王泓權(quán) 王宇

摘 要：初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)在研究內(nèi)容、學(xué)習(xí)方法上的差異，初學(xué)者如何處理好高等數(shù)學(xué)時的過渡顯得尤為重要。通過5道證明題的解題思路，以“具體與抽象的辯證關(guān)系”“創(chuàng)新思維”為切入點，從中研究了知識遷移在學(xué)業(yè)過渡階段所起的作用，探討了以學(xué)生角度運用知識遷移作用的意義、促進遷移效果的方法，闡述了掌握抽象與具體的辯證關(guān)系需要知識遷移理論的支撐，提出了同化性遷移對于創(chuàng)新思維的引導(dǎo)。

關(guān)鍵詞：初等數(shù)學(xué);高等數(shù)學(xué);過渡;遷移

教育心理學(xué)所研究的學(xué)習(xí)遷移特指前一種學(xué)習(xí)對后一種學(xué)習(xí)的影響或者后一種學(xué)習(xí)對前一種學(xué)習(xí)的影響。

初學(xué)高等數(shù)學(xué)時，能夠處理好初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接問題和知識的過渡可以為后續(xù)的進一步學(xué)習(xí)做好準備。高等數(shù)學(xué)可以給初等數(shù)學(xué)的諸多定理合理地解釋，同時高等數(shù)學(xué)又離不開初等數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)，筆者通過一道定理證明的5個互相關(guān)聯(lián)的證明方法解釋“具體與抽象的辯證關(guān)系”“創(chuàng)新思維”闡述知識的遷移作用在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要意義。

一、具體到抽象——順向正遷移

題目：求證球體的體積公式：V球=4/3πR3

證明1：（中學(xué)知識證明）

已知半徑為R的球體的表面積公式為S=4πR2，在球表面隨機取一塊面積盡可能小的區(qū)域，區(qū)域面積設(shè)為s，因為面積盡可能小，所以可以將曲面近似看作是平面，以該區(qū)域為底面積，到球心的距離為高（高近似為R）的立體圖形可以看作一個底面積為s，高為h的椎體，其體積為1/3Rs，在這整個球體的表面一共取了這樣n個小區(qū)域，有S=ns，所以整個V球=nV錐=1/3Rns=4/3πR3

證明2：（二重積分）

相比于證明2，證明1中使用的中學(xué)證明的方法相對來說更加易于被中學(xué)生所理解。中學(xué)生的抽象概括能力有一定的局限性。在證明1中，積分區(qū)域是具體可視的球體。解決方法是分割法，物體的體積無法整體計算時就將其分割成小塊物體計算體積，而后求和。解法類似于切蛋糕，形象具體。這是學(xué)高等數(shù)學(xué)之前能夠掌握的方法。而證明2中的解法是積分，以二重積分作為工具，同樣運用證明1中的切割組合的方法進行計算。積分的推導(dǎo)過程就是先無限分割，再把這無限多份求和。

這種學(xué)習(xí)方法體現(xiàn)了正遷移的效果，正遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)起到積極的促進作用。在知識的遷移作用下，我們知道證明2中運用到的微積分類似于“切蛋糕問題”，更是拓展引申。遷移作用拉近了學(xué)生和新學(xué)知識的距離，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)的欲望。

數(shù)學(xué)是一門嚴謹、縝密的學(xué)科，前后知識相輔相成。那我們作為學(xué)生如何利用好正遷移來幫助自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)呢？

（1）積極的學(xué)習(xí)態(tài)度是有利于知識的正遷移。斯卡特金主張“情感教育”，他說過：“教育效果取決于學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣?！敝挥袑W(xué)生有了興趣，不去畏懼那些定理和規(guī)律，會積極主動地去探求、去思索、去學(xué)習(xí)。然而培養(yǎng)積極的學(xué)習(xí)態(tài)度不是老師或者家長同學(xué)能決定的，自己能夠心無旁騖地去學(xué)會發(fā)現(xiàn)，學(xué)會利用簡單概念去嘗試理解復(fù)雜概念，就能夠找到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心。

（2）把握章節(jié)的連貫性，抓住相同要素在不同章節(jié)之間的聯(lián)系和差異，善于觀察課后習(xí)題和課上例題之間的相同要素，過仔細琢磨老師講解例題時使用的方法、定理來解決課后習(xí)題。比如證明中定積分、二三重積分在計算時都需要定限，可是定限又有不同，是簡單的數(shù)字定限或者是畫圖看投影定限，其中各自都有他們的差異點和相同點。

（3）培養(yǎng)抽象能力，數(shù)學(xué)所包含的抽象有解題方法的抽象，理論的抽象，符號的抽象。抽象能力是能夠把具體問題抽象成可以進行運算的式子。培養(yǎng)抽象能力有助于培養(yǎng)創(chuàng)新性思維和概括能力，使得面對問題時會主動進行思考分析，促進知識遷移的實現(xiàn)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中從具體到抽象是一種最基本的思維形式，也是數(shù)學(xué)研究的基本方向。順向遷移包含著從抽象到具體的思維方向，積極有效地順向遷移就是順向正遷移，我們應(yīng)當正確認識、把握利用這種積極的學(xué)習(xí)影響作用，才能夠有效防止負遷移，提高學(xué)習(xí)效率。

二、抽象到具體——逆向正遷移

數(shù)學(xué)中的抽象能力最終將歸屬于具體，因為解決具體問題、應(yīng)用于實踐才是數(shù)學(xué)研究的最終目的。在學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過程中，僅有能力把具體轉(zhuǎn)化為抽象，感性認知轉(zhuǎn)化為理性認知是不夠的。

學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)方法時（以證明2—4中的微積分應(yīng)用為例）如果能清楚地了解這樣的定積分、多重積分能夠解決的實際問題、它們的幾何意義，掌握每個符號的具體含義，例如：（1）證明3中，定積分的幾何意義是求坐標軸和被積函數(shù)所圍成的面積，題目是求證球的體積公式。所以定積分的旋轉(zhuǎn)體體積公式是將二維圖形轉(zhuǎn)化為三維圖形的工具。（2）證明2和4中，二重積分的幾何意義是投影面和積分曲面所圍成的體積。三重積分的幾何意義是求積分區(qū)域的體積。（3）不僅如此，重積分還可以應(yīng)用在物理實際問題上，比如求磁通量、沖量。

經(jīng)過這樣具體的說明，學(xué)生就能夠進一步理解微積分這個概念。同時得知微積分這個工具可以用來解決諸多的問題，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的動力。

這種把抽象化作具體的能力便是運用到了逆向正遷移。經(jīng)過校園統(tǒng)計有部分學(xué)生在學(xué)習(xí)了一段時間的微積分之后甚至不知道微積分的用處，沒有把微積分當作解題工具，而僅僅是為了學(xué)習(xí)微積分而去學(xué)習(xí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分的時候去將其與具體的、易于理解的內(nèi)容聯(lián)系起來，就可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。逆向遷移能夠使得已經(jīng)掌握的經(jīng)驗、知識構(gòu)架得到補充。以下是筆者的兩點建議：（1）善于將新學(xué)習(xí)的抽象概念和知識點與已經(jīng)學(xué)習(xí)過的簡單具體的概念聯(lián)系起來，加深理解。（2）定期做知識點、概念的總結(jié)，了解課本內(nèi)容中的知識結(jié)構(gòu)。（3）老師講課時一般會用較為簡單、具體的語言來解釋較難理解的內(nèi)容，所以上課聽講比課后自己吸收相對容易簡單。

在學(xué)習(xí)時，學(xué)生常常偏重于順向遷移，忽略逆向遷移。按部就班地學(xué)習(xí)模式不會提高學(xué)習(xí)效率。我們既需要順向正遷移的發(fā)生，也要逆向正遷移的發(fā)生。

三、創(chuàng)新思維——同化性遷移

證明5是利用證明2中二重積分的方法來解證明3中三重積分的題。對于求球體的體積來說，證明5的方法顯得復(fù)雜。然而，對于一些不易畫出立體積分區(qū)域或是定限容易出錯的題，使用這種方法即可避免畫積分區(qū)域這一步驟。我們探索后得知在求三重積分的題目時，不一定就要按部就班地直接解題，仍然可以運用已經(jīng)學(xué)過的知識和創(chuàng)新思維來解決新的問題。

證明5中僅用二重積分的知識解決三重積分的題目便屬于同化性遷移。同化性遷移是不改變原有認知的前提下，將已有的認知經(jīng)驗應(yīng)用到本質(zhì)相同的新事物上或?qū)⑵涮砑舆M原有的知識結(jié)構(gòu)中。

同化性遷移整個過程分為三個相輔相成、前后關(guān)聯(lián)的步驟：（1）了解題目的條件和問題，對題目的情境和性質(zhì)進行初步的認知。（證明5中的已知條件和求解問題都相對于簡單。我們在這里將積分區(qū)域Ω假設(shè)成不易畫出的立體圖形;問題是求其體積。）（2）將已有的認知、經(jīng)驗與將要求解的題目相聯(lián)系的過程。（在不畫出立體圖形的前提下，探討如何將已有的知識構(gòu)架和題目結(jié)合起來。）（3）分析遷移題目和可用的經(jīng)驗知識，探究它們的共有特征，進一步分析共有特征對于解題的幫助。在適當?shù)念}目變化之中，構(gòu)造與原知識系統(tǒng)相對應(yīng)的解題過程。（想法1：二重積分的幾何意義也可用于求體積。想法2：看所求體積是否關(guān)于坐標軸對稱，若對稱還可以用定積分旋轉(zhuǎn)體體積公式。）

遷移并非都是一次完成的，有時需要反復(fù)嘗試，反復(fù)熟練。三個相關(guān)聯(lián)的步驟一般也是反復(fù)、交叉的，主動地探究問題比接受老師的“灌溉”更有利于培養(yǎng)創(chuàng)新意識。學(xué)習(xí)上的主動積極也不是僅憑老師的一己之力就能調(diào)動的，反復(fù)地去體會“遇到問題-思考問題-解決問題”這一循環(huán)，將促進學(xué)習(xí)上的遷移效果、培養(yǎng)思維以及鍛煉能力。

四、結(jié)論

知識遷移是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中重要的現(xiàn)象之一，也是將“目標知識”轉(zhuǎn)變?yōu)椤皟?nèi)化知識”的有效途徑。初學(xué)高等數(shù)學(xué)時，充分利用知識遷移這一規(guī)律將有利于適應(yīng)從中學(xué)的“大眾數(shù)學(xué)”到“高等數(shù)學(xué)”的過渡、提高學(xué)習(xí)能力，培養(yǎng)創(chuàng)新思維。

參考文獻：

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作者簡介：王泓權(quán)（2000—），男，漢族，江蘇鹽城人，2018級數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)本科生，研究方向：數(shù)學(xué)教育;王宇（1976—），男，漢族，陜西岐山人，碩士，講師，主要從事課程與教學(xué)論（數(shù)學(xué)學(xué)科）。