樸敏楠 王穎 周亞靖 孫明瑋,2) 張新華 陳增強(qiáng)

*(南開大學(xué)人工智能學(xué)院,天津 300350)

?(空間物理重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,北京 100076)

**(北京自動(dòng)化控制設(shè)備研究所,北京 100074)

引言

摩擦力廣泛存在于各種機(jī)電系統(tǒng),是影響控制性能的關(guān)鍵因素[1-3].在低速運(yùn)動(dòng)時(shí),摩擦力會(huì)誘發(fā)極限環(huán)振動(dòng).對(duì)于給定的控制器,準(zhǔn)確地分析極限環(huán)振動(dòng)對(duì)控制參數(shù)選取以及決定是否更改控制策略有重要的指導(dǎo)意義.

盡管PID 控制及其各種改進(jìn)形式是運(yùn)動(dòng)控制中最常用的算法,其單自由度控制結(jié)構(gòu)下固有的抗擾和跟蹤性能矛盾問題一直是尋求性能更佳控制器的動(dòng)力.為改進(jìn)傳統(tǒng)PID 控制,中科院系統(tǒng)科學(xué)研究所韓京清研究員提出了一種新的工程化控制方法—ADRC[4].該方法將串聯(lián)積分器視為系統(tǒng)標(biāo)準(zhǔn)型并采用擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(extended state observer,ESO)對(duì)總擾動(dòng)進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì).具有兩自由度控制結(jié)構(gòu)的ADRC通過ESO 和誤差反饋控制律可以實(shí)現(xiàn)抗擾和跟蹤性能的分開設(shè)計(jì).近些年來,ADRC 在運(yùn)動(dòng)控制平臺(tái)上得到了越來越多的成功應(yīng)用[4-10].由于ADRC 的等效控制律中存在積分作用,在低速運(yùn)動(dòng)時(shí)容易產(chǎn)生極限環(huán)或者黏滑振動(dòng).目前,ADRC 框架下的摩擦力振動(dòng)研究甚少,僅有的工作也是基于描述函數(shù)法[8-9],得出的分析結(jié)果在只有庫倫摩擦力時(shí)精度尚可,但是當(dāng)考慮靜摩擦力時(shí)卻存在較大的誤差[11].

在已有文獻(xiàn)中,摩擦力振動(dòng)分析基本都是針對(duì)PID 控制或者PD 控制,主要采用描述函數(shù)法、代數(shù)方法、相平面法和非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)分析方法[11-20].描述函數(shù)法是一種近似方法,僅適用于分析在有限時(shí)刻速度為零的極限環(huán),因此具有一定的局限性.針對(duì)一類僅包括靜摩擦力和庫侖摩擦力的單自由度運(yùn)動(dòng)系統(tǒng),文獻(xiàn)[14] 采用精確的代數(shù)方法證明了任何可以使系統(tǒng)穩(wěn)定的PID 控制參數(shù)組合都會(huì)產(chǎn)生極限環(huán).代數(shù)方法雖然能夠提供準(zhǔn)確的分析結(jié)果,但是由于需要計(jì)算解析解,其僅適用于低階控制系統(tǒng)(三階及以下)和特定的靜態(tài)摩擦力模型.針對(duì)靜態(tài)摩擦力模型,文獻(xiàn)[15-17]采用相平面法將三維控制系統(tǒng)降為一維,并通過事件對(duì)映(event map) 分析了不同摩擦力模型以及參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)集和極限環(huán)的影響.對(duì)于帶有Stribeck 效應(yīng)(零速度附近的摩擦力驟降)的指數(shù)摩擦力模型,文獻(xiàn)[17]中結(jié)果表明Stribeck 負(fù)斜率參數(shù)會(huì)直接影響極限環(huán)解的個(gè)數(shù)、穩(wěn)定性以及能否通過參數(shù)整定消除極限環(huán).該結(jié)論可視為文獻(xiàn)[14]中結(jié)論的拓展,對(duì)現(xiàn)實(shí)中能夠通過PID 參數(shù)調(diào)節(jié)消除極限環(huán)的一些情形進(jìn)行解釋.盡管事件對(duì)映是一種直觀有效的分析方法,但是由于需要將系統(tǒng)用一維對(duì)映來表示,其僅適用于靜態(tài)摩擦力模型,無法對(duì)包括更為復(fù)雜的動(dòng)態(tài)摩擦力模型的運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析.隨著計(jì)算能力的增強(qiáng),針對(duì)一般非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析工具如打靶法、軌跡跟蹤(path following)、分岔圖、Floquet 理論等被弓入到閉環(huán)的摩擦力振動(dòng)分析中[18-27].該方法能夠?qū)Π话隳Σ亮δＰ偷南到y(tǒng)進(jìn)行分析.針對(duì)靜態(tài)切換摩擦力模型[21]和動(dòng)態(tài)LuGre 模型[28],文獻(xiàn)[18]采用簡單打靶法結(jié)合軌跡跟蹤得到關(guān)于控制增益的極限環(huán)解枝軌跡.結(jié)果表明包含這兩種摩擦力模型的系統(tǒng)呈現(xiàn)出非常相似的特性,當(dāng)控制增益大于某一臨界值時(shí),極限環(huán)會(huì)消失.文獻(xiàn)[19-20] 聯(lián)合解析方法和數(shù)值方法,針對(duì)三階控制系統(tǒng)采用打靶法結(jié)合二分法在理論參數(shù)范圍內(nèi)計(jì)算令極限環(huán)消失的最小積分泄漏值.文獻(xiàn)[22]采用分岔圖對(duì)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀測器和摩擦力前饋補(bǔ)償策略的閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行極限環(huán)分析.

基于上述分析,本文研究ADRC下的極限環(huán)振動(dòng).首先,考慮兩種典型的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦力模型,設(shè)計(jì)不同階次的ADRC,并得到其等效形式以沿用PID 控制下的結(jié)論以及與PID 控制進(jìn)行比較.為了準(zhǔn)確計(jì)算高階控制系統(tǒng)的極限環(huán),采用非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的分析工具[29-32],使用打靶法結(jié)合擬弧長延拓跟蹤關(guān)于ESO 帶寬的極限環(huán)解枝.通過計(jì)算Floquet 乘子(floquet multiplier,FM) 判斷極限環(huán)的穩(wěn)定性、分岔點(diǎn)的出現(xiàn)以及類型.擬弧長延拓方法能夠克服傳統(tǒng)局部延拓方法不能順利通過折疊點(diǎn)的缺點(diǎn).此外,通過雅可比矩陣和近似數(shù)值方法對(duì)兩種系統(tǒng)平衡點(diǎn)集的局部穩(wěn)定性進(jìn)行了分析.最后,通過仿真研究了Stribeck 負(fù)斜率參數(shù)、控制器階次、誤差反饋調(diào)節(jié)帶寬以及觀測器帶寬對(duì)極限環(huán)以及平衡點(diǎn)集的影響,并對(duì)比兩種摩擦力模型下的結(jié)果.所得結(jié)論可以解釋一些現(xiàn)實(shí)情形并對(duì)參數(shù)整定提供一定指導(dǎo).

1 模型介紹與控制器設(shè)計(jì)

考慮一類二階運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)

其中,J是轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,θ 是轉(zhuǎn)動(dòng)角度,u是控制電壓,cm是輸入增益,Ff是摩擦力.現(xiàn)實(shí)中的摩擦力特性多種多樣,為了描述這些特性,不同復(fù)雜程度的摩擦力模型相繼被提出,主要分為靜態(tài)摩擦力模型和動(dòng)態(tài)摩擦力模型.文中選用兩種經(jīng)典模型,靜態(tài)切換模型[21]和動(dòng)態(tài)LuGre 模型[28].切換模型可表示為

其中,η 是角速度閾值,σ2是滑動(dòng)摩擦力系數(shù),Fs是最大靜摩擦力,α 是自定義的停滯階段的加速度,的形式為

其中,Fc是庫倫摩擦力,ωs是Stribeck 角速度.該模型包括三部分,即滑動(dòng)階段、由停滯切換到滑動(dòng)的過渡階段以及停滯階段.通過弓入α 定義停滯狀態(tài)可以避免傳統(tǒng)Karnopp 模型[33]的數(shù)值不穩(wěn)定問題,并且使得控制系統(tǒng)微分方程組變?yōu)榉莿傂?提高數(shù)值積分效率.Stribeck 效應(yīng)指的是克服最大靜摩擦力之后摩擦力絕對(duì)值的迅速減小,是產(chǎn)生極限環(huán)振動(dòng)的主要原因[34].β 決定了Stribeck 效應(yīng)的負(fù)斜率,即摩擦力在低速時(shí)的變化速度,是影響極限環(huán)振動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù).為了描述預(yù)滑動(dòng)、滯后回線、可變最大摩擦力等現(xiàn)象,文獻(xiàn)[28]提出了LuGre 模型.該模型假設(shè)接觸面在微觀上是不規(guī)則且粗糙的,兩個(gè)剛體通過一些彈性鬃毛接觸.鬃毛的平均變形用z表示,其動(dòng)態(tài)為

摩擦力可由鬃毛的撓曲產(chǎn)生,可表示為

其中,σ0是鬃毛剛度,σ1是微觀阻尼系數(shù).

現(xiàn)基于式(1)設(shè)計(jì)角度控制器.首先將式(1)改寫為

其中,b0=cm/J,d=-Ff/J.下面設(shè)計(jì)降階擴(kuò)張狀態(tài)觀測器(reduced-order extended state observer,RESO)[36]對(duì)摩擦力進(jìn)行估計(jì).假設(shè)角度和角速度信號(hào)同時(shí)可測,則分別可以設(shè)計(jì)一階或者二階RESO.當(dāng)采用角速度作為輸入時(shí),可設(shè)計(jì)一階RESO

其中,w為中間狀態(tài),ωo為觀測器帶寬,?d為摩擦力估計(jì).得到摩擦力估計(jì)后,控制律可設(shè)計(jì)為

其中,θd為參考指令,kp和kd分別為比例和微分增益,為了便于分析,這里根據(jù)參數(shù)化帶寬ωc將其設(shè)計(jì)為

由文獻(xiàn)[35-36]可知,式(7)和式(8)下的等效控制律就是PID 控制,因此已有文獻(xiàn)中關(guān)于PID 控制在極限環(huán)振動(dòng)上的結(jié)論同樣適用于針對(duì)二階對(duì)象設(shè)計(jì)一階RESO 的情形.基于文獻(xiàn)[14,17-18]中PID 控制下的結(jié)果,可以得到ADRC 下的幾個(gè)關(guān)鍵結(jié)論:

(1)針對(duì)只包含靜摩擦力和庫倫摩擦力的靜態(tài)模型,任何可以使系統(tǒng)穩(wěn)定的ADRC 參數(shù)組合都會(huì)產(chǎn)生極限環(huán)[14].

(2)針對(duì)切換模型(2),當(dāng)β ＜1 時(shí),平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的,穩(wěn)定極限環(huán)一直存在且不能通過調(diào)節(jié)ADRC參數(shù)消除(與結(jié)論(1) 吻合); 當(dāng)β ＞1 時(shí),平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,在一定ADRC 參數(shù)范圍內(nèi),穩(wěn)定和不穩(wěn)定極限環(huán)同時(shí)存在且能夠通過調(diào)節(jié)ADRC 參數(shù)消除[17].

(3)針對(duì)LuGre 模型(5),當(dāng)β=2 時(shí),極限環(huán)振動(dòng)特性和切換模型下β=2 時(shí)基本一致[18].

當(dāng)采用角度作為輸入時(shí),可設(shè)計(jì)二階RESO

其中,w1和w2為中間狀態(tài),l1和l2為觀測器增益,為了便于分析,這里根據(jù)參數(shù)化帶寬ωo將其設(shè)計(jì)為

基于式(10) 可以得到RESO 對(duì)擾動(dòng)估計(jì)的傳遞函數(shù)為

其中,L 表示拉氏變換運(yùn)算符號(hào).可以看出擾動(dòng)估計(jì)的本質(zhì)為擾動(dòng)的低通濾波輸出.顯然,ωo越高,越能夠快速地跟蹤和補(bǔ)償摩擦力.因此,ωo是影響極限環(huán)振動(dòng)的關(guān)鍵參數(shù).此外,ωo的取值會(huì)受到測量噪聲、未建模高階動(dòng)態(tài)等因素的限制.結(jié)合式(6)、式(8)和式(12)可以得到控制量在零初始條件時(shí)的拉氏變換為

其中,e=θd-θ.可以看出ADRC 的等效控制律包括PD 控制、誤差積分濾波輸出、誤差濾波輸出和角速度濾波輸出.基于式(13),定義新的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)

其中,x1,x2,x3分別是誤差、誤差導(dǎo)數(shù)和誤差積分,x4是誤差的低通濾波輸出.相比于PID 控制,閉環(huán)系統(tǒng)增加了誤差濾波狀態(tài)x4,上述結(jié)論(1)～(3)可能不再適用,因此是本文的研究重點(diǎn).將系統(tǒng)狀態(tài)重構(gòu)為式(14)是為了揭示出控制器的本質(zhì)以及便于將后面得到的結(jié)果與PID 控制的結(jié)果進(jìn)行比較.在研究極限環(huán)振動(dòng)時(shí),不失一般性,令θd=˙θd=¨θd=0.對(duì)于切換模型,閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

其中,切換函數(shù)fs為

其中

對(duì)于LuGre 模型,閉環(huán)系統(tǒng)可表示為

其中,x5=z.針對(duì)系統(tǒng)(15)和(19),本文研究控制參數(shù)ωc,ωo以及摩擦力參數(shù)β 對(duì)極限環(huán)存在性以及穩(wěn)定性的影響.對(duì)于給定的控制和摩擦力參數(shù),問題的關(guān)鍵即為準(zhǔn)確地求解出自治系統(tǒng)(15)和(19)的全部周期解.

2 系統(tǒng)周期解計(jì)算與分析

對(duì)于系統(tǒng)(15)和(19),極限環(huán)的計(jì)算和分析方法相同,該部分僅針對(duì)系統(tǒng)(15)進(jìn)行介紹.系統(tǒng)(15)是自治系統(tǒng),即等式右端的向量場不與時(shí)間t顯式有關(guān),不失一般性,起始時(shí)間可設(shè)為0.假設(shè)φt(x0,λ)為系統(tǒng)(15) 在初始條件x0=[x1(0)x2(0)x3(0)x4(0)]T下的解,其中,λ 為某個(gè)參數(shù)變量.求解極限環(huán)即為求解一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題

其中

則ci可由下式解出

基于式(21)可得

其中,帶下標(biāo)i的變量表示解枝上第i個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的值,

現(xiàn)采用牛頓迭代法對(duì)式(25)進(jìn)行求解

其中,下標(biāo)k(k=1,2,···)表示迭代次數(shù)

則待求解變量的迭代公式為

在每次迭代中,都需要多次在不同初始狀態(tài)和控制參數(shù)下進(jìn)行仿真,即將一個(gè)兩點(diǎn)邊值問題轉(zhuǎn)化為多次的初值問題求解,這就是打靶法的思想.重復(fù)上述迭代過程直至滿足終止條件

其中,ε1＞0 和ε2＞0 為充分小的值以保證求解精度.傳統(tǒng)局部延拓法在折疊點(diǎn)處存在奇異問題,無法通過折疊點(diǎn)繼續(xù)跟蹤解枝.擬弧長延拓法通過弓入擬弧長變量,可以避免奇異問題從而順利通過折疊點(diǎn).當(dāng)y為一維時(shí),該方法的簡化原理圖如圖1 所示.

圖1 擬弧長延拓方法原理Fig.1 Principle of pseudo arc-length continuation method

極限環(huán)的穩(wěn)定性以及解枝可能出現(xiàn)的分岔由單值矩陣的特征值FM 判斷.當(dāng)所有FM 位于單位圓內(nèi)時(shí),極限環(huán)是穩(wěn)定的.隨著控制參數(shù)連續(xù)變化,當(dāng)某個(gè)FM 的模變?yōu)榇笥? 時(shí),系統(tǒng)將出現(xiàn)動(dòng)態(tài)分岔,穩(wěn)定周期解被破壞[38-40].根據(jù)FM 變化情況的不同,可能出現(xiàn)3 種分岔:環(huán)面折疊分岔(cyclic fold bifurcation,CFB)、倍周期分岔(period doubling bifurcation,PDB)和環(huán)面分岔(torus bifurcation,TB).具體來說,當(dāng)有一個(gè)FM 沿著實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)CFB;當(dāng)有一個(gè)FM 沿著實(shí)軸從(-1,0)穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)PDB;當(dāng)有一對(duì)共軛的FM 穿出單位圓時(shí),將出現(xiàn)TB.

3 平衡點(diǎn)集與局部穩(wěn)定性

該部分首先介紹LuGre 模型下的平衡點(diǎn)集以及穩(wěn)定性判定.由LuGre 模型性質(zhì)可知[16],|z(t)| ≤Fs/σ0.因此,系統(tǒng)(19)的平衡點(diǎn)集為

其中,|γL| ≤Fs/σ0.誤差、誤差導(dǎo)數(shù)以及誤差濾波輸出在平衡點(diǎn)處都為零,鬃毛變形產(chǎn)生的摩擦力由積分作用產(chǎn)生的控制力完全補(bǔ)償.平衡點(diǎn)集的局部穩(wěn)定性可通過計(jì)算雅克比矩陣的特征值確定.由于Lu-Gre 模型是非光滑的,在求解雅可比矩陣時(shí)需要使用廣義微分[41].向量場f(x)在點(diǎn)x處的廣義微分定義為包含左導(dǎo)數(shù)f′-和右導(dǎo)數(shù)f′+的最小閉凸包

根據(jù)式(39)可以得到系統(tǒng)(19)在處的雅可比矩陣為

其中,I5×5為五階單位矩陣,各系數(shù)為

當(dāng)ωc＞0 且ωo＞0 時(shí),可以得到全部系數(shù)為正.根據(jù)Hurwitz 判據(jù),平衡點(diǎn)集穩(wěn)定的充要條件為

其中,P(ρ)是關(guān)于ρ 的三次多項(xiàng)式,因此,只需要計(jì)算P(ρ=-1)、P(ρ=1)和極小值就可以判斷式(44)是否成立.

按照切換模型的定義,系統(tǒng)(15)的平衡點(diǎn)集為

其中,|γS| ≤Fs.由于系統(tǒng)(15) 是Filippov 型不連續(xù)的,無法采用雅可比矩陣判斷平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性.和連續(xù)微分方程組相比,判斷不連續(xù)微分方程組平衡點(diǎn)集穩(wěn)定性的理論和方法尚不完善,已有方法大多是通過構(gòu)建非常復(fù)雜的非光滑Lyapunov 函數(shù)[42-43].考慮到不是本文的研究重點(diǎn),這里采用一種近似的數(shù)值方法.通過大量仿真,發(fā)現(xiàn)x1對(duì)解軌跡影響最為顯著.因此,對(duì)某個(gè)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向的攝動(dòng),在(0,xs)(xs為相應(yīng)參數(shù)下穩(wěn)定極限環(huán)的幅值)區(qū)間內(nèi)選擇n個(gè)值作為攝動(dòng)值,在每個(gè)攝動(dòng)值下進(jìn)行仿真并觀察狀態(tài)能否最終收斂到平衡點(diǎn)集.對(duì)于存在攝動(dòng)值使得仿真結(jié)果收斂到平衡點(diǎn)集的情況,即可判斷此時(shí)平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,而且這個(gè)分析結(jié)果是準(zhǔn)確的.對(duì)于所有攝動(dòng)值下仿真結(jié)果都不會(huì)收斂到平衡點(diǎn)集的情況,即可判斷此時(shí)平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的,但是這個(gè)分析結(jié)果是近似的,因?yàn)槌跏紬l件沒有遍歷整個(gè)狀態(tài)空間.

4 計(jì)算結(jié)果

仿真模型參數(shù)為[18]

求解器選用ode45 算法,相對(duì)和絕對(duì)容許誤差限設(shè)置為10-10(需小于切換模型的角速度閾值η).參數(shù)攝動(dòng)量ξ 取為初始狀態(tài)或控制參數(shù)的1%,且絕對(duì)值不小于10-8以避免數(shù)值敏感問題.Δχ 分段進(jìn)行取值,當(dāng)跟蹤穩(wěn)定解枝時(shí),取為2,當(dāng)某個(gè)FM 的模接近1 時(shí),減小Δχ 至0.01 以順利經(jīng)過比較尖銳的折疊點(diǎn).迭代精度參數(shù)設(shè)計(jì)為ε1=10-6,ε2=10-4.

4.1 基于二階ESO 和切換模型的計(jì)算結(jié)果

圖2 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.2 Bifurcation diagram for the switch model system with β=2(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖3 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)穩(wěn)定解枝的FMs(實(shí)線:FM1,虛線:FM2,點(diǎn)線:FM3,點(diǎn)劃線:FM4)Fig.3 FMs of stable branch for the switch model system with β=2(solid line:FM1,dashed line:FM2,dotted line:FM3,dot dash line:FM4)

圖4 β=2 時(shí)切換模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.4 Period of stable limit cycle for the switch model system with β=2

首先令β=2.ωc=10 rad/s 和ωc=20 rad/s 時(shí)的分岔圖、FMs、極限環(huán)周期如圖2～圖4 所示.在以下分岔圖中,同時(shí)描述了周期解和平衡點(diǎn)集(x1=0),實(shí)線表示周期解或者平衡點(diǎn)集是局部穩(wěn)定的,而虛線則表示周期解或者平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的.由于極限環(huán)可能是非對(duì)稱的,在圖2 中,max(x1)表示一個(gè)極限環(huán)周期內(nèi)角度的最大值(以下簡稱為極限環(huán)幅值).在解枝起始點(diǎn),ωo=10 rad/s,相應(yīng)的極限環(huán)是穩(wěn)定的.隨著ωo的增大,極限環(huán)幅值不斷減小.當(dāng)ωo增大到某個(gè)臨界值時(shí),有FM 沿實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓,出現(xiàn)CFB,并通過CFB 產(chǎn)生不穩(wěn)定解枝,此時(shí)對(duì)應(yīng)的ωo稱為.需要說明的是,任意微小的擾動(dòng)都會(huì)使得不穩(wěn)定極限環(huán)的軌跡不能夠保持,不穩(wěn)定極限環(huán)在現(xiàn)實(shí)情形中幾乎不可能出現(xiàn).因此,其求解只具有理論意義,不具有實(shí)際意義.由于不穩(wěn)定極限環(huán)求解計(jì)算量很大,這里只計(jì)算出了不穩(wěn)定解枝的一部分,但不影響結(jié)論.當(dāng)ωo＜時(shí),系統(tǒng)中存在兩個(gè)相近的穩(wěn)定和不穩(wěn)定周期解;當(dāng)ωo=時(shí),兩個(gè)周期解匯聚一起;當(dāng)ωo＞時(shí),系統(tǒng)中極限環(huán)消失.對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向上的攝動(dòng),攝動(dòng)值為(0,xs) 區(qū)間內(nèi)均勻選取的1000 個(gè)點(diǎn).通過大量仿真發(fā)現(xiàn),當(dāng)|x1(0)| ＜|xu|(xu為相應(yīng)參數(shù)下不穩(wěn)定極限環(huán)的幅值)時(shí),軌跡會(huì)趨于系統(tǒng)平衡點(diǎn)集; 當(dāng)|xu| ＜|x1(0)| ＜|xs|時(shí),軌跡會(huì)趨于穩(wěn)定極限環(huán).所以平衡點(diǎn)集在所選參數(shù)范圍內(nèi)是局部穩(wěn)定的,且在x1方向的吸弓域近似為|x1|＜|xu|.此外,從圖2 可以看出,ωc越大,相同ωo下的極限環(huán)幅值越小,對(duì)應(yīng)的也越小.FMs 如圖3 所示,其中FM1隨ωo變化明顯,FM2始終接近于1,FM3和FM4一直接近于0.FM1在CFB 附近先是驟減然后突然穿越1.FM2在1 附近的波動(dòng)可認(rèn)為是由數(shù)值計(jì)算誤差造成的,不能夠用于判斷是否出現(xiàn)分岔,因?yàn)槠渥兓秶苄∏亿厔菪圆幻黠@.上述結(jié)果和文獻(xiàn)[18] 中PID 控制器下的結(jié)果很相似,只是多了一個(gè)始終接近于0 的FM.穩(wěn)定極限環(huán)的周期如圖4 所示,可見周期變化非單調(diào),呈現(xiàn)先減后增的趨勢,且ωc越大,周期越小.

圖5 β=0.9 時(shí)切換模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.5 Bifurcation diagram for the switch model system with β=0.9(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖6 β=0.9 時(shí)切換模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.6 Period of stable limit cycle for the switch model system with β=0.9

為研究摩擦力參數(shù)對(duì)極限環(huán)的影響,令β=0.9.對(duì)于切換模型,β 越小,由停滯切換到滑動(dòng)狀態(tài)時(shí),在|x2| ＜ωs速度范圍內(nèi)獲得的角加速度就越大,越容易產(chǎn)生超調(diào),從而越容易誘發(fā)極限環(huán).β=0.9 時(shí)的分岔圖和周期圖如圖5 和圖6 所示.當(dāng)極限環(huán)幅值接近于零時(shí),由于計(jì)算量過大終止計(jì)算.同樣,從ωo=10 rad/s 開始跟蹤穩(wěn)定的極限環(huán)解枝.隨著ωo增大,極限環(huán)幅值不斷減小,周期呈現(xiàn)先減后增趨勢.在計(jì)算的參數(shù)范圍內(nèi)沒有出現(xiàn)動(dòng)態(tài)分岔.相比于β=2 時(shí)結(jié)果,β=0.9 時(shí)的極限環(huán)幅值更大且更加難以消除,即使觀測器帶寬很高時(shí),仍不能夠徹底消除極限環(huán).需要說明的是,當(dāng)極限環(huán)幅值非常小且周期非常長時(shí),極限環(huán)解雖然存在但是在某些實(shí)際應(yīng)用背景下不會(huì)影響控制性能.對(duì)平衡點(diǎn)進(jìn)行x1方向上的攝動(dòng),ωo=10,n=1000 時(shí),ωc=10 和ωc=20 條件下能夠仿真到的最小初始角度xm分別是1.06 × 10-5(xm=xs/1000,xs=1.06 × 10-2) 和3.36×10-6(xm=xs/1000,xs=3.36×10-3),此時(shí)仍有極限環(huán)產(chǎn)生,可近似地認(rèn)為平衡點(diǎn)集是不穩(wěn)定的.令n取為更小值也是可以的,這樣能夠使得初始角度進(jìn)一步在小于1.06×10-5和3.36×10-6范圍內(nèi)進(jìn)行嘗試,但是會(huì)存在以下幾個(gè)問題.首先,當(dāng)初始角度非常小時(shí),仿真時(shí)間會(huì)非常長,計(jì)算結(jié)果也會(huì)受到數(shù)值計(jì)算精度的影響.其次,即使角度間隔取得非常小,穩(wěn)定性分析結(jié)果仍然可能不是準(zhǔn)確的,因?yàn)槌跏紶顟B(tài)攝動(dòng)還是只考慮了第一個(gè)狀態(tài),沒有遍歷整個(gè)狀態(tài)空間.所以,文中令n=1000 即可滿足要求.在每個(gè)ωo下,最小初始角度攝動(dòng)下的軌跡都會(huì)趨于穩(wěn)定極限環(huán),所以可以近似判斷平衡點(diǎn)集在所選參數(shù)范圍內(nèi)是不穩(wěn)定的.當(dāng)ωc=10 rad/s 和ωo=30 rad/s 時(shí),β=2 和β=0.9 下的時(shí)域仿真結(jié)果如圖7 所示.可以看出,β=2 時(shí)的周期解滿足x1(t)=-x1(t+T/2),而當(dāng)β=0.9 時(shí),這種對(duì)稱性被破壞.因此,可以推斷隨著β 的減小周期解會(huì)出現(xiàn)對(duì)稱破缺性分岔(symmetry breaking bifurcation,SBB)[23].

圖7 β=0.9,2 時(shí)切換模型系統(tǒng)的角度極限環(huán)Fig.7 Angular position limit cycle for the switch model system with β=0.9,2

4.2 基于二階ESO 和LuGre 模型的計(jì)算結(jié)果

為研究動(dòng)態(tài)和靜態(tài)摩擦力模型對(duì)極限環(huán)振動(dòng)的影響,采用LuGre 模型重復(fù)上述過程.當(dāng)β=2 時(shí),仿真結(jié)果如圖8～圖10 所示.和切換模型在β=2 時(shí)的結(jié)果相似,隨著ωo的增大,有FM 沿實(shí)軸從(1,0)穿出單位圓,出現(xiàn)CFB,并通過CFB 產(chǎn)生不穩(wěn)定解枝.極限環(huán)幅值和周期與切換模型下的結(jié)果比較接近,稍小于切換模型對(duì)應(yīng)的新增加的一個(gè)FM 在0 附近波動(dòng).β=0.9 時(shí)的分岔圖如圖11 所示.可見系統(tǒng)中依然出現(xiàn)了CFB,且比β=2時(shí)的更小,這一點(diǎn)和切換模型正好是相反的.對(duì)于切換模型,β 的減小增大了摩擦力的補(bǔ)償難度,即使ωo取值非常大也不能夠消除極限環(huán).然而對(duì)于Lu-Gre 模型,β 的減小反而降低了摩擦力的補(bǔ)償難度.可以看出β 在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)摩擦力模型中有著不同的影響.按照前述方法驗(yàn)證平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性,可以得到所有考慮參數(shù)范圍內(nèi)的平衡點(diǎn)集都是局部穩(wěn)定的.

圖8 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.8 Bifurcation diagram for the LuGre model system with β=2(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

圖9 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)穩(wěn)定解枝的FMs(實(shí)線:FM1,虛線:FM2,點(diǎn)線:FM3,點(diǎn)劃線:FM4,星實(shí)線:FM5)Fig.9 FMs of stable branch for the LuGre model system with β=2(solid line:FM1,dashed line:FM2,dotted line:FM3,dot dash line:FM4,solid line with star:FM5)

4.3 基于三階ESO 的計(jì)算結(jié)果

圖10 β=2 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)周期Fig.10 Period of stable limit cycle for the LuGre model system with β=2

圖11 β=0.9 時(shí)LuGre 模型系統(tǒng)分岔圖(實(shí)線:穩(wěn)定解枝,虛線:不穩(wěn)定解枝)Fig.11 Bifurcation diagram for the LuGre model system with β=0.9(solid line:stable branch,dashed line:unstable branch)

上述計(jì)算結(jié)果是針對(duì)二階ESO 的,本文同樣針對(duì)全階ESO(三階ESO)重復(fù)進(jìn)行了4.1 和4.2 小節(jié)中的所有計(jì)算.計(jì)算結(jié)果表明,上述所得結(jié)論(摩擦力模型、參數(shù)、ADRC 參數(shù)對(duì)平衡點(diǎn)集以及周期解影響) 對(duì)于三階ESO 仍然是成立的.由于閉環(huán)系統(tǒng)階次升高一階,切換模型系統(tǒng)和LuGre 模型系統(tǒng)分別多了乘子FM5和FM6,這兩個(gè)乘子對(duì)應(yīng)的是新增系統(tǒng)狀態(tài)位置濾波的一階導(dǎo)數(shù),且都為接近于零的數(shù).由于篇幅限制且所得結(jié)論是相同的,該部分結(jié)果沒有在文中具體呈現(xiàn).

4.4 二階三階ESO 性能對(duì)比

對(duì)于給定的摩擦力模型,降階和全階ESO 在極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性、平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性上面的結(jié)論是相同的.但是,二者在使用時(shí)效果還是存在一些區(qū)別.例如,在相同的ωc和ωo下,全階ESO 相比于降階ESO 的相位延遲更大,摩擦力補(bǔ)償效果更差,極限環(huán)的幅值更大.為了取得和降階ESO 相似的性能,全階ESO 的ωo應(yīng)該更大以補(bǔ)償高階次帶來的延遲.因此,在相同的ωc下,全階ESO 對(duì)應(yīng)的B更大.為了公平地對(duì)兩者進(jìn)行性能對(duì)比,我們考慮兩種閉環(huán)系統(tǒng)在其對(duì)應(yīng)的下的魯棒性能,即令摩擦力補(bǔ)償效果相同,比較閉環(huán)魯棒性能,研究哪一種階次的觀測器能夠更好地解決抗擾性能和魯棒性能之間的矛盾問題.我們將各種情形下的穩(wěn)定裕度指標(biāo)列在表1 中.其中,ESO2和ESO3分別表示降階和全階ESO,GM,PM,TM 分別代表幅值裕度、相位裕度和時(shí)延裕度.由于摩擦力模型是非線性的,在計(jì)算穩(wěn)定裕度時(shí)僅考慮了滑動(dòng)摩擦力,沒有考慮零速附近的摩擦力非線性.由表1 可以看出,兩個(gè)閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性能比較相近,但是ESO2下的穩(wěn)定裕度尤其是相位裕度指標(biāo)更好一些.因此,在設(shè)計(jì)ESO 時(shí)可以優(yōu)先選擇降階ESO.

對(duì)于切換模型,當(dāng)β=2,ωc=10 時(shí),ESO2和ESO3的分別為102.3 rad/s 和158.0 rad/s,此時(shí)兩個(gè)ESO 的估計(jì)誤差傳函(L(d-?d)/L(d))的頻率響應(yīng)如圖12 所示.可見,兩個(gè)ESO 的頻率響應(yīng)十分接近,因此,其相應(yīng)的極限環(huán)特性和穩(wěn)定魯棒性能也都是相近的.那么可以自然地弓申出一個(gè)問題,即在怎樣的觀測器參數(shù)化帶寬關(guān)系下降階和全階ESO 之間的性能最為接近.首先考慮傳統(tǒng)的-3 dB 定義的物理帶寬,當(dāng)兩者的物理帶寬相同時(shí),降階和全階ESO 的參數(shù)化帶寬ωor和ωof之間滿足ωof=1.26ωor,顯然此時(shí)不滿足性能相似要求(表1 中的帶寬關(guān)系).這里我們嘗試用衡量線性系統(tǒng)相似性的ν 間隙度量[44]來計(jì)算兩個(gè)ESO 參數(shù)化帶寬之間的關(guān)系.兩個(gè)線性系統(tǒng)P1和P2之間的ν 間隙度量定義為

表1 全降階ESO 下的計(jì)算結(jié)果對(duì)比Table 1 Comparisons of calculation results for full-and reduced-order ESOs

圖12 全降階ESO 的擾動(dòng)估計(jì)誤差的頻率響應(yīng)Fig.12 Frequency responses of disturbance estimation errors for full-and reduced-order ESOs

5 結(jié)論

本文得到以下四個(gè)主要結(jié)論.其中,結(jié)論(1) 和結(jié)論(2)總結(jié)了ADRC 階次的影響,結(jié)論(3)和結(jié)論(4)總結(jié)了摩擦力模型和參數(shù)以及控制參數(shù)的影響.

(1)當(dāng)設(shè)計(jì)一階RESO 時(shí),由于等效控制律即為PID 控制,已有的PID 控制下極限環(huán)振動(dòng)結(jié)論直接適用.當(dāng)設(shè)計(jì)二階RESO 時(shí),等效閉環(huán)系統(tǒng)增加誤差濾波狀態(tài).當(dāng)設(shè)計(jì)全階ESO 時(shí),等效閉環(huán)系統(tǒng)增加誤差濾波狀態(tài)及其導(dǎo)數(shù).在這兩種情況下,雖然階次分別升高一階和兩階,對(duì)于給定的摩擦力模型,閉環(huán)系統(tǒng)極限環(huán)的存在性和穩(wěn)定性、平衡點(diǎn)集的穩(wěn)定性的結(jié)論和PID 控制下的結(jié)論仍然相同,反映了ADRC 階次對(duì)定性結(jié)論沒有影響.

(4)對(duì)于連續(xù)的LuGre 模型,當(dāng)β=2 和β=0.9時(shí),系統(tǒng)都會(huì)出現(xiàn)CFB,即極限環(huán)可以通過增大觀測器帶寬消除.當(dāng)β=2 時(shí),結(jié)果和切換模型β=2 時(shí)結(jié)果十分相近.然而當(dāng)β=0.9 時(shí),結(jié)果和切換模型β=0.9 時(shí)結(jié)果正好相反.

下一步將對(duì)低速斜坡指令跟蹤任務(wù)下的黏滑(stick slip) 振動(dòng)展開研究.跟蹤低速斜坡指令時(shí),系統(tǒng)變?yōu)榉亲灾蜗到y(tǒng),文中方法不再適用,其周期解求解將會(huì)更加困難,這也是未來的研究重點(diǎn).