度加工、微電子器件制造等領(lǐng)域,并在生物醫(yī)療、核聚變和光通信等領(lǐng)域有著廣闊的應(yīng)用前景.在超短激光脈沖加熱時(shí),高強(qiáng)度的能量通量會(huì)在邊界上弓起極大的溫度梯度和超高的加熱速度[2],并會(huì)弓起材料中產(chǎn)生傳質(zhì)現(xiàn)象.因此,超短激光脈沖熱源加熱所產(chǎn)生的熱應(yīng)力問(wèn)題在其實(shí)際應(yīng)用中不容小覷.Wang和Xu[3]研究了受激光脈沖加熱的半無(wú)限大體中平面波的廣義熱彈問(wèn)題,并說(shuō)明了溫度與應(yīng)變率之間的耦合效應(yīng);Youssef 和El-Bary[4]在廣義熱彈性理論(L-S,G-L 和G-N)的背景下,研究了受非Gaussian 激光脈沖加熱(脈沖持續(xù)時(shí)間為2 ps)的均勻各向同性半無(wú)限大體的溫度場(chǎng)和應(yīng)力場(chǎng);Elhagary[5]基于考慮一個(gè)松弛時(shí)間的廣義熱彈擴(kuò)散理論,研究了邊界面受激光脈沖束加熱和時(shí)間相關(guān)的化學(xué)勢(shì)沖擊的厚板,結(jié)果表明:擴(kuò)散對(duì)溫度和位移影響較小,而對(duì)應(yīng)力影響顯著;Othman 和Eraki[6]基于雙相位滯后(DPL)模型,研究了受非Gaussian 激光脈沖加熱的各向異性半無(wú)限大體的熱彈響應(yīng);許光映等[7]基于分?jǐn)?shù)階理論,研究了非高斯分布激光熱源輻射下半無(wú)限大體內(nèi)部的復(fù)雜傳熱過(guò)程及熱變形,給出了溫度場(chǎng)和熱應(yīng)力場(chǎng)的解析解;王殿?lèi)鸬萚8]以深刻揭示減阻機(jī)理為目的,針對(duì)激光與正激波相互作用這一基本物理現(xiàn)象開(kāi)展了實(shí)驗(yàn)研究,發(fā)展高精度紋影技術(shù)以測(cè)量復(fù)雜激波結(jié)構(gòu).

擴(kuò)散現(xiàn)象是指物質(zhì)分子從高濃度區(qū)域向低濃度區(qū)域轉(zhuǎn)移直至均勻分布的現(xiàn)象,鋼件的表面滲碳法(提高鋼件的硬度)、滲鋁法(提高鋼件的耐熱性),都利用了擴(kuò)散現(xiàn)象.擴(kuò)散現(xiàn)象由菲克定律描述,但菲克定律只考慮了擴(kuò)散過(guò)程中傳質(zhì)通量與濃度梯度間的關(guān)系,并未考慮物質(zhì)與基體間的相互作用以及電、磁、熱、彈等多物理場(chǎng)間的耦合效應(yīng).為了克服上述缺陷,Nowacki[9]提出耦合熱彈擴(kuò)散理論,該理論認(rèn)為:不論物體中傳熱傳質(zhì)過(guò)程的機(jī)理如何,都應(yīng)服從經(jīng)典的傅里葉定律和菲克定律.然而,由傅里葉熱傳導(dǎo)定律的控制方程q(r,t)=-κ?T(r,t) 可知:熱流矢量與溫度梯度同步,這預(yù)測(cè)著熱在介質(zhì)中以無(wú)限大速度傳播,即:當(dāng)介質(zhì)中某一點(diǎn)受到熱擾動(dòng)時(shí),這種擾動(dòng)效應(yīng)瞬間會(huì)在無(wú)限遠(yuǎn)處被感知,這一點(diǎn)與實(shí)驗(yàn)觀測(cè)相悖.Maxwell[10]提出熱以波的形式進(jìn)行傳播,Peshkov[11]在超流液態(tài)He 中發(fā)現(xiàn)了熱波,有力證明了熱量傳播過(guò)程中波動(dòng)效應(yīng)的存在,即熱以有限大速度傳播.與此同時(shí),對(duì)于某些極端傳熱傳質(zhì)過(guò)程,例如:極短時(shí)間、極高溫度梯度、時(shí)間空間皆屬微尺度的問(wèn)題,傅里葉定律和菲克定律不再適用.鑒于此,Sherief 等[12]建立了廣義熱彈擴(kuò)散理論,該理論預(yù)測(cè)熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散均以有限速度傳播,可準(zhǔn)確描述極端條件下的傳熱傳質(zhì)過(guò)程.基于廣義熱彈擴(kuò)散理論,Xia 和Tian[13]采用有限單元法,研究了表面受熱沖擊的無(wú)限長(zhǎng)中空柱的瞬態(tài)響應(yīng),結(jié)果表明:對(duì)于廣義熱彈擴(kuò)散問(wèn)題,有限元法是一種有效且精確的數(shù)值方法.Li 等[14]研究了具有可變熱傳導(dǎo)系數(shù)和擴(kuò)散系數(shù)的半無(wú)限大體的瞬態(tài)熱彈擴(kuò)散響應(yīng),該結(jié)構(gòu)表面應(yīng)力自由且受時(shí)間相關(guān)的熱和化學(xué)勢(shì)沖擊.Li 和Yu[15]建立了廣義電磁熱彈擴(kuò)散耦合控制方程,研究了各向同性導(dǎo)電半無(wú)限大體中旋轉(zhuǎn)效應(yīng)對(duì)熱彈擴(kuò)散響應(yīng)的影響.Li 和Guo[16]利用混合拉普拉斯變換-有限元方法,研究了考慮旋轉(zhuǎn)效應(yīng)的磁熱彈擴(kuò)散問(wèn)題的瞬態(tài)響應(yīng).

Sherief 等[12]發(fā)展的整數(shù)階廣義熱彈擴(kuò)散理論只能描述力學(xué)過(guò)程某時(shí)刻的變化和力學(xué)過(guò)程在空間某一確定位置的局部性質(zhì),對(duì)于某些反常擴(kuò)散現(xiàn)象,即本構(gòu)關(guān)系不服從標(biāo)準(zhǔn)梯度率的現(xiàn)象,其物理和力學(xué)過(guò)程通常涉及記憶和遺傳、路徑依賴(lài)以及全局相關(guān)性,此時(shí),由分?jǐn)?shù)階廣義熱彈擴(kuò)散理論描述結(jié)構(gòu)的熱彈擴(kuò)散響應(yīng)則更為恰當(dāng).Caputo 型分?jǐn)?shù)階微分的形式如下[17]

f(t)在區(qū)間[a0,b0]內(nèi)可積,m為整數(shù),α 的取值范圍為m-1 ＜α ≤m,Kα(t-s)是核函數(shù),Γ 是Gamma 函數(shù),f(m)表示對(duì)函數(shù)f求m階微分.上式可準(zhǔn)確描述物理過(guò)程的“記憶依賴(lài)效應(yīng)”,即:系統(tǒng)的瞬時(shí)變化率依賴(lài)于過(guò)去狀態(tài).

Wang 和Li[18]認(rèn)為,式(1)有以下兩個(gè)方面的局限性:第一,對(duì)于一個(gè)給定的實(shí)數(shù)α,核函數(shù)Kα(t-s)是一個(gè)固定的函數(shù),但從應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)看,不同的物理過(guò)程需要不同的核函數(shù)來(lái)反映記憶依賴(lài)效應(yīng),因此用可變的核函數(shù)來(lái)描述此過(guò)程就顯得尤為重要; 第二,分?jǐn)?shù)階微分定義在區(qū)間[a0,t] 上,且a0是一個(gè)固定的實(shí)數(shù),因此,上式對(duì)于描述發(fā)生在長(zhǎng)時(shí)間t范圍內(nèi)的記憶效應(yīng)無(wú)效.事實(shí)上,一個(gè)真實(shí)物理過(guò)程的記憶依賴(lài)效應(yīng)通常發(fā)生在一個(gè)時(shí)間區(qū)間里,即遲滯區(qū)間[t-ω,t](ω 表示遲滯時(shí)間) 內(nèi).受此啟發(fā),Wang和Li[18]弓入記憶依賴(lài)微分(MDD)的概念來(lái)反映記憶效應(yīng),函數(shù)f的一階記憶依賴(lài)微分定義為:在一個(gè)可變遲滯區(qū)間上,核函數(shù)與函數(shù)導(dǎo)數(shù)積的積分.形式如下

其中,ω 是時(shí)間遲滯因子,K(t-ξ) 是可變的核函數(shù).式(2) 的右側(cè)可以理解為:在遲滯區(qū)間[t-ω,t] 內(nèi),f′(ξ)取不同權(quán)重時(shí)的平均值.從應(yīng)用的觀點(diǎn)來(lái)看,對(duì)于某時(shí)刻ξ ∈[t-ω,t),記憶依賴(lài)效應(yīng)權(quán)重的取值范圍為0 ≤K(t-ξ)≤1,因此,記憶依賴(lài)微分Dωf(t)通常小于微分f′(t).核函數(shù)可以根據(jù)實(shí)際情況選擇,例如可取:1,其中p=0.25,1,2等.核函數(shù)K(t-ξ)是單調(diào)函數(shù),對(duì)于過(guò)去時(shí)刻t-ξ,核函數(shù)K=0; 對(duì)于現(xiàn)在時(shí)刻t,核函數(shù)K=1.當(dāng)K(t-ξ)≡1 時(shí),可以得到

這表明:微分d/dt可以看作ω →0 時(shí)Dω的極限,因此

Yu 等[19]將記憶依賴(lài)微分(MDD) 弓入L-S 型廣義熱彈理論,相比于分?jǐn)?shù)階廣義熱彈,其優(yōu)勢(shì)在于:第一,新模型在形式上是唯一的; 第二,新模型更能反映出記憶依賴(lài)效應(yīng)的本質(zhì);第三,新模型是由整數(shù)階微積分定義的,因此在數(shù)值計(jì)算時(shí)更加方便;最后,核函數(shù)和時(shí)間遲滯因子可以根據(jù)實(shí)際情況選擇,這對(duì)于描述材料的實(shí)際響應(yīng)來(lái)說(shuō)更加靈活.Ezzat 等[20]將含有時(shí)間遲滯因子的MDD 弓入廣義熱傳導(dǎo)方程來(lái)描述記憶依賴(lài)效應(yīng)(系統(tǒng)的瞬時(shí)變化率依賴(lài)于過(guò)去狀態(tài)),基于此,Ezzat[21-24]進(jìn)行了一系列相關(guān)研究.Shaw 和Mukhopadhyay[25]提出了MDD 熱傳導(dǎo)模型的不連續(xù)性,并將記憶依賴(lài)模型應(yīng)用于瞬態(tài)熱力響應(yīng)的研究.

當(dāng)外部特征尺寸大于內(nèi)部特征尺寸時(shí),經(jīng)典力學(xué)適用;外部特征尺寸接近于內(nèi)部特征尺寸時(shí),結(jié)構(gòu)的力學(xué)響應(yīng)會(huì)呈現(xiàn)出很強(qiáng)的尺寸相關(guān)性,此時(shí),經(jīng)典力學(xué)不再適用.例如:石墨烯、碳納米管等微納尺度結(jié)構(gòu),在受熱沖擊時(shí),空間尺度效應(yīng)十分顯著,經(jīng)典的熱力學(xué)定律和廣義熱彈理論已無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的熱彈響應(yīng).為了描述微納尺度結(jié)構(gòu)的空間非局部特性,Eringen 等[26]提出了非局部彈性理論,Eringen 認(rèn)為:變形體內(nèi)某點(diǎn)處的應(yīng)力不僅與該點(diǎn)處的應(yīng)變相關(guān),還與變形體內(nèi)其他點(diǎn)的應(yīng)變(包括應(yīng)變的歷史)相關(guān),只是這種作用效應(yīng)隨距離的增大而逐漸衰減.他提出了一種積分型的本構(gòu)關(guān)系

其中,σij是非局部應(yīng)力;是經(jīng)典應(yīng)力;K(r,r′,χ)是核函數(shù),它是由質(zhì)點(diǎn)r和r′間的距離|r′-r|及χ 決定的; χ 的定義為:χ=ea/l,l為外部特征尺寸,代表整個(gè)研究對(duì)象的大小,a為內(nèi)部特征尺寸,代表非局部空間的大小.根據(jù)研究對(duì)象的不同,l可以取為裂紋長(zhǎng)度、位錯(cuò)寬度、應(yīng)力波波長(zhǎng)等;a可以取為化學(xué)鍵長(zhǎng)、晶格尺寸等.e為材料特性參數(shù),由不同的材料性質(zhì)所決定;ea代表非局部參數(shù).

非局部算子作用會(huì)導(dǎo)致微分-積分型控制方程,不便于求解.為了將其簡(jiǎn)化,Eringen[27]弓入新的核函數(shù)和非局部算子,將積分型本構(gòu)方程改寫(xiě)為微分形式

Yu 等[28-29]將Eringen 非局部理論與非局部熱傳導(dǎo)方程相結(jié)合,建立了新的非局部廣義熱彈性理論,并考慮了非局部熱傳導(dǎo)對(duì)納米梁屈曲性能的影響; Zenkour[30]基于非局部熱彈性理論,研究了受到斜坡式加熱的經(jīng)典歐拉伯努利納米梁的瞬態(tài)響應(yīng),考慮了非局部參數(shù)對(duì)各個(gè)物理量的影響;張培等[31]基于記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈理論,研究了兩端固定、受移動(dòng)熱源作用的有限長(zhǎng)熱彈桿的瞬態(tài)響應(yīng).

文獻(xiàn)[32]雖然建立了考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)的廣義熱彈擴(kuò)散理論,但未考慮材料的空間非局部效應(yīng),無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)測(cè)內(nèi)外部特征尺寸相近結(jié)構(gòu)的熱彈擴(kuò)散響應(yīng).本文將空間非局部算子弓入本構(gòu)方程,建立記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈擴(kuò)散理論,它可以準(zhǔn)確描述熱傳導(dǎo)和擴(kuò)散效應(yīng)的記憶依賴(lài)效應(yīng)和空間非局部效應(yīng).利用所建理論研究了受到非Gaussian 激光脈沖加熱和化學(xué)勢(shì)沖擊聯(lián)合作用半無(wú)限大薄板的熱彈擴(kuò)散響應(yīng).獲得了結(jié)構(gòu)的溫度、化學(xué)勢(shì)、位移、應(yīng)力、濃度等隨非局部參數(shù)和時(shí)間遲滯因子變化的分布規(guī)律.

1 記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈擴(kuò)散理論

不考慮體力時(shí)的運(yùn)動(dòng)方程

式中物理量上方的點(diǎn)表示對(duì)時(shí)間求導(dǎo),右下角的撇表示對(duì)物質(zhì)坐標(biāo)求導(dǎo).

應(yīng)變-位移關(guān)系

本構(gòu)方程

能量方程

質(zhì)量守恒方程

考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)的廣義熱傳導(dǎo)方程

考慮記憶依賴(lài)效應(yīng)的廣義擴(kuò)散方程

其中,ρ 是密度,ui是位移分量,eij是應(yīng)變分量,λ,μ 是拉梅系數(shù),δi j是克羅內(nèi)克記號(hào),ekk是體應(yīng)變,θ 是溫度增量,P是化學(xué)勢(shì),S是熵密度,C是濃度,qi是熱流矢量的分量,T0是參考溫度,Q是熱源強(qiáng)度,ηi是擴(kuò)散流矢量的分量,ω1是熱時(shí)間遲滯因子,κij是熱傳導(dǎo)系數(shù),ω2是擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子,Di j是擴(kuò)散系數(shù).

將式(7)和式(8)代入式(9),式(10)和式(12)代入式(14),式(11)和式(13)代入式(15),可得到記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈擴(kuò)散理論的控制方程

式中,T是絕對(duì)溫度,a是熱擴(kuò)散效應(yīng)度量,b是擴(kuò)散效應(yīng)度量,CE是比熱容,αt是線(xiàn)性熱膨脹系數(shù),αc是線(xiàn)性擴(kuò)散膨脹系數(shù).

至此,能同時(shí)描述記憶依賴(lài)效應(yīng)和空間尺度效應(yīng)的記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈擴(kuò)散理論被建立.若熱源為非高斯熱源,可表示為

其中,Ra是表面反射率,L0是鐳射強(qiáng)度,δ 是熱源吸收深度,tp是特征時(shí)間.

2 問(wèn)題的求解

作為算例,利用所建理論研究了邊界受非高斯熱源Q(x,t) 和化學(xué)勢(shì)沖擊P=P0H(t) 的聯(lián)合作用半無(wú)限大薄板的熱彈擴(kuò)散瞬態(tài)響應(yīng)問(wèn)題,其中,H(t)代表單位階躍函數(shù),P0代表化學(xué)勢(shì)沖擊的幅值.該結(jié)構(gòu)初始靜止,邊界面應(yīng)力自由.根據(jù)結(jié)構(gòu)和載荷特點(diǎn),問(wèn)題可被簡(jiǎn)化為一維問(wèn)題(僅與坐標(biāo)x有關(guān)).如圖1取薄板上的一窄條作為研究對(duì)象,除左邊界面外,其他3 個(gè)邊界均為理想的熱絕緣和化學(xué)勢(shì)絕緣條件.

圖1 半無(wú)限大薄板邊界受到熱和化學(xué)沖擊Fig.1 Schematic of the semi-infinite thin plate subjected to a non-Gaussian heat source and a chemical shock

位移分量為

應(yīng)變分量為

方程(16)～(18)可寫(xiě)成

本構(gòu)方程為

功能翻譯理論以翻譯目的為總原則，將翻譯的焦點(diǎn)從對(duì)源語(yǔ)文本的再現(xiàn)轉(zhuǎn)移到更富挑戰(zhàn)性的譯語(yǔ)文本的創(chuàng)作，給翻譯，尤其是實(shí)用文本的翻譯實(shí)踐中出現(xiàn)的各種必不可少且行之有效的翻譯方法提供了理論依據(jù)。〔1〕

為計(jì)算方便,弓入下列的無(wú)量綱量

為簡(jiǎn)化表述,下文中在不弓起混淆的情況下將去掉無(wú)量綱量右上角的星號(hào).式(22)～式(26)和式(14)經(jīng)無(wú)量綱化處理后為

初始條件

邊界條件

應(yīng)用下面的拉普拉斯變換公式

對(duì)式(28)～式(33)進(jìn)行拉普拉斯變換

對(duì)邊界條件進(jìn)行拉普拉斯變換

從式(37)～式(39)中消去ˉθ 和ˉP,可得到關(guān)于ˉu的六階常微分方程

特征根的表達(dá)式為

將式(49)、式(54)和式(55)代入式(38)和式(39),可以得到

將溫度、化學(xué)勢(shì)和位移的解代入式(40)～式(42),可以得到

至此,得到了所有物理量在拉氏域中的解.

3 拉普拉斯數(shù)值反變換

為了將所求得的物理量從拉氏域轉(zhuǎn)換到時(shí)間域中,還需進(jìn)行拉普拉斯反變換.由于拉氏域中所得結(jié)果的復(fù)雜性,不便求其解析解,而應(yīng)用數(shù)值計(jì)算的方法可以將求解過(guò)程簡(jiǎn)化.本文中,采用Brancik[33]提出的Matlab 程序進(jìn)行拉普拉斯數(shù)值反變換.

4 模型驗(yàn)證及算例分析

考慮材料的記憶依賴(lài)效應(yīng)和空間非局部效應(yīng),且邊界面受非高斯激光脈沖加熱和化學(xué)勢(shì)沖擊聯(lián)合作用的半無(wú)限大薄板,其瞬態(tài)響應(yīng)與時(shí)間t、非局部參數(shù)e0a、熱時(shí)間遲滯因子ω1、擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子ω2、熱核函數(shù)K1(t-ξ) 以及擴(kuò)散核函數(shù)K2(t-ξ) 有關(guān).本文重點(diǎn)研究非局部參數(shù)、熱時(shí)間遲滯因子和擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的變化對(duì)結(jié)構(gòu)溫度、化學(xué)勢(shì)、位移、應(yīng)力和濃度的影響.分析中用到的常量如下λ=7.76×1010kg/m·s2,μ=3.86×1010kg/m·s2,κ=386 W/(m·K),D=8.5 × 10-9kg·s/m3,αc=1.98 × 10-4m3/kg,ρ=8954 kg/m3,αt=1.78×10-5K-1,CE=383.1 J/(kg·K),a=1.2 × 104m2/(s2·K),b=9.0 × 105m5/(kg·s2),T0=293 K,L0=1.0×105J/m2,Ra=0.5,δ=0.01 m,tp=2.0 ps.

以下分析中所述量均為無(wú)量綱量,無(wú)量綱化學(xué)勢(shì)幅值P0=1.

4.1 模型驗(yàn)證

為驗(yàn)證所建模型的準(zhǔn)確性,基于本文所建模型分析了邊界受熱和化學(xué)沖擊時(shí)板的響應(yīng),并與L-S 廣義熱彈擴(kuò)散理論所得結(jié)果進(jìn)行比較,分析中,熱核函數(shù)和擴(kuò)散核函數(shù)均取為1.t=0.1 時(shí)刻模型取不同參數(shù)時(shí)板的溫度分布如圖2 所示.由理論可知,當(dāng)所建模型的熱時(shí)間遲滯因子ω1、擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子ω2及非局部參數(shù)e0a均趨近于0 時(shí),所建模型將退化為L(zhǎng)-S 模型.由圖2 可知,當(dāng)ω1,ω2和e0a的取值趨近于0 時(shí),本文模型所得結(jié)果向L-S 模型結(jié)果靠近.如圖中所示,當(dāng)它們?nèi)?.001 時(shí),本文結(jié)果幾乎于L-S 結(jié)果重合.由此驗(yàn)證了本文模型的準(zhǔn)確性.

圖2 記憶依賴(lài)非局部模型與L-S 模型的對(duì)比Fig.2 Comparison between memory-dependent nonlocal model and L-S model

4.2 非局部參數(shù)e0a 的影響

圖3 隨非局部參數(shù)的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律Fig.3 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)with different nonlocal parameters

圖3 隨非局部參數(shù)的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律(續(xù))Fig.3 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)with different nonlocal parameters(continued)

研究非局部參數(shù)e0a的變化對(duì)溫度、化學(xué)勢(shì)、位移、應(yīng)力和濃度分布規(guī)律的影響.在計(jì)算中,非局部參數(shù)分別取:e0a=0,e0a=0.045 和e0a=0.09,時(shí)間、熱時(shí)間遲滯因子、擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子、熱核函數(shù)和擴(kuò)散核函數(shù)的取值分別為:t=0.05,ω1=0.02,ω2=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結(jié)果如圖3 所示.

從圖3 可以看出:非局部參數(shù)取不同值時(shí),位移和應(yīng)力圖像變化顯著,而溫度、化學(xué)勢(shì)和濃度圖像幾乎不受非局部參數(shù)的影響.這是由于:非局部參數(shù)表征的是空間非局部效應(yīng),即它對(duì)本構(gòu)方程影響顯著,對(duì)傳熱和傳質(zhì)方程影響較小,而結(jié)構(gòu)中的溫度和化學(xué)勢(shì)是由熱傳導(dǎo)方程和擴(kuò)散方程控制的,故非局部參數(shù)的變化對(duì)位移和應(yīng)力的影響顯著,對(duì)溫度、化學(xué)勢(shì)和濃度的影響不顯著.

由圖3(c) 可知,位移的峰值隨非局部參數(shù)的增大而減小,在靠近邊界處,位移的最大值隨非局部參數(shù)的增大而減小.當(dāng)e0a的取值為小量(1.0×10-5)時(shí),記憶依賴(lài)非局部模型與L-S 模型的位移曲線(xiàn)接近,此結(jié)論與理論預(yù)測(cè)一致,可驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性.由圖3(d) 可知,應(yīng)力峰值的絕對(duì)值隨非局部參數(shù)的增大而減小.圖3(e)表明:溫度達(dá)到零值前濃度的減小速率遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于溫度達(dá)到零值后濃度的減小速率.

4.3 熱時(shí)間遲滯因子ω1 的影響

研究熱時(shí)間遲滯因子ω1的變化對(duì)溫度、化學(xué)勢(shì)、位移、應(yīng)力和濃度分布規(guī)律的影響.在計(jì)算中,熱時(shí)間遲滯因子分別取:ω1=0.02,ω1=0.05 和ω1=0.08,時(shí)間、非局部參數(shù)、擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子、熱核函數(shù)和擴(kuò)散核函數(shù)的取值分別為:t=0.1,e0a=0,ω2=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結(jié)果如圖4 所示.

圖4 隨熱時(shí)間遲滯因子的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律Fig.4 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different thermal time delay factors

圖4 隨熱時(shí)間遲滯因子的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律(續(xù))Fig.4 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different thermal time delay factors(continued)

由圖4(a) 可知,溫度在靠近邊界處隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而增大,在x=0.15 直至熱彈波傳播至零的過(guò)程中,溫度隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而減小.當(dāng)ω1的取值為小量(0.001)時(shí),記憶依賴(lài)非局部模型與L-S 模型的溫度曲線(xiàn)接近,此結(jié)論與理論預(yù)測(cè)一致,可驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性.圖4(b)表明:化學(xué)勢(shì)隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而增大.由圖4(c) 和圖4(d)可知,位移峰值和應(yīng)力峰值的絕對(duì)值均隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而增大,在靠近邊界處,位移的最大值隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而增大.圖4(e)表明:濃度隨熱時(shí)間遲滯因子的增大而減小.

4.4 擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子ω2 的影響

研究擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子ω2的變化對(duì)溫度、化學(xué)勢(shì)、位移、應(yīng)力和濃度分布規(guī)律的影響.在計(jì)算中,擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子分別取:ω2=0.02,ω2=0.05 和ω2=0.08,時(shí)間、非局部參數(shù)、熱時(shí)間遲滯因子、熱核函數(shù)和擴(kuò)散核函數(shù)的取值分別為:t=0.1,e0a=0,ω1=0.02,K1(t-ξ)=1 和K2(t-ξ)=1.得到的結(jié)果如圖5 所示.

比較圖5(a) 和圖4(b) 可知,隨熱時(shí)間遲滯因子ω1的變化,化學(xué)勢(shì)圖像變化顯著,隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子ω2的變化,溫度圖像幾乎重合,此現(xiàn)象表明:傳熱對(duì)傳質(zhì)過(guò)程影響顯著,而傳質(zhì)對(duì)傳熱過(guò)程影響甚微.由圖5(b)可知,擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子越小,擴(kuò)散波傳播的距離越遠(yuǎn),其原因是:遲滯時(shí)間越短,意味著過(guò)去態(tài)越接近于現(xiàn)在狀態(tài),即時(shí)間越長(zhǎng),波傳播的距離就越遠(yuǎn).當(dāng)ω2的取值為小量(0.001)時(shí),記憶依賴(lài)非局部模型與L-S 模型的化學(xué)勢(shì)曲線(xiàn)接近,此結(jié)論與理論預(yù)測(cè)一致,可驗(yàn)證本文模型的準(zhǔn)確性.圖5(c)、圖5(d)和圖5(e) 表明:位移峰值隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的增大而增大,在靠近邊界處,位移最大值隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的增大而增大; 應(yīng)力峰值的絕對(duì)值和濃度隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的增大而減小.

圖5 隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律Fig.5 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different diffusion time delay factors

圖5 隨擴(kuò)散時(shí)間遲滯因子的變化.(a)無(wú)量綱溫度,(b)無(wú)量綱化學(xué)勢(shì),(c)無(wú)量綱位移,(d)無(wú)量綱應(yīng)力,(e)無(wú)量綱濃度的分布規(guī)律(續(xù))Fig.5 The distributions of the non-dimensional temperature(a),chemical potential(b),displacement(c),stress(d)and concentration(e)under different diffusion time delay factors(continued)

5 結(jié)論

本文將空間非局部算子弓入本構(gòu)方程,建立記憶依賴(lài)非局部廣義熱彈擴(kuò)散理論,采取拉普拉斯變換及其數(shù)值反變換的方法求解廣義熱彈擴(kuò)散耦合的一維問(wèn)題,分析了不同參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響,可以得到如下結(jié)論:

(1)在給定時(shí)刻,熱和擴(kuò)散的擾動(dòng)區(qū)域有限,這表明熱和擴(kuò)散的傳輸呈現(xiàn)波動(dòng)性,即熱彈波和擴(kuò)散波均以有限大速度傳播;

(2)由于非局部參數(shù)僅僅修正本構(gòu)方程,故非局部參數(shù)的變化對(duì)位移和應(yīng)力的影響顯著,對(duì)溫度、化學(xué)勢(shì)和濃度影響;

(3)傳熱對(duì)傳質(zhì)過(guò)程影響顯著,傳質(zhì)對(duì)傳熱過(guò)程影響甚微.