3.3 反比例函數(shù)

考點(diǎn)、易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

考點(diǎn)：反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)，反比例函數(shù)解析式中比例系數(shù)的幾何意義，用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)解析式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，

易混易錯(cuò)點(diǎn)：運(yùn)用反比例函數(shù)解析式中比例系數(shù)的幾何意義解決問(wèn)題是一個(gè)難點(diǎn)，也是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)，要注意雙曲線是在原點(diǎn)處斷開(kāi)的兩個(gè)分支，函數(shù)在各自象限內(nèi)呈現(xiàn)相同的增減性，但不是在自變量的整個(gè)取值范圍內(nèi)都遞增或遞減.另外，利用反比例函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，注意自變量的取值范圍要符合實(shí)際意義.

高頻考點(diǎn)例題點(diǎn)撥

高頻考點(diǎn)l反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

例1 （2019.江西）已知正比例函數(shù)y=kix的圖象與反比例函數(shù)y=k2/x的圖象相交于點(diǎn)A（2，4），下列說(shuō)法正確的是（

）.

A.反比例函數(shù)的解析式是y=-8/x

B.兩個(gè)函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，-4）

c.當(dāng)x<一2或0

D.正比例函數(shù)y=k2x與反比例函數(shù)y=k2/x都隨x的增大而增大

解析：易知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式分別為y=2x，y=8/x.

∴兩個(gè)函數(shù)的圖象的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，-4）.

也可以利用圖象的中心對(duì)稱性確定另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo).兩個(gè)函數(shù)的圖象都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以兩個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以另一個(gè)交點(diǎn)為（-2，-4）.

解不等式2x<8/x，得0

點(diǎn)撥：求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，實(shí)質(zhì)上就是將兩個(gè)函數(shù)的解析式聯(lián)立成方程組，然后解方程組，所得方程組的解就是交點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的圖象都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，因此它們的兩個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，利用中心對(duì)稱性來(lái)解決交點(diǎn)問(wèn)題，更快捷方便.

由兩個(gè)函數(shù)值比較大小確定自變量的取值范圍問(wèn)題，一般通過(guò)解不等式來(lái)解決.本題中用此方法較為煩瑣，因?yàn)樾枰诸愑懻?數(shù)形結(jié)合，利用圖象的直觀性來(lái)解決更簡(jiǎn)便.

高頻考點(diǎn)2 求反比例函數(shù)y=k/x中k的值

例2（2019.重慶）如下頁(yè)圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D分別在x軸、y軸上，對(duì)角線BD//x軸，反比例函數(shù)y=k/x（k>0，x>0）的圖象經(jīng)過(guò)矩形對(duì)角線的交點(diǎn)E若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），D的坐標(biāo)為（0，4），則k的值為（

）.

A. 16

B. 20

C. 32

D. 40

點(diǎn)撥：求點(diǎn)的坐標(biāo)，一般轉(zhuǎn)化為求線段的長(zhǎng).求線段長(zhǎng)度常用的方法有兩種：一種是解特殊的三角形;另一種是利用相似或全等三角形來(lái)解決，需要構(gòu)造全等三角形、相似三角形的基本模型，

高頻考點(diǎn)3 反比例函數(shù)與其他知識(shí)的綜合應(yīng)用

例3 （2019.廣州）如圖2，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，菱形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)P（-1，2），AB⊥x軸于點(diǎn)E，正比例函數(shù)y=mx的圖象與反比例函數(shù)y=n-3/x的圖象相交于A，P兩點(diǎn).

（1）求m，n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo).

（2）求證：△CPD∽△AEO.

（3）求sin∠CDB的值.

也可以根據(jù)正比例函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的圖形，其兩個(gè)交點(diǎn)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，-2）.

點(diǎn)撥：相似三角形常用的判定方法有：①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似;②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似;③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似;④直角三角形中，直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似.本題第（3）問(wèn)中也可以采用等角轉(zhuǎn)化的方法求解，

高頻考點(diǎn)4 反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義

例4 如圖3，A，B兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=k1/x的圖象上，C，D兩點(diǎn)在反比例函數(shù)y=k2/x的圖象上，AC⊥y，軸于點(diǎn)E，BD⊥y軸于點(diǎn)F，AC=2，BD=1，EF=3，則k1-k2的值是（

）.

A.6

B.4

C.3

D.2

點(diǎn)撥：求解本題要善于運(yùn)用“變”與“不變”的思想（變的是A，B，C，D在不同函數(shù)圖象上的不同位置，不變的是反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的共同特征），抓住了這個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)，就容易溝通已知、未知的數(shù)量關(guān)系.

例5 如圖5，正比例函數(shù)y1=-3x的圖象與反比例函數(shù)y2=k/x的圖象交于A，B兩點(diǎn).點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，AC=AO.△ACO的面積為12.

（1）求k的值.

（2）根據(jù)圖象，當(dāng)y1>y2時(shí)，寫出x的取值范圍.

點(diǎn)撥：已知等腰△ACO的面積，相當(dāng)于給出了k應(yīng)滿足的條件.求不等式的解集，需要求出兩個(gè)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再觀察圖象.

2.如圖7.在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形ABC的頂點(diǎn)A，B分別在x軸、y軸的正半軸上，∠ABC=90°.CA ⊥x軸，點(diǎn)C在函數(shù)y=k/x（x>0）的圖象上，若AB=1，則k的值為（

）.

A.1

B.√2/2

2

C.√2

D.2

3.如圖8.□ABCD中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），AD //x軸，BC交y軸于點(diǎn)E，頂點(diǎn)C的縱坐標(biāo)是-4，□ABCD的面積是24.反比例函數(shù)y=k/x的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和D.求：

（1）反比例函數(shù)的表達(dá)式.

（2）AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式.