李 淵，郭興明，蘇 芳

（1.山西大同大學機電工程學院，山西大同 037003；2.山西大同大學建筑與測繪工程學院，山西大同 037003）

0 引言

約束函數(shù)和目標函數(shù)都是線性函數(shù)的優(yōu)化問題，稱作線性規(guī)劃問題[1]。線性規(guī)劃是運籌學、優(yōu)化設(shè)計（包括機械優(yōu)化設(shè)計）中研究較早、應用廣泛、方法較成熟的一個重要分支，是輔助人們進行科學管理生產(chǎn)生活的一種數(shù)學方法。在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、經(jīng)濟管理、交通運輸?shù)冉?jīng)濟活動中，一般都要求提高經(jīng)濟效果，有2 種途徑：①技術(shù)方面的改進，例如，使用新設(shè)備、新型原材料和改善生產(chǎn)工藝；②生產(chǎn)組織與計劃的改進，即合理安排人力物力資源。例如，在下料優(yōu)化設(shè)計方面，秦旭輝[2]在圓形件的剪切排樣現(xiàn)有的需求約束下的板材用量的線性規(guī)劃模型進行分析，并提出了無多余量的線性規(guī)劃模型。陳立暢[3]運用線性規(guī)劃對鋼板彈簧的下料工序進行分析，以節(jié)省材料為目標，建立優(yōu)化模型，利用軟件WinQSB 求解，得出最優(yōu)方案。劉鑫[4]建立了用于規(guī)劃直角邊零件下料問題的混合整數(shù)規(guī)劃模型，并求出其松弛問題的解。在齒輪優(yōu)化設(shè)計方面，宋相男[5]提出了一種基于有限元及線性規(guī)劃計算斜齒面齒輪齒面接觸區(qū)域載荷分布及嚙合剛度的方法。張少軍[6]針對一類載荷系數(shù)一定的直齒圓柱齒輪傳動設(shè)計的優(yōu)化問題，建立了非線性優(yōu)化模型，而后等價地轉(zhuǎn)化為含混合變量的線性規(guī)劃模型，并給出全局優(yōu)化方法。卜忠紅[7-8]利用基于線性規(guī)劃法計算嚙合剛度和載荷分布的改進方法。此外，在鐵路運輸方面，如占曙光[9]針對高速鐵路受干擾影響導致某區(qū)間在一段時間內(nèi)部分喪失通過能力的情況，建立考慮動車組接續(xù)的列車運行調(diào)整混合整數(shù)線性規(guī)劃模型，采用商業(yè)優(yōu)化軟件CPLEX 對模型進行求解。在裝配方面，楊楠楠[10]依據(jù)起重機裝配工藝建立裝配作業(yè)優(yōu)先順序圖，采用線性規(guī)劃法建立模型，運用Lingo 軟件進行求解，而后重新分配各工序，有效解決了起重機的裝配流水線平衡問題。

1 線性規(guī)劃問題實例及數(shù)學模型建立

1.1 線性規(guī)劃問題實例及分析

某車間有一批長180 cm 的棒料，根據(jù)所加工零件的要求，需從這批棒料中成套截取70 cm 長的毛坯不少于100 根，52 cm長的毛坯不少于100 根，35 cm 長的毛坯不多于100 根。要求合理設(shè)計下料方案，使剩下的邊角料總長度最短。根據(jù)初步估算，可能的下料方案見表1。

1.2 建立數(shù)學模型

設(shè)計變量：以xi表示第i 種下料方案所需原材料的根數(shù)（i=1～8）。

目標函數(shù)：F（X）=5x1+6x2+23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8→min。

約束條件：g1（X）=2x1+x2+x3+x4≥100，g2（X）=2x2+x3+3x5+2x6+x7≥100，g3（X）=x1+x3+3x4+2x6+3x7+5x8≤100。

該上述一般形式的模型轉(zhuǎn)化為標準形式為：求X=（x1x2x3x4x5x6x7x8x9x10x11）T，使F（X）=5x1+6x2+23x3+5x4+24x5+6x6+23x7+5x8→min。并且滿足h（X）=2x1+x2+x3+x4-x9≥100，h2（X）=2x2+x3+3x5+2x6+x7-x10≥100，h3（X）=x1+x3+3x4+2x6+3x7+5x8+x11≥100，xi≥0（i=1～11）。

在數(shù)學模型的一般形式轉(zhuǎn)換為標準形式過程中，需要注意的一些問題可以參考文獻［1］。

2 基于intlinprog 函數(shù)進行編程求解

2.1 intlinprog 函數(shù)簡介

基于數(shù)值法求解線性規(guī)劃問題的軟件主要有Matlab、Lingo等。本文著重介紹高版本Matlab 軟件中用于求解混合整數(shù)線性規(guī)劃intlinprog 函數(shù)。其用法基本和linprog 相差不大。Matlab 中，該模型的標注寫法如下。

式中，f，x，b，beq，lb，ub，intcon 是向量，A 和Aeq 是矩陣，基本語法為x=intlinprog（f，intcon，A，b，Aeq，beq，lb，ub）。與linprog 相比，多了參數(shù)intcon，代表整數(shù)決策變量所在的位置。例如，x1和x3是整數(shù)變量，則有intcon=［1，3］。編程過程中需要注意以下事項。

（1）熟悉intlinprog 函數(shù)的基本語法，將對應參量按照一定的順序帶入語法，沒有涉及到的，可以用［］表示；

（2）如果是函數(shù)求極大值，那么需要乘以-1，轉(zhuǎn)化成求極小值；

（3）如果不等式是大于等于的，那么兩端需要乘以-1，轉(zhuǎn)化成小于等于的。

2.2 編程求解及結(jié)果分析

基于上述實例的2 種形式，分別基于intlinprog 函數(shù)進行編程，求解如下：

2.2.1 一般形式

2.2.2 標準形式

結(jié)果分析：兩者模型的編程結(jié)果都顯示，采用第一種方案下料25 根，采用第二種方案下料50 根，可以滿足加工零件的需求，同時使得余料最少，為425 cm。

3 結(jié)語

本文基于機械優(yōu)化設(shè)計中的棒料下料實際案例，建立了線性規(guī)劃的一般模型，并轉(zhuǎn)化為標準形式；然后簡單介紹Matlab軟件中的intlinprog 函數(shù)，以及一些編程注意事項；最后基于intlinprog 函數(shù)對上述案例的2 種模型進行編程求解，結(jié)果一致，相互驗證其正確性。