陳婭昵 孟文靜 錢有華

(浙江師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機科學(xué)學(xué)院，浙江金華 321004)

引言

在非線性動力學(xué)中有一類問題中有一些參數(shù)隨著時間的推移而緩慢變化，造成了在同一個系統(tǒng)中存在兩個或兩個以上的時間尺度，這也被稱為多時間尺度問題[1-3].多時間尺度問題具有廣泛的應(yīng)用背景，包括生物網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中的神經(jīng)放電模式[4]、金屬氧化反應(yīng)等.但由于其復(fù)雜性，很難用準(zhǔn)靜態(tài)解、奇異攝動法等來研究其解析解，一般只能得到近似的數(shù)值解，因此數(shù)值分析的方法應(yīng)運而生.通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)多時間尺度相比于單一的時間尺度具有更復(fù)雜的系統(tǒng)表現(xiàn)，如混合模式振蕩[5-10].

混合模振蕩又稱簇發(fā)振蕩，是一種復(fù)雜的振蕩模式，它的特征是小振幅振蕩和大振幅振蕩的結(jié)合，可以用快速和緩慢的子系統(tǒng)來描述.當(dāng)系統(tǒng)處于小幅度振蕩時，系統(tǒng)表現(xiàn)出靜息狀態(tài)；當(dāng)系統(tǒng)經(jīng)過相關(guān)分岔點時會突然失去平衡，進入大幅度振蕩，此時系統(tǒng)表現(xiàn)出活躍態(tài).隨著慢變量的引導(dǎo)，系統(tǒng)又會從不平衡走向平衡，由活躍態(tài)走向靜息態(tài)，振幅也從大幅度的振蕩變?yōu)樾》鹊恼袷?，而一旦達到分岔點時，會類似地出現(xiàn)之前的現(xiàn)象.此時的系統(tǒng)就是在靜息態(tài)和活躍態(tài)之間不停地跳躍，稱為混合模式振蕩.

混合模式振蕩也會出現(xiàn)在快慢耦合系統(tǒng)中.Rinzel[11]提出了利用凍結(jié)子系統(tǒng)的方法來解釋混合模式振蕩的想法，這就是我們所知道的快慢分析，它的應(yīng)用取得了很大的效果.在Izikevich[12]的工作中，創(chuàng)建了混合模式振蕩的分類.在快速慢分析的基礎(chǔ)上，在研究多時間尺度的系統(tǒng)中，眾多學(xué)者研究了快慢系統(tǒng)中混合模式振蕩出現(xiàn)的機理.例如：Qian 等[13]研究了含兩個慢變量的耦合系統(tǒng)的混合振蕩模式，討論了不同時間尺度下的系統(tǒng)動力學(xué)行為以及時滯對系統(tǒng)行為的影響；Qian 等[14]研究了單參數(shù)激勵和雙參數(shù)激勵下的兩自由度非線性耦合的Duffing 方程，利用快慢分析方法對耦合系統(tǒng)進行離散，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)會產(chǎn)生簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，并討論了相關(guān)的振動動力學(xué)行為；Han 等[8]使用緩慢參數(shù)和外部激勵來模擬兩個緩慢變化的周期參數(shù)，并研究了不同時間尺度下的動態(tài)響應(yīng)問題；Zhang 等[15]使用雙穩(wěn)態(tài)不對稱復(fù)合材料層合板對兩個慢參數(shù)激勵的系統(tǒng)以及動態(tài)跳躍現(xiàn)象進行了實驗和理論分析，提出了一種利用時變原理曲率描述雙穩(wěn)態(tài)非對稱層合板動態(tài)切換現(xiàn)象的新方法；Chen 等[16]展現(xiàn)了具有周期激勵的耦合振蕩器的弛豫振蕩，以典型分叉模式為例，討論了外激勵變化對動態(tài)響應(yīng)的影響，在靜止?fàn)顟B(tài)和重復(fù)尖峰振蕩之間交替可以得到簇發(fā)振蕩；Li 等[17]在具有緩慢周期性參數(shù)激勵的Duffing 振蕩器中，通過數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)了一種稱為周期混沌運動的新型響應(yīng)，稱為不動點混沌；Lin 等[18]研究了一種簡單的三元記憶電路周期簇發(fā)振蕩的分岔機理；Wang 等[19]也研究了簡單的自主記憶電路，分析了其對稱性、耗散性和平衡穩(wěn)定性.茍向鋒等[20]基于參數(shù)平面的耦合研究了單自由度齒輪傳動系統(tǒng)安全盆侵蝕與分岔；畢勤勝等[21-22]討論了不同系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩及其分岔行為；張正娣等[23-24]對于幾類非光滑的系統(tǒng)進行了簇發(fā)振蕩分析；Han 等[25-26]對Duffing 系統(tǒng)進行研究，發(fā)現(xiàn)了時滯周轉(zhuǎn)引起的新的簇發(fā)振蕩類型，叉式翻轉(zhuǎn)遲滯簇發(fā)振蕩以及復(fù)合叉式遲滯簇發(fā)振蕩.

本文通過構(gòu)造參數(shù)空間來解釋簇發(fā)現(xiàn)象產(chǎn)生的機理.下面簡述這一理論的發(fā)展過程.

Rinzel 等[11,27]是第一個利用“解剖”方法來研究快慢系統(tǒng)的簇發(fā)振蕩，他認(rèn)為簇發(fā)振蕩取決于所遇到的分岔，即通過研究慢變量經(jīng)歷不同分岔時產(chǎn)生的躍遷可以對簇發(fā)振蕩行為進行分類.1995 年，Bertram 等[28]研究了Chay-Cook 模型的兩參數(shù)分岔圖，他們發(fā)現(xiàn)這可以看成是三參數(shù)焦點型退化Takens-Bogdanov 奇點展開的一個切片.2000 年，Izhikevich[12]發(fā)現(xiàn)簇發(fā)振蕩開始和偏移時的不同位置會導(dǎo)致動態(tài)響應(yīng)發(fā)生質(zhì)的變化.并且基于起始/偏移分岔對來編譯可能的簇發(fā)振蕩分類法.2008 年，Stern 等[29]發(fā)現(xiàn)其中一種亞臨界Hopf 簇發(fā)振蕩，它不在余維三奇點展開中出現(xiàn).2016 年，Osinga 等[30]，研究了生物學(xué)和數(shù)學(xué)的交叉流：偽高原簇發(fā)的余維.在一個立方Li′enard 系統(tǒng)的分岔中，發(fā)現(xiàn)Fold/homoclinic 簇發(fā)振蕩與Fold/subHopf 簇發(fā)振蕩具有非常相似的潛在分岔圖，但它不是余維三的，因此可以預(yù)測具有余維四.最后通過展示了一個雙退化的Bodganov-Takens 點的部分展開中識別出一個三維切片，并證明這個余維四奇異性導(dǎo)致了幾乎所有已知的簇發(fā)振蕩類型.2017 年，Saggio 等[31]提出幾乎可以產(chǎn)生所有種類的簇發(fā)振蕩模型，模型包含兩個子系統(tǒng)，對于快子系統(tǒng)，可使用高余維奇點平面展開.在分岔圖中，可以確定簇發(fā)振蕩所需穿過正確分岔序列的路徑.而慢子系統(tǒng)沿路徑來回引導(dǎo)快子系統(tǒng).

本文在文獻[15]的基礎(chǔ)上，針對一類含有兩個慢變量的系統(tǒng)使用數(shù)值模擬的方法研究了在參數(shù)較大的情況下產(chǎn)生的分岔.本文使用數(shù)值模擬和基于參數(shù)空間的理論分析研究了在參數(shù)較小的情況下系統(tǒng)存在雙穩(wěn)態(tài)和Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象，并為控制該系統(tǒng)得到簇發(fā)振蕩現(xiàn)象提供了參考數(shù)據(jù).其中對參數(shù)大小的界定標(biāo)準(zhǔn)如下：以1 為界，若參數(shù)大于1，認(rèn)為它是較大的；小于1，則認(rèn)為它是較小的.

1 不動點混沌

在這一部分我們主要分析了一類含有兩個慢變量的Duffing 系統(tǒng)在參數(shù)較大情況下的動力學(xué)行為.通過數(shù)值模擬，得到了系統(tǒng)的時間歷程圖和相位圖.研究表明系統(tǒng)存在不動點混沌，并且隨著參數(shù)的變化，不動點混沌會表現(xiàn)為單支存在或者雙支合并形式.之后本文進一步解釋了系統(tǒng)不動點混沌產(chǎn)生的機理.

考慮如下系統(tǒng)

其中，μ1=β1cos(ω1t),μ2=β2cos(ω2t).β1,β2表示振幅，v表示阻尼系數(shù)，ω1,ω2表示頻率，v,β1,β2被認(rèn)為是擾動參量.文獻[15]對該系統(tǒng)在實驗上發(fā)現(xiàn)了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，并從理論上解釋了雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象及動態(tài)跳躍現(xiàn)象.

首先假設(shè)a=0，則系統(tǒng)(1)變?yōu)?/p>

對于系統(tǒng)(2)，為不失一般性，選擇β1,β2＞0 并假設(shè)ω1=ω2=ω.由于剛度和外激勵項是周期性時變的，因此它在一個半周期是正的，在另一個半周期是負(fù)的.由于剛度和外激勵項的周期性時變性，導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生高度復(fù)雜和不尋常的動態(tài)響應(yīng)，包括周期混沌運動的新現(xiàn)象.

固定β1=0.1，β2=6.257 5，v=0.3 時，當(dāng)ω=0.7 和ω=0.135 5 時，混沌吸引子存在，如圖1 和圖2 所示.

文獻[17]介紹了不動點混沌，這是一種新的混沌現(xiàn)象.它的典型特點是存在一個不動點.對于ω ?1，系統(tǒng)具有兩個不同的時間尺度，一個是快時間尺度，一個是慢時間尺度.當(dāng)ω=0.135 5，β1=0.1，β2=3.3，v=0.3 時，兩個混沌吸引子共存.這些吸引子的最大Lyapunov 指數(shù)是正的，表明它們確實是混沌的.而當(dāng)β2改變時，兩個共存的吸引子會分開，出現(xiàn)單獨左支或者單獨右支的情況.下面保持其他參數(shù)不變，而只改變β2分別為2.0 和2.7.

圖1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，當(dāng)ω 分別取0.7 和0.135 5 時系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出混沌吸引子Fig.1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，system(2)shows chaotic attractors when ω=0.7 and ω=0.135 5,respectively

圖1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，當(dāng)ω 分別取0.7 和0.135 5 時系統(tǒng)(2)表現(xiàn)出混沌吸引子(續(xù))Fig.1 β1=0.1,β2=6.257 5,v=0.3，system(2)shows chaotic attractors when ω=0.7 and ω=0.135 5,respectively(continued)

圖2 ω=0.1355,β1=0.1,v=0.3，系統(tǒng)(2)在β2=2.0 時表現(xiàn)出單獨左支行為，在β2=2.7 時表現(xiàn)出單獨右支行為Fig.2 ω=0.1355,β1=0.1,v=0.3，system(2)shows the behaviors of left branch alone with β2=2.0 and right branch alone with β2=2.7

為進一步研究不動點混沌的機理，討論了快慢系統(tǒng)的分岔行為.對于ω ? 1，周期激勵μ1=β1cos(ωt)，μ2=β2cos(ωt)分別在[-β1,β1]和[-β2,β2]之間變化緩慢.將μ1,μ2近似地視為一個常數(shù)，并將cos(ωt)用作自治系統(tǒng)的分岔參數(shù).

系統(tǒng)(2)的靜態(tài)平衡解滿足

當(dāng)cos(ωt) ＜ 0 時，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定平衡點；當(dāng)cos(ωt) ＞0 時，平衡解由于發(fā)生分岔而失穩(wěn)，產(chǎn)生了一對對稱穩(wěn)定的分岔解，；因此pitchfork 分岔發(fā)生在cos(ωt)=0，記為PF.圖3給出了系統(tǒng)的離散分岔圖.

圖3 β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 時系統(tǒng)(2)的離散分岔圖Fig.3 Discrete bifurcation diagram of system(2)when β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3

取β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 來說明不動點混沌機理.圖3 顯示了規(guī)則運動和混沌變化的過程.與上圖對應(yīng)，我們可以看到，A所在的地方是未被紅色區(qū)域覆蓋，此時系統(tǒng)的狀態(tài)是靜默的.在A的右側(cè)，已被紅色覆蓋，A可以跳躍到上分支或者是下分支，變成了尖峰狀態(tài).因此點A是靜止?fàn)顟B(tài)到尖峰狀態(tài)的轉(zhuǎn)換點.隨著激勵的增大，系統(tǒng)在穩(wěn)定分支的周圍擁有尖峰狀態(tài).當(dāng)激勵達到最大值，它們開始改變方向，并在同一穩(wěn)定分支上移動，隨著激勵的減小而停留在靜默狀態(tài).當(dāng)軌跡到達分岔點PF時，它可能被左穩(wěn)定點吸引，并開始接近穩(wěn)定平衡點.激勵達到最小值，它處于D點.此時，它重新向A點移動，通過平衡點(0，0).然后平衡點(0，0)變得不穩(wěn)定，逐漸到達B點.在軌跡集合中顯示的隨機性很可能是因為當(dāng)系統(tǒng)被吸引到穩(wěn)定平衡(0，0)時，響應(yīng)變量x和y是非零的并且很小.在數(shù)值計算或?qū)嶒炛?，這樣的小數(shù)字實際上是隨機的.因此，離開平衡(0，0)的軌跡在每個周期都有不同的初始條件.對該系統(tǒng)中的初始條件的敏感性顯然是混沌的一種性質(zhì)，所以構(gòu)成了一個混沌運動.圖4 中顯示的最大Lyapunov 指數(shù)從0.3 變化到小于0.01.它顯示了系統(tǒng)豐富的動力學(xué)性質(zhì)，暗示了系統(tǒng)的復(fù)雜性.因此，我們對該系統(tǒng)進行了一系列的數(shù)值研究.圖4 也說明了這一點，當(dāng)最大Lyapunov 指數(shù)大于0 時，表示系統(tǒng)存在混沌現(xiàn)象.

圖4 β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3 時系統(tǒng)(2)的最大Lyapunov 指數(shù)Fig.4 Maximum lyapunov exponent of system(2)when β1=0.1,β2=6.257 5,ω=0.135 5,v=0.3

2 Fold/Fold 簇發(fā)振蕩

在這一部分，主要考慮系統(tǒng)(2)中當(dāng)兩個慢變量的振幅β1＜1,β2＜1 時系統(tǒng)簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.系統(tǒng)(2)來源于文獻[15].文獻[15]從理論和實驗兩個方面研究了雙穩(wěn)態(tài)不對稱層合板在外激勵的作用下的動態(tài)跳躍現(xiàn)象和非線性振動行為，并且發(fā)現(xiàn)雙穩(wěn)態(tài)不對稱層合板在位于中間的不穩(wěn)定平衡位置時附近會有兩個穩(wěn)定態(tài)振動，分別位于上穩(wěn)定態(tài)分支或下穩(wěn)定態(tài)分支.如圖5 所示.當(dāng)系統(tǒng)從一穩(wěn)定分支跳躍到另一穩(wěn)定分支時，它就會產(chǎn)生出文獻[15]所說的動態(tài)跳躍現(xiàn)象，從理論上分析也就是Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.本文對文獻[15]中的系統(tǒng)考慮了不同參數(shù)的情況.

在快慢系統(tǒng)中，會產(chǎn)生一系列的簇發(fā)振蕩、尖峰和靜止的周期性變化.其中，一個或多個慢變量通過一系列分岔傳遞快變量，這些分岔介入導(dǎo)致振蕩和穩(wěn)態(tài)之間的轉(zhuǎn)換.在以往的研究中發(fā)現(xiàn)折疊分岔是余維一的，而兩個折疊分岔曲面相交會形成二余維的尖點，如圖6 所示.本文通過折疊分岔來解釋Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.

圖5 雙穩(wěn)態(tài)不對稱層合板與動態(tài)跳躍現(xiàn)象Fig.5 Bistable unsymmetrical composite square panel and dynamic fracture phenomenon

圖6 以單位球面為邊界的分岔Fig.6 Bifurcation with unit sphere as boundary

此時系統(tǒng)寫作快慢系統(tǒng)形式

其中

現(xiàn)在將系統(tǒng)視為一個質(zhì)點，它受到作用在兩個垂直方向μ1，μ2軸上的簡諧運動，此時這兩個分振動可以表示為

其中，ω1:ω2=1 :2，φ1-φ2=π.可以給出軌跡方程如下

此時任意的β1，β2，a都會產(chǎn)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，見圖7.下面將詳細介紹系統(tǒng)是如何運動的.

在這里可以將相圖與時間歷程圖對應(yīng)起來解釋更微觀的情況.圖7 顯示了簇發(fā)振蕩，當(dāng)β1=0.38,ω=0.03,v=0.1 時系統(tǒng)發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，在這里可以發(fā)現(xiàn)，吸引子在兩個平衡點F1，F(xiàn)2附近振蕩.F1位于平衡上分支，F(xiàn)2位于平衡下分支.其中的兩段尖峰振蕩分別對應(yīng)于平衡點附近，被平衡點F1，F(xiàn)2之間的跳躍運動所連接.在時間歷程圖上，發(fā)現(xiàn)軌跡可以在兩個重復(fù)的尖峰振蕩S P+，S P-之間跳躍，這一運動是對稱的.從更深層次的來看，重復(fù)尖峰振蕩的頻率在改變，那是因為相關(guān)平衡點在平衡分支上的位置變化，造成了特征值的變化，使得S P±隨著慢變參量ω 的變化而變化.

圖7 Fold/Fold簇發(fā)振蕩的疊加圖、相圖和時間歷程圖Fig.7 Composition diagram,phase diagram and time history diagram of Fold/Fold bursting

文獻[16]表示重復(fù)尖峰狀態(tài)可能圍繞F1振蕩，平衡點可能從一種狀態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)榱硪环N狀態(tài)，尖峰行為可以主要由具有較小實部的相關(guān)特征值來決定.

假設(shè)系統(tǒng)從下分支上的某一點開始運動，它沿著S 型曲線緩慢向右側(cè)移動，直到到達折疊點，它突然從下分支跳躍到上分支，并且圍繞上平衡分支F1開始大幅振蕩，表現(xiàn)為S P+.隨著慢變參數(shù)的增大，振蕩逐漸減弱.直到慢變參數(shù)到達1，系統(tǒng)開始反向運動，然后進入弛豫振蕩狀態(tài)，最后進入靜息態(tài)，隨著慢變參數(shù)的不斷減小，系統(tǒng)到達另一個折疊點，并且在此時從上分支突然跳躍到下分支，開始圍繞F2進行大幅振蕩，表現(xiàn)為S P-.振蕩逐漸減弱，直到慢變參數(shù)到達-1，系統(tǒng)開始反向運動，然后進入弛豫振蕩狀態(tài)，最后進入靜息態(tài).如此循環(huán).這就構(gòu)成了一個周期完整的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

該簇發(fā)振蕩的類型可以稱為對稱周期性Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，因為此時的系統(tǒng)穿過路徑曲線的位置是對稱的.

然后解釋β1,β2,a的任意性不改變系統(tǒng)的動力學(xué)行為.使用一條曲線路徑，軌跡的形狀如圖8(a)所示.為了方便觀察雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象，對系統(tǒng)進行歐拉離散，得到圖8(b).可以看出圖8(b)存在兩條分支，如果沒有Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，離散后的分岔圖只會有一條曲線.當(dāng)a=0 時，它有一個點(0,β2)始終在μ2軸的上方，而規(guī)定了β2必須大于0，這也就解釋了在0 ＜β1＜1，0 ＜β2＜1 的情況下，無論β1，β2的取值為多少，都不影響Fold/Fold 簇發(fā)振蕩產(chǎn)生.并且，此時的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩是對稱的.

圖8 對應(yīng)的路徑與離散分岔圖Fig.8 The corresponding path and dispersed bifurcation diagram

其次，考慮a的變化會帶來什么影響，此時，鞍結(jié)曲面的位置由.路徑方程變成為

相當(dāng)于原路徑向上平移了a個單位，路徑與鞍結(jié)曲面必然會相交，只需要保證是在有效范圍內(nèi)相交即可.又由于任意a∈(0,1)都滿足0 ＜μ2＜1.這也解釋了無論a為何值，在上述的路徑下，這并不影響系統(tǒng)從一側(cè)曲面穿到另一側(cè)曲面.更多關(guān)于不同頻率比與相位差的情況，如表1 所示.

表1 β1=0.38,β2=0.34 三種情況下的分岔圖Tabel 1 Three bifurcation diagrams in case of β1=0.38,β2=0.34

3 當(dāng)a ≠0 時，F(xiàn)old/Fold 簇發(fā)振蕩的出現(xiàn)與消失

在上一部分中主要介紹了系統(tǒng)(2)的相關(guān)簇發(fā)振蕩，結(jié)合時間歷程圖、相位圖、疊加圖仔細地說明了系統(tǒng)是如何運動的.通過參數(shù)空間的展開理論和路徑說明了系統(tǒng)(2)發(fā)生簇發(fā)振蕩的原因，以及在不同參數(shù)下系統(tǒng)的不同行為.在這一部分，介紹新增的常系數(shù)項會對系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為帶來什么影響.先通過數(shù)值模擬，發(fā)現(xiàn)了一種現(xiàn)象，之后進一步揭示這一現(xiàn)象產(chǎn)生的機理.

考慮當(dāng)a≠0 時對簇發(fā)振蕩產(chǎn)生什么影響.固定β1=0.38，ω=0.03，β2=0.80，當(dāng)a從0.22 變化到0.23 時系統(tǒng)的動力學(xué)行為發(fā)生巨大的變化.

由圖9 可以看出在a=0.22 時，時間歷程圖表示了簇發(fā)振蕩的存在，而當(dāng)a=0.23 時，時間歷程圖由原來的兩段振蕩變成了只有上部分的細微振蕩，此時簇發(fā)振蕩已經(jīng)消失.使用線性路徑解釋常系數(shù)項a的出現(xiàn)卻會帶來Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

圖9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1，系統(tǒng)(1)的時間歷程圖當(dāng)a=0.22 時表現(xiàn)出簇發(fā)振蕩，當(dāng)a=0.23 時簇發(fā)振蕩消失Fig.9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1,time history diagram of system(1)showing the bursting oscillation with a=0.22 and bursting oscillations disappear with a=0.23

圖9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1，系統(tǒng)(1)的時間歷程圖當(dāng)a=0.22 時表現(xiàn)出簇發(fā)振蕩，當(dāng)a=0.23 時簇發(fā)振蕩消失(續(xù))Fig.9 β1=0.38,ω=0.03,β2=0.80,v=0.1,time history diagram of system(1)showing the bursting oscillation with a=0.22 and burstingoscillations disappear with a=0.23(continued)

事實上，若沒有常數(shù)項，此時路徑方程為

此時路徑表現(xiàn)為經(jīng)過原點的線性函數(shù)，無論如何，都不會實現(xiàn)從一側(cè)曲面穿越到另一側(cè)曲面.若增加了常系數(shù)項，則為從一側(cè)曲面穿越到另一側(cè)曲面提供了可能的路徑，僅在二維空間角度考慮，我們有線性路徑

當(dāng)β1=0.38,β2=0.80,a=0.22 時，路徑為μ2=2.11μ1+0.22，此時正處于臨界狀態(tài).路徑經(jīng)過鞍結(jié)曲線的一側(cè)，但與另一側(cè)相切，也就是恰好沒有經(jīng)過，此時若控制a＜0.22，路徑會穿過左右兩側(cè)的曲線，可以實現(xiàn)不對稱的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

4 多重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩

本節(jié)將討論當(dāng)μ1=β1cos(nθ)而μ2=β2cos(θ)時會產(chǎn)生什么現(xiàn)象，并且給出了不同現(xiàn)象背后的原因.此時系統(tǒng)變成如下形式

此處，令cos(nθ)=fn(cos θ)，使用結(jié)合二項式展開和de Moivre 公式，可以得到

當(dāng)n=3 時，代入cos(3θ)=4 cos3θ-3 cos θ，可以得到路徑方程為

此時的路徑關(guān)于μ2=a成中心對稱.選用不同的參數(shù)可以實現(xiàn)該路徑與鞍結(jié)曲面交點個數(shù)的不同，該系統(tǒng)的動力學(xué)行為最高可以表現(xiàn)出三重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.固定β1=0.436,β2=0.327,ω=0.03，v=0.1 通過改變參數(shù)a來實現(xiàn)不同重數(shù)的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.a=0.5 的時間歷程圖、疊加圖和路徑圖如圖10 所示.

在圖10 中的時間歷程圖中，陰影部分表示一個周期內(nèi)的動力學(xué)行為，黑色方框表示這個周期內(nèi)發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.可以很明顯看出，當(dāng)a=0.5 時系統(tǒng)發(fā)生三次Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.隨著a的減小，系統(tǒng)的“1,2,3”振蕩會出現(xiàn)不同程度的變化.當(dāng)a=0.2 時，系統(tǒng)將只發(fā)生兩次Fold/Fold簇發(fā)振蕩，與a=0.5 相比，振蕩“1,2”的差別不大，但是振蕩“3”會明顯減弱.當(dāng)a=-0.1 時，系統(tǒng)的動力學(xué)行為會再次改變，與前兩者相比，振蕩“1”的差別不大，振蕩“2”明顯減弱，而振蕩“3”幾乎不顯示振蕩行為.最后當(dāng)a=-0.5 時，振蕩“1,2,3”幾乎都會消失了，此時沒有發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.其中振蕩“3”消失的最為徹底，其次是振蕩“2”，振蕩“1”還殘存著微弱的振蕩.

圖10 對應(yīng)的時間歷程圖、疊加圖、路徑圖Fig.10 Time history diagram,composition diagram and path diagram

圖10 對應(yīng)的時間歷程圖、疊加圖、路徑圖(續(xù))Fig.10 Time history diagram,composition diagram and path diagram(continued)

這是由于路徑最多與鞍結(jié)曲面三次相交，即穿過鞍結(jié)曲面的兩側(cè).一次相交就對應(yīng)于一次Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.在a=0.5 時，產(chǎn)生了三次相交，在a=0.2 時，產(chǎn)生了兩次相交；a=-0.1 時，產(chǎn)生了一次相交；a=-0.5 時沒有相交.

從路徑圖中可以發(fā)現(xiàn)路徑與曲面相交的情況復(fù)雜多樣.表2 表示了不同情況下的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

表2 Fold/Fold 簇發(fā)振蕩重數(shù)與a 的關(guān)系Tabel 2 The relationship between a and the number of Fold/Fold bursting

關(guān)注最大重數(shù)在理想的狀態(tài)下與n之間存在的聯(lián)系.以n為奇數(shù)時為例，結(jié)合二項式展開和de Moivre 公式，整理系數(shù)可以得到

從該式的固有特點可以看出路徑都可以分割成n段，因此理想狀態(tài)下，如果能使得n段都與鞍結(jié)曲面有交點，就可以產(chǎn)生n重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

5 結(jié)論

系統(tǒng)(1)是一類含有兩個慢變量的Duffing型方程，實驗研究表明其存在雙穩(wěn)態(tài)現(xiàn)象.為了深入理解系統(tǒng)(1)的動力學(xué)行為，本文從數(shù)值模擬和理論分析兩個方面來討論該系統(tǒng)的混沌特性及簇發(fā)振蕩行為，得到的結(jié)論如下.

(a) 對于系統(tǒng)(2)當(dāng)振幅參數(shù)取值大于1 時，系統(tǒng)表現(xiàn)出了不動點混沌.并且隨著參數(shù)的變化，不動點混沌可能表現(xiàn)為單支存在或者雙支合并.通過叉式分岔解釋了當(dāng)慢變參數(shù)小于0 時，系統(tǒng)只有一個穩(wěn)定解，而當(dāng)慢變參數(shù)大于0 時，系統(tǒng)產(chǎn)生一對穩(wěn)定的解，隨著慢變參數(shù)的繼續(xù)增大，系統(tǒng)出現(xiàn)了混沌.

(b)對于系統(tǒng)(1)來說，它只會產(chǎn)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩，這是由于它的參數(shù)空間中只有鞍結(jié)曲面，如果存在其它曲面，對于路徑的變化應(yīng)該十分敏感.并且產(chǎn)生的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩與v的取值無關(guān).對于μ2-μ1型的路徑不論是曲線還是線性只要保證它能在有效范圍內(nèi)穿過鞍結(jié)曲面的兩側(cè)，就能發(fā)生Fold/Fold 簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.這能解釋第二部分中a,β2選擇時的任意性的原因；第三部分中常系數(shù)項a的變化使得系統(tǒng)發(fā)生巨大改變的原因.值得一提的是穿越鞍結(jié)曲面的位置還與Fold/Fold 簇發(fā)振蕩的對稱有關(guān).更多關(guān)于不同頻率比與相位差的情況，表1 標(biāo)注了它們是否會得到Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.

(c)當(dāng)μ1=β1cos(nθ)，μ2=β2cos(θ)時使用μ1-μ2路徑討論產(chǎn)生的現(xiàn)象，此時系統(tǒng)表現(xiàn)出多簇發(fā)振蕩現(xiàn)象.探究了不同重數(shù)的Fold/Fold 簇發(fā)振蕩與n值之間的關(guān)系.由于路徑都可以分割成n段，因此理想狀態(tài)下，n段都會與鞍結(jié)曲面有交點，從而產(chǎn)生n重Fold/Fold 簇發(fā)振蕩.