王立安 趙建昌 王作偉

(蘭州交通大學(xué)土木工程學(xué)院，蘭州 730070)

引言

隨著我國(guó)城鎮(zhèn)化進(jìn)程的加速以及交通基礎(chǔ)設(shè)施的大規(guī)模建設(shè)，很大程度上促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，但也帶來(lái)了諸多負(fù)面影響，例如噪聲污染、環(huán)境振動(dòng)等.交通網(wǎng)絡(luò)的密集布置使得越來(lái)越多的民房和古建筑處于道路沿線，加劇了汽車行駛引起的振動(dòng)危害.有鑒于此，深入研究汽車行駛誘發(fā)的環(huán)境振動(dòng)響應(yīng)，并給出可靠的預(yù)測(cè)模型顯得極為重要.

近些年出現(xiàn)的文獻(xiàn)中，關(guān)于軌道列車引起地基振動(dòng)響應(yīng)研究已有很多[1-6]，而針對(duì)汽車載荷的地基振動(dòng)響應(yīng)研究卻較少.最早研究汽車載荷引起地基振動(dòng)，是將汽車載荷簡(jiǎn)化為移動(dòng)點(diǎn)源或面源載荷進(jìn)行研究[7-10]，而這種簡(jiǎn)化是最理想的狀態(tài)，沒有考慮汽車懸架和輪胎的剛度、阻尼，以及地面狀況對(duì)車--地相互作用的動(dòng)態(tài)影響.Fryba[11]提出一種考慮汽車懸架和輪胎剛度、阻尼的兩自由度1/4 汽車模型，該模型在后續(xù)研究中得到了廣泛應(yīng)用并取得大量成果.如：孫璐等[12]利用兩自由度1/4 汽車模型分析了車--路動(dòng)力相互作用；孫璐等[13]、黃新藝等[14]利用該模型分析了車--橋耦合振動(dòng)響應(yīng)；文獻(xiàn)[15-19]同樣利用1/4 車體模型對(duì)車--路面--地基系統(tǒng)的耦合振動(dòng)響應(yīng)做了研究.但值得注意的是，該模型盡管考慮了汽車懸架和輪胎的剛度、阻尼，但并未考慮輪胎在汽車行駛過(guò)程中的動(dòng)態(tài)變形，將輪--地接觸假設(shè)為點(diǎn)接觸或接觸面積恒定不變的面接觸，這樣的假設(shè)無(wú)法反映輪胎包容性對(duì)車--地相互作用的影響，而且上述研究中都只考慮了車--地之間的豎向作用，并未考慮輪--地之間的縱向滾動(dòng)摩擦.孫加亮等[20]對(duì)近年來(lái)多柔體系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)建模、分析方法以及相關(guān)成果做了系統(tǒng)總結(jié)和綜述，并提出關(guān)于柔性部件動(dòng)力分析的問(wèn)題.郭孔輝等[21-24]在兩自由度1/4 汽車模型的基礎(chǔ)上考慮輪胎幾何濾波效應(yīng)和彈性濾波效應(yīng)，提出反映輪胎包容性的彈性滾子接觸模型，并做了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證.胡海巖[25]通過(guò)研究振動(dòng)系統(tǒng)在狀態(tài)空間中的可達(dá)流形后發(fā)現(xiàn)，在計(jì)算非完整約束力學(xué)系統(tǒng)的自由度時(shí)，每一個(gè)非完整約束可以使得系統(tǒng)減少半個(gè)自由度.劉志浩等[26-27]建立輪胎歐拉梁模型進(jìn)一步分析了輪胎包容性對(duì)振動(dòng)特性的影響.范紀(jì)華等[28]基于絕對(duì)節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)的彈性線方法對(duì)履帶式車輛的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題做了仿真分析.此外，也有學(xué)者采用現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)的方法研究了汽車行駛誘發(fā)地面振動(dòng)的特性，如葉茂等[29]、賈寶印等[30].但由于問(wèn)題本身的復(fù)雜性且影響因素較多，實(shí)測(cè)方法未能得出有效的振動(dòng)預(yù)測(cè)模型.

基于上述分析，本文在兩自由度1/4 汽車模型的基礎(chǔ)上結(jié)合郭孔輝[31]提出的彈性滾子接觸模型，建立汽車與地基系統(tǒng)的耦合振動(dòng)模型，并同時(shí)考慮車--地之間的豎向和縱向作用，利用Fourier 和Laplace 積分變換推導(dǎo)出地表振動(dòng)位移的解析解.經(jīng)過(guò)數(shù)值計(jì)算，系統(tǒng)分析了車速、地面不平度和輪胎包容性對(duì)地表振動(dòng)的影響規(guī)律.

1 計(jì)算模型

圖1 為1/4 汽車與地基相互作用的力學(xué)模型，車輪沿x方向以速度c勻速運(yùn)動(dòng)，o-x1為固定在車輪上的一維局部坐標(biāo)系，方向平行于x軸，-r0≤x1≤r0，r0為輪胎半徑.圖中m1，m2為車身和車輪質(zhì)量，z1=z1(t)，z2=z2(t)為車身和車輪的豎向位移；z0=z0(t)為地面不平度(路形函數(shù))；K1，C1為汽車懸架剛度系數(shù)和阻尼，Kw，Cw為輪胎剛度系數(shù)和阻尼.2a，2b為輪胎著地長(zhǎng)度和寬度，其中輪胎半寬b為常數(shù)，輪胎著地半長(zhǎng)a=a(t)為隨時(shí)間的變化量.本文著重反映汽車行駛載荷的激勵(lì)特征，將地基考慮為均質(zhì)彈性半空間.

圖1 模型示意圖Fig.1 Diagram of calculation model

地面不平度z0(t)采用簡(jiǎn)諧波函數(shù)描述[24]

假設(shè)輪胎與地面間的接觸力均勻分布，輪--地間的相互作用力可分別由下式表示.

豎向作用力

縱向摩擦力

2 問(wèn)題求解

2.1 汽車系統(tǒng)動(dòng)力方程及求解

根據(jù)D’alembert 原理，兩自由度體系1/4 汽車系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

將式(7)、式(1)代入式(6)，得到

常微分方程組(8)的通解形式為

將式(9)代入式(8)，解得

式中

將式(10)依次回代到式(9)、式(7)、式(2)中，即可確定出輪胎的動(dòng)態(tài)壓縮量

將式(12)分別代入式(3)～式(5)，則確定出qd(t)，fd(t)，a(t).

圖2 a，qd，fd 隨時(shí)間的變化曲線Fig.2 Curves of parameters a，qd，fd along time

圖3 物理量幅值,?, 隨車速的變化曲線Fig.3 Curves of,?,with speed of vehicle

實(shí)驗(yàn)研究發(fā)現(xiàn)，輪胎充氣壓力增大，輪胎剛度增大而阻尼減小.為綜合反映輪胎包容性的影響，利用實(shí)驗(yàn)擬合公式將輪胎剛度系數(shù)Kw和阻尼系數(shù)Cw統(tǒng)一用輪胎充氣壓力表示[32-33]

圖4 輪胎充氣壓力對(duì)，，的影響Fig.4 Curves of，， with tire pressure

圖4 輪胎充氣壓力對(duì)，， 的影響(續(xù))Fig.4 Curves of ，， with tire pressure(continued)

式中，pr為輪胎充氣壓力(kPa).圖4 為三物理量幅值，，與輪胎充氣壓力的關(guān)系曲線.圖中發(fā)現(xiàn)，汽車在中、低速行駛時(shí)，胎壓對(duì)，，影響顯著；隨著pr增大，輪胎著地長(zhǎng)度減小，輪--地作用力，增大.而高速行駛時(shí)，胎壓對(duì)三物理量幅值幾乎無(wú)影響.

2.2 地基動(dòng)力方程及求解

均質(zhì)彈性半空間直角坐標(biāo)系下的運(yùn)動(dòng)方程為

本構(gòu)方程

式中，σxz，σyz，σz為地基中一點(diǎn)的應(yīng)力分量；對(duì)時(shí)間坐標(biāo)引入如下Laplace 變換

式中，“?”表示對(duì)應(yīng)物理量的Laplace 變換，s為變換參數(shù).對(duì)式(2)進(jìn)行Laplace 變換后，寫為

對(duì)x,y坐標(biāo)引入如下雙重Fourier 變換對(duì)

式中，ξ，η 為Fourier 變換參數(shù)，“≈”表示對(duì)應(yīng)物理量的雙重Fourier 變換.對(duì)式(18)進(jìn)行雙重Fourier 變換，將其化為關(guān)于(ξ,η,z,s)的二階常微分方程

求解式(20)，得到

對(duì)式17(a)～式17(c)也進(jìn)行雙重Fourier 變換，

并將式(21)代入，整理后得到

求解常微分方程組(22)，得到變換域中地基的位移解

對(duì)本構(gòu)方程(15)做Laplace 和Fourier 變換后，并將式(21)、式(23)代入，得出變換域中地基的應(yīng)力解

半空間表面(z=0)處的邊界條件寫為

式中，H()表示Heaviside 階躍函數(shù).對(duì)式(25)進(jìn)行雙重Fourier 變換和Laplace 變換后得到

式中

將式(23)、式(24)代入式(26)，得到

將式(28)回代到式(23)，則得到地基位移在變換域的解析式

通過(guò)對(duì)式(29)做雙重Fourier 逆變換和Laplace逆變換，并取z=0，則可得到空間域中地表位移(x,y,0,t),(x,y,0,t),(x,y,0,t).

3 算法驗(yàn)證

根據(jù)前文推導(dǎo)出的公式，編寫程序計(jì)算地表振動(dòng)位移，其中Fourier 逆變換采用離散傅里葉逆變換(IDFT)實(shí)現(xiàn)，Laplace 逆變換采用Crump 法[34]做數(shù)值反演.為了進(jìn)行對(duì)比，地基參數(shù)取值與文獻(xiàn)[35]相同，楊氏模量E=2.69 × 108Pa，密度ρ=1550 kg/m3，泊松比ν=0.257，P波波速=263 m/s.通過(guò)觀察式(3)、式(5)、式(12)能夠發(fā)現(xiàn)，若取地面不平度幅值?B=0，則qd,a都變?yōu)槎ㄖ?，再取輪胎滾動(dòng)阻力系數(shù)μr=0，則fd=0，本文模型即可退化為彈性半空間表面作用移動(dòng)矩形載荷的地基動(dòng)力響應(yīng)問(wèn)題，退化模型與文獻(xiàn)[35]相同.圖5 為觀測(cè)點(diǎn)A(350,0,0)處的豎向位移，圖中顯示本文結(jié)果與文獻(xiàn)解能夠很好的吻合.圖5 還反映出，當(dāng)同時(shí)考慮豎向和縱向作用力時(shí)，地表振動(dòng)位移明顯增大.

圖5 計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of calculation results

4 數(shù)值結(jié)果和討論

將2.1 節(jié)的汽車模型代入地基模型，即可算出汽車行駛誘發(fā)的地基振動(dòng)位移.圖6 為計(jì)算出的t=0.1 s 時(shí)刻，地表豎向位移uz的空間分布，對(duì)比圖3(a)與圖3(b)的位移坐標(biāo)值可以發(fā)現(xiàn)，車速增大時(shí)地表位移明顯增大.并且從圖3(a)中發(fā)現(xiàn)，振動(dòng)位移沿縱向(x方向，汽車行駛方向)和橫向(y方向)的分布存在差異.為進(jìn)一步考察該問(wèn)題，圖7 繪出了振動(dòng)位移分別沿x,y方向的衰減曲線.圖中顯示，在近場(chǎng)區(qū)域，沿縱向分布的振動(dòng)位移明顯大于橫向，位移衰減距離也略大于橫向.通過(guò)對(duì)比圖8(a)～圖8(c) 還能發(fā)現(xiàn)，汽車行駛速度越低，則振動(dòng)位移沿縱、橫向分布的差異越大.需補(bǔ)充的是，圖7 和圖8 給出的位移分布曲線與文獻(xiàn)[30]的實(shí)測(cè)曲線分布規(guī)律一致，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文模型的可靠.

圖6 地表豎向位移uz 空間分布Fig.6 Distribution of vertical displacement

圖7 豎向位移沿縱、橫向的分布Fig.7 Distribution of vertical displacement along longitudinal and lateral directions

圖7 豎向位移沿縱、橫向的分布(續(xù))Fig.7 Distribution of vertical displacement along longitudinal and lateral directions(continued)

圖9 為不同地面不平度因子β 取值下，地表振動(dòng)位移的橫向分布圖，由圖可知，地面不平度對(duì)地表振動(dòng)影響非常大，地面越不平順，振動(dòng)位移越大，縱向分布具有相同性質(zhì).圖10 反映了輪胎充氣壓力pr對(duì)地表振動(dòng)位移的影響，對(duì)比圖10(a)和圖10(b)發(fā)現(xiàn)，汽車在高速行駛時(shí)，pr對(duì)地表振動(dòng)幾乎無(wú)影響；而在較低車速時(shí)產(chǎn)生一定影響，pr越大，地表振動(dòng)位移越大.

圖8 不同行駛速度下振動(dòng)位移縱、橫向分布對(duì)比Fig.8 Distribution comparison between longitudinal and lateral directions at different velocities

圖9 地面不平度對(duì)振動(dòng)位移的影響Fig.9 Influence of ground irregularity β on vibration displacement

圖10 輪胎充氣壓力對(duì)地表振動(dòng)的影響Fig.10 Effects of tire pressure on surface vibration

5 結(jié)論

利用1/4 車體模型和彈性滾子接觸模型建立車--地耦合系統(tǒng)的振動(dòng)分析模型.模型中所有參數(shù)都物理意義明確，均可通過(guò)查表或試驗(yàn)確定(地基參數(shù)).因此，本文給出的模型和算法可以作為一種預(yù)測(cè)汽車行駛誘發(fā)地基振動(dòng)的理論方法.

文中通過(guò)理論推導(dǎo)和數(shù)值計(jì)算，分別討論了汽車行駛速度、地面不平度及輪胎充氣壓力對(duì)車--地相互作用和地表振動(dòng)的影響規(guī)律.可總結(jié)出以下幾點(diǎn)結(jié)論：

(1) 相對(duì)而言，車速對(duì)于輪--地作用力的峰值影響有限(尤其高速行駛時(shí))，而對(duì)載荷激勵(lì)頻率影響較大.故，車速主要通過(guò)改變車--地相互作用的激勵(lì)頻率來(lái)影響地表振動(dòng).

(2)地面不平度對(duì)車--地相互作用力和地表振動(dòng)的影響最為顯著.

(3)輪胎包容性在較低車速時(shí)對(duì)車--地相互作用力和地表振動(dòng)有一定影響，隨著車速增大，影響逐漸消失.