一元一次不等式與不等式組

考點(diǎn)，易混易錯(cuò)點(diǎn)解讀

在中考中，常見(jiàn)的命題點(diǎn)有：不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式（組），確定一元一次不等式組中字母參數(shù)的值或取值范圍，一元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用.

在運(yùn)用不等式的性質(zhì)時(shí)，要注意不等號(hào)方向是否改變，一元一次不等式組的解是不等式組中所有不等式解的公共部分，在求解時(shí)有兩種方法：（1）口訣法.“同大取大，同小取小，大小、小大中間找，大大小小無(wú)解了”.（2）數(shù)形結(jié)合法.把每個(gè)不等式的解在數(shù)軸上表示出來(lái)，然后取它們的公共部分.

解決求不等式組整數(shù)解的相關(guān)問(wèn)題時(shí)，先得出不等式組的解集，并將其在數(shù)軸上表示出來(lái)，一定要注意不等式組的解集在數(shù)軸上表示時(shí)是用“空心圓圈”還是用“實(shí)心圓點(diǎn)”，然后結(jié)合數(shù)軸確定整數(shù)解，要注意以下三點(diǎn)：（1）求整數(shù)解時(shí)，當(dāng)臨界點(diǎn)是整數(shù)時(shí)，要區(qū)分臨界點(diǎn)是“實(shí)心”還是“空心”.（2）當(dāng)臨界點(diǎn)不是整數(shù)時(shí)，根據(jù)不等式組的解集確定整數(shù)解是在臨界點(diǎn)左側(cè)還是右側(cè).（3）求最大整數(shù)解時(shí)，要找數(shù)軸上最右邊的整數(shù)解;求最小整數(shù)解時(shí)，要找數(shù)軸上最左邊的整數(shù)解.

在實(shí)際問(wèn)題中，列不等式時(shí)要找到問(wèn)題中表示不等關(guān)系的詞，正確理解這些詞的含義.常見(jiàn)的表示“>”的詞有“大于”“高于”“多于”等，表示“<”的詞有“小于”“低于”“少于”等，表示“≥”的詞有“至少”“不小于”“不低于”“不少于”等，表示“≤”的詞有“最多”“不大于”“不高于”“不超過(guò)”等，求解時(shí)，要挖掘問(wèn)題中的隱含條件，找出不等式解集范圍內(nèi)符合題目及實(shí)際意義的特殊解.

∴不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解是0，1，2，3，4.

∴不等式組的所有非負(fù)整數(shù)解的和是10.故選A.

點(diǎn)撥：求出每個(gè)不等式的解集，解上面的第一個(gè)不等式去括號(hào)時(shí)，1不能漏乘以3;解第二個(gè)不等式去分母時(shí)，不能漏乘不含分母的項(xiàng).在數(shù)軸上表示兩個(gè)不等式的解集時(shí)，要注意第一個(gè)不等式不含“=”，第二個(gè)不等式含有“=”，進(jìn)而確定不等式組的解集，再列出解集范圍內(nèi)的非負(fù)整數(shù)解，最后求所有非負(fù)整數(shù)解的和即可，

高頻考點(diǎn)2確定一元一次不等式（組）中字母參數(shù)的值或取值范圍

點(diǎn)撥：可以先把字母k看成一個(gè)已知數(shù)，求出不等式組中各個(gè)不等式的解集，然后利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，借助數(shù)軸求出字母k的取值范圍.本題中，先把不等式①的解集x>-1和不等式組的解集x>-1在數(shù)軸上表示出來(lái)，然后在數(shù)軸上探究不等式②的解集x>k+1所滿足的條件，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)軸上表示k+1的點(diǎn)不能在表示一1的點(diǎn)的右側(cè)，所以得到k+1≤-1.在這里特別提醒，當(dāng)不確定端點(diǎn)處能否取到時(shí)，可以把端點(diǎn)值代入進(jìn)行判斷.

高頻考點(diǎn)3-元一次不等式的實(shí)際應(yīng)用

例3（2019.赤峰）某校開(kāi)展校園藝術(shù)節(jié)系列活動(dòng)，派小明到文體超市購(gòu)買(mǎi)若干個(gè)文具袋作為獎(jiǎng)品，這種文具袋標(biāo)價(jià)是每個(gè)10元，請(qǐng)認(rèn)真閱讀結(jié)賬時(shí)老板與小明的對(duì)話.

（1）結(jié)合兩人的對(duì)話內(nèi)容，小明原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)文具袋多少個(gè)？

（2）學(xué)校決定再次購(gòu)買(mǎi)鋼筆和簽字筆共50支作為補(bǔ)充獎(jiǎng)品，兩次購(gòu)買(mǎi)獎(jiǎng)品總支出不超過(guò)400元，鋼筆標(biāo)價(jià)是每支8元，簽字筆標(biāo)價(jià)是每支6元.經(jīng)過(guò)溝通，這次老板給予八折優(yōu)惠，那么小明最多可購(gòu)買(mǎi)鋼筆多少支？

解析：（1）設(shè)小明原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)文具袋x個(gè)，則實(shí)際購(gòu)買(mǎi)了（x+1）個(gè).

依題意得10（x+1）x0.85=10x-17，解得x=17.

答：小明原計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)文具袋17個(gè).

（2）設(shè)小明可購(gòu)買(mǎi)鋼筆y支，則購(gòu)買(mǎi)簽字筆（50-y）支.

依題意得[ 8y+6（50-y）] x80%≤400，解得y≤ 100.

答：小明最多可購(gòu)買(mǎi)鋼筆100支.

點(diǎn)撥：第（1）問(wèn)中根據(jù)對(duì)話內(nèi)容列出方程并解答.第（2）問(wèn)中根據(jù)兩種物品的購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用不超過(guò)400元列出不等式并解答.解決問(wèn)題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，據(jù)此得出等量關(guān)系或不等關(guān)系，列方程或不等式解決問(wèn)題，

例4某商場(chǎng)銷(xiāo)售A.B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備，這兩種教學(xué)設(shè)備的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表1所示.

該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)兩種教學(xué)設(shè)備若干套，共需66萬(wàn)元，全部銷(xiāo)售后可獲毛利潤(rùn)9萬(wàn)元，

說(shuō)明：總的毛利潤(rùn)=（售價(jià)一進(jìn)價(jià)）X銷(xiāo)售量.

（1）該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌的教學(xué)設(shè)備各多少套？

（2）通過(guò)市場(chǎng)調(diào)研，該商場(chǎng)決定在原計(jì)劃的基礎(chǔ)上，減少A種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量，增加B種設(shè)備的購(gòu)進(jìn)數(shù)量，已知B種設(shè)備增加的數(shù)量是A種設(shè)備減少的數(shù)量的1.5倍.若用于購(gòu)進(jìn)這兩種教學(xué)設(shè)備的總資金不超過(guò)69萬(wàn)元，A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量至多減少多少套？

解析： （1）設(shè)該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A種設(shè)備x套、B種設(shè)備y套.

答：該商場(chǎng)計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A種設(shè)備20套、B種設(shè)備30套.

（2）設(shè)A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量減少a套，則B種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量增加1.5a套.

由已知得1.5（20-a）+1.2（30+1.5a）≤69.

解得a≤10.

答：A種設(shè)備購(gòu)進(jìn)數(shù)量至多減少10套，

點(diǎn)撥：列方程（組）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要正確分析題意，找出滿足條件的等量關(guān)系，然后根據(jù)等量關(guān)系列出方程（組），其中將題目中的“文字語(yǔ)言”轉(zhuǎn)化為“數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言”是解題的關(guān)鍵.列不等式（組）解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，要注意題目中表示不等關(guān)系的詞語(yǔ)，如“不大于”“不小于”“不超過(guò)”“不低于”等，

例5 某超市欲購(gòu)進(jìn)A、B兩種品牌的T恤共200件，已知兩種T恤的進(jìn)價(jià)如表2所示，設(shè)購(gòu)進(jìn)A種T恤x件，且所購(gòu)進(jìn)的兩種T恤能全部賣(mài)出，獲得的總利潤(rùn)為W元.

（1）求W與x的函數(shù)關(guān)系式.

（2）如果購(gòu)進(jìn)兩種T恤的總費(fèi)用不超過(guò)9500元，那么超市如何進(jìn)貨才能獲得最大利潤(rùn)？并求出最大利潤(rùn).（提示：利潤(rùn)=售價(jià)一進(jìn)價(jià)）

解析： （1）根據(jù)題意，得W=（80-50）x+（65-40）（200-x）=5x+5 000.

（2）根據(jù)題意，得50x+40 （200-x）≤9 500.解得x≤150.

由（1）可知W隨x的增大而增大，要使W最大，則x取最大值，即x=150.

∴200-x =50，此時(shí)最大利潤(rùn)為：5×150+5 000=5 750（元）.

答：超市購(gòu)進(jìn)A品牌T恤150件，B品牌T恤50件能獲得最大利潤(rùn)，最大利潤(rùn)為5 750元.

點(diǎn)撥：解此題的關(guān)鍵是弄清楚各種數(shù)量關(guān)系，能利用等量關(guān)系列函數(shù)關(guān)系式，能利用不等關(guān)系列不等式，會(huì)利用函數(shù)的增減性得出所求的最大利潤(rùn).解答此類(lèi)問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式或不等式，或不會(huì)用函數(shù)的增減性討論最值問(wèn)題.

中考命題預(yù)測(cè)：

4.小明去商店購(gòu)買(mǎi)A，B兩種玩具.共用了10元，A種玩具每件1元，B種玩具每件2元，若每種玩具至少買(mǎi)一件，且A種玩具的數(shù)量多于B種玩具的數(shù)量，則小明的購(gòu)買(mǎi)方案有（

）.

A.5種

B.4種

C.3種

D.2種